Aufgaben zu Gruppen?
Aufgabe 1. d) verstehe ich echt null, und was ist mit h) genau gemeint?
Die Menge von den natürlichen Zahlen N vereinigt mit der Menge {1/n aus Q, und es gilt n ist aus der Menge der natürlichen Zahlen - verknüpft mit der Multiplikation?
Aufgabe 2. a) Alle Elemente aus a,b aus der Menge G { in der alle Elemente sind für die gilt (a*b)^-1 = a^-1 * b^-1 } - ist das soweit richtig verstanden?
Und 2b) Es gibt ein Element a,b in G für das gilt a*b = b*a -> das soll äquivalent sein zu G ist abelsch. Aber dann müsste nicht nur ein Element sondern jedes Element kommutativ sein oder?
2 Antworten
Aufgabe 1. d) verstehe ich echt null
GLₙ(K) ist die Allgemeine Lineare Gruppe (General Linear Group) vom Grad n über dem Körper K. Wie der Name schon sagt ist das eine Gruppe und besteht aus den invertierbaren K ⁿ ˣ ⁿ - Matrizen. Sind alle invertierbaren Matrizen kommutativ?
und was ist mit h) genau gemeint?
Das ist die Menge ℕ ∪ {1, 1/2, 1/3, ...} = {..., 1/3, 1/2, 1, 2, 3, ...}. Kommutativität und Assoziativität werden vererbt, da es eine Teilmenge der rationalen Zahlen ist. Ist die Menge unter der Multiplikation auch abgeschlossen?
Aufgabe 2. a) Alle Elemente aus a,b aus der Menge G { in der alle Elemente sind für die gilt (a*b)^-1 = a^-1 * b^-1 } - ist das soweit richtig verstanden?
Deine Formulierung ist noch keine Aussage. Die Aussage ist, dass für beliebige a, b aus G gilt: (ab)⁻¹ = a⁻¹b⁻¹.
Und 2b) Es gibt ein Element a,b in G für das gilt a*b = b*a -> das soll äquivalent sein zu G ist abelsch. Aber dann müsste nicht nur ein Element sondern jedes Element kommutativ sein oder?
Es gibt Elemente a, b in G mit ab = ba. Ja, es müsste für alle a, b aus G gelten. Ansonsten wäre bereits jede Gruppe abelsch, da alle Elemente mit dem neutralen Element kommutieren.
Was ist das Problem bei 1d). Weißt du nicht, was Matrizen sind?
1h) Ja genau das wird damit beschrieben.
2a) Naja ich bin mir nicht ganz sicher, ob du das richtige meinst. Das heißt alle Elemente aus der Gruppe erfüllen die Eigenschaft.
2b) Das ist das Problem, nur weil 2 Elemente kommutieren müssen es nicht alle tun. Dafür brauchst du aber noch ein Gegenbeispiel.