Hallo,
das Prinzip der vollständigen Induktion liegt darin, daß Du zeigst, daß eine Formel, die für n gilt, auch für n+1 gilt. Allerdings muß auch noch gezeigt werden, daß es ein kleinstes n gibt, für die die Formel stimmt.
Hier geht es darum zu zeigen, daß die Summe der ungeraden Zahlen
1+3+5+...+(2n-1) für n=1; 2...n gleich n² ist.
Für n=1 stimmt es, denn 2*1-1 ist gleich 1²=1.
Das ist der Induktionsanfang und somit der Anker. Wenn das schon nicht stimmen würde, bräuchtest Du gar nicht mehr weiterzumachen.
Nun zeigst Du, daß die Formel auch dann noch stimmt, wenn die Summe nicht nur bis n, sondern auch zum Nachfolger von n, also bis n+1 geht. Dann müßte
1+3+5+...+(2n-1)+(2(n+1)-1) das Gleiche ergeben wie (n+1)². Du könntest diese um 2n+1 erweiterte Summe also einfach dadurch berechnen, daß Du statt n² (n+1)² berechnest. Um das zu beweisen, benutzt Du die Induktionsbehauptung, nämlich daß 1+3+5+...+(2n-1) gleich n² ist, also durch n² ersetzt werden kann.
Wenn Du nun zu der bisherigen Summe die nächste ungerade Zahl nach 2n-1, also 2n+1 addierst, müßte das Gleiche herauskommen, also wenn Du gleich (n+1)² rechnen würdest.
Mal sehen: n²+2n+1 ist nach der ersten binomischen Formel das Gleiche wie (n+1)².
Genau das galt es aber zu zeigen. Somit ist der Beweis erbracht.
Wieso ist die Behauptung damit bewiesen? Deswegen, weil zunächst gezeigt wurde, daß es ein erstes n (hier: n=1) gibt, für das die Formel stimmt.
Im Induktionsschluß wurde gezeigt, daß die Formel - wenn man sie benutzt - auch für den Nachfolger n+1 eines beliebigen n gilt.
Da dieses n beliebig sein kann, kann man bei n=1 anfangen und weiß nun, daß die Formel auch für n+1, also für 1+1=2 gilt. Dann aber gilt sie auch für die 3, den Nachfolger der 2, für 4, den Nachfolger der 3 usw. bis n+1, also bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl n und deren Nachfolger.
Daß sie aber für n=1 stimmt, wurde ja bereits beim Induktionsanfang gezeigt.
Herzliche Grüße,
Willy
