Einfache Formel zur Bestimmung aller Nullstellen einer verschobenen Sinus-Funktion?

Moin Leute, folgendes Problem:

Die "normale" Sinus-Funktion sin(x) hat ihre Nullstellen bei:

 Das lässt sich daraus folgern, dass die Sinusfunktion 2Pi periodisch ist und es genau in der Mitte von 0 und 2kPi auch immer eine Nullstelle gibt. Soweit so gut. Nun möchte ich aber die Nullstellen für eine verschobene Sinus-Funktion der Form sin(x)+a erhalten. Wenn man das einfach gleich 0 setzt, also folgendermaßen:

  Damit erhält man schonmal eine Nullstelle, da die Funktion wieder 2Pi periodisch ist kann man weitere Nullstellen einfach durch dranhängen von 2kPi bekommen, man hat also Nullstellen bei:

 Das Problem ist, das sind nicht alle Nullstellen, denn zwischen k=0 und k=1 gibt es eine weitere Nullstelle, nur liegt die in diesem Fall nicht genau zwischen diesen beiden Stellen (außer a ist gleich 0). Ich hab hier mal als Beispiel die Funktion sin(x)+0.5 zeichnen lassen:

Wenn wir jetzt mal k=0 und k=1 einsetzen erhalten wir als Nullstellen:

x = -1/6pi ≈ -0.5235 und x = 11/6pi ≈ 5.7596

Wenn man den Graph betrachtet sieht man aber, das es eine weitere Nullstelle bei ca. 3.6 gibt, also zwischen diesen beiden Werten. Das Problem ist aber nur, dass anders als bei der normalen sin(x) in diesem Fall die Nullstelle nicht exakt in der Mitte der beiden anderen Nullstellen sitzt. Jetzt ist aber die Frage, wie errechne ich diesen Wert? Es gibt einige "unschöne" Wege wie man das berechnen kann, in dem man zum Beispiel einfach bekannte Nullstellen an einem Tiefpunkt spiegelt, aber meine Frage wäre, ob es eine elegante Formel gibt diese Nullstellen zu bestimmen, was für jedes a funktionieren würde. Gibt es sowas vielleicht? Es geht mir hierbei nicht um ein bestimmtes a, sondern allgemein für alle Werte für a.

Einfache Formel zur Bestimmung aller Nullstellen einer verschobenen Sinus-Funktion?
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