Hallo,

das Prinzip der vollständigen Induktion liegt darin, daß Du zeigst, daß eine Formel, die für n gilt, auch für n+1 gilt. Allerdings muß auch noch gezeigt werden, daß es ein kleinstes n gibt, für die die Formel stimmt.

Hier geht es darum zu zeigen, daß die Summe der ungeraden Zahlen
1+3+5+...+(2n-1) für n=1; 2...n gleich n² ist.

Für n=1 stimmt es, denn 2*1-1 ist gleich 1²=1.

Das ist der Induktionsanfang und somit der Anker. Wenn das schon nicht stimmen würde, bräuchtest Du gar nicht mehr weiterzumachen.

Nun zeigst Du, daß die Formel auch dann noch stimmt, wenn die Summe nicht nur bis n, sondern auch zum Nachfolger von n, also bis n+1 geht. Dann müßte
1+3+5+...+(2n-1)+(2(n+1)-1) das Gleiche ergeben wie (n+1)². Du könntest diese um 2n+1 erweiterte Summe also einfach dadurch berechnen, daß Du statt n² (n+1)² berechnest. Um das zu beweisen, benutzt Du die Induktionsbehauptung, nämlich daß 1+3+5+...+(2n-1) gleich n² ist, also durch n² ersetzt werden kann.

Wenn Du nun zu der bisherigen Summe die nächste ungerade Zahl nach 2n-1, also 2n+1 addierst, müßte das Gleiche herauskommen, also wenn Du gleich (n+1)² rechnen würdest.

Mal sehen: n²+2n+1 ist nach der ersten binomischen Formel das Gleiche wie (n+1)².

Genau das galt es aber zu zeigen. Somit ist der Beweis erbracht.

Wieso ist die Behauptung damit bewiesen? Deswegen, weil zunächst gezeigt wurde, daß es ein erstes n (hier: n=1) gibt, für das die Formel stimmt.

Im Induktionsschluß wurde gezeigt, daß die Formel - wenn man sie benutzt - auch für den Nachfolger n+1 eines beliebigen n gilt.

Da dieses n beliebig sein kann, kann man bei n=1 anfangen und weiß nun, daß die Formel auch für n+1, also für 1+1=2 gilt. Dann aber gilt sie auch für die 3, den Nachfolger der 2, für 4, den Nachfolger der 3 usw. bis n+1, also bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl n und deren Nachfolger.

Daß sie aber für n=1 stimmt, wurde ja bereits beim Induktionsanfang gezeigt.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

da hilft nur lernen. So viele Formen sind es ja letztlich auch nicht.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

KNG-Kongruenz bedeutet, daß z.B. ein Adjektiv und ein dazugehöriges Substantiv in Kasus, Numerus und Genus übereinstimmen. Das bedeutet nicht, daß sie auch gleichlautende Endungen haben. Gehören sie unterschiedlichen Deklinationsklassen an, können die Endungen voneinander abweichen.

Im Fall von amicus vester ist es so, daß zwar sowohl amicus als auch vester zur o-Deklination gehören, im Nominativ Singular Maskulinum aber unterschiedliche Endungen bilden. Bei der o-Deklination gibt es einmal den Nominativ Singular Maskulinum auf -us wie in amicus, servus, filius usw., aber auch den Nominativ Singular Maskulinum auf -er wie in puer oder eben auch vester.

Die Form vestrus gibt es nicht. Statt vester begegnet noch das ältere voster oder auch das Wort vestras, das in allen drei Geschlechtern im Nominativ Singular die Endung
-as besitzt, aber nicht zur o-Deklination gehört, sondern den Genitiv vestratis bildet.

Vestras bedeutet zu eurer Familie gehörig, einer von euch.

So ginge also amicus vester, amicus voster oder amicus vestras, aber nicht amicus vestrus.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

in diesem Kegel ist das Verhältnis von Höhe zu Radius gleich 3, so daß gilt:

h=3r oder r=(1/3)h.

Wenn Du in der Volumenformel V=(1/3)pi*r²*h das r durch (1/3)h ersetzt, kommst Du auf die Formel V=(1/27)pi*h³. Da pro Sekunde 20 cm³ eingefüllt werden, kannst Du V in Abhängigkeit von der Zeit 20s nennen, wobei s die Zeit in Sekunden ist,

Es gilt demnach 20s=(1/27)pi*h³, also h³=540s/pi und h=3.Wurzel (540s/pi).

Nach einer Sekunde (s=1) steht die Föüssigkeit etwa 5,56 cm hoch im Glas, nach 60 Sekunden (s=60), sind es etwa 21,77 cm und nach ungefähr 157 Sekunden ist das Glas randvoll (h=30 cm).

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

das gab es doch schon mal in San Francisco. Da hatte sich einer zum Kaiser ausgerufen - und die Stadt hat mitgespielt:

https://www.westkueste-usa.de/mn_SanFrancisco_NortonI.htm

Es gibt sogar ein Lucky-Luke-Heft zu dieser Geschichte.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

wenn Du eine Funktion f(x)=a*x^n hast, lautet die Stammfunktion dazu, die abgeleitet wieder f(x) ergibt, F(x)=[a/(n+1)*x^(n+1)+C. Das ist die Potenzregel.

1/x² kann man auch als x^(-2) schreiben, 1/x als x^(-1).

Die Stamfunktion zu x^(-1) läßt sich allerdings nicht nach der Potenzregel bilden, da sonst (1/0)*x^0, also ein undefinierter Ausdruck, herauskommen.

Stattdessen lautet die Stammfunktion von f(x)=1/x F(x)=ln|x|+C.

Summanden lassen sich einzeln integrieren.

Mit diesen Informationen solltest Du es hinbekommen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

da in der Äquatorzone die Passatwinde vorherrschen, gibt es dort eine Windbewegung von Ost nach West.

Ein Flugzeug, das die Erde in Richtung Osten umkreist, muß gegen den Wind fliegen; ein Flugzeug, das die Erde in Richtung Westen umkreist, hat dagegen Rückenwind und kommt daher schneller ans Ziel.

Die Erdrotation hat somit zwar keinen unmittelbaren Einfluß auf diesen Zeitunterschied, aber durchaus einen mittelbaren, denn sie sorgt für diese ständige Ostwindlage (Nordost nördlich des Äquators in den Tropen, Südost südlich davon.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

wenn Du zwei Geraden der Form y=mx+b hast, sind sie orthogonal, wenn die Steigung der einen Gerade der Kehrwert der Steigung der anderen mit entgegengesetzten Vorzeichen hat.

Steigung der einen Gerade also gleich m, die der anderen gleich -1/m.

Die Steigung ist in der Geradengleichung die Zahl vor dem x, der y-Achsenabschnitt ist die Zahl ohne x.

Die Steigung einer Geraden ist der Quotient aus Höhengewinn durch Weitengewinn.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

4,5 Stunden sind schon grenzwertig. Informiere Deine Eltern und kläre mit ihnen ab, ob Du hingehst oder nicht und vor allem wie lange.

https://www.bidi.one/eltern-magazin/nachsitzen-in-der-schule-was-ist-erlaubt

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

nähern sich die Werte von x von rechts der Null, geht 1/x gegen unendlich.

Nähern sie sich von links der Null an, geht 1/x gegen minus unendlich.

Der Ausdruck 1/x ist allerdings nicht gleich unendlich, wenn für x eine Null eingesetzt wird, sondern nicht definiert. Wäre 1/0 gleich unendlich, wäre 2/0 gleich 2*unendlich. 2 mal unendlich ist aber genauso groß wie einmal oder dreimal oder zehnmal unendlich, denn unendlich ist keine Zahl, mit der sich auf herkömmliche Art rechnen läßt.

Außerdem wäre 1/0 gleichzeitig minus und plus unendlich, wäre also an zwei unendlich weit voneinander entfernten Punkten der Zahlengerade gleichzeitig zu finden. Dann wäre f(x)=1/x aber keine Funktion mehr, weil eine Funktion für jeden Wert von x höchstens einen Funktionswert haben darf und nicht zwei unterschiedliche. Daher nimmt man x=0 aus der Definitzionsmenge heraus und nennt f(0) einfach nicht definiert.

Und: Ja. Nur für x=0 ist 1/x nicht definiert. Für jedes andere x aus der Menge der reellen Zahlen bekommst Du auch ein reelles Ergebnis.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

die Fläche eines Trapezes berechnet sich aus h*(a+c)/2, wobei h die Höhe ist und a und c die beiden parallelen Seiten sind.

Bei einem rechtwinkligen Trapez ist die Höhe identisch mit der Seite, die mit den Parallelen einen rechten Winkel einschließt.

Das Volumen eines Prismas ist Grundfläche mal Höhe.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

fange mit AB=8 cm an.

Lege bei B einen Winkel von 75° an.

Ziehe um B einen Kreis mit Radius 5 cm.

Den Schnittpunkt dieses Kreises mit dem freien Schenkel des Winkels nennst Du C.

Ziehe durch C eine Parallele zu AB.

Um D zu finden, wende den Peripheriewinkelsatz an. Verbindest Du die Endpunkte einer Kreissehne zum einen mit dem Kreismittelpunkt, zum anderen mit einem beliebigen Punkt auf der Kreisperipherie oberhalb der Sehne, so ist der Winkel, den letztere Verbindungen bilden, halb so groß wie der Winkel, den die Endpunkte der Sehne mit dem Kreismittelpunkt bilden.

Du konstruierst über AB also ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Winkel von 2*75°=150°, indem Du bei A einen Winkel von 15° anlegst und die Mittelsenkrechte durch AB ziehst. Der Schnittpunkt des freien Schenkel dieses Winkels mit der Mittelsenkrechte ist M, der Mittelpunkt des Hilfskreises. Schlage um M einen Kreis mit Radius AM.

Einer der beiden Schnittpunkte dieses Kreises mit der Parallele durch C ist D, denn nach dem Peripheriewinkelsatz ist der Winkel ADB halb so groß wie der Winkel AMB, hat also die verlangten 75°.

Verbinde A mit D und das Trapez ist fertig.

Herzliche Grüße,

Willy

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