Ein EKG (Elektro-Kardiogramm) bildet die elektrische Aktivität des Herzens ab.

Um ein EKG zu schreiben benötigt man mindestens eine weitere Elektrode an einer anderen Körperstelle. Im Krankenhaus-Setting sind 3 oder 4 solcher Klebe-Elektroden an definierten Körperstellen üblich. Das Gel auf den Klebe-Elektroden dient dazu, eine möglichst gute Leitfähigkeit zwischen Hautoberfläche und der Elektrode herzustellen. Auf dem Bild sieht man ein Kabel, das fest mit einer Klemme verbunden ist. Die Klemme wird an die äußere Kontaktstelle einer Klebe-Elektrode geklemmt.

Ein solches EKG gehört zur Routine-Untersuchung bzw. Überwachung im Krankenhaus (z.B. während und nach einer OP) oder auch im Rettungswagen dazu, und gibt grundlegend Auskunft über den Herzrhythmus. Zur Untersuchung anderer Herzerkrankungen gibt es aber noch weitere Formen des EKGs.

E-Horn: 

Pressluft: 

Damit stimmt die Anhebung um 10 dB.

Das kommt auch hin, wenn wir grob überschlagen: Es sollte bekannt sein, dass eine Verdopplung der Schallintensität eine Anhebung von etwa +3 dB bewirkt. Verdoppeln wir drei Mal die Intensität sind wir schon beim 8-Fachen (2^3 = 8), also bei 3*3 = +9 dB. Würden wir die Intesität vier Mal verdoppeln, wäre das schon das 16-Fache mit +12 dB. Also muss die Lösung irgendwo dazwischen liegen.

1.1

a) Hier muss nur der Punkt A in die Funktion eingesetzt werden. Deine Lösung ist richtig, aber es wäre "schöner" gewesen, wenn du dann auch a anstatt x einsetzt.

b) Die Formel ist richtig, nur die Skizze ist falsch. Der Punkt P liegt genau oberhalb vom Punkt Q.

1.4.1

a) Du meinst wahrscheinlich das Richtige, aber "mehr über der x-Achse liegen" ist keine präzise Aussage. Was beeutet "mehr über etwas liegen"?
Deine weiteren Aussagen sind nicht korrekt und widersprechen dem, was in den ersten Zeilen gemeint sein wird. Dass f(x)>0 für x=0 bis x=2 nicht gelten kann, sieht man sofort in der Abbildung.

Wir können folgende Voraussetzungen nennen:

• a muss größer als 3 sein
• der Flächeninhalt unter f im Intervall (3 , a) muss größer sein, als der Flächeninhalt im Intervall (0 , 3)

Eine nicht-rechnerische Möglichkeit, die Aussage anhand der Abbildung zu zeigen ist Kästchenzählen: Der negative Flächeninhalt entsteht im Intervall (0 , 3) und belegt maximal 6 Kästchen. Der Flächeninhalt im Intervall (3, a=6) belegt mindestens 8 volle Kästchen. (Unter der Annahme, dass die Funktion f bis zum Punkt x=6 noch durch die gleiche quadratische Funktion definiert ist.)

b) Die Aussage "wenn f(x)<0, dann ist F monoton fallend" ist richtig. Anschaulich begründen lässt sich das damit, dass der Teil des Graphen, der unter der x-Achse liegt, einen negativen Flächeninhalt erzeugt. Wie du dann allerdings auf das Intervall 3<x<6 kommst ist mir nicht klar. Das größte Intervall, in dem F monoton fallend ist, ist -1 < x < 3 (eben dort, wo f(x) negativ ist).

1.. Term (Euler-Identität)



2.. Term (geometrische Reihe)



3.. Term (Regel von l'Hospital)

 

Summe = 1024 - (49 + 84) = 891

Habe auch alle 4 in einer Sitzung mit örtlicher Betäubung entfernen lassen und das ist meine Erfahrung kurz zusammengefasst:

Druck im Kiefer: Ja
komische Geräusche: Ja
unwillkürliches Sabbern: Ja
Schmerzen: Nein

Wenn du trotzdem Schmerzen hast (z.B. wenn die Stelle entzündet ist), dann solltest du das auch sagen oder man wird es sowieso an deinem Gesicht ablesen können.

Also die Lösung von ChatGPT ist ja offensichtlich falsch. Es lässt sich sofort ablesen, dass das Dreieck im 1. Quadranten einen Flächeninhalt von 50 hat. Das gesamte Grundstück muss also mindestens so groß sein. Anhand der Abbildung lässt sich abschätzen, dass es ganz grob etwa 3-4 mal so groß wie das Dreieck ist.

Ziel der Aufgabe ist, die Flächen unter bzw. über den Kurven zu bestimmen und diese korrekt miteinander zu verrechnen. Negative Flächen ergeben physikalisch keinen Sinn, daher müssen an gewissen Stellen der Gleichung die Beträge des Ergebnisses genommen werden.

Die Lösung besteht aus vier Schritten:

• Funktion f von -10 bis 10 integrieren
• Funktion g von -10 bis 0 integrieren und das Ergebnis mit -1 multiplizieren
• Funktion g von 0 bis 10 integrieren und den Betrag nehmen
• Summe der Teilergebnisse bilden

Um auf der linken Seite der y-Achse die Fläche zu erhalten, zieht man die Fläche unter g von der Fläche unter f ab. Das ist genau das gleiche, wie eine negative Fläche (siehe oben: Multiplikation mit -1) zu addieren.



Anmerkung:
Die Werte in der Aufgabe sind so gewählt, dass bei der oben stehenden Berechnungsformel und deiner Formel



das gleiche Ergebnis herauskommt (Du hast dich dabei nur irgendwo verrechnet.)
Das liegt daran, dass die Funktion g eine ungerade Funktion ist. Integriert man eine ungerade Funktion in einem beliebig breiten Intervall [-a, a] um den Ursprung, so kommt immer null heraus. In der obigen Berechnungsformel habe ich die Vorzeichen beider Summanden nur 'umständlich' umgedreht (per *(-1) und Betrag), trotzdem bleibt die Summe null.
Im Allgemeinen ist die einfache Subtraktion beider Funktionen voneinander aber gefährlich, sobald eine der Funktionen die x-Achse schneidet. Daher ist in vielen Aufgaben der "Umstand" mit den negativen Flächen und den Flächenbeträgen notwendig.

Es geht auch mittels PQ-Formel.

Durch Multiplikation mit -0.5 wird die Gleichung in die passende Form gebracht, um die PQ-Formel anwenden zu können:



Die PQ-Formel besteht aus zwei Summanden. Davon ist der erste Summand der Scheitelpunkt und der zweite Summand der Versatz.



x_1,2 = Scheitelpunkt +/- Versatz

Wir betrachten also nur den ersten Summanden und bekommen so den Scheitelpunkt x_s:



Am einfachsten lassen sich die Funktionen aus der Aufgabe mithilfe von Linearfaktoren konstruieren.

Für die linearen Funktionen nehmen wir die allgemeine Gleichung für eine Gerade durch den Ursprung her:



wobei m die Steigung der Geraden ist.

Nun verschieben wir diese Gerade auf der x-Achse, indem wir das x durch den Ausdruck (x-a) ersetzen. Dabei ist a die gewünschte Nullstelle, hier a=6, also schreiben wir



ausmultipliziert ergibt das wiederum eine Gleichung der Form f(x) = mx+b:



Bei den quadratischen Funktionen können wir ganz ähnlich vorgehen:

Hier haben wir maximal 2 mögliche Nullstellen: a, b



Wenn es sich um eine doppelte Nullstelle handelt, also a=b, dann kann man vereinfacht auch schreiben:



Dabei ist k die Stauchung/Streckung der Parabel durch den Ursprung. Bei positivem k ist die Parabel nach oben geöffnet, bei negativem k nach unten. In Aufgabe b) ist k=-3. Und wir verschieben die Parabel vom Ursprung zur Nullstelle x=2, d.h. a=2.

Ausmultiplizieren ergibt die gewünschte Funktionsgleichung in polynomialer Darstellung.



Bei Aufgabe c) setzen wir nun in die obige Gleichung (f(x) = k*(x-a)*(x-b)) für a die erste Nullstelle und für b die zweite Nullstelle ein und multiplizieren hier auch wieder aus.

Niemand "benötigt" Alkohol in seinem Körper, außer vielleicht schwerst Alkoholabhängige, damit sie sich nicht zu Tode krampfen.

Aber ich ahne, auf was du hinaus willst...

Alkohol kann Spaß machen, aber andere Drogen können vielleicht noch ein bisschen mehr Spaß machen. Rauschbedürfnisse sind individuell und manche Menschen finden in anderen Drogen genau das, was sie beim bisherigen Alkoholrausch immer vergeblich gesucht haben. Damit steigt die Lust auf Alternativen und die Lust auf einen ausgedehnten Alkoholrausch inkl. Kater sinkt rapide.

Selbst wenn die Lust auf ein Spaßgetränk immer noch da ist, sollte man das bei vielen Substanzen mit äußerster Vorsicht genießen.

Stelle dir vor, du hast drei identische Quader (BxHxT: 3x3x6). Diese klebst du an der langen Seite so aneinander, dass sie diese L-Form wie in der Abbildung ergeben.

Die Oberfläche eines Quaders lässt sich leicht berechnen. Von der Gesamtoberfläche dreier Quader müssen anschließend nur noch die Flächen subtrahiert werden, die du aufeinander geklebt hast. Das sind zwei Klebeverbindungen mit jeweils zwei Klebeflächen der Größe 3x6 cm.

Alternativ kannst du auch die Oberfläche des vervollständigten Würfels mit Seitenlänge 6 cm ausrechnen, und dann die kleinen Flächen des ausgesparten Quaders subtrahieren.

Das ist keine Glaubensfrage.

Die Aufgabe lässt sich zwei Teilaufgaben aufgliedern:

1. Funktionsgleichung aus den gegebenen Punkten bestimmen
2. Punkte a) bis d) testen

Wir bestimmen also zunächst die Funktionsgleichung...

Du weißt sicherlich, dass man eine quadratische Funktion (hier: Normalparabel) auch in Scheitelpunktform darstellen kann:



Der Koeffizient a ist bei der Normalparabel a=1, daher betrachten wir im Folgenden die vereinfachte Form:



Mit der Variablen b lässt sich der Graph der Normalparabel auf der x-Achse, also nach links und rechts verschieben. Ist b=0, dann liegt der Scheitel der Normalparabel genau auf der y-Achse. Mit der Variablen c lässt sich der Graph auf der y-Achse, also nach oben und unten verschieben.

Wähle b so, dass der Scheitel durch den Punkt P geht.

Nun benötigen wir noch den Koeffizienten c, sodass die zweite Bedingung erfüllt ist ("Punkt Q(7|18) liegt auf dem Graphen von f"). Dieser lässt sich bestimmen, indem man die x-Koordinate von Q in die Funktionsgleichung einsetzt und diese dann mit der y-Koordinate von Q gleichsetzt:





Durch umstellen der Gleichung erhältst du damit einen eindeutigen Wert für c.

Im zweiten Schritt setzt du nun die Punkte aus a) bis d) jeweils in deine gefundene Funktionsgleichung ein und schaust, ob die Gleichung erfüllt ist. Sollte nach dem Einsetzen und Ausmultiplizieren so etwas stehen wie bspw. 1=2, dann ist die Gleichung nicht erfüllt, und der Punkt liegt damit nicht auf dem Graphen.

Ja, das waren noch Zeiten. So um die 5 Zoll sind perfekt. Das iPhone 12 Mini mit 5,4" hat auch noch ne gute Größe. Es nervt, dass es quasi gar keine kleinen Smartphones gibt.

Der Graph soll nicht wie vielleicht sonst üblich um die x-Achse rotieren, sondern um die Gerade y=1. Es ist jedoch wesentlich einfacher, Rotationskörper um die x-Achse zu berechnen, als um eine verschobene Achse. Daher verschieben wir den Graphen der Funktion so, dass er rotationssymmetrisch bezüglich der x-Achse wird. Wir berechnen im Folgenden also den Rotationskörper des Graphen der Funktion

f(x) = 2e^(0.1x) - 1

Die Herleitung der Rotationskörper wurde sicherlich in der Schule besprochen, daher nur kurz angerissen, wie das funktioniert: Wir teilen den Rotationskörper in kleine Kreisscheiben, von denen wir einzeln die Volumina ausrechnen können. Die Funktion f bestimmt den Radius der jeweilen Kreisscheibe, ein x-Achsenabschnitt ∆x die Höhe der Kreisscheibe. Eine einzelne Kreisscheibe hat daher das Volumen (=Kreisfläche*Höhe):



Für eine gute Näherung muss man nur die x-Achsenabschnitte klein genug wählen und die einzelnen Kreisscheiben aufsummieren.
Für ein genaues Ergebnis wird die Summe in ein Integral überführt:



Funktion einsetzen, Integrationsgrenzen einsetzen und ausrechnen:





Das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale der einzelnen Summanden.



Um den Wendepunkt zu bestimmen, muss man die Funktionsschar zwei mal ableiten. Dabei fällt die Abhängigkeit von a bereits weg, d.h. der Wendepunkt muss immer an der selben Stelle sein.

Ein Kollege von mir ist letztens 30 geworden. Hab es seitdem nichtmehr von ihm gehört...

Ich habe mir das immer so aufgeschrieben, dass die erste Komponente jeweils noch einmal unter der letzten Komponente des Vektors steht. Dann geht es Schritt für Schritt über Kreuz.

Zuerst sollte man die Skizze vervollständigen und sich alle relevanten Winkel klarmachen. (Die Abbildung im Buch ist perspektivisch irgendwie schlecht dargestellt. Verwirrend finde ich auch, dass die Horizontale für den Tiefenwinkel genau am Ufer endet.)

Ein möglicher Lösungsweg ist hier, zwei Gleichungen für die Höhe des Gebäudes aufzustellen und diese anschließend gleichzusetzen. Für die Gleichung nutzen wir folgende Beziehung (sollte aus der Schule bekannt sein):



Nun werden die Gleichungen aufgestellt:

grünes Dreieck:



rotes Dreieck:



Dabei ist h jeweils die Gegenkathete. Die Ankathete (43m bzw. 43m+s) wurden auf beiden Seiten der Gleichung dranmultipliziert. Gleichsetzen und alle von s abhängigen Terme auf einer Seite isoliert ergibt:



Nun muss die Gleichung nur noch durch tan(beta) dividiert werden und man erhält die Länge s.



Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnet.

Wenn sie gut Blockflöte spielen kann, dann wird ihr ein bisschen Vorhaut nichts ausmachen.