Ich soll A & B berechnen, dass F stetig und differenzierbar ist? Verstehe es nicht kann jemand mir helfen?

Answer 1

[GreenxPiece]

Stetig heißt nahtlos gezeichneter graph also ohne Sprung oder Lücke.

Differenzierbar heißt dazu noch ohne Knick.

Vereinfacht gesagt ist f

-stetig, wenn beide Terme der gleichung an der Stelle x=3 denselben funktionswert haben.

-differenzierbar, wenn die jeweiligen Ableitungen der Terme an der Stelle x=3 denselben funktionswert haben.

Damit kannst du ein (triviales) gleichungssystem aufstellen.

Answer 2

[mihisu]

Hast du dir denn schon die Antworten auf deine anderen Fragen angesehen, bei denen es um das gleiche Thema geht? Beispielsweise...

https://www.gutefrage.net/frage/kann-jemand-bitte-die-stetigkeit-und-differnzierbarkeit-berechnen-als-beispiel-fuer-mich#answer-571498118

Wenn du die nämlich verstanden hast, sollte das hier auch kein größeres Problem sein.

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Für x < 3 und x > 3 hat man wieder keine Probleme. Da ist die Funktion offensichtlich stetig und differenzierbar. [Deine Aufgabe: Begründe kurz, warum.]

Interessant ist also vor allem die Stelle x = 3.

Damit die Funktion dort stetig ist, müssen der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert existieren und mit dem Funktionswert übereinstimmen.

$\lim\limits_{x\nearrow 3}f(x)=\lim\limits_{x\searrow 3}f(x)=f(3)$

Damit die Funktion dort differenzierbar ist, müssen der linksseitige und der rechtsseitige Differentialquotient existieren und miteinander übereinstimmen.

$\lim\limits_{h\nearrow 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim\limits_{h\searrow 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$

Die beiden Bedingungen (eine Bedingung für die Stetigkeit, eine Bedingung für die Differenzierbarkeit) liefern dir dann jeweils eine Gleichung. Du hast dann ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten a und b, welches du lösen können solltest.

Ergänzung: Bzw. reicht es genau genommen sogar, wenn du nur die Differenzierbarkeit betrachtest, da aus Differenzierbarkeit insbesondere auch Stetigkeit folgt.

====== Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

An den Stellen x mit x < 3 bzw. mit x > 3 ist die Funktion offensichtlich stetig und differenzierbar. Interessant ist also vor allem die Stelle x = 3.

Da außerdem aus Differenzierbarkeit insbesondere auch Stetigkeit folgt, braucht man nur die Differenzierbarkeitsbedingung zu betrachten.

$\lim\limits_{h\searrow 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim\limits_{h\nearrow 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$

$\Leftrightarrow\quad \lim\limits_{h\searrow 0}\frac{a\cdot \left(3+h\right)^4+b-\left(2\cdot 3^3-8\right)}{h}=\lim\limits_{h\nearrow 0}\frac{2\cdot \left(3+h\right)^3-8-\left(2\cdot 3^3-8\right)}{h}$

$\Leftrightarrow\quad \lim\limits_{h\searrow 0}\frac{a\cdot \left(3^4+4\cdot 3^3\cdot h+6\cdot 3^2\cdot h^2+4\cdot 3\cdot h^3+h^4\right)+b-46}{h}=\lim\limits_{h\nearrow 0}\frac{2\cdot \left(3^3+3\cdot 3^2\cdot h+3\cdot 3\cdot h^2+h^3\right)-8-46}{h}$

$\Leftrightarrow\quad \lim\limits_{h\searrow 0}\frac{81 a +108 a h+54 a h^2+12 a h^3+ a h^4+b-46}{h}=\lim\limits_{h\nearrow 0}\frac{54+54 h+18 h^2+2 h^3-54}{h}$

$\Leftrightarrow\quad \lim\limits_{h\searrow 0}\left(\frac{108 a h+54 a h^2+12 a h^3+ a h^4}{h}+\frac{81 a+b-46}{h}\right)=\lim\limits_{h\nearrow 0}\frac{54 h+18 h^2+2 h^3}{h}$

$\Leftrightarrow\quad \lim\limits_{h\searrow 0}\left(\underbrace{108 a+54 a h+12 a h^2+ a h^3}_{\to 108 a}+\frac{81 a+b-46}{h}\right)=\lim\limits_{h\nearrow 0}\left(\underbrace{54+18 h+2 h^2}_{\to 54}\right)$

Damit der rechtsseitige Grenzwert (auf der linken Seite der vorigen Gleichung) überhaupt existiert (anstatt + unendlich oder - unendlich zu werden), muss 81a + b - 46 = 0 sein. [Bemerkung: Die Gleichung 81a + b - 46 = 0 würde man auch aufgrund der Stetigkeitsbedingung erhalten.]

Dann erhält man weiter...

$\begin{cases}81a+b-46=0\\108 a = 54\end{cases}$

$\Leftrightarrow\quad \begin{cases}81a+b-46=0\\a = \frac{1}{2}\end{cases}$

$\Leftrightarrow\quad \begin{cases}81\cdot \frac{1}{2}+b-46=0\\a = \frac{1}{2}\end{cases}$

$\Leftrightarrow\quad \begin{cases}b=\frac{11}{2}\\a = \frac{1}{2}\end{cases}$

Comments

[Leasforlive]

Wie bekomme ich b raus ?

[mihisu]

@Leasforlive

Ich habe dir doch einen kompletten Lösungsvorschlag mit komplettem Rechenweg genannt, um die Werte für a und b zu berechnen.

Welche Schritte verstehst du nicht? (Ich kann im Moment einfach nicht nachvollziehen, was genau du da von mir wissen möchtest, wo da noch Unklarheiten sind. Daher die Bitte, mir zu erklären, wo genau du da Schwierigkeiten hast.)

Nochmal zur kurzen Übersicht: Ich habe zunächst aus der Differenzierbarkeitsbedingung ein Gleichungsystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten a und b erhalten. Dann habe ich dieses gelöst, um die gesuchten Werte a und b zu erhalten.

Answer 3

[LoverOfPi]

Die stückweise definierte Funktion besteht selber aus zwei stetigen, differenzierbaren Funktionen auf ganz R. Um zu erreichen, dass du sie bei x0=3 differenzierbar aneinander "kleben" kannst, musst du a und b so wählen, dass sowohl die Funktionswerte, als auch die Ableitungen bei 3 übereinstimmen. Alle anderen x-Werte sind egal, da du um diese immer schon einen kleinen Ball findest, indem F mit einer der beiden Funktionen übereinstimmt, und dort stetig & differenzierbar ist.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im vierten Semester.

Answer 4

[gliko]

Du sollst a und b so berechnen, dass f bei x=3 kein Sprung macht.

Comments

[Leasforlive]

Ja steht ja in der Aufgabenstellung

[Tannibi]

@Leasforlive

In der Aufgabenstellung steht, dass die Funktion bei x = 3
differenzierbar sein soll (das schließt stetig ein).
Das heißt, dass Funktioniswert und
1. Ableitung gleich sein müssen.

[LoverOfPi]

Das stimmt nicht ganz.