Zeige Stetigkeit und Differenzierbarkeit?
Sei f : IR → IR gegeben durch f(x) := x*sqrt(|x|). ("x mal die Wurzel aus x Betrag")
Zeigen Sie, dass f stetig und differenzierbar auf ganz IR ist.
2 Antworten
Für x > 0 ist f(x) = x*sqrt(x) und für x < 0 ist f(x) = x*sqrt(-x) nach der Definition des Betrages. Nach der Produktregel ist die Funktion in diesen Bereichen differenzierbar. Falls noch nicht bewiesen, müsste hier auch nochmal der Differentialquotient verwendet werden, ansonsten bleibt nur noch die Differenzierbarkeit in 0 mit dem Differentialquotienten zu zeigen.
Zum Schluss ist noch zu zeigen, dass der Grenzwert der Ableitungsfunktionen außerhalb 0 für x gegen 0 der Ableitung in 0 entspricht. Außerhalb sind die Ableitungsfunktionen stetig, da sie wiederum aus stetigen Funktionen zusammengesetz sind.
Stetig --> steigt/sinkt die Funktion kontinuierlich oder gibt es Extrempunkte/Wendestellen?
Eine Funktion ist dann differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle differenzierbar ist.
Versuche die Funktion abzuleiten, dann weißt du es