Du darfst die beiden Begriffe nicht gleichwertig benutzen, denn der eine ist im Grunde nur ein "Werkzeug" für den anderen. Es ist so:

Den Binomialkoeffizienten benutzt du in der Kombinatorik.

Neben der Kombinatorik gibt es noch die Variantion und Permutation.

Aber nur in der Kombinatorik benötigst du den Binomialkoeffizienten. Denn er hat gerade die Eigenschaft, nur Kombinationen auszurechnen.

Im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung benötigst du den Binomialkoeffizienten, um alle möglichen Kombinationen auszurechnen, die das selbe Ereignis beschreiben (Stichwort: Binomialverteilung). Wenn du z. B. wissen willst, wie die Wahrscheinlichkeit ist, bei 100 Würfen 30-mal Kopf zu werfen, spielt es keine Rolle, ob du beispielsweise 30-mal Kopf hintereinander und danach nur Zahl wirfst, oder erst 10-mal Kopf, dann 50-mal Zahl, dann 20-mal Kopf und dann 20-mal Zahl wirfst - es kommt nur auf die Kombination an, nicht auf die Variation (bei der Variation würde die Reihenfolge eine Rolle spielen, bei der Kombination nicht).

Ich hoffe, ich konnte dir erklären, dass der eine Begriff den anderen nicht ausschließt - im Gegenteil, der eine ist eher ein "Werkzeug" des anderen. Nur wenn es sich nicht um Kombinatorik handelt, benötigst du den Binomialkoeffizienten nicht.

Für ein gleichseitiges Dreieck als Grundfläche.

Ich wende nun den Gaußalgorithmus strikt an, ohne eventuell einfachere Wege (siehe Antwort von Sophonisbe) zu betrachten. Dann folgt eine Fallunterscheidung von a, um den Algorithmus korrekt zu beenden.

I) 4 x + 2 y – 3 z = 8

II) 2 x – 3 z = 2

III) 6 x + 2 y + a z = 10

Operation: I ÷ 4

I) x + 0,5 y – 0,75 z = 2

II) 2 x – 3 z = 2

III) 6 x + 2 y + a z = 10

Operation: II – 2 • I und III – 6 • I

I) x + 0,5 y – 0,75 z = 2

II) –y – 1,5 z = –2

III) –y + (a + 4,5) z = –2

Operation: II • (–1)

I) x + 0,5 y – 0,75 z = 2

II) y + 1,5 z = 2

III) –y + (a + 4,5) z = –2

Operation: I – 0,5 II und III + II

I) x – 1,5 z = 1

II) y + 1,5 z = 2

III) (a + 6) z = 0

1. Fall a ≠ –6

Operation: III ÷ (a + 6)

I) x – 1,5 z = 1

II) y + 1,5 z = 2

III) z = 0

Operation: I + 1,5 III und II – 1,5 III

I) x = 1

II) y = 2

III) z = 0

Wenn also a ≠ –6, gibt es genau eine Lösung.

2. Fall a = –6

I) x – 1,5 z = 0

II) y + 1,5 z = 4

III) (a + 6) z = 0

wird zu

I) x – 1,5 z = 0

II) y + 1,5 z = 4

III) 0 = 0

wird zu

I) x = 1,5 z

II) y = 4 – 1,5 z

x und y hängen damit von z ab, für z gibt es aber keine Einschränkungen => unendlich viele Lösungen.

Das sind alle positiven ganzen Zahlen sowie die Null. Ohne die 0 als Index würden nur die positiven ganzen Zahlen gemeint sein.

Mit deinen Notizen:

2 a + 2 c = 50 und c = a / 5

=> 2 a + 2 / 5 a = 50 <=> a = 125/6 ≈ 20,83 und c = 25/6 ≈ 4,17

b + 2 c = 30 und c = a / 5 = 25/6

b + 2 * 25/6 = 30 <=> b = 65/3 ≈ 21,67

V = a * b * c = 125/6 * 65/3 * 25/6 = 203125/108 ≈ 1880.79 [cm³]

Richtig wäre:

2 a + 2 c = 50

b + 2 c = 30

=> a = 0,5 b + 10; c = –0,5 b + 15

V = a b c = (0,5 + 10) b (–0,5 b + 15)

V(b) = –0,25 b³ + 2,5 b² + 150 b

V'(b) = –0,75 b² + 5 b + 150

V"(b) = –1,5 b + 5

V'(b) = 0 <=> b = 17,86

V"(17,86) < 0 => HP

V(17,86) = 2052,21 [cm³]

Und zu deiner ergänzten Nachfrage:

Nein, die roten Flächen ändern nichts am Volumen, da diese beim Falten die Kanten nicht verlängern würden.

|x – p| < Delta = min{p/2; p²e/2} ≤ p/2

|x – p| ≤ p/2

1. Fall: x – p ≥ 0

x – p ≤ p/2

2/3 x ≤ p

=> 2/3 x ≤ p ≤ x

2. Fall: x – p < 0

–(x – p) ≤ p/2

2 x ≥ p

=> x < p ≤ 2 x

Lösungsmenge von |x – p| ≤ p/2 ist die Vereinigung, also x ≤ p ≤ 2 x. Und damit ist

1 / (x p) ≤ 2 / p²

p² ≤ 2 x p

p ≤ 2 x

korrekt.

6:2*3 ist richtig. Man schreibt das Malzeichen häufig nicht mit, wenn man es weglassen kann (z. B. bei Klammern, also 2*(1+2) = 2(1+2), oder auch bei Variablen/Parameter, also 3*x = 3x). Das hat nichts damit zu tun, dass die Terme "enger" verknüpft wären - dann entspreche es auch gar nicht mehr der konventionellen Multiplikation, sondern einer anders definierten Operation. Von links nach rechts ist richtig.

Die Tangente muss durch Q laufen und den Graphen von f berühren.

Eine Tangente t an der Stelle a hat die Gleichung

t(x) = f'(a) (x – a) + f(a)

t(x) = –a (x – a) + 4 – a² / 2

t(x) = –a x + 4 + a² / 2

mit f(x) = 4 – x² / 2 und f'(x) = –x.

Nun muss t durch Q(0|6) gehen, also

t(0) = 6

4 + a² / 2 = 6

a = ±2

Da der Rennwagen von links kommt, ist a = –2.

Der Punkt, an dem der Rennwagen die Bahn verlässt, lautet wegen f(–2) = 2 demnach (–2|2).

Jeder scheitert daran. Deine Begründung kann man genau so gut für Theisten nutzen.

Wenn du eine Funktion g(x, y) hast, die von x und y anhängt, dann ist der Gradient ja gerade der Vektor, der in der ersten Komponente die Ableitung von g nach x hat, und in der zweiten Komponente die Ableitung von g nach y.

Um also von den Gradienten auf eine Funktion g zu schließen, die diesen Gradienten besitzt, musst du also die erste Komponente des Gradienten nach x integrieren sowie die zweite nach y. Dann kommst du auf

1. Komponente des Gradienten nach x integriert:

4 x y² —> 2 x² y² + C(y)

2. Komponente des Gradienten nach y integriert:

4 x² y —> 2 x² y² + Ć(x)

Beachte, dass die "Konstanten" C und Ć immer von Variablen abhängig sein können, nämlich die, nach der >nicht< integriert wurde (z. B. fällt bei der Ableitung nach x von y² x + y –> y² das y weg, wenn man y² integriert kommt man auf y² x + k, also kann die Konstante von y abhängig sein). Wenn du nun beide oberen Terme zusammenfasst, erhälst du

g(x, y) = 2 x² y² + C(y) + Ć(x)

Jetzt vergleichst du den Gradienten von dieser Funktion mit dem Gradienten, der angegeben wurde.

1. Komponente (nach x abgeleitet):

4 x y² + Ć'(x) = 4 x y² => Ć'(x) = 0

2. Komponente (nach y abgeleitet):

4 x² y + C'(y) = 4 x² y => C'(y) = 0

Hieraus folgt, dass C und Ć konstant sind und weder von x oder y abhängen. Fasst man C und Ć zu einer Konstanten c zusammen, folgt das Ergebnis

g(x, y) = 2 x² y² + c.

• Kollinearität (Vektoren): zwei Vektoren sind linear abhängig, also Vielfache voneinander (bei linearer Abhängigkeit von drei Vektoren spricht man dann von Komplanarität).
• Kollinearität (Punkte): Punkte sind kollinear zueinander, wenn sie alle auf der selben Gerade liegen (wenn sie in der selben Ebene liegen, sind sie komplanar).
• Parallelität (Geraden): Geraden sind zueinander parallel, wenn sie sich nur durch eine Verschiebung (Translation) unterscheiden, also die Richtungsvektoren paarweise kollinear sind.
• Parallität (Ebenen): Ebenen sind parallel zueinander, wenn sie sich nur durch eine Verschiebung (Translation) unterscheiden, also die Normalenvektoren paarweise kollinear sind.
• Linearkombination: Eine Summe von Vielfachen von Vektoren nennt man Linearkombination von diesen Vektoren. Da ich hier keine (schön geschriebene) Formel schreiben kann, siehe bitte hier: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Linearkombination (Wären die Koeffizienten nur aus dem Intervall [0; 1], nennt man sie auch Konvexkombination)

a)

Die Hypotenuse des großen Dreiecks ist nach dem Satz des Pythagoras

c² = a² + b² = (9 cm)² + (9 cm)² <=> c = 9√2 cm

Nach dem Kathetensatz ist

h² = c p = 9√2 cm • 9 cm = 81 cm² <=> h = 9⁴√2 cm,

also mit dem Satz des Pythagoras dann

x² = h² + (x/2)² <=> x² = h² + x²/4

<=> 3/4 x² = h² <=> x² = 4/3 h²

<=> x² = 4/3 (9⁴√2 cm)² <=> x = 18√(√2/3) cm ≈ 12.36 cm

Lösche mal alle Variablen, geh dazu auf:

Edit -> Variablen löschen

Versuch es nochmal. Ansonsten alles löschen und sicherstellen, dass du das x auch als Variable eingegeben hast - es gibt einmal den Buchstaben x (unter "abc" im Keyboard) und die Variable x (unter "Var" im Keyboard), was eigentlich fett geschrieben sein müsste.

Da nur Länge und Breite bekannt sind, kommt die Nährrung mittels eines halben Zylinder infrage, also

1/2 • 140 m • (72 m • 1/2)^2 • π ≈ 285005,29 m³.

Falls ihr schon quadratische Funktionen und Integration hattet, könnte man auch den Ansatz machen, mit einer Parabel zu approximieren. Das Volumen wäre demnach

in m³.

Eine Gleichung in der mindestens ein Bruch auftaucht, bei der die Unbekannte im Nenner (also unten im Bruch) steht. Eine Verhältnisgleichung ist das gleiche.

Zum Beispiel:

3 + 2 / (x – 1) = 5 <=> x = 2

Betrachte z. B. eine Dartscheibe, die wir in ein Koordinatengitter legen. Wie wahrscheinlich ist es, dass wir genau den Mittelpunkt der Dartscheibe (z. B. den Ursprung, je nach Lage des KO-Systems) treffen? Das ist ein Punkt von überabzählbar vielen und damit beträge die Wahrscheinlichkeit null. Und das gilt für alle Punkte und trotzdem trifft man einen Punkt. Das liegt daran, dass ein Punkt keine Fläche hat, die Dartscheibe aber schon. Die Frage ist nun, ob wir einen ähnlichen Fall bei deiner Frage haben. Denn dann wäre geklärt, ob es bei einer 100 %-igen Wahrscheinlichkeit, dass kein Leben existiert, es dennoch möglich wäre. Aber das kann ich aktuell selber nicht beantworten. Du solltest nur wissen, dass man bei einer Wahrscheinlichkeit von 0 % man auch nur von einem >fast unmöglichen< und nicht >unmöglichen< Ereignis sprechen kann. Ebenso bei 100 % dann über ein >fast sicheres< Ereignis. Es liegt daran, wie man das Modell aufbaut. Aber hier bin ich selber noch nicht frisch.

Zur ersten und zweiten Beweisskizze:

Wieso folgt daraus, dass diese b_n betraglich größer |b_n|/2 sind?

Das musst du beweisen.

|b_n| + |b| —> 2 |b|

=> für n > N

||b_n| + |b| – |b|| < b_n

|b_n| < e

Per Definition muss nur e > 0 sein, also kannst du auch für e = |b|/2 ein passendes N finden.

Nur zur zweiten Beweisskizze:

Wieso ist |a|²+|b|²<2|b|²? Und wieso sollte das von n abhängen (sind ja Grenzwerte)?

Diese Ungleichung ist nur wahr, wenn |a|<|b| wäre, was aber o.B.d.A. nicht vorausgesetzt werden darf (denn ob man a_n/b_n oder b_n/a_n betrachtet kann sehr wohl unterschiede machen, du hättest vorher also sicherstellen müssen, dass die Folge mit dem betraglich kleineren Grenzwert auch tatsächlich im Nenner ist).

Z. B.

7 ≡ 2² (mod 3)

7 ≡ 4² (mod 3)

7 ≡ 5² (mod 3)

7 ≡ 6² (mod 29)

7 ≡ 7² (mod 7)

7 ≡ 7² (mod 3)

7 ≡ 8² (mod 3)

7 ≡ 8² (mod 19)

7 ≡ 9² (mod 37)

7 ≡ 10² (mod 3)

7 ≡ 10² (mod 31)

7 ≡ 11² (mod 3)

7 ≡ 11² (mod 19)

...

1.)

Wenn p ein Teiler von n und damit n² wäre, wäre

n² – 7 mod p = 7 mod p = D²

und es blieben für D² nur die Quadrate 1² und 2² über (3² oder größer kann nicht sein, da a mod b ≤ a sein kann). Daraus erhält man nur die Lösung p = 2 und p = 3 (wobei p = 2 ausgeschlossen wurde).

2.)

Nun gehen wir davon aus, dass p kein Teiler von n ist, es also natürliche Zahlen l und d gibt mit

n = l • p + d => n² = (l • p)² + 2 • l • p • d + d²

=> n² mod p = d² mod p

Nun sei d² mod p = B nicht weiter durch p teilbar, genauso für 7 mod p = d.

Es folgt also aus n² ≡ 7 (mod p) dann

n² – 7 = K • p

B – b = k • p

mit ganzen Zahlen K und k.

Da B und b nicht weiter durch p teilbar sein, muss |k| = 1 sein, denn wäre |k| ≥ 2 müsse

B + b ≥ |B – d| ≥ 2 p

und nach Voraussetzungen sind B, b < p also wäre das ein Widerspruch. Man kommt also auf |k| = 1 bzw. |B – b| = p.

Sucht man sich nun eine Primzahl p aus, kann man durch berechnen von 7 mod p = b die Zahl B berechnen und damit n konstruieren, falls B eine Quadratzahl (dann sind n = m • p + √B alle Lösungen). Wenn B keine Qaudratzahl ist, kann es aber auch möglich sein - weiter kann ich es aber momentan nicht zeigen.

Auf die erste Nachkommastelle.

Bsp.: 3^(2+4) = 3^2 * 3^4