Stetigkeit ɛ ð usw.?
Guten Abend könnte mir jemand erklären, weshalb die blaue Ungleichung gilt?
Es kann doch auch sein, dass p^2 > 2xp ist und dann wäre der rechte Bruch kleiner oder nicht?
3 Antworten
Das gilt wegen |x - p| < δ ≤ p/2.
Damit die Ungleichung für den Betrag erfüllt ist, muss sowohl x - p ≤ p/2 als auch -(x - p) ≤ p/2 gelten. Aus einer der beiden Ungleichungen folgt p < 2x.
In die Funktion wird nicht n, sondern 1/n und 1/(2n) eingesetzt.
| x - p | < delta <= p/2
--> x >= p/2 --> 1/x <= 2/p --> 1/(xp) <= 2/p^2
|x – p| < Delta = min{p/2; p²e/2} ≤ p/2
|x – p| ≤ p/2
1. Fall: x – p ≥ 0
x – p ≤ p/2
2/3 x ≤ p
=> 2/3 x ≤ p ≤ x
2. Fall: x – p < 0
–(x – p) ≤ p/2
2 x ≥ p
=> x < p ≤ 2 x
Lösungsmenge von |x – p| ≤ p/2 ist die Vereinigung, also x ≤ p ≤ 2 x. Und damit ist
1 / (x p) ≤ 2 / p²
p² ≤ 2 x p
p ≤ 2 x
korrekt.
Dankeschön für die ausführliche Erklärung.
Ich hätte noch eine Frage zum folgenden Widerspruchsbeweis der gleichmäßigen Stetigkeit weiter unten. Und zwar frage ich mich, warum man denn n >= 1 annehmen darf, obwohl das Intervall ja auf Zahlen zwischen 0 und 1 beschränkt ist.
Wenn n>=1 ist, dann ist 1/n<=1, also gerade im Intervall ]0,1].
Vielen Dank, das macht Sinn.
Ich hätte noch eine Frage zum folgenden Widerspruchsbeweis der gleichmäßigen Stetigkeit weiter unten. Und zwar frage ich mich, warum man denn n >= 1 annehmen darf, obwohl das Intervall ja auf Zahlen zwischen 0 und 1 beschränkt ist.