Möglich ist es. Wobei es natürlich wichtig ist sich vorher zu überlegen, was du überhaupt lernen willst. In deiner Frage steht etwas von Geometrie. Aber welche Geometrie? Die Elementargeometrie aus der Mittelstufe, die analytische Geometrie der Oberstufe oder verschiedenen Geometrierichtungen (algebraische Geometrie, Differentialgeometrie) wie sie in typischen Univorlesungen zu finden sind. Je nach Ziel kannst du dir dann einen Fahrplan ausarbeiten. Welche Voraussetzungen und -kenntnisse brauche ich? Wo finde ich das mir fehlende Wissen? Wie viel Zeit nehme ich mir dafür bzw. kann ich dafür aufwenden? Und so weiter. Falls du mehr in Richtung universitärer Themen gehen willst, schadet es auf keinen Fall Lineare Algebra I und evtl. auch Analysis I zu lernen. Dazu gibt es sehr viele Skripten und Bücher mit vielen Übungen. Die zwei Vorlesungen bilden die Grundlage eines Mathematik Studiums und sind einerseits Grundlage für viele aufbauende Themen. Andererseits helfen sie sich an die mathematische Denkweise zu gewöhnen. Gerade Lineare Algebra hat auch viele Bezüge zur Geometrie.

Ob du Vorteile bezüglich des Denkens im Vergleich zu Schüler hast. kann ich nicht beurteilen. Möglicherweise bist du etwas freier, da du dir für dich interessante Themen aussuchen kannst. Der Besuch einer Schule/ Universität ist insofern besser, da du obigen Plan bereits ausgearbeitet erhältst. Zudem werden in den Vorlesungen die wichtigsten Dinge relativ kompakt dargestellt und man muss sich nicht durch ganze Bücher schlagen. Die Motivation ist auch noch so eine Sache. An der Uni hat man zumindest durch Prüfungen den Druck den Stoff zu lernen und auch zu sehen, wie gut man ihn versteht. Beim Eigenstudium kann das zu kurz kommen.

Ja genaue bei der Transformation auf die euklidische Normalform müssen die Eigenvektoren orthogonal (sogar orthonormiert) sein. Das sind deine zwei nicht. In der Aufgabe wurde auch anders vorgegangen als bei dir. Wir kennen v1 schon und dann wählen wir direkt v2, so dass er senkrecht auf v1 steht. Das Kreuzprodukt braucht man nicht, da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix immer orthogonal sind.

Im Grunde ja. Der einzige Unterschied ist, dass der Gradient ein Spaltenvektor und das ein Zeilenvektor ist. Oder genauer formuliert: Df(x) ist der transponierte Gradient. Für die Berechnung der Extremstellen macht das aber keinen Unterschied.

Habt ihr einen (erlaubten) Spickzettel? Wenn ja, dann würde ich auf keine Fall Teile des Skripts auswendig lernen. Falls nicht, dann kann es nicht schaden die wichtigsten Sätze im Kopf zu haben. Meistens kann man diese aber sowieso schon durch das Durchrechnen von Aufgaben vor der Klausur. Ansonsten würde ich dir einfach empfehlen Altklausuren oder Klausuren aus dem Internet zu rechnen. Vor allem zu Lineare Algebra I und Analysis I gibt es dazu viele mit Lösungen. Mehr habe ich eigentlich nicht gemacht.

Geschrieben habe ich sie mit Word. ;)

Als Quellen habe ich Bücher und Internetartikel verwendet. Manche Bücher habe ich mir gekauft, da sie nicht sehr teuer waren. Das ist aber bei vielen Fachbücher nicht so, da kommt man sehr schnell auf höhere Preise. An der nächstgelegen Unibibliothek habe ich mir dann Bücher angeschaut, die mir entweder zu teuer waren oder die ich nur für einige Abschnitte benötigt habe. Ich habe mir die Bücher aber nicht ausgeliehen. Dafür braucht man als Nicht-Student einen Bibliotheksausweis und diesen wollte ich nicht extra beantragen.

Bei n ungleich -1 kommt schon 0 raus:



So kann man diese Aufgabe leider nicht bearbeiten. Das Problem ist, dass g keine periodische Funktion ist. Daher gibt es keine Darstellung als Fourierreihe. Diese sind nämlich immer periodisch. Was du hier berechnen musst, ist die Fourier-Transformierte.

Hast du schon auf Englisch gesucht? Bei solchen Spezialgebieten wird man auf Deutsch kaum was finden. Ich bin relativ schnell auf das Gebiet der "Gravitational Biology" gestoßen. Vielleicht ist das ja etwas an das deine Suche anknüpfen kann. Ich habe zum Beispiel zwei Bücher zu diesem Gebiet gefunden:

• Gravitational Biology I
• Gravitational Biology II

Diese Bücher drehen sich zwar, soweit ich es im Inhaltsverzeichnis erkennen kann, nicht um globale Entwicklungen des gesamten Ökosystem, sondern um die Mikroprozesse in den Pflanzen. Aber eventuell kann man ja vom einen auf das andere schließen. Zudem könntest du in den jeweiligen Quellen weitere hilfreiche Arbeiten finden.

Das Problem wird aber wohl auch sein, an die Bücher zu kommen. Ohne universitären Zugang könnte es da schwierig werden.

Hier geht es im Grunde nur darum, die Definition von gleichmäßig stetig stehen zu haben.

Was bei der Abschätzung von

unter anderem gemacht wird, ist x^2 nach oben abzuschätzen. Da x in [1,2] liegt, folgt x^2<=4. Nun will man ganz am Ende stehen haben:

,denn das steht auch so in der Definition von gleichmäßig stetig. Daher muss man den Teil mit sin(x^2/N) noch geeignet abschätzen. Wir versuchen ihn daher gegen ε/4 abzuschätzen, da dann ganz am 4*ε/4=ε stehen bleibt. Genau das was wir wollen.

Im Grunde könnte man auch einfach ε statt ε/4 wählen. Dann hätte man

Daraus würde immer noch gleichmäßige Konvergenz folgen, da ε sowieso beliebig klein werden kann. Aber in der Mathematik mag man schöne Lösungen, daher schätzt man so ab, dass am Ende nur noch ein ε wie in der Definition von gleichmäßig stetig steht.

Noch als Tipp: Oft sieht man vielleicht nicht direkt, was die "schöne" Abschätzung sein soll. Du kannst daher auch einfach mal ein ε' wählen und schauen, wie man das dann besser festlegen kann. Also man wählt das ε' erst nachdem man fertig ist. Im Beweis sieht es dann aber so aus, als wüsste man es a priori schon.

Also entweder du kopierst die Argumente der Aufgabe einfach und dann solltest du auch den anderen Fall beweisen können. Alternativ kannst du dir folgendes überlegen. Zuerst sehen wir:



Daraus folgt:



Allgemein gilt zudem det(A)=det(A^T). Insgesamt erhalten wir:



Wenn du dir die Summe über 1/k^2 und 1/(k+1)^2 ansiehst, merkst du vielleicht, dass in beiden Reihen die fast die selben Summanden vorkommen. Der einzige Unterschied ist, dass die Reihe über 1/k^2 noch ein zusätzliches 1/1^2 enthält. Du kannst also die Reihe über 1/(k+1)^2 als die Reihe über 1/k^2 abzüglich 1 schreiben.

Ja, der Gradient der Funktion reicht. Wobei natürlich gewisse Regularitätsbedingungen erfüllt sein müssen. Was du ja vermutlich eigentlich willst, ist ein Normalenvektor der Untermannigfaltigkeit M=f^-1{0}, wobei

stetig differenzierbar ist. Damit M aber wirklich eine (n-1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist, müssen wir ∇f(x) ≠ 0 für alle x in M fordern. Für x aus M ist ∇f(x) dann auch ein Normalenvektor von M in x. Wichtig ist also ∇f(x) ≠ 0!

Ich kann dir natürlich nicht sagen, wie dieser Professor eine mündliche Prüfung gestaltet. Zudem waren meine mündlichen Prüfungen anders gestaltet. Aber als allgemeiner Tipp: Falls ihr eine Fachschaft für Physik habt, kannst du mal schauen, ob diese Prüfugnsprotokolle haben. Da kann man sehen, wie die Prüfungen gestellt werden.

Lambda ist eine Diagonalmatrix. Die transponierte Matrix einer diagonalen Matrix ist wieder die gleiche Matrix. Um das zu sehen, nehmen wir einfach mal an, dass A diagonal ist und B=A^T. Dann gilt b_ij=a_ji. Für i ungleich j gilt aber a_ji=0=a_ij, also auch b_ij=0 und damit b_ij=a_ij. Für i=j gilt b_ii=a_ii. Insgesamt gilt also b_ij=a_ij und damit A=A^T.

Zwei richtige Antworten hast du schon. Nun noch ein Beispiel warum es einen solchen Zusammenhang nicht gibt. Die Koch-Schneeflocke hat einen endlichen Flächeninhalt, aber einen unendlichen Umfang.

Zuerst einmal ist die Idee hinter Stetigkeit, dass eine Funktion keine Sprünge hat. Bei der Beschleunigung eines Autos ist es z.B. nicht so, dass die Geschwindigkeit plötzlich von 10 km/h auf 50 km/h springt. Nun will ein Mathematiker das Ganze mathematisch präzise erfassen. Denn erstens ist die Sprungdefinition nicht ganz richtig (es gibt auch Funktionen ohne Sprünge, die man aber trotzdem nicht als stetig ansehen will) und zweitens müsste man auch Sprung erst definieren. Also überlegt man sich, was bei einem Sprung schief läuft. Sagen wir mal wir haben eine Funktion f mit f(x)=1 für x>=0 und f(x)=0 für x<0. Wenn ich mich der 0 von links nähere, ist der Wert der Funktion 0, aber in 0 dann plötzlich 1. Nähere heißt einfach ich wähle eine gegen 0 konvergente Folge, z.B. (-1/n). Es gilt:

 Aber:

 Eigentlich will ich aber, dass gilt:

 Und das nicht nur für (-1/n), sondern jeder Folge, die gegen 0 konvergiert. So komme ich zu der Definition. Eine Funktion ist stetig in a, falls für jede gegen a konvergierende Folge (x_n) (also jede Näherung an a), f(x_n) gegen f(a) konvergiert. Nähere ich mich a, dann muss sich f(x) auch f(a) nähern.

Ich würde die Darstellungsmatrix davon berechnen. Als Basis bietet sich für V (E_i,j) an. Da ist eine Matrix deren einzige Nichtnull-Komponten (i,j) ist und diese ist gleich 1. Sobald du die Darstellungsmatrix berechnet hast, kannst du die Eigenwerte wie immer über das charakteristische Polynom berechnen. Dabei würde ich dann die Fallunterscheidung durchführen.

Bevor wir da loslegen und irgendwas hinschreiben, stellen wir erstmal ein paar Vorüberlegungen an. Damit überhaupt ein Isomorphismus existieren kann, müssen U und W die selbe Dimension haben. Bei U sieht man relativ leicht ein, dass dim(U)=2 gilt. Das gegebene Erzeugendensytem von W bestehet aus drei Vektoren. So wie die Aufgabe gestellt wurde, ist klar, dass auch dim(W)=2 gelten muss. Aber das müssen wir trotzdem erstmal zeigen. Das ist also deiner erste Aufgabe. Im Zuge dessen, konstruierst du dann auch eine Basis für W. Wenn du diese vorliegen hast, reicht es die zwei Basisvektoren von U bijektiv auf die zwei von W abzubilden. Durch diese Vorgabe wird dann bereits eine eindeutige lineare Abbildung f bestimmt. Du kannst dir dann noch überlegen, warum f bereits bijektiv ist.

Die Ableitung in 0 ist zwar 0, aber die Begründung ist falsch. Du musst hier die Definition anwenden. Also überprüfen ob folgender Grenzwert existiert:

 Das ist einfach die h-Methode im Punkt 0. Für einen solchen Grenzwert habt ihr vielleicht schon Aussagen bewiesen.

Ich würde an deiner Stelle Physik wählen. Zum Lernen ist es wesentlich angenehmer und in Bio muss man auch den Stoff verstehen und anwenden können. Gerade wenn dir das Auswendiglernen nicht so liegt, ist Physik die bessere Wahl. Dass man in Bio nur auswendig lernen muss, halte ich aber für einen Mythos. Die Transferaufgaben in meinen Bioklausuren hätte man ohne Verständnis nicht lösen können. Und mach dir keine Sorgen, falls du etwas nicht verstehst. Wichtig ist dann das Nachfragen beim Lehrer. Außerdem gibt es in Physik die sehr gute Website Leifiphysik. Auf dieser finden sich schöne Erklärungen und Übungsaufgaben.