Komplexe Zahlen?

Ich habe eine Frage bezüglich komplexer Zahlen. Bisher habe ich nur komplexe Zahlen der Form x + bi oder x - bi gesehen. Meine Frage wäre jetzt, ob man die auch in diesen Formen schreiben kann: x / bi oder x * bi. Also ob man statt Addition und Subtraktion auch Division und Multiplikation verwenden kann. Ich habe das mit der Programmiersprache Python mal ausprobiert und da kam bei der beispielhaften komplexen Zahl „12 / 7j“ sowas wie 0.147… raus. Also auf jeden Fall nicht das was ich erwartet habe. Also hat Python die komplexe Zahl „12 / 7j“ als Zahl mit Realteil = 0 und Imaginärteil = 12/7j erkannt. Aber erstens ist hinter der zwölf doch gar kein j bzw. i weshalb 12 doch der Realteil seien müsste und nur 7 der Imaginärteil. Und jetzt frage ich mich halt, wieso man komplexe Zahlen nicht in der Form „ x / bi“ schreiben kann. Sonder nur Addition und Subtraktion geht.

Answer 1

[mihisu]

Die imaginäre Einheit i (bzw. j) ist multiplikativ mit dem Imaginärteil verbunden. Also beispielsweise ist...

$12+7\text{i}$

... gleichbedeutend mit...

$12+7\cdot \text{i}$

Wenn du nun beispielsweise...

$12/7\text{i}$

...angibst, so beschreibt dies die Zahl...

$12/7\text{i}=\frac{12}{7}\cdot \text{i}=1\text{,}\overline{714285}\cdot\text{i}=0+1\text{,}\overline{714285}\cdot\text{i}$

... statt der Zahl 12 + 7i.

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Du kannst doch nicht einfach eine Addition durch eine Division ersetzen und erwarten, dass man dadurch die gleiche Zahl beschreibt. Beispielsweise ist doch auch...

$12 + 4 = 16$

... etwas ganz anderes als...

$12/4 = \frac{12}{4}=3$

Das frägst du dich doch auch nicht, warum das etwas anderes ist, oder?

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Wenn du x * bi [mit reellen Zahlen x, b] rechnest, so erhältst du...

$x\cdot b\text{i}=x\cdot b\cdot \text{i}=\underbrace{0}_\text{Re}+\underbrace{x\cdot b}_\text{Im}\cdot \text{i}$

... mit Realteil 0 und Imaginärteil x * b.

Wenn du x/bi [mit reellen Zahlen x, b] rechnest, so erhältst du...

$x/b\text{i}=x/b\cdot \text{i}=\frac{x}{b}\cdot \text{i}=\underbrace{0}_\text{Re}+\underbrace{\frac{x}{b}}_\text{Im}\cdot \text{i}$

... mit Realteil 0 und Imaginärteil x/b.

Wenn du x/(bi) [mit reellen Zahlen x, b] rechnest, so erhältst du...

$x/(b\text{i})=\frac{x}{b\text{i}}=\frac{x}{b\cdot \text{i}}=\frac{x\cdot \text{i}}{b\cdot \text{i}\cdot\text{i}}=\frac{x\cdot \text{i}}{b\cdot \text{i}^2}=\frac{x\cdot \text{i}}{b\cdot (-1)}=-\frac{x\cdot \text{i}}{b}=-\frac{x}{b}\cdot \text{i}=\underbrace{0}_\text{Re}+\underbrace{\left(-\frac{x}{b}\right)}_\text{Im}\cdot \text{i}$

... mit Realteil 0 und Imaginärteil -x/b.

Wenn du x - bi [mit reellen Zahlen x, b] rechnest, so erhältst du...

$x-b\text{i}=x-b\cdot\text{i}=x+\left(-b\cdot\text{i}\right)=\underbrace{x}_\text{Re}+\underbrace{\left(-b\right)}_\text{Im}\cdot\text{i}$

... mit Realteil x und Imaginärteil -b.

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Was du machen könntest, wenn du komplexe Zahlen multiplikativ schreiben möchtest, wäre, die sogenannte Polarform zu nutzen.

$r\cdot \text{e}^{\text{i}\varphi}$

[In der komplexen Zahlenebene beschreibt dann r den Abstand zum Ursprung und φ den Winkel bzgl. der positiven reellen Halbachse.]

Nach Euler-Formel ist dann...

$r\cdot \text{e}^{\text{i}\varphi}=r\cdot \left(\cos(\varphi)+\text{i}\cdot \sin(\varphi)\right)=\underbrace{r\cdot \cos(\varphi)}_{\text{Re}}+\underbrace{r\cdot \sin(\varphi)}_\text{Im}\cdot \text{i}$

... mit Realteil r ⋅ cos(φ) und Imaginärteil r ⋅ sin(φ).

Beispielsweise wäre dann umgekehrt...

$12+7\text{i}=\underbrace{\sqrt{12^2+7^2}}_{\sqrt{193}}\cdot \text{e}^{\arctan\left(\frac{7}{12}\right)\,\text{i}}\approx 13\text{,}892\cdot \text{e}^{0\text{,}52807\,\text{i}}$

Comments

[CodeSnake]

Du kannst doch nicht einfach eine Addition durch eine Division ersetzen und erwarten, dass man dadurch die gleiche Zahl beschreibt.

Das habe ich auch nicht vermutet, dass man die gleiche Zahl erhält. Ich hab mich etwas unklar ausgedrückt in meiner Frage. Und es tut mir auch leid, dass meine Frage jetzt im Nachinein betrachtet etwas dumm klingt. Aber ich bin auch erst in der 10 Klasse und ich musste mir das komplett alleine zuhause beibringen, weilmich das für Python brauche und wir das in der Schule noch nicht besprochen haben. Jedenfalls Vielen Dank für diese super Antwort. Der Stern gehört dir.🙂

Answer 2

[Schachpapa]

12/7i =12/7 * i

(Auswertung von links nach rechts, * und / haben gleiche Priorität)

12/(7i)

erweitere mit i

12i/-7 = -12/7 * i

Answer 3

[Willy1729]

Hallo,

bei 12/(7i) würdest Du zunächst mit 7i erweitern und kämst so auf 12*7i/(7i)², was 84i/-49 ergibt, gekürzt wieder -12i/7.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 4

[LoverOfPi]

1/z=1/(a+bi)=(a-bi)/(a²+b²)

-> z1/z2=z1*z'/((a_2)²+(b_2)²)

z1=x, z2=bi

x/bi=x*(-bi)/b²=-xi/b

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester

Answer 5

[fishie453]

Meine Frage wäre jetzt, ob man die auch in diesen Formen schreiben kann: x / bi oder x * bi.

Nein, so bekommt man nur komplexe Zahlen mit Realteil 0.

Comments

[CodeSnake]

Ok. Danke für die Antwort. Aber wieso ist das der Fall?

[ralphdieter]

@CodeSnake

Weil 1/i=−i. Also ist allgemein a/i=−ai.

Interessant wird's erst, wenn im Nenner eine allgemeine komplexe Zahl steht:

(a+bi)/(c+di)

Hier erweitert man den Bruch mit dem konjugierten Nenner (c−di). Dann wird der Nenner rational (c²+d²), und den Zähler kann man einfach ausmultiplizieren und nach Real- und Imaginärteil sortieren.