Injektiv, surjektiv und bijektiv?
Hey Leute,
Ich könnte diese Aufgabe nicht lösen, aber ich kann nur meinen Ansatz schreiben
Es gibt nichtleere Mengen A, B,C, sowie Abbildungen f: A-> B und g: B ->C, so dass g o f injektiv ist, aber g nicht injektiv.
Ansatz:
A={a}, B={b}, C={c}
f(a)=b
g(b)=c
(f○g)(a)=c ==> a=c, aber g(b)=c
1 Antwort
Dein Ansatz ist leider falsch.
(f○g)(a)=c ==> a=c
Nein, warum sollte das folgen? Das stimmt nicht.
Erst einmal existiert f ∘ g hier gar nicht, sodass dann natürlich auch (f ∘ g)(a) nicht existiert. Und selbst wenn, würde aus (f ∘ g)(a) = c noch lange nicht a = c folgen.
aber g(b)=c
Inwiefern ein „aber“? Soll das deiner Ansicht nach ein Widerspruch zu dem davor sein? Nein. Warum?
A={a}, B={b}, C={c}
f(a)=b
g(b)=c
Die so definierten Funktionen f und g sind offensichtlich beide umkehrbar/bijektiv [mit f⁻¹(b) = a und g⁻¹(c) = b], also insbesondere injektiv. Da g also injektiv ist, ist das sicher kein Beispiel bei dem „aber g nicht injektiv“ ist.
====== Mögliches richtiges Beispiel ======
Dann ist...
Die Funktion g ∘ f ist offensichtlich injektiv, da die Definitionsmenge nur ein Element enthält. [Wenn (g ∘ f)(a) = (g ∘ f)(b) ist, ist sicherlich a = b, da wegen der einelementigen Definitionsmenge A = {1} nur a = 1 und b = 1 und damit a = 1 = b in Frage kommt.]
Die Funktion g ist offensichtlich nicht injektiv, da g(2) = g(3) [wegen g(2) = 4 = g(3)] ist, obwohl 2 ≠ 3 ist.
====== Ergänzung zu Kommentar ======
Die Idee hinter dem Beispiel ist übrigens, dass f hier nicht surjektiv ist, also nicht die gesamte Menge B als Bildmenge hat. Dann sorgt man dafür, dass g zwar eingeschränkt auf der Bildmenge von f injektiv ist, aber insgesamt auf B nicht injektiv ist; indem g die von f nicht getroffenen Werte auf Werte abbildet, die g auch anderweitig schon trifft.
1: A --> B --> C
2: A --> B --> C
3: A --> B / C
Ich hab das so verstanden. Haben Sie das so gemeint?!
Nein. So habe ich das nicht gemeint.
Ich kann aber auch gar nicht nachvollziehen, was du damit überhaupt meinst.
a1 trifft b1 trifft c1
a2 trifft b2 trifft c2
a3 trifft b3 trifft c2
Dass die Werte dir vorher getroffen wurden auch wiederum getroffen werden.
OK. Du meinst das wohl so wie im Bild, welches ich nun am Ende von meinem Kommentar eingefügt habe, oder?
Dann ist das kein passendes Beispiel. Denn da ist (g ∘ f)(a₂) = (g ∘ f)(a₃) [denn (g ∘ f)(a₂) = c₂ = (g ∘ f)(a₃)]. Aber es ist a₂ ≠ a₃. Dementsprechend ist g ∘ f nicht injektiv.
Du könntest daraus aber ein passendes Beispiel machen, indem du einfach a₃ aus der Menge A rausnimmst.
Ja, Sie haben recht. Ich habe es getaucht aus Versehen, aber ich meinte anderes herum. Das hat mir aber wirklich sehr geholfen. Danke!