Ist eine ganze Zahl auch eine rationale Zahl?

Ja, jede ganze Zahl ist immer auch eine rationale Zahl.

Oder ist eine rationale Zahl auch eine ganze Zahl?

Nein, es gibt rationale Zahlen, welche keine ganze Zahlen sind.

Beispielsweise ist 1/2 eine rationale Zahl. Aber 1/2 ist keine ganze Zahl.

Ist eine gerade Wurzel z.B 4 eine ganze und rationale Zahl?

Was meinst du mit „gerade Wurzel“?

Meinst du die Quadratwurzel einer geraden Zahl? Nein, dass muss nicht unbedingt eine rationale Zahl und auch nicht unbedingt eine ganze Zahl sein. Beispielsweise ist √(6) keine rationale Zahl. Und √(6) ist auch keine ganze Zahl.

Bei √(4) ist gilt jedoch √(4) = 2 und 2 ist eine ganze Zahl. √(4) ist also zufälligerweise eine ganze Zahl, und damit insbesondere auch eine rationale Zahl.

Aber eine ungerade wie 5 ist doch keine ganze und nur eine rationale?

Nein.

Die Zahl 5 selbst ist eine ganze Zahl, und damit insbesondere auch eine rationale Zahl.

Die Zahl √(5) hingegen ist keine ganze Zahl. Und √(5) ist auch keine rationale Zahl.

Kann eine Wurzel irrational sein

Ja. Die meisten Quadratwurzeln ganzer Zahlen sind irrational.

Beispielsweise sind √(2), √(3), √(5), √(6), √(7), √(8), √(10), √(11), √(12) irrationale Zahlen.

Deine Wertetabelle ist falsch.

An der Stelle x = 4 erhält man beispielsweise...



Du hast jedoch bei deiner Wertetabelle dort 2 statt 0 als Funktionswert stehen.

Deine Wertetabelle und deine Skizze passen nicht zur gegebenen Funktionsgleichung, sondern würden stattdessen zur Funktionsgleichung f(x) = 0,5x passen. Es sieht so aus, als hättest du einfach die Quadratwurzel komplett ignoriert.

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Korrekt wäre...

Ist eine natürliche Zahl auch eine ganze Zahl

Ja, jede natürliche Zahl ist immer auch eine ganze Zahl.

und eine ganze Zahl eine natürliche

Nein, umgekehrt ist nicht jede ganze Zahl immer auch eine natürliche Zahl. [Beispielsweise ist -3 eine ganze Zahl. Aber -3 ist keine natürliche Zahl.]

Z.B wie alle Zahlen auch reelle Zahlen sind

Nein, es gibt auch Zahlen, die keine reellen Zahlen sind. Beispielsweise ist die komplexe Zahl 3 + 5i keine reelle Zahl.

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

[Das geht aber über üblichen Schulstoff hinaus. In der Schule betrachtet man in der Regel nur reelle Zahlen.]

Mit a₁ = 100 ist das falsch.

Bei deiner expliziten Formel...



... erhält man nämlich stattdessen...



Und 95 ist offensichtlich nicht gleich 100.

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Eine korrekte explizite Formel wäre...



... oder...



Hinweis: Es handelt sich um eine arithmetische Folge.

https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Folge#Berechnung

Sei G das Grundgehalt (in Euro) und U die Überstundenpauschale (in Euro pro geleisteter Überstunde). Dann erhält man das folgende Gleichungssystem...





Löse dieses Gleichungssystem. [Hinweis, wenn du die beiden Gleichungen voneinander subtrahierst, erhältst du eine Gleichung, die nur noch U als einzige Variable enthält. Damit erhältst du dann schnell die Überstundenpauschale. Danach sollte das Grundgehalt kein Problem mehr sein.]

Ergebnis: Das Grundgehalt beträgt 2656 Euro und die Überstundenpauschale beträgt 21 Euro pro Überstunde.

Woher sollen wir wissen, wie lange du fürs Lernen benötigst? Das ist von Person zu Person erheblich unterschiedlich. Du setzt dich einfach so lange hin und lernst und übst, bis du den Stoff verstanden hast. [Wenn du eine Pause brauchst, machst du eine Pause.]

... und das alles so bald wie möglich, sobald der Stoff in der Vorlesung drankommt, nicht erst kurz vor der Prüfung. Auch wenn du nicht selbst an der Vorlesung teilnehmen kannst, solltest du immer dann die Sachen lernen, die in der Vorlesung drankommen, sobald sie in der Vorlesung drankommen und die entsprechenden Übungsblätter bearbeiten.

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Als groben Überblick, falls du überhaupt keine Ahnung hast...

Es gibt sogenannte ECTS-Punkte (kurz für: European Credit Transfer System), an denen du dich orientieren kannst. Die Punkte sind so ausgelegt, dass ein ECTS-Punkt einem Aufwand von etwa 25 bis 30 Arbeitsstunden entsprechen sollte.

Schaue nach, wie viele ECTS das LinAlg1-Modul wert ist, und berechne die Arbeitsstunden.

Üblicherweise entspricht das LinAlg1-Modul an den meisten Universtiäten 10 ECTS-Punkten und damit einem Arbeitsaufwand von etwa 300 Stunden.

Du könntest demnach 300 Arbeitsstunden fürs Lernen einplanen, wenn du dich daran orientieren möchtest. [Wenn du mit 8 Stunden pro Tag an 5 Tagen die Woche planst, würde das knapp 37,5 Tagen entsprechen.]

Wenn du das i-te Element einer Liste L um einen Wert a erhöhen möchtest, so kannst du einfach den erhöhten Wert L[i] + a berechnen und den Wert L[i] durch diesen neuen Wert ersetzen.

L[i] = L[i] + a

Bzw. kann man auch kürzer, einfacher...

L[i] += a

... schreiben.

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Für deinen Würfel-Code dann beispielsweise...

from random import randint
anzahl_liste = [None] + 6 * [0]
for _ in range(100):
    k = randint(1, 6)
    anzahl_liste[k] += 1

for k in range(1, 7):
    print(f"Es wurde {anzahl_liste[k]}-mal {k} gewürfelt.")

Hier wird dann bei anzahl_liste[k] += 1 die Zahl an der Stelle k in der Liste anzahl_liste um 1 erhöht.

Nein, wie kommst du da auf Rest m = 3? [Schau dir mal an, wie der Rest definiert ist. Das ist NICHT das gerundete Ergebnis der Division, falls du das gedacht haben solltest.]

(11*7+4-2)/29 = 2,7241... ist soweit korrekt. Die Zahl 29 passt demnach 2-mal in 11*7+4-2 = 79 rein. [2-mal, da 2,7241... abgerundet 2 ergibt.]

Wenn man nun 2-mal die Zahl 29 von 79 subtrahiert, erhält man...



Der Rest ist also 21.

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Bzw. kann man die Restberechnung bei Division von 79 durch 29 mit Rest auch so sehen... Addiere bzw. subtrahiere bei der Zahl 79 die Zahl 29 so oft, bis man eine Zahl r im Bereich 0 ≤ r < 29 erhält. Diese Zahl r ist dann der Rest.

Addition würde hier die Zahl 79 größer machen, also in die falsche Richtung gehen. Daher muss man subtrahieren...





Die Zahl 21 liegt nun zwischen 0 und 29 und ist der gesuchte Rest.

Ja, das ist korrekt.

Zur rekursiven Darstellung...



... kann man...



... als explizite Darstellung angeben.

• Berechne zunächst den Scheitelpunkt. Dazu kannst du eine quadratische Ergänzung durchführen und dann die Koordinaten des Scheitelpunkts aus der Scheitelpunktform ablesen.
• Stelle die Gleichung der Geraden mit Hilfe der gegebenen Steigung und dem zuvor berechneten Punkt auf.
• Gleichsetzen von Parabelgleichung und Geradengleichung, liefert eine quadratische Gleichung, welche man lösen kann, um die Schnittstellen zu berechnen. [Einsetzen der Stellen in eine der Funktionsgleichungen liefert die entsprechenden y-Werte.]

====== Ergänzung: Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

Zunächst einmal ein paar andere Bemerkungen:

• Du solltest den Import aus dem random-Modul am Anfang deines Codes schreiben, nicht mittendrin. (Vor allem nicht in der Schleife, wo das etliche Male ausgeführt wird.)
• Du brauchst nicht alles aus dem random-Modul zu importieren. Sinnvoller ist es evtl. nur das zu importieren, was du benötigst. (Im konkreten Fall also eher: from random import uniform)
• Statt mit der uniform()-Funktion eine Gleitkommazahl zu erzeugen und diese dann zu einer ganzen Zahl zu runden, könntest du doch auch einfach mit der randint()-Funktion direkt ganze Zahlen erzeugen.
• Des Weiteren ist es wenig sinnvoll und für Leser deines Codes evtl. verwirrend, wenn du die Zählvariable zahl während der Schleifendurchläufe anderweitig überschreibst. Verwende lieber eine andere Variable, oder nutze einfach _ als „Müllvariable“, wenn du die Werte nicht benötigst.

Dementsprechend würde ich demnach eher empfehlen:

from random import randint
for _ in range(1, 101):
    zahl = randint(1, 6)
    print(zahl)

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Zur eigentlichen Antwort auf deine Frage...

Du könntest eine Liste oder ein Dictionary anlegen, in der du die Anzahlen abspeicherst. In jedem Schritt erhöhst du dann den entsprechenden Eintrag um 1. Am Ende lässt du dir die Einträge ausgeben.

Beispielsweise mit Hilfe eines Dictionarys...

from random import randint

anzahl = {k: 0 for k in range(1, 7)}
# Alternativ könnte man auch explizit
# anzahl = {1: 0, 2: 0, 3: 0, 4: 0, 5: 0, 6: 0}
# schreiben.

for _ in range(1, 101):
    zahl = randint(1, 6)
    print(zahl)
    anzahl[zahl] += 1
print(anzahl)

Bzw. deinen Code entsprechend ergänzt...

anzahl = {k: 0 for k in range(1, 7)}
for zahl in range(1, 101):
    from random import *
    zahl = int(uniform(1, 7))
    print(zahl)
    anzahl[zahl] += 1
print(anzahl)

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Alternativ könntest du auch eine Liste mit den Würfelergebnissen erzeugen, und dann mit der list.count()-Methode dir die jeweilige Anzahl ausgeben lassen.

from random import randint
ergebnis = [randint(1, 6) for _ in range(100)]
anzahl = {k: ergebnis.count(k) for k in range(1, 7)}

print("Liste der Würfelergebnisse:")
print(ergebnis)

print("Absolute Häufigkeiten der Würfelergebnisse:")
print(anzahl)

Die Anzahl der Ziffern einer natürlichen Zahl kann man mit Hilfe des Logarithmus berechnen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Anzahl_der_Ziffern_einer_Zahl

Im konkreten Fall erhält man für die Anzahl der Ziffern...











Damit hat man dann den für die meisten Leute wohl schwersten Teil erledigt. Wenn man durch 10 dividiert und mit 4 cm multipliziert, erhält man den benötigten Platz...





Das entspricht dem angegebenen Erdumfang.

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Statt der Berechnung mit Hilfe des Logarithmus kann man für die Anzahl der Ziffern anschaulich auch folgendermaßen argumentieren...











[...]



[...]



Ja, die (Quadrat-)Wurzel einer Quadratzahl ist immer eine natürliche Zahl.

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Einen möglichen Beweis habe ich heute bereits in einer Antwort auf eine andere Frage geschrieben. Wenn du möchtest, kannst du dir diesen Beweis hier ansehen:

https://www.gutefrage.net/frage/beweis-dass-wurzel-aus-einer-quadratzahl--ein-element-von-n-mit-null-ist#answer-516585349

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Ein Beispiel:

49 ist eine Quadratzahl. (Denn es ist 49 = 7² mit der natürlichen Zahl 7.)
Die Quadratwurzel aus 49 ist 7, was eine natürliche Zahl ist.

Allgemein:

Zu jeder Quadratzahl a gibt es nach Definition eine natürliche Zahl n mit a = n².
Dann erhält man für die Quadratwurzel √(a) = n.
Damit ist dann √(a) eine natürliche Zahl, da √(a) gleich der natürlichen Zahl n ist.

Sei t die Zeit seit dem Zeitpunkt als Aristoteles losläuft. Die Zeit, in der sich die Schildkröte bewegt hat, ist dann t + 3600 s.

Für die von Aristoteles zurückgelegte Weglänge in Abhängigkeit der Zeit t erhält man...



Für die von der Schildkröte zurückgelegte Weglänge in Abhängigkeit der Zeit t erhält man...



Aristoteles trifft die Schildkröte zu dem Zeitpunkt t wieder, an dem beide die gleiche Weglänge zurückgelegt haben...















Aristoteles trifft die Schildkröte nach einer Zeit von etwa 36 s (seit Aristoteles losgelaufen ist) wieder.



Die beiden haben zu dem Zeitpunkt eine Weglänge von etwa 364 m zurückgelegt.

Sorry, aber das ist doch gar kein Lustigmachen über Kunden.

Das ist einfach ein „Wir wissen, dass ihr unzufrieden seid, wenn öfter mal der Zug ausfällt. Aber wir versuchen daran zu arbeiten, dass das in Zukunft nicht so häufig passiert.“

Das finde ich weder lustig noch unerhört.

Schreibe die Wurzel als Potenz und nutze beim Ableiten die Potenzregel.





Der Summand a² fällt als konstanter Summand beim Ableiten weg.

Beim hinteren Summanden -a ⋅ x^(1/2) bleibt -a als konstanter Faktor so stehen, wie er ist. Den Term x^(1/2) kann man mit Hilfe der Potenzregel ableiten, indem man den Exponenten 1/2 als Faktor vorne ergänzt und dann den Exponenten um 1 verringert, sodass man 1/2 - 1 = -1/2 als neuen Exponenten erhält.



Dann kann man den Term mit Hilfe von Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln noch etwas zusammenfassen und die Potenz wieder mit Hilfe einer Wurzel ausdrücken.









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Des Weiteren soll man dann noch a = 2 und x = 1 einsetzen.



Halte dich einfach an die entsprechenden Schritte für die quadratische Ergänzung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Ergänzung#Beispiele

Im konkreten Fall:



[Ausklammern des Leitkoeffizienten -0,5]



[Quadratische Ergänzung: Betrachte die Hälfte des Koeffizienten 2 vor der Variablen x, also 1. In der Klammer addierst du nun das Quadrat dieser Hälfte. Damit sich der Wert nicht ändert, musst du zum Ausgleich das Quadrat wieder subtrahieren.]



[Bildung des Quadrats: Wende eine binomische Formel (hier: erste binomische Formel) an, um aus dem vorderen Teil in der Klammer ein Quadrat zu bilden. Im konkreten Fall ist x² + 2x + 1² = (x + 1)².]

[Gleichzeitig kann man hinten bei -1² das Quadrat ausrechnen, also -1² = -1.]



[Ausmultiplizieren: Multipliziere die (äußere) Klammer aus.]



[Nun kann man hinten noch 0,5 - 1 zu -0,5 zusammenfassen.]



Damit hat man die Scheitelpunktform erreicht.

Bzw. wenn man es tatsächlich genau in der Form...



... haben möchte, kann man x + 1 noch als x - (-1) umschreiben und - 0,5 als + (-0,5) umschreiben.



Also man soll das ja immer durch einen Widerspruch beweisen. Aber wie?

Wer sagt das? Ist das Teil der Aufgabenstellung, das über einen Widerspruchsbeweis beweisen zu müssen? Wenn nicht, kann man das auch anders beweisen.

Für den Beweis, sollte man evtl. erst einmal klären, wie denn überhaupt die Quadratzahlen und die Quadratwurzel definiert sind. Dann ist der Beweis wirklich nicht schwierig, sondern ergibt sich relativ trivial aus den Definitionen.

Nach Definition von Quadratzahlen gilt:

• Eine Zahl a ist genau dann eine Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl n ∈ ℕ₀ mit a = n² gibt.

[Bemerkung: Manche Mathematiker definieren das auch mit ℕ statt mit ℕ₀ und schließen die 0 als Quadratzahl aus.]

Nach Definition der Quadratwurzel reeller Zahlen gilt:

• Die Quadratwurzel √(a) einer nicht-negativen reellen Zahl a ist diejenige nicht-negative reelle Zahl x, für die x² = a gilt.

Damit kann man dann einen möglichen Beweis führen.

Zu zeigen:

Wenn a eine beliebige Quadratzahl ist, so ist √(a) ∈ ℕ₀.

Beweis:

Sei a eine beliebige Quadratzahl. Dann gibt es nach Definition der Quadratzahlen ein n ∈ ℕ₀ mit a = n². Da n dann als natürliche Zahl insbesondere auch eine nicht-negative reelle Zahl ist, ergibt sich nach Definition der Quadratwurzel, dass √(a) = n ist. Und da n ∈ ℕ₀ ist, ist wegen √(a) = n dann auch √(a) ∈ ℕ₀.

Fertig.

Zunächst einmal kann man bei der inneren Klammer ausmultiplizieren. Dann kürzt sich -10x + 10x zu 0 weg, sodass noch 15 in der äußeren Klammer übrig bleibt. Und dann ist schließlich 4 - 15 = -11.









Das FunTicket gilt am Wochenende jeweils ganztags ohne Zeitbeschränkung, also nicht erst ab einer gewissen Uhrzeit.

Zeitliche Gültigkeit

Das FunTicket kann von montags bis freitags an den allgemeinen Schultagen des Landes NRW ab 14 Uhr sowie an den allgemeinen Ferientagen des Landes NRW, samstags, sonn- und feiertags und am Rosenmontag ganztags ohne Zeitbeschränkung genutzt werden.

[...]

https://www.mvg-online.de/tickets-tarife/unsere-tickets/urlaub-und-freizeit/funticket