Sachaufgabe Integral?

Hallo,

ich verstehe die 17b) nicht. Also ich habe die Rechnung aber ChatGPT sagt dass dort 25 rauskommen muss aber ich bekomme 500 raus? Kann mir jemand vielleicht helfen?

Answer 1

[SeifenkistenBOB]

Also die Lösung von ChatGPT ist ja offensichtlich falsch. Es lässt sich sofort ablesen, dass das Dreieck im 1. Quadranten einen Flächeninhalt von 50 hat. Das gesamte Grundstück muss also mindestens so groß sein. Anhand der Abbildung lässt sich abschätzen, dass es ganz grob etwa 3-4 mal so groß wie das Dreieck ist.

Ziel der Aufgabe ist, die Flächen unter bzw. über den Kurven zu bestimmen und diese korrekt miteinander zu verrechnen. Negative Flächen ergeben physikalisch keinen Sinn, daher müssen an gewissen Stellen der Gleichung die Beträge des Ergebnisses genommen werden.

Die Lösung besteht aus vier Schritten:

• Funktion f von -10 bis 10 integrieren
• Funktion g von -10 bis 0 integrieren und das Ergebnis mit -1 multiplizieren
• Funktion g von 0 bis 10 integrieren und den Betrag nehmen
• Summe der Teilergebnisse bilden

Um auf der linken Seite der y-Achse die Fläche zu erhalten, zieht man die Fläche unter g von der Fläche unter f ab. Das ist genau das gleiche, wie eine negative Fläche (siehe oben: Multiplikation mit -1) zu addieren.

$Fläche\ =\ \int_{-10}^{10}f\left(x\right)\ dx-\int_{-10}^0g\left(x\right)\ dx+\mid\int_0^{10}g\left(x\right)\ dx\mid$

Anmerkung:
Die Werte in der Aufgabe sind so gewählt, dass bei der oben stehenden Berechnungsformel und deiner Formel

$Fläche=\int_{-10}^{10}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\ dx$

das gleiche Ergebnis herauskommt (Du hast dich dabei nur irgendwo verrechnet.)
Das liegt daran, dass die Funktion g eine ungerade Funktion ist. Integriert man eine ungerade Funktion in einem beliebig breiten Intervall [-a, a] um den Ursprung, so kommt immer null heraus. In der obigen Berechnungsformel habe ich die Vorzeichen beider Summanden nur 'umständlich' umgedreht (per *(-1) und Betrag), trotzdem bleibt die Summe null.
Im Allgemeinen ist die einfache Subtraktion beider Funktionen voneinander aber gefährlich, sobald eine der Funktionen die x-Achse schneidet. Daher ist in vielen Aufgaben der "Umstand" mit den negativen Flächen und den Flächenbeträgen notwendig.

Comments

[345Rainl34]

Okay Vielen Dank!

[SeifenkistenBOB]

@345Rainl34

Gerne. Das richtige Ergebnis ist übrigens 200 Flächeneinheiten.
Da, wie gesagt, die Gesamtfläche unter/über g gleich 0 ist, ist das Ergebnis nur die Fläche unter f.

Answer 2

[gauss58]

Die Funktionsgleichung der Geraden lautet: f(x) = -x + 10