Wahrscheinlichkeiten und Beweise?
Hey,
die Aufgabe lautet: Zeige, dass Pr(A ∪ B | C) = Pr(A | C) + Pr(B | C) - Pr(A ∩ B | C)
Mein Ansatz:
Ich bin mir nicht sicher, ob es richtig ist.
2 Antworten
Der Ansatz ist erschein mir gut, obwohl du natürlich noch bedenken musst, dass
(A u B) n C = (A n C) u (B n C)
und daher
P((A u B) n C) = P((A n C) u (B n C))
= P(A n C) + P(B n C) - P(A n C n B n C)
= P(A n C) + P(B n C) - P(A n B n C).
Wenn du das noch ordentlich aufschreibst wie ein Beweis, dann passt das.
Diese Aussage ist die sogenannte "Erweiterte Formel von Bayes" und ist eine Erweiterung der Grundformel von Bayes. Sie besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A oder B gegeben ein Ereignis C gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B gegeben C minus der Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Ereignisses A und B gegeben C ist.
Mathematisch ausgedrückt lautet die Formel:
Pr(A ∪ B | C) = Pr(A | C) + Pr(B | C) - Pr(A ∩ B | C)
Dies kann auf verschiedene Weise bewiesen werden, eine Möglichkeit ist die Verwendung der Formel von Totalprobabilität.
