Differenzierbarkeit beweisen?
Problem/Ansatz: "In welchen Punkten ist die Folgende Funktion differenzierbar" lautet meine Aufgabe... Ich verstehe einfach nicht, wie man das zeigen soll, obwohl ich genau weiß, was der Differenzialquotient ist etc... Wie soll ich an die Aufgabe rangehen? Ich brauche ein paar Ansätze...
Vielen Dank im Vorraus ;)
2 Antworten
für x≠0 ist die Funktion auf jeden Fall differenzierbar, da die Funktion dort in einer offenen Umgebung mit sin(x) bzw sinh(x) übereinstimmen.
Du musst jetzt also nur noch x=0 prüfen.
Dafür musst du prüfen, ob der linksseitige und rechtsseitige Differenzialquotienten existieren und übereinstimmen. Zum einen ist sinh(0)=sin(0), somit ist die Funktion zumindest stetig.
Der linksseitige Differenzialquotient von f entspricht dem Linksseitigen Differenzialquotienten von sin(x). Somit existiert er und entspricht der ersten Ableitung von sin(x) an x=0. Also 1. Analog ist der rechtsseitige Differenzialquotient gleich der ersten Ableitung von sinh(x) an x=0, also auch 1.
Somit stimmen sie überein, weswegen die Funktion auch an 0 differenzierbar ist.
f ist also überall differenzierbar.
sin und sinh sind natürlich überall differenzierbar, du musst dir also nur x = 0 angucken. Stimmen die Ableitungen überein?
Natürlich muss die Funktion in dem Punkt stetig sein.
Du musst die Ableitung vom Sinus und vom Sinh bilden und dir ansehen wie die sich gegen 0 verhalten. Da haben beide Funktionen nämlich die Steigung 1.
Muss ich dann den Differenzenquotienten für x=0 angucken?