Integralfunktion und untere Grenze neuer Aufgabentyp?

Also ich verstehe bei der Aufgabe 8b den Ansatz nicht so ganz.... Ich hab 2 Fragen:

1. Wieso kann man bei Iklein-3(0) aus der 0 einf eine -1 machen? Mein Lehrer meinte es hat irgendetwas mit dem Verlauf zutun, aber ehrlich gesagt hab ich das nicht verstanden.
2. Außerdem wollt ich fragen wie man genau auf dass hier kommt:

Was genau ist der Ansatz hier nochmal. Es hat irgendetwas mit der oberen und unteren Grenze auf sich aber ich find das alles so unübersichtlich und sehe daher den Zsmhang nicht, weshalb ich nach Hilfe fragen wollte. Ich hoffe mir kann geholfen werden🙈

Das hier sind die Lösungen...

Answer 1

[Slevi89]

Mal sehen ob ich deine Fragen richtig verstanden habe.

Wieso kann man bei Iklein-3(0) aus der 0 einf eine -1 machen?

Das macht man ja nicht einfach so, ohne das sich weitere Dinge ändern.

Du teilst das Integral in 2 Bereiche auf, die du leicht berechnen/ablesen kannst.

Da die Untergrenze hier bei a = -1 liegt, ist diese Stelle dein Stützpunkt, von dem du die Integralregeln anwenden musst.

So besagt eine Regel, dass Flächen unterhalb der x-Achse, oder LINKS von der unteren Grenze negativ zählen.

Du teilst also nun genau bis zu deiner Untergrenze auf:

$\int_{_{-3}}^{^0}\ f\left(x\right)dx\ =\ \int_{_{-3}}^{^{-1}}f\left(x\right)dx\ +\ \int_{_{-1}}^{^0}f\left(x\right)$

Hier sollte die auffallen, dass der zweite Ausdruck (also das Integral von -3 bis -1)
als Untergrenze -3 hat, was "links" von deiner eigentlichen Untergrenze ist und somit negativ zählt.

Das kannst du also entweder direkt ablesen, oder du wendest diese Regel formal am Integral an, was heißt, Grenzen vertauschen und negativ zählen:

$\int_{_{-3}}^{^{-1}}f\left(x\right)\ =\ -\ \int_{_{-1}}^{^{-3}}f\left(x\right)=\ -\ \left(2\right)\ =\ -2$

Der letzte Ausdruck passt schon von den Grenzen (Integral von -1 (Untergrenze) bis 0)), von daher brauchst du den Wert dort nur ablesen und dann beides addieren:

-2 + (-2,5) = -4,5