Verständnisproblem von Darstellung komplexer Zahlen als Eulerform?
In diesem Ausschnitt einer Aufgabe sind drei Gleichungen. Ich verstehe in Gleichung 1 nicht, wieso aus 11/6 pi -> -1/6 pi wird. Meine Erklärung wäre, dass 2 pi eine "Umdrehung wären" und ich von dieser Umdrehung 1/6 wieder abziehe. Doch wieso dann überhaupt umschreiben zu -1/6 pi?
In Gleichung 2, den Schritt, in dem die exp. Funktionen gekürzt werden. Kann ich da generell jede e-Funktion nach diesem Beispiel mit Potenzgesetz exp([(-i*pi)/6]-[(i*pi)/3]) kürzen?
Eine weitere Frage bezieht sich auf harmonischer Schwingungen. Sollte ich eine Addition von 3 harmonischen Schwingungen vornehmen, sollten diese ja alle die selbe Form haben(?), also:
Wie sich Funktionen der Form A*sin(wt+y) bzw. A*cos(wt+y) in karthesische Form überführen lassen und wieder zurück.
Sehr viele Fragen meinerseits, deshalb freue ich mich auch über einen guten Literaturvorschlag, wo ich alles selbst raussuchen kann, Internet ist dazu etwas mau. Solltet ihr euch die Zeit nehmen, mir das zu erklären bin ich euch mindestens genauso dankbar ;)
Nachtrag zu letzter Frage
1 Antwort
Meine Erklärung wäre, dass 2 pi eine "Umdrehung wären" und ich von dieser Umdrehung 1/6 wieder abziehe.
Korrekt. Denn 11/6 pi = –1/6 pi, da Sinus und Kosinus 2*pi-periodisch sind.
Doch wieso dann überhaupt umschreiben zu -1/6 pi?
Prinzipiell ist beides korrekt. Man schreibt meistens aber Bogenmaß so, dass der Wert im Intervall [0; 2*pi) oder [–pi; pi) liegt (evtl. auch mit geschlossenen Klammern oder umgekehrt).
Kann ich da generell jede e-Funktion nach diesem Beispiel mit Potenzgesetz exp([(-i*pi)/6]-[(i*pi)/3]) kürzen?
Ja, das Potenzgesetzt gilt auch dort. exp ist sogar durch exp(a)exp(b)=exp(a+b) definiert.
Sollte ich eine Addition von 3 harmonischen Schwingungen vornehmen, sollten diese ja alle die selbe Form haben(?)
Wenn du die Amplituden addieren möchtest, müssen sie alle die selbe Kreisfrequenz haben, ja (oder ich verstehe das falsch).
Wie sich Funktionen der Form A*sin(wt+y) bzw. A*cos(wt+y) in karthesische Form überführen lassen und wieder zurück.
Wenn du mit kartesisch die Form e^(z(t)) meinst, dann kannst du es mit den Formeln anstellen
- sin(x) = (e^(ix) – e^(–ix)) / (2i)
- cos(x) = (e^(ix) + e^(–ix)) / 2
Bedeutet das, ich würde auf selben Weg zum richtigen Ergebnis kommen? Ich mein beim kürzen sollte das ja nicht hinderlich sein...
Jap, kannst du ja mal nachrechnen ;)
Beachte dann, dass 3pi/2 = –pi/2.
wenn (-e^x)/e^(x) dann einfach -1 ausklammern?
Kannst du machen, ja.
–e^x / e^x = (–1) * e^x / e^x = (–1) * 1 = –1
Muss ja eine gemeinsame Form finden um zu Addieren?
Ich bin mir nicht sicher, welche Form man am Ende erhalten möchte - noch nicht wirklich damit befasst. Wenn du mir aber sagst, welche Form man am Ende erhalten möchte, kann ich dir vielleicht weiterhelfen.
Habe die Frage ergänzt.
Mir fehlt einfach der Durchblick, ich hätte einfach meine e-Fuktionen als cos(Winkel)+isin(Winkel) + cos(winkel)+isin(Winkel)... geschrieben vgl. Gleichung II. Setze ich die Winkel ein und addiere ich das ganze bekomm ich was anderes raus, auch die Lösung ist mir nicht Nachvollziehbar.
Gleichung IV verstehe ich auch nicht, da phi für mich tan(b/a), wenn a*cos(y)+b*cos (y).
Gleichung V wäre Wurzel(a^2+b^2). Aber anscheinend haut das hier nicht hin. Gott wie ich solche aufgaben hasse ^^
Okay, fangen wir mit dem einfacheren an.
Gleichung V wäre Wurzel(a^2+b^2).
Für eine komplexe Zahl a+bi ist der Betrag √(a^2+b^2), korrekt.
Beachte aber, dass z_0 ein Produkt aus einer reellen Zahl (links) und einer echt komplexen Zahl (rechts) ist. Der Betrag kann bei einem Produkt auf seine Faktoren angewendet werden.
Der Betrag von z_0 ist also das Produkt von dem Betrag des linken und dem Betrag des rechten Faktors. Du rechnest also
|z_0| = |(1–√2)(1+i)|
= |1–√2||1+i|
= |1–√2||√(1^2+1^2)|
= |1–√2||√2|
= |√2–1||√2|
= (√2–1)√2
= 2–√2
Beachte, dass bei positiven Zahlen der Betrag weggelassen werden darf und dass |a–b|=|b–a|. Und nur beim rechten Faktor musste √(a^2+b^2) angewendet werden, da der linke nur eine reelle Zahl ist.
Ich denke, dass sollte jetzt klar sein, ansonsten melden.
Mir fehlt einfach der Durchblick, ich hätte einfach meine e-Fuktionen als cos(Winkel)+isin(Winkel) + cos(winkel)+isin(Winkel)... geschrieben vgl. Gleichung II.
Naja, es ist sehr nahe dran. Es gilt ja - wie du schon geschrieben hast - die Identität
e^(ix) = cos(x)+isin(x).
Nun ist in der Aufgabe nur nach einem Kosinusterm gefragt.
Wenn du dir die Eulerformel oben anschaust, siehst du, dass für alle reellen x nur der Teil mit dem Kosinus reell ist, da der Sinus-Teil den Vorfaktor i hat. Es gilt also
Re(e^(ix)) = cos(x).
Das war unser erster wichtiger Schritt, um fortzufahren.
Denn jetzt können wir die Kosinus-Terme oben umschreiben.
__
cos(ωt)
= Re(cos(ωt))
= Re(cos(ωt)+isin(ωt))
= Re(e^(iωt))
__
2cos(ωt+π/4)
= 2Re(cos(ωt+π/4))
= 2Re(cos(ωt+π/4)+isin(ωt+π/4))
= 2Re(e^(i(ωt+π/4)))
= Re(2e^(i(ωt+π/4)))
__
cos(ωt+π/2)
= Re(cos(ωt+π/2))
= Re(cos(ωt+π/2)+isin(ωt+π/2))
= Re(e^(i(ωt+π/2)))
__
Diese Identitäten (also Gleichungen die für alle definierten Werte der Variablen gelten, hier also für alle reellen x), setzen wir nun in die Summe oben.
cos(ωt) – 2cos(ωt+π/4) + cos(ωt+π/2)
= Re( e^(iωt)) – Re( 2e^(i(ωt+π/4)) ) + Re( e^(i(ωt+π/2)) )
= Re( e^(iωt) – 2e^(i(ωt+π/4)) + e^(i(ωt+π/2)) )
Ich hoffe, die Schritte bis hier hin sind klar. Nun zerlegen wir die Summanden in
e^(iωt) = e^(iωt)*1,
e^(i(ωt+π/4)) = e^(iωt)*e^(iπ/4) und
e^(i(ωt+π/2)) = e^(iωt)*e^(iπ/2).
Setzen wir das oben ein erhalten wir
Re( e^(iωt) – 2e^(i(ωt+π/4)) + e^(i(ωt+π/2)) )
= Re( e^(iωt)*1 – 2e^(iωt)*e^(iπ/4) + e^(iωt)*e^(iπ/2) )
Jetzt klammern wir e^(iωt) aus, da dieser in jedem Summand vorkommt.
Re( e^(iωt) * (1 – 2e^(iπ/4) + e^(iπ/2)) )
Der rechte Term wird oben als z_0 definiert, also Re( e^(iωt) * z_0 ) mit
z_0 := 1 – 2e^(iπ/4) + e^(iπ/2).
Diese Zahl können wir natürlich kartesisch angeben, denn
e^(iπ/4) = (1+i)/√2 = √2(1+i)/2
und e^(iπ/2) = i.
Und eingesetzt
z_0 = 1 – 2e^(iπ/4) + e^(iπ/2)
= 1 – 2(√2(1+i)/2) + i
= 1 – √2 – √2 i + i
= (1 – √2) * 1 + (1 – √2) * i
= (1–√2) * (1+i)
Nun wollen wir z_0 in der euler'schen Form darstellen, also
z_0 = |z_0| e^(iarg(z_0).
Dass |z_0| = 2–√2 ist, sollte nach dem vorherigen Kommentar von mir klar sein. Wir müssen also noch arg(z_0) berechnen.
Gleichung IV verstehe ich auch nicht, da phi für mich tan(b/a), wenn a*cos(y)+b*cos (y).
arg(z_0) kannst du mit dem tan⁻¹ (Arkustangens, kurz auch arctan) berechnen. Es gilt mit y = arg(z_0)
tan(y) = b/a
y = tan⁻¹(b/a)
und da
z_0 = (1–√2) * 1 + (1–√2) * i,
also a = b ist,
y = tan⁻¹(1)
y = π/4.
Somit erhalten wir
z_0 = |z_0| e^(iarg(z_0))
z_0 = (2–√2) e^(iπ/4).
Das setzen wir oben in Re( e^(iωt) * z_0 ) ein und erhalten
Re( e^(iωt) * (2–√2) e^(iπ/4) )
= (2–√2) Re( e^(iωt) * e^(iπ/4) )
= (2–√2) Re( e^(i(ωt+π/4)) )
und mit der Formel Re(e^(ix)) = cos(x) weiter
(2–√2) Re( e^(i(ωt+π/4)) )
= (2–√2) cos(ωt+π/4).
Damit haben wir als Nullphasenwinkel φ_0 = π/4 und als Amplitude A = (2–√2) berechnet.
Also ein mehr Schönheits-Umformung? Bedeutet das, ich würde auf selben Weg zum richtigen Ergebnis kommen? Ich mein beim kürzen sollte das ja nicht hinderlich sein...
wenn (-e^x)/e^(x) dann einfach -1 ausklammern?
Habe ich 3 Funktionen bspw. u1= cos(wt+y); u2= 2sin(wt+y); sin(wt+4y) und möchte diese überlagern, um gemeinsame Schwingung u0 aus "kombinierter" Amplitude und Winkelverschiebung aus u1,u2,u3 zu erhalten, wie gehe ich vor? Muss ja eine gemeinsame Form finden um zu Addieren?
Ehrlich, ich bin dir wahnsinnig Dankbar für deine Zeit!