Frage zu Aufgabe mit Tangenten an den Graphen der Sinusfunktion?
Drei Tangenten an den Graphen der Sinusfunktion in einem Hochpunkt un in beiden Wendepunkten links und rechts vom Höhepunkt schließen zusammen mit der x-Achse ein Trapez ein. Bestimmen Sie den Flächeninhalt eines solchen Trapezes. Wie kommt man hierbei auf den Flächeninhalt
5 Antworten
Hallo,
Das Maximum der Sinusfunktion liegt bekanntlich bei pi/2 und die untere Seite des Trapezes ist die Länge zwischen den beiden Nullstellen, also pi.
Die Wendetangenten berühren die Sinusfunktion bei x=0 (y=x) und
x=pi, den beiden Nullstellen.
Die zweite Wendetangente hat die Funktionsgleichung y=-x+pi.
An den Wendestellen hat die Sinusfunktion die Ableitung cos (0)=1 und cos (pi)=-1.
Diese Ableitungen sind gleichzeitig die Steigungen der Wendetangenten.
Nun kannst Du die obere Seite des Trapezes berechnen, nämlich die Entfernung zwischen den Punkten, an denen beide Wendetangenten den Funktionswert 1 haben, also zwischen 1=x und 1=-x+pi, folglich zwischen 1 und pi-1.
pi-1-1=pi-2=obere Seite des Trapezes.
Fläche Gleich Höhe mal halbe Summe der parallelen Seiten,
also 1*(pi+pi-2)/2=pi-1 FE.
Herzliche Grüße,
Willy
Mach dir eine Skizze und du siehst es! Die Wendepunkte sind die Nullstellen und deren Tangente ist x=pi und damit ist die Fläche ein Quadrat bei y=sinx!
Sorry stimmt, sind ja keine Halbkreis, die ich vor dem Auge hatte und könnte ja auch y=2sin(3x) sein.
Auch bei einem Halbkreis wäre es kein Quadrat, sondern ein Rechteck, dessen Breite der doppelte Radius und die Höhe der einfache Radius ist.
Grundsätzliche Formel fur den Flächeninhalt eines Trapez:
1/2*(a+b)*h
Bei dir wäre das so:
Die Tangente an der Extremstelle wird rechts und links von den Tangenten der Wendepunkten begrenzt (Schnittpunkte der Tangenten). Dieses Stück zw. den beiden Schnittpunkten der Wendetangente und der Extremstellentangente hat eine bestimmte länge (abmessen oder ausrechnen). Diese länge ist a.
Die x-Achse wir von den Tangenten der Wendepunkten ebenfalls begrenzt (Schnittpunkte der Wendetangente mit der x-Achse (Nullstellen)) und diese Strecke zw den beiden Schnittpunkten ist b.
Die höhe h ist der y Wert deiner Extremstelle bzw. die höhe deiner Tangente an der Extremstelle.
Hallo,
hier noch eine Skizze mit dem Trapez aus Tangente beim Maximum und den beiden Wendetangenten.
Trapez: a = π; c = π - 2; h = 1
Siehe Bild in meiner Antwort!
Also ich sehe da kein Quadrat (:-(((