Beweis: Funktion in x = 0 stetig?
Wie zeige ich (durch das Delta-Epsilon-Kriterium), dass die Funktion f4 in x = 0 stetig ist.
2 Antworten
Wie hast du denn bewiesen dass die Funktion f(x) = x im Punkt x = 0 stetig ist? Wende das selbe Verfahren auf f_4 an. Das ist nicht wirklich schwierig.
Überleg Mal:
welchen Wert hat |f_4(x)-f_4(0)| wenn |x-0|<e gilt. Mach dazu eine Fallunterscheidung, ob x in Q liegt oder nicht.
Na ja, für jede reelle Zahl im betreffenden Intervall gilt doch f(x) = 0 < e, oder?
Epsilon (e) - Delta (d) - Definition:
Für alle reelle e > 0 existiert ein reelles d mit, sodass |x – 0| < d folgt, |f(x) – 0| < e
Rechnung:
|f(x)| < e
|0| ≤ |x| < e
|x| < e = d
Wenn d = e ist also für alle x mit |x| < d dann |f(x)| < e.
(f steht für f₄)
Es ist im Grunde das selbe wie bei g(x) = x. Bei f₄ muss nur noch der Fall begutachtet werden, wenn x rational ist. Da aber |0| ≤ |x| = |f₄(x)| < e ist, ändert der rationale Fall nichts an der Stetigkeit - die Ungleichung gilt dennoch.
Sei | x - 0 | < d, sei d = e.
| f(x) - f(0) | = | x - 0 | < d < e
Somit f stetig in x = 0.
Und für f4?