Hallo,

solche hohen Fakultäten braucht man oft im Rahmen von Wahrscheinlichkeitsberechnungen, meist bei einer Binomialverteilung oder einer hypergeometrischen Verteilung.

Bei diesen Rechnungen tauchen aber Fakultäten im Zähler und im Nenner auf, so daß sich erst einmal kräftig kürzen läßt.

100!/97! z.B. ruft bei einem normalen Taschenrechner eine Fehlermeldung hervor.

Stattdessen kürzt Du durch 97! und brauchst nur noch 98*99*100 zu berechnen, was sogar ganz ohne Rechner geht.

Prüfe also bei hohen Fakultäten immer zunächst, ob sich nichts kürzen läßt.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

mindestens 2 mangelhaft ist das Gegenereignis von höchstens 1 mangelhaft.

Du berechnest also die Wahrscheinlichkeit dafür, daß nur eins oder überhaupt keins der Räder mangelhaft ist und ziehst das von 1 ab.

Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit für das, was dann noch übrigbleibt an möglichen Ereignissen, denn wenn weder ein noch kein Rad von fünf Rädern mangelhaft sind, müssen es logischerweise zwei, drei, vier oder fünf Räder sein.

Du kannst natürlich auch die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für 2, 3, 4 und 5 Räder addieren. Das ist aber mehr Aufwand, da nun vier anstatt zwei Ereignisse zu berechnen sind.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

das ist eine kubische Gleichung:

x³+x²+x-14=0

Kannst Du auf drei Arten lösen:

  1. Errate eine Nullstelle (ganzzahliger Teiler von 14), teile durch (x-Nullstelle) (Polynomdivision oder Horner-Schema) und löse die dadurch entstehende quadratische Gleichung.
  2. Nimm ein Näherungsverfahren wie das Newton-Verfahren.
  3. Löse das Ding mit der Cardanischen Formel.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

der Trick dabei ist, daß Du zuerst y'+2y=0 löst.

dy/dx=-2y

(1/y)*dy=-2dx

ln|y|=-2x.

Nun addierst Du als Integrationskonstante ln|k| und bringst sie nach links:

ln|y|-ln|k|=-2x

ln|y/k|=-2x

Beide Seiten zum Exponenten von e erheben:

y/k=e^(-2x)

y=k*e^(-2x)

Als nächstes folgt die sogenannte Variation der Konstanten. Aus der Konstanten k machst Du die von x abhängige Funktion k(x).

y=k(x)*e^(-2x)

y'=k'(x)*e^(-2x)-2k(x)*e^(-2x)

Dies fügst Du nun in die ursprüngliche Gleichung y'+2y=2x ein:

k'(x)*e^(-2x)-2k(x)*e^(-2x)+2k(x)*e^(-2x)=2x

Die beiden letzten Summanden auf der linken Seite heben sich auf und es bleibt

k'(x)*e^(-2x)=2x

Multiplikation mit e^(2x) auf beiden Seiten ergibt

k'(x)=2x*e^(2x)

Integration auf beiden Seiten (partielle Integration) führt zu
k(x)==x*e^(2x)-0,5e^(2x)=e^(2x)*(x-0,5)

Da y=k(x)*e^(-2x), gilt:

y=e^(-2x)*e^(2x)*(x-0,5)=x-0,5

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

im Grunde richtig.

Besser als benachrichtigt worden ist und in korrektem Deutsch lautet der Satz:

Als dem König das berichtet wurde, schichte er zunächst wutentbrannt Unterhändler nach Rom, um die Geisel Cloelia zurückzufordern; die anderen schätze er als nicht bedeutend ein.

Indirekte Rede und Gen. pretii hast Du richtig erkannt.

Oft erscheint ein Satz, der in direkter Rede ein Behauptungssatz wäre (die anderen schätzt er als nicht bedeutend ein), in der indirekten Rede als AcI, der von keinem übergeordneten Verb abhängig ist. Statt wie beim AcI in direkter Rede:

Er sagte (übergeordnetes Verb), daß er die anderen als nicht bedeutend einschätze,

fehlt das übergeordnete Verb in der indirekten Rede und der AcI scheint in der Luft zu hängen. Er ist im Deutschen besser nicht mit ...daß,... zu übersetzen, sondern mit einem Konjuktiv: Er halte die anderen für nicht bedeutend.

Natürlich kommen daneben auch Sätze im Konjunktiv in der indirekten Rede vor. Es muß nicht unbedingt ein unabhängiger AcI sein.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

die übrigen werden zu ihrer Zeit der Reihe nach kommen, so wie eines jeden Los fällt, daß das Schicksal dich ihm ausliefert.

Will sagen, daß auf Mucius noch viele andere Attentäter folgen, die Porsenna ans Leben wollen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

...dem es unangemessen erschien, daß das römische Volk, das, als es noch unter der Herrschaft von Königen gedient hatte, weder durch einen Krieg noch durch irgendwelche Feinde bedrängt worden war...

Es its ein AcI mit populum Romanum als A und (abiisdem Etruscis) obideri als I.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

die ersten n Kubikzahlen sind 1; 8; 27;...;n³.

Summierst Du sie, bekommst Du die Summe 1³+2³+3³+...+n³.

Wäre n=6, würdest Du die ersten 6 Kubikzahlen addieren; wäre n=1000, würdest Du die ersten 1000 Kubikzahlen addieren.

Nun kannst Du 1³+2³+3³+....+n³ auch anders schreiben, indem Du das Summenzeichen Σ benutzt.

Statt 1;2;3 usw. nimmst Du einfach den Buchstaben k (oder einen anderen Buchstaben) und schreibst etwa für die Summe der ersten n Kubikzahlen anstatt
1³+2³+3³+...+n³ einfach Σ k³.

Unten an das Summenzeichen schreibst Du zum Beispiel k=1, was bedeutet, daß der erste Summand 1³, also 1 ist.

Oben schreibst Du dann den letzten Summanden hin, der soll n³ sein, also schreibst Du oben ein n hin.

Da es sich bei dem n um eine schon vorher festgelegte Grenze handelt, bis zu der aufsummiert wird, bei k aber um eine Größe, die von der unteren Grenze bis n alle natürlichen Zahlen durchläuft, muß man diese beiden Buchstaben natürlich unterscheiden.

Du kannst n nicht zum einen für die Obergrenze einsetzen und dasselbe n gleichzeitig von 1 (oder einer anderen natürlichen Zahl) bis n durchlaufen lassen, das gäbe Chaos.

Das k taucht hier also auf, weil es ein Bestandteil der besonderen Summenschreibweise ist. Natürlich funktioniert die Summenschreibweise nur, wenn die Summanden einem bestimmten Muster folgen. So etwas wie

2+27+3+900+8+235478 kannst Du nicht durch einen Ausdruck mit Σ ersetzen.

Das Summenzeichen ist im Grunde eine Rechenanweisung, die besagt:

Setze in den Term, der hinter dem Summenzeichen steht, für jedes darin auftauchende k der Reihe nach alle natürlichen (oder ganzen) Zahlen von der kleinsten angefangen, die unten am Summenzeichen angegeben ist, bis zur größten, die oben angegeben ist, ein und addiere die einzelnen Terme.

Σ 2k von k=3 bis k=8 wäre etwa die Summe
2*3+2*4+2*5+2*6+2*7+2*8 oder nach Ausklammern der 2:

2*(3+4+5+6+7+8)=66.

Zu manchen dieser Reihen kann man eine sogenannte Summenformel finden, die einem das ewige Addieren erspart und mit der man direkt die Summe vom kleinsten bis zum größten Term berechnen kann.

Die bekannteste Summenformel ist der sogenannte 'kleine Gauß':

1+2+3+...+n=n*(n+1)/2.

n ist dabei die höchste Zahl der Summe.

So kannst Du die Summe der ersten 10 natürlichen Zahlen, also

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 entweder nacheinander ausrechnen, also

1+2=3+3=6+4=10 usw, bis Du bei 10 angekommen ist, oder Du setzt n=10 direkt in die Summenformel ein: 10*(10+1)/2=55.

Carl Friedrich Gauß soll der Legende nach diese Formel als Grundschüler entwickelt haben, als ihm die Aufgabe gegeben wurde, die ersten 100 Zahlen zu addieren.

Er hatte nach kurzer Zeit das Ergebenis: 100*(100+1)/2=5050.

Genau das kommt heraus, wenn Du 1+2+3+...+98+99+100 addierst.

Gauß' Trick dabei:

Er hatte die ganze Summe noch einmal in umgekehrter Reihenfolge unter die Originalsumme geschrieben, unter 1+2 usw. also 100+99...

So kam er auf 100 Paare, die jeweils 101 ergaben, denn die 100 stand unter der 1, die 99 unter der 2, die 98 unter der 3 usw.

100*101=10100. Da das aber die doppelte Summe ist, muß das Ganze noch durch 2 geteilt werden; so kommt man auf 5050.

Die Summenformel für die Kubikzahlen von 1 bis n ist lustigerweise der 'kleine Gauß' zum Quadrat, also n²*(n+1)²/4.

So ist die Summe der ersten 4 Kubikzahlen Σk³ (k=1 bis 4) 1+8+27+64=100

oder mit Hilfe der Summenformel mit n=4: 16*5²/4=100.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

da die Grundfläche in der xy-Ebene liegt, funktioniert das hier sogar.

Nach dem Prinzip von Cavalieri ist es hierbei egal, wo sich die Spitze genau befindet, solange die Höhe gleich bleibt.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

die Summenformel einer geometrischen Reihe lautet a1*(q^n-1)/(q-1).

a1, das erste Glied der Reihe, ist hier 1/2, q ist auch 1/2.

Also (1/2)*[(1/2)^n-1]/(1/2-1).

Für n gegen unendlich geht (1/2)^n gegen 0 und es bleibt also Grenzwert

(1/2)*(-1)/(-1/2)=(1/2)*2=1.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

die gibt's nicht.

Entweder wendest Du Dich an ein Übersetzungsbüro gegen entsprechende Bezahlung oder Du lernst die Sprache, die Dich interessiert, selbst. Du kannst Dich auch mit jemandem anfreunden, der beide Sprachen beherrscht.

Ansonsten reise in die Zukunft und besorge Dir einen Babelfisch, den gibt's so ziemlich überall.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

die einfachste Ebene, die einen Abstand von 5 zum Punkt (-10|-20|15) hat, wäre eine Parallele zur xy-Ebene, die durch z=10 geht.

Koordinatengleichung z=10 mit dem Normalenvektor (0/0/1).

Eine Ebene mit dem Normalenvektor (1/0/1) wäre dazu um 45° gedreht.

Koordinatengleichung x+z=d.

Um d zu berechnen, brauchst Du nur von P aus in Richtung (-1/0/-1) gehen, bis Du einen Abstand von 5 hast. P+a*(1/0/1)=Q, so daß |PQ|=5.

Die Koordinaten von Q sind (-10-a|-20|15-a) und PQ=Q-P, also (-a/0/-a) und es muß gelten:

Wurzel (a²+0+a²)=5

Wurzel (2a²)=5

a*Wurzel (2)=5

a=5/Wurzel (2).

Q=(-10-5/Wurzel(2)|-20|15-5/Wurzel (2))

Setze diesen Punkt in die Ebenengleichung der gesuchten Ebene x+z=d ein, so bekommst Du d.

d=-10-5/Wurzel (2)+0*(-20)+15-5/Wurzel (2)=-2,071067812.

Natürlich gibt es unzählige andere Lösungen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

wahrscheinlich wieder ein AcI, der von einem Verb im vorherigen Satz abhängig ist im Kontext einer indirekten Rede:

Wenn es nicht so wäre, habe er als Vater gegen seinen Sohn vorgehen wollen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

Nummer 611 im Evangelischen Gesangbuch für Österreich. Melodie in Es-Dur mit Es Es Es B B C C B...(Melodieanfang mit Es als tiefstem Ton) im 6/4-Takt.

Rhythmus: . - . - . - . -

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

Er stößt dem, der kaum die Waffen halten kann, von oben herab das Schwert in die Kehle und plündert den am Boden Liegenden aus.

Wenn man es als Praesens historicum auffaßt, kann es auch im Deutschen durch das Imperfekt übersetzt werden.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

Deine Gewinnchance ist jedesmal 20 %, egal, wie die Spiele vorher ausgegangen sind.

Herzlich Grüße,

Willy

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Hallo,

nach percontatum ist ein esse zu ergänzen. Es handelt sich um einen AcI, der vom Satz davor abhängig ist: Andere (sagen), daß er ...zu einer Unterredung zusammengerufen habe. Daß er sich danach erkundigt habe,...

Danach kommen abhängige Fragesätze und indirekte Rede mit einem weiteren eingebetteten AcI.

Herzliche Grüße,

Willy

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Hallo,

da der Faktor 2^x niemals Null wird, kümmerst Du Dich nur um den Ausdruck in der Klammer.

Setze sie auf Null, teile alles durch ln(2), klammere x aus und benutze dann die pq-Formel mit p=(ln(2)-2)/ln(2) und q=-1/ln(2).

Die Nullstellen lauten x1=2,469577152 und x2=-0,5841870701.

Herzliche Grüße,

Willy

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