Da müssen wir mal ein bisschen aufräumen... Um mit dem Pumping-Lemma zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, machst du folgendes:

Sei n beliebig, aber fest [d.h. n ist eine Zahl, die du dir aber nicht aussuchen darfst - du musst den Beweis für ein ganz allgemeines n durchführen].

Du musst jetzt ein Wort w mit |w| ≥ n konstruieren, das in der Sprache liegt, bei dem aber kein Teilwort aus den ersten n Zeichen von w beliebig "aufgeblasen" werden kann, ohne dass das Ergebnis irgendwann die Sprache verlässt.

Klassisches Beispiel: L = {a^kb^k | k > 0}.

Wenn n eine beliebige Zahl ist, können wir w := a^nb^n wählen.

Offenbar gilt |w| = 2n ≥ n, d.h. unsere erste Bedingung ist schonmal erfüllt. Und wir können kein Teilwort der ersten n Zeichen beliebig aufblasen, ohne die Sprache zu verlassen: Die ersten n Zeichen bestehen nur aus a's. D.h. wenn wir irgendein nicht-triviales Teilwort daraus aufblasen, ändern wir die Anzahl der a's, nicht aber die Anzahl der b's. D.h. das Resultat wird a^mb^n sein, wobei m und n voneinander verschieden sind. Damit liegt das Resultat nicht mehr in L.

Soviel zur Idee. Der Formalismus von "Kein Teilwort der ersten n Zeichen kann beliebig aufgeblasen werden" ist nun eben dieser Kram mit der Zerlegung. Hier also die Argumentation nochmal in formaler:

Wenn w = xyz mit n ≥ |xy| und |y| > 0 ist, so besteht xy nur aus a's. Insbesondere existieren Zahlen k und j mit x = a^k und y = a^j und n ≥ k + j und j > 0. Ferner muss z "der Rest" des Wortes sein, also z = a^(n - k - j)b^n.

Jetzt blasen wir das Teilwort y auf. Formal heißt das, dass wir y in dem Wort durch y², y³ usw. ersetzen und schauen, ob wir irgendwann L verlassen (y^0 geht oft auch). D.h. wir untersuchen xz, xy²z, xy³z usw und hoffen, dass irgendwann ein Wort herauskommt, das nicht in der Sprache liegt.

Und in der Tat: Ersetzen wir y mit y^0, so erhalten wir das neue Wort

w' = xz

= a^k z

= a^k a^(n - k - j) b^n

= a^(n-j)b^n.

Weil j > 0 ist, ist n-j < n und somit liegt das Wort nicht in L, da die Anzahl der a's und der b's verschieden ist.

Nun zu deiner Aufgabe:

L_1 ist regulär, d.h. da kannst du es dir sparen das Pumping Lemma zu verwenden.

Bei L_2 hingegen kannst du dich durchaus mal selbst an einem Pumping-Lemma-Beweis probieren ;)

Wenn das stimmt, müsstest du erwarten, mit jedem zweiten fremden Jungen Sex zu haben.

Frag ihn mal, ob er dieser Argumentation zustimmen würde:

"Ich gehe ein Los für die Lotterie kaufen. Entweder ich gewinne den Jackpot oder nicht. Damit ist die Wahrscheinlichkeit auf den Jackpot 50%."

Lösungsweg: Nutz halt die Rechenregeln, um die ganzen Klammern aufzulösen.

Bsp: (ab)' = a' + b' [DeMorgan].

Dann kannst du die ersten beiden Klammern ausmultiplizieren [Distributivgesetz], dabei fallen dann ein paar Terme weg wie z.B. aa' = 0.

Zur Kontrolle: Ich komme letztendlich auf f(a,b,c) = ab'.

Produktregel:

Wenn f(x) = u(x) * v(x) ist, dann gilt:

f '(x) = u '(x) * v(x) + u(x) * v '(x).

Diese Formel kannst du nutzen, indem du deine Funktion f als Produkt zweier Funktionen u und v interpretierst:

u(x) = √x

v(x) = (x² - 1).

Nun kannst du u '(x) und v '(x) ermitteln und dann alles in die Formel einsetzen.

Die Chance "m zu n" (oft auch "m:n" geschrieben) bedeutet, dass das (erwartete) Verhältnis zwischen Erfolgen und Misserfolgen gerade m/n beträgt.

In unserem Beispiel ist der "Erfolg" (etwas zynisch) das Ereignis, dass man die Kammer mit der Kugel drin erwischt. Spielen wir das Spiel 12 mal, so erwarten wir dass exakt zweimal der Erfolg eintritt. Insbesondere tritt 10 mal der Misserfolg ein, weswegen das Verhältnis dann 2/10 = 1/5 ist - ergo ist die Chance gerade 1 zu 5.

Die Wahrscheinlichkeit ist das (erwartete) Verhältnis zwischen der Anzahl der Erfolge und der Gesamtanzahl der Versuche. Dies ist in unserem Beispiel 2/12 = 1/6. Manchmal sagen wir "1 aus 6" oder "1 in 6".

Dass Chance nicht einfach gleich Wahrscheinlichkeit sein kann, sollte man sich schon dadurch klarmachen können, dass eine Chance durchaus größer als 1 sein kann: Die Chancen, dass ich mit meinem fairen 6-seitigen Würfel keine 1 würfle, stehen 5 : 1. Eine Wahrscheinlichkeit von 5 ergibt allerdings keinen Sinn.

Ehrlich gesagt würde ich den Begriff "Chance" möglichst vermeiden, das führt meiner Erfahrung häufig zu Verwirrungen, wie wir hier sehen.

Tatsächlich ist dein Problem sogar etwas komplizierter, als du es beschreibst: Wahrscheinlich möchtest du gerne ein faires Turnier haben. Da es aber bei euren Regeln einfacher ist, in einem Spiel mit 2 Spielern Punkte zu holen als in einem Spiel mit 4 Spielern, muss zusätzlich gewährleistet sein, dass jeder dieselbe Anzahl an 2er-Spielen macht (analog bei 3er- und 4er-Spielen).

Bei 9 Spielern:

• Runde 1: (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)
• Runde 2: (1,4,7), (2,5,8), (3,6,9)
• Runde 3: (1,5,9), (2,6,7), (3,4,8)
• Runde 4: (1,6,8), (2,4,9), (3,5,7)

In diesem Setup spielt man exakt einmal gegen jeden Spieler und alle Spiele haben dieselbe Spieleranzahl.

Bei 8 Spielern:

Nutze die 9-Spieler-Lösung und entferne einfach Spieler 9. Das sorgt dafür, dass jeder Spieler exakt ein 2er-Spiel hat und erneut jeder gegen jeden exakt einmal spielt.

Ich hab das Gefühl bei 7 Spielern hast du einfach verloren und brauchst mindestens 7 Runden - ich kann's aber nicht exakt beweisen und lasse mich gerne eines Besseren belehren. Du kannst jedenfalls nicht die 8-Spieler-Lösung nutzen und einen Spieler entfernen, weil es sonst ein Spieler bedeutsam schwerer hat, an Punkte zu kommen [er hätte weniger Spiele und zusätzlich nur 3er-Spiele, wohingegen jeder andere exakt ein 2er-Spiel hat].

Es fällt mir auch super schwer, die Lösung auf beliebige Spieleranzahlen zu verallgemeinern - es fühlt sich irgendwie so an als gäbe es einen algebraischen Ansatz in Richtung Permutationsgruppe/Zykelzerlegungen, aber mir fällt nichts cleveres ein.

Tut mir Leid dass ich dir nicht vollumfänglich weiterhelfen kann.

Vielleicht haben die anderen Mathe-Experten auf dieser Seite ja coole Ideen :)

Deine Lösungen für 10 passen so.

Bei 9c) kommt zwar die richtige Lösungsmenge heraus, aber du hast ignoriert, dass die Koeffizienten deiner Gleichungen nie 0 sein dürfen. Z.B. bei deiner dritten Gleichung verstößt du dagegen:

0 * x1 + 0 * x2 + 1 * x3 = 2.

Hier eine grobe Beweisskizze, die einzelnen Punkte musst du natürlich zeigen:

• Sei B der Einheitsball von c und B_0 der Einheitsball von c_0. Dann ist T(B) = B_0.
• Deine Folge x ist ein Extrempunkt von B.
• Extrempunkte von B werden auf Extrempunkte von T(B) abgebildet. Insbesondere ist Tx ein Extrempunkt von B_0.
• Aber B_0 hat gar keine Extrempunkte.

"Fixmenge" heißt, dass das Bild von M wieder M ergibt? Dann hier:



Kann ich mir bei dir Geld leihen? Like, 100€? Ich zahle es dir in gleichmäßigen Monatsraten innerhalb eines Jahres zurück.

... Lass mal sehen: 100€ / 12 Monate = 8€ pro Monat, weil gerundet.

Deal?

Das scheitert gewissermaßen schon daran, dass es nicht "die" Stammfunktion gibt.

Wenn f(x) = x ist, sind sowohl F(x) = x²/2 als auch F(x) = x²/2 - 7 valide Stammfunktionen. Damit sind F(0) und F(8) im Zweifel gar nicht eindeutig bestimmt, die Differenz F(8) - F(0) hingegen schon.

Das mag dir momentan wie eine künstliche Hürde vorkommen ("pff, ich wähle einfach immer 0 als Integrationskonstante und stoße dann nicht mehr auf das Problem"), aber wenn du irgendwann mal Randbedingungen dazubekommst, durch die die Integrationskonstante gezwungenermaßen eben nicht 0 ist, und dich dann auf diese Regel "Ich berechne einfach F(8) statt F(8) - F(0)" verlässt, kommst du auf falsche Ergebnisse.

X: "Ruf die Polizei, der A hat den B geschlagen!"

Y: "Wie kommst du darauf?"

X: "Der B hat mir doch Aufnahmen für sein neues Video geschickt, das ich schneiden soll. Er ist kurz zur Tür gegangen, hat aber die Kamera angelassen. Ich hab die Stimme vom A gehört, dann hat's gescheppert und der B kam mit einer Wunde im Gesicht zurück."

Y: "Sieht man [auf dem Video], wie A den B schlägt?"

X: "Nein..."

Y: "Bisschen dürftig für einen Beweis. Frag den B doch einfach mal, bevor wir direkt zur Polizei gehen."

X: "Ok, hast recht."

Würdest du hier sagen, dass Y die Aussage "A schlägt den B" als Wahrheit oder auch nur wahrscheinliche Situation darstellt?

Der Rang einer Matrix ist gleich dem Rang ihrer Transponierten. Daher ist es für die Bestimmung des Rangs egal, ob du die Vektoren als Zeilen oder als Spalten in die Matrix schreibst - mit beiden Varianten kannst du am Ende des Gauß-Verfahrens sofort ablesen, wie viele linear unabhängige Vektoren es gibt und wie groß daher eine Basis sein muss.

Ich persönlich würde die erste Variante bevorzugen, weil man bei der auch sofort eine Basis mitgeliefert bekommt.

Hier wird aber gesagt dass die Äquivalenzklasse von X bedeutet dass y in X liegt sodass y mit x in relation steht. Das heißt rein theoretisch schließt man nicht aus dass die Relation zb asymmetrisch sein darf

Wenn von Äquivalenzklassen geredet wird, dann wird implizit angenommen, dass ~ hier eine Äquivalenzrelation ist. Prinzipiell ist die Definition auch für beliebige Relationen möglich, aber dann würde man [x] nicht mehr Äquivalenzklasse nennen.

zudem frage ich mich warum y in X und nicht x in X deklariert wird?

Machen wir mal ein ganz konkretes, nicht besonders mathematisches Beispiel. Wir haben eine Menge M von Menschen, sagen wir:

M ={Anna, Bernd, Claus, Dennis, Emily}.

Die haben alle für Freitagabend Pläne:

• Anna und Bernd gehen zusammen ins Kino
• Claus und Dennis feiern zusammen in der Disco
• Emily geht alleine ins Fitness-Studio

Wir können jetzt auf M eine Äquivalenzrelation definieren durch:

x ~ y genau dann wenn x am Freitagabend gemeinsam mit y unterwegs ist.

D.h. wir haben z.B. Anna ~ Bernd, aber nicht Claus ~ Emily.

Du kannst zur Übung gerne nachprüfen, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.

Schauen wir uns nun beispielsweise die Äquivalenzklasse von Anna an:

[Anna] = { y ∈ M | Anna ~ y}.

Das ist die Menge aller Menschen (aus M), die Freitagabend gemeinsam mit Anna unterwegs sind. Das sind gerade Anna und Bernd:

[Anna] = {Anna, Bernd}.

Analog berechnen wir:

• [Bernd] = {Anna, Bernd},
• [Claus] = [Dennis] = {Claus, Dennis},
• [Emily] = {Emily}.

D.h. es gibt eigentlich nur 3 unterschiedliche Äquivalenzklassen, nämlich [Anna], [Claus] und [Emily]. Unsere Äquivalenzrelation hat dadurch unsere ursprüngliche Menge M auf relativ natürliche Weise in 3 paarweise disjunkte Gruppen aufgeteilt.

Das gibt uns den Vorteil, dass wir nun über [Anna] als "Anna's Gruppe" reden können, statt über "Anna und Bernd". Das ist hilfreich, wenn wir Aussagen treffen wollen, die sich nicht für die konkreten Menschen interessieren sondern jeweils für ganze Gruppen zutreffend sind.

Bei mathematischeren Beispielen kannst du genauso denken: [x] ist einfach die Gruppe (im nicht algebraischen Sinn), zu der x gehört. Und jede Äquivalenzrelation garantiert, dass diese Gruppen paarweise disjunkt sind.

Notwendig: Die Bedingung muss erfüllt sein, damit es sich überhaupt um eine Extrem-/Wendestelle handeln kann.

Beispiel: f '(x) = 0 ist notwendig, damit x eine Extremstelle ist. Oder anders ausgedrückt: Wenn nicht f '(x) = 0 gilt, dann ist x auch keine Extremstelle.

Hinreichend: Die Bedingung "reicht aus", um zu zeigen dass es sich um eine Extrem-/Wendestelle handelt.

Beispiel: (f '(x) = 0 und f ''(x) ≠ 0) ist hinreichend, damit x eine Extremstelle ist. Oder anders ausgedrückt: Wenn f '(x) = 0 und f ''(x) ≠ 0 ist, dann ist x safe eine Extremstelle.

Zusammengefasste Faustformel:

• Hinreichend erfüllt ---> Extrem-/Wendestelle.
• Notwendig nicht erfüllt: ---> keine Extrem-/Wendestelle.
• Notwendig erfüllt, aber hinreichend nicht erfüllt ---> 🤷‍♀️

Nachsatz: Beachte, dass f '(x) = 0 zur hinreichenden Bedingung dazugehört, nur f ''(x) ≠ 0 reicht nicht!

Wenn wir eine Zahl n haben, dann gilt:

n^2

= ((n - 50) + 50)^2 | binomische Formel

= (n - 50)^2 + 100 * (n - 50) + 50^2

= (n - 50)^2 + 100 * (n - 50) + 2500 | 100 ausklammern

= (n - 50)^2 + 100 * (n - 50 + 25)

= (n - 50)^2 + 100 * (n - 25).

Wenn wir uns jetzt die Dezimaldarstellung einer Zahl wie 12345 angucken, dann können wir die ja schreiben als:

12345

= 45 + 12300

= 45 + 123 * 100.

D.h. wir spalten die Zehner- und Einerstelle von der Zahl ab und addieren alles ab der Hunderterstelle separat drauf.

Der obige Term (n - 50)^2 + 100 * (n - 25) hat jetzt auch diese Form: (n - 50)^2 sind die Zehner- und Einerstelle und (n - 25) ist alles ab der Hunderterstelle.

Diese Dezimaldarstellung funktioniert aber natürlich nur, solange (n - 50)^2 tatsächlich kleiner als 100 ist! D.h. nur für solche n, für die (n - 50) betragsmäßig nicht größer als 9 ist, denn bereits 10² ist dreistellig.

Das ist gerade für alle n zwischen 41 und 59 der Fall.

Moment, was ist mit n = 25?

Das ist mehr oder weniger Zufall, weil (n - 50)^2 = 25^2 gilt und unser Term für "alles ab der Hunderterstelle" sich zu 0 auswertet.

Aber z.B. für n = 49 funktioniert das doch gar nicht!?

Ok, 49^2 = 2401. Aber wenn man (49 - 25) und (50 - 49)^2 aneinanderreiht, kommt man nur auf 241.

Beachte aber, dass der Term (n - 50)^2 für die Einer- und Zehnerstelle steht. D.h. wir müssen die Zehnerstelle schon explizit mitnehmen. Schreiben wir also 1 = 01, so funktioniert die Regel auch hier.

Nun scheint es mir aber so, dass es überhaupt nichts bringt, japanische Wörter und Sätze zu kennen, wenn man keine Ahnung von den Schriftzeichen hat.

Das stimmt so nicht - du kannst durchaus lernen, Japanisch zu verstehen und zu sprechen, ohne auch nur ein einziges Zeichen zu kennen (ursprünglich hatten die Japaner überhaupt keine Schrift und konnten sich trotzdem verständigen).

Gerade wenn du nicht fließend sprechen, sondern einfach nur "überleben können" möchtest, sind Zeichen auch nicht unbedingt notwendig - du kannst dich mit den wichtigsten Phrasen durchschlagen.

"Entschuldigen Sie bitte, ..."

"... können Sie Englisch sprechen?"

"... wo geht's zum Bahnhof?"

"... ich hätte gerne das hier."

"... kann ich mit Karte zahlen?"

"... könnten Sie das nochmal langsamer für mich wiederholen?"

usw. sind sicher alles nützliche Sätze, die man locker einfach so lernen kann (und am besten lernst du auch dazu, die gängigen Antworten darauf zu verstehen 😉). Wenn du in Japan mit Schriftzeichen konfrontiert wirst und niemanden findest, der dir weiterhelfen kann, kannst du dich vermutlich immer noch mit google lens retten.

... That being said, es ist einfacher Japanisch zu lernen, wenn du auch die Kana lernst (davon gibt's gar nicht soo viele). Zum einen hilft das bei der Aussprache, zum anderen setzen viele Quellen zum Lernen voraus, dass du wenigstens Hiragana lesen kannst.

Das gilt einfach immer:

Weil 4 ein Teiler von 24 ist, ist 4 somit auch ein Teiler von 24 * 2, von 24 * 3 und allgemeiner von 24 * a für jede ganze Zahl a.

Wir wissen, dass erst durch die Zusatzinformation "es gibt ein klar ältestes Kind" die Aufgabe eindeutig lösbar wurde. Damit gab es vorher eine denkbare Lösung, bei denen es mindestens zwei gleichaltrige "älteste" Kinder gab. Davon gibt es gar nicht so viele, denn dann dürfen diese ältesten Kinder nicht älter als 6 sein (weil schon 7+7 über 13 wäre):

• (6,6,1) [Produkt: 36]
• (5,5,3) [Produkt: 75]

Und das war's auch schon. Preisfrage: Welche der beiden Kombinationen war denkbar? Es muss eine sein, bei der eine andere Kombination existiert, bei der dasselbe Produkt und die Summe 13 herauskommt.

Überlegen wir uns das für den zweiten Fall: 75 = 5 * 5 * 3 ist bereits die Primfaktorzerlegung. Die einzige andere Möglichkeit, mit 3 Faktoren auf dasselbe Produkt zu kommen, ist wenn ein Kind das Alter 1 hat. Dann müssten die anderen Alter aber irgendwie den fehlenden Primfaktor abbilden:

• 25 * 3 * 1
• 15 * 5 * 1
• 75 * 1 * 1

Aber in all diesen Fällen wäre schon das älteste Kind zu alt, um noch eine Summe von 13 zu ermöglichen.

D.h. das Produkt ist 36.

Das Alter jedes Kindes ist somit ein Teiler von 36. Wir überlegen uns leicht, dass das älteste Kind mindestens 5 Jahre alt sein muss (denn 4 + 4 +4 wäre zu klein). Umgekehrt darf das Alter natürlich auch nicht über 13 sein. Bleiben die folgenden Teiler für das älteste Kind übrig:

12 oder 9 oder 6.

12 ist zu hoch, nur die Lösung (12,1,0) würde die Summe 13 erlauben, aber deren Produkt ist nicht 36.

Denken wir über 6 nach und die Möglichkeiten, damit auf die Summe 13 zu kommen: (6,6,1) ist nicht die Lösung, weil es kein eindeutiges ältestes Kind gäbe. (6,5,2) und (6,4,3) gehen nicht, weil ihr Produkt nicht 36 ist.

Tja, und mehr gibt's auch nicht. Somit ist das älteste Kind auch nicht 6.

Daher ist das älteste Kind 9. Wir verteilen den Restlichen Faktor von 4 auf die anderen beiden Kinder:

• (9,4,1) - ergibt nicht die Summe 13
• (9,2,2) - die einzig mögliche Lösung.

Das ganze nennt sich "Rang-Ungleichung von Sylvester" (engl.: "Sylvester rank inequality"). Dazu sollten sich im Internet Beweise finden lassen.