Beweis Stetigkeit?

Nehmen wir an wir sollen mit dem Epsilon-Delta-Kriterium die Stetigkeit der Funktion f(x)=x²-2x+4 beweisen.

Ich wäre da von vorne beginnend so an die Sache herangegangen:

Das Epsilon-Delta-Kriterium besagt, dass eine Funktion stetig ist, wenn für diese gilt:

$\forall\ ∊>0\ \exists\ δ>0\ \ \forall:\ \left|x-x0\right|<\ δ\ \Rightarrow\ \left|f\left(x\right)-f\left(x0\right)\right|<\ ∊$ $\left|f\left(x\right)-f\left(x0\right)\right|=\left|x^2-2x+4-\left(x0^2-2x0+4\right)\right|$ $=\left|x^2-2x-\left(x0\right)^2-2\cdot x0\right|=\left|x^2-\left(x0\right)^2-2x-2\cdot x0^2\right|$ $=\left|\left(x-x0\right)\cdot\left(x+x0\right)-2\cdot\left(x-x0\right)\right|=\left|\left(x-x0\right)\cdot\left(x+x0-2\right)\right|$ $=\left|x-x0\right|\cdot\left|x+x0-2\right|<δ\cdot\left|x+x0-2\right|$

Doch wie geht es dann weiter? Ich habe ja nun immer noch ein x bei Delta und abschätzen nach oben geht ja auch nicht, da δ⋅∣x+x0−2∣!<δ⋅∣x0−2∣

Answer 1

[MagicalGrill]

Du hast einfach nur nen Vorzeichenfehler gemacht:

$|x^2-2x+4-(x_0^2-2x_0+4)|$ $=|x^2-2x-x_0^2+2x_0|$

Comments

[LoverOfPi]

Richtig. Danke!

[MagicalGrill]

@LoverOfPi

Zum Abschätzen von |x + x0| kannst du übrigens

|x + x0| = |(x - x0) + 2x0| < |x - x0| + |2x0|

verwenden.