Wie berechnet man Nullstellen von Sinusfunktionen mit y-Verschiebung?
Hi,
Ich wollte fragen, wie ich die Nullstellen dieser Funktion berechne f(x)= sin(x)-0,5. Die erste Nullstelle kann ich ohne Probleme berechnen.
sin(x) - 0,5 = 0
sin(x) = 0,5
sin^(-1)(0,5) = 0,52
Wie kann ich jetzt aber die nächste Nullstelle ausrechnen?
(Gelbe Sinuskurve auf Graph)
Vielen Dank
2 Antworten
Stell dir mal die Funktionen f(x)=sin(x) und g(x)=0.5 für die erste Sinus-Periode vor. Aus dem Wesen des Cosinus (dem verschobenen Sinus) weißt du, dass der Sinus zu senkrechten Geraden durch die Hochpunkte symmetrisch ist. Deine Aufgabe entspricht dem Finden der Schnittpunkte von f(x) mit g(x). Wie du dir sicher geistlich vorstellen kannst, gibt es in der ersten Sinusperiode zwei davon. Einen vor und einen hinter dem ersten Hochpunkt des Sinus. Die müssen tatsächlich gleich weit von dem Hochpunkt weg sein. Den ersten, bei 0.5236 hast du bereits gefunden. Von π/2 muss dieser nun nach links genauso weit weg sein, wie der andere nach rechts. Das kannst du berechnen mit π/2+(π/2-0.5236)
Die nächsten Schnittstellen sind die beiden jeweils um 2π, also eine Periode verschoben.
Schau Dir mal die gelbe Kurve an. Die erste Nullstelle liegt bei 30° (oder Pi/6 = 0,52) Das ist schon mal richtig. Es gilt sin(x)=sin (Pi-x) Die nächste Nullstelle liegt bei 5/6*Pi (oder 150°). Da der Sinus priodisch ist (sin(x)=sin(x+2Pi)), folgen unendlich viele weitere Nullstellen im Abtand von 2*Pi zur ersten und zur weiten Nullstelle.
Also:
30° (1/6*Pi)
150° (5/6*Pi)
390° (13/6*Pi)
510° (17/6*Pi)
750° (25/6*Pi)
870°(29/6*Pi)
usw.