Wie zeigt man folgende Aussagen?
a) und c) erscheinen mir sehr logisch, für b) fällt mir kein Gegenbeispiel ein, das diese Annahme bestätigt.
a) ist doch irgendwie schon in der Definition enthalten. Wie also sollte man das beweisen? Wenn die Teilmenge aus R beschränkt ist, dann ist freilich das Supremum irgendeine Zahl größer Null (da auch alle Elemente aus A positiv sind). Ist die Menge nicht beschränkt, dann ist die das Supremum der Teilmenge aus R Unendlich.
b) müsste mit einem Gegenbeispiel gehen.
c) Sei a eine beliebige Zahl. Dann ist ja das Intervall [a, unendlich) nicht nach oben beschränkt mit Supremum Unendlich. Deshalb enthält auch [a, unendlich) unendlich viele Zahlen.