Brauche Ansatz (Geometrie - Dreiecke)?
Der 1. Schritt ist ja immer, Dreiecke suchen. Also wenn ich dann die Kongruenz von den beiden Dreiecken beweise, kann ich ja auch sagen, dass PQ und QR gleich groß sind und dann ist die Aufgabe fast gelöst. Wäre der Kongruenzsatz dann SWS? PM=MR ?? Wie soll ich das beweisen?
2 Antworten
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Die gewünschten Eigenschaften lassen sich z. B. anhand der folgenden Figur zeigen:
Behauptung: ∢PQR = 90° und |QP| = |QR|
Beweis:
[1] ∢QCR = ∢QCD + ∢DCB + ∢BCR
[2] ∢QCD = 45°, da Diagonale im Quadrat die 90°-Ecken halbiert
[3] ∢BCR = 45°, da Diagonale im Quadrat die 90°-Ecken halbiert
[4] ∢QCR = ∢DCB + 90° wg. [1], [2] & [3]
[5] ∢QDP = ∢QDF + ∢FDG + ∢GDP
[6] ∢QCF = 45°, da Diagonale im Quadrat die 90°-Ecken halbiert
[7] ∢GDP = 45°, da Diagonale im Quadrat die 90°-Ecken halbiert
[8] ∢QDP = ∢FDG + 90° wg. [5], [6] & [7]
[9] ∢DCB = ∢BAD, weil ggü.-liegende ∢ im ∥-ogramm =groß sind
[10] ∢BAD + ∢ADE = 90°, da ∢-Summe in 3eck = 180° & ∢DEA = 90°
[11] ∢ADE + ∢EDH = 90°
[12] ∢BAD = ∢EDH wg. [10] & [11]
[13] ∢EDH = ∢FDG, da Scheitel-∢ gleich groß sind
[14] ∢FDG = ∢DCB wg. [9], [12] & [13]
[15] ∢QCR = ∢QDP wg. [4], [8] & [14]
[16] |QC| = |QD| halbe Diagonalen des Quadrats
[17] |AD| = |BC|, weil ggü.-liegende ∥-ogramm-Seiten =groß sind
[18] □ADG· um P ≅ □CB·· um R wg. [17]
[19] |PD| = |RC| wg. [18]
[20] △QRC ≅ △QPD nach SWS, wg. [15], [16] & [19]
[21] ∢PQD = ∢RQC wg. [20]
[22] ∢PQD + ∢DQR = ∢DQR + ∢RQC wg. [21]
[23] ∢DQR + ∢RQC = ∢DQC
[24] ∢DQC = 90°, da Diagonalen in Quadrat ⊥ aufeinander stehen
[25] ∢PQR = ∢PQD + ∢DQR
[26] ∢PQR = 90° wg. [25], [22], [23] & [24]
[27] |QP| = |QR| wg. [22]
q. e. d. wg. [26] & [27]
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – LMU München, Dipl. Math., eigene Recherche
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, Dreieck, rechnen
Eine Lösung mit Vektoren bietet sich an. Hier findest Du eine ähnliche Aufgabe:
Ich weiß zwar nicht was Vektoren sind aber danke (ig?)