Wieso wird der arctan hier Pi?
Es geht um den Ausdruck:
Es gilt: y'>0, x->-inf & a=konst.
Wie kommt man dann auf arctan(...)=pi?
Ich komme jeweils auf arctan(0)=0...
Aufgabe 1d:
Lösung:
Wieso sollte denn Pi rauskommen? Also ja, 0 stimmt.
Danke. Die Aufgabe scheint den arctan2 zu verwenden. Wieso das aber so ist, erschließt sich mir aktuell nicht.
Strömungslehre->Potentialströmungen
3 Antworten
arctan(0) = 0
Ich nehme an, es geht um eine Aufgabe zu komplexen Zahlen.
Der arctan wird nur auf das Intervall (-pi/2 , pi/2) abgebildet. Der Winkel eines Punktes auf dem Einheitskreis kann jedoch überall auf dem Kreis liegen, also im Intervall (0, 2*pi) bzw. (-pi , pi). Wenn du nun aus der x- und y-Position eines Punktes auf dem Einheitskreis den passenden Winkel a mittels arctan(y/x) berechnen willst, dann wird dieser nur korrekt berechnet, wenn der Punkt im I. oder im IV. Quadranten liegt. (Oder anders gesagt: wenn der x-Wert positiv ist.)
Liegt der Punkt im II. oder III. Quadranten (also x = cos(a) ist negativ), dann muss ein Korrekturterm her. Dieser ist dann pi bzw. -pi, also eine Drehnung um 180° (in pos. oder neg. Richtung).
Genauer:
- befinden wir uns im II. Quadranten, dann wird pi addiert
- befinden wir uns im III. Quadranten, dann wird pi subtrahiert
Wenn du mal nach "arctan komplexe zahlen" googlest, wirst du auch schöne Tabellen finden, die noch weitere Spezialfälle abdecken.
Wenn man es sich bildlich vorstellt, kommt man eigentlich auch ohne Tabelle zurecht. Das Argument der Funktion kann ja auf zwei Arten negativ werden: Entweder x ist positiv, y ist negativ, oder andersherum. Ebenso kann es auch auf zwei Arten positiv werden. Die Funktion arctan(z) "sieht" nur, ob der ganze Ausdruck im Argument positiv oder negativ ist. Ob ein Korrekturterm notwendig ist oder nicht, hängt also davon ab, welche Konstellation hier vorliegt.
Gerne. Wie du wahrscheinlich schon gesehen hast, findet man eine solche Tabelle auch im Wikipedia-Eintrag zu "arctan2". Ob es da noch weitere mathematische Feinheiten gibt, die ich auf die Schnelle nicht erfasst habe, kann ich dir leider nicht sagen. In der Uni ist mir diese arctan2-Funktion tatsächlich noch nie in irgendeinem Skript oder einer Musterlösung begegnet, wo es um solche arctan-Geschichten ging. Vielleicht fällt das bei manchen Profs auch unter "zu trivial" oder das Motto "Werte einsetzen kann jeder, aber Wir möchten Sie hier zu analytischem Denken anregen". :D
arctan(x)=π wird keine reellen Lösungen haben, da der Betrag des Arkustangens durch π/2 beschränkt ist.
Kannst du uns ein paar Hintergründe zu deiner Aufgabe/Bearbeitung geben?
Es handelt sich um eine Aufgabe aus der Strömungslehre (Potentialströmung).
Scheinbar muss man für den arctan in solchen Aufgaben den arctan2 verwenden, dann macht es zumindest Zahlenmäßig Sinn. Warum dass so ist, verstehe ich aktuell aber nicht. Du etwa?
Wenn du uns die Aufgabe zeigen könntest, dann wären wir vielleicht besser in der Lage, dir irgendeine hilfreiche Antwort zu geben :)
Danke, dass erklärt es perfekt!