Teilmengen Beweis von Funktionen?
Wenn gilt f(A) U f(B)
nun nehme ich eine Menge X, welche element von f(A) U f(B) ist
=> X ∈ f(A) v X ∈ f(B)
wieso darf ich jetzt sagen, dass (X ⊂ A) ∨ (X ⊂ B) ?
Woher weiß ich dass X auch eine Teilmenge von dem Definitionsbereich ist, wenn ich erst mal nur gesagt hab, dass X ∈ der Funktionswerte ist.
Danke im Voraus.
Der Beweis war f (A) ∪ f (B) = f (A ∪ B)
1 Antwort
Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist
Ich versteh deine Frage so, dass du die Behauptung
f (A) ∪ f (B) = f (A ∪ B)
beweisen sollst. Also versuchen wir es!
Beweis von f(A)∪f(B) ⊂ f(A∪B):
[1] Sei y∈f(A)∪f(B)
[2] y∈f(A) v y∈f(B) wg. [1] & Def. ∪
[3] Annahme: y∈f(A) wg. [2]
[4] ∃x∈A: y=f(x) wg. [3] & Def. f(A)
[5] x∈A∪B wg. [4] & A⊂A∪B
[6] f(x)∈f(A∪B) wg. [5] & Def. f(A∪B)
[7] y∈f(A∪B) wg. [4] & [6]
[8] Annahme: y∈f(B) wg. [2]
[9] ∃x∈B: y=f(x) wg. [8] & Def. f(B)
[10] x∈A∪B wg. [9] & B⊂A∪B
[11] f(x)∈f(A∪B) wg. [10] & Def. f(A∪B)
[12] y∈f(A∪B) wg. [9] & [11]
[13] f(A)∪f(B) ⊂ f(A∪B) wg. [1] & [12]
Beweis von f(A∪B) ⊂ f(A)∪f(B):
[14] Sei y∈f(A∪B)
[15] ∃x∈A∪B: y=f(x) wg. [14] & Def. f(A∪B)
[16] x∈A v x∈B wg. [15] & Def. ∪
[17] Annahme: x∈A wg. [16]
[18] f(x)∈f(A) wg. [17] & Def. f(A)
[19] y∈f(A) wg. [15] & [18]
[20] f(A) ⊂ f(A)∪f(B) wg. Def. ⊂ und ∪
[21] y∈f(A)∪f(B) wg. [19],[20] & Def. ⊂
[22] Annahme: x∈B wg. [16]
[23] f(x)∈f(A) wg. [22] & Def. f(A)
[24] y∈f(A) wg. [15] & [23]
[25] f(A) ⊂ f(A)∪f(B) wg. Def. ⊂ und ∪
[26] y∈f(A)∪f(B) wg. [24],[25] & Def. ⊂
[27] f(A∪B) ⊂ f(A)∪f(B) wg. [14],[26] & Def. ⊂
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – LMU München, Dipl. Math., eigene Recherche