Sinusfunktion: b angeben?

Ich mache zur Vorebereitung auf die nächste Klausur momentan ein paar Übungsaufgaben, aber komme hier irgendwie nicht mehr weiter…

“Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= a sin(bx)+d und a, b, d (reelle Zahlen).

Es ist a=1. Geben Sie mögliche Werte von b und d an, sodass der Graph von f(x)

• einen Wendepunkt bei W (0 l -1),
• im Intervall [0; 3] genau einen Hochpunkt bei H(1 l 0) hat.”

Bisher weiß ich:

Schaut man z.B. g(x) = sin(x) an, hat sie einen Wendepunkt in O (0 l 0) und einen Hochpunkt in H ( “pi”/2 l 1). Also muss der Graph um -1 auf der y-Achse verschoben sein und dementsprechend d = -1.

Bezüglich b sagt mein Lösungsbuch, dass p=4 ( also die p=Periode) ist und dementsprechend b=“pi”/2. Dieser Schritt ist mir klar (da b=2 mal “pi” / p), aber ich verstehe nicht wieso p=4 ist.

Wie kommt man darauf, dass p=4 ist?

Comments

[LUKEars]

braucht man nich ein oder zwei Ableitungen für den Wendepunkt? und dann einfach auflösen? nach p?

[weena96]

Der Wendepunkt ist gegeben, aber man muss den Funktionsterm aufstellen.

Answer 1

[LUKEars]

also... du hast: f und die erste Ableitung...

$f(x)=a\cdot\sin(b\cdot x)+d\quad,\quad f'(x)=a\cdot b\cdot\cos(b\cdot x)$

dann noch die nächsten beiden Ableitungen: $f''(x)=-a\cdot b^2\cdot\sin(b\cdot x)\quad,\quad f'''(x)=-a\cdot b^3\cdot\cos(b\cdot x)$

und jetzt fordern wir:

1. bekannter Parameter: a=1
2. bekannte Punkte: f(0)=-1 und f(1)=0
3. und Wendepunkt: f''(0)=0
4. Hochpunkt: f'(1)=0 und f''(1)<0

aus f(0)=-1 wissen wir, dass d=-1 sein muss, weil sin(0)=0 ist

aus f(1)=0 wissen wir, dass

$b\in\left\{v: v\in\mathbb{R}\wedge v=\frac{1}{2}\cdot(4\cdot\pi\cdot n+\pi)\wedge n\in\mathbb{Z}\right\}$ jetzt muss man wohl b so wählen, dass an x=1 der einzige Hochpunkt ist...

also ich komme da bspw. auf

$b=\frac{1}{2}\cdot\pi$ oder?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Absolvent/Universität

Comments

[weena96]

Danke!

[LUKEars]

@weena96

dange für den Stern...

war es denn richtig?

[weena96]

@LUKEars

Ja ;)

[LUKEars]

@weena96

soopa 🥳

Answer 2

[Swe4rX]

das muss nicht sein. vielleicht ist die Lösung falsch oder so.
Im Bild siehst du das alles da ist wie es muss.

d von der Aufgabe und auch der Lösung reinstellen?

Comments

[weena96]

Danke, für die Antwort, aber ich glaube doch... mit (deiner) Funktion f(x)=sin(x)-1 hat man zwar W (0 l -1), aber der Hochpunkt H ist ja so bei (ca. 1.5 l 0) , obwohl er bei (1 l 0) sein sollte... dementsprechend müsste man die Periode noch verändern, aber ich verstehen nicht wie...

[Swe4rX]

@weena96

Hast recht das habe ich übersehen.

[weena96]

@Swe4rX

Ich glaube, bin gerade selbst draufgekommen… in I [0;3] ist der Hochpunkt bei (1 | 0) . eine Periode umfasst ja immer einen Hoch- und Tiefpunkt. Der Tiefpunkt wäre dann bei (3 l f(3) ) und p ist dementsprechend 4…