Die Hinrichtung folgt daraus, dass an und bn Teilfogen sind. Entweder hier habt dazu schon bewiesen oder dur überlegst es dir direkt mittels den Definitionen.

Für die Rückrichtung schreibst du dir am besten mal hin, was es bedeutet, dass an und bn gegen den selben Grenzwert a konvergieren. Dann versucht du daraus zu zeigen, dass cn konvergiert. Die Idee ist dabei, dass cn gleich an oder bn sein muss. Für große n gehen aber sowohl an als auch bn gegen a.

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Einfach mal nach Studiengang X Universität Y googeln. Dann auf der Website nach Verlaufsplan/ Studienaufbau oder sonstigem suchen, was irgendwie nach "Stundenplan" klingt. Danach kannst du auch noch ins Modulhandbuch schauen, in dem die verschiedenen Veranstaltungen genauer erläutert werden. Wichtig ist auch, dass in höheren Semester eine (von Studiengang zu Studiengang unterschiedliche) Wahlfreiheit besteht. Das heißt die Studenten können sich aussuchen, welche Vorlesungen sie besuchen wollen.

Wenn du nun eine Beispielsverlaufsplan gefunden hast, suchst du als nächstes nach Z Skript, wobei Z der Name der Vorlesung ist. Oder einfach nach Büchern, wobei diese vermutlich nicht kostenlos sind.

Das obige Vorgehen ist aber nicht ganz optimal, da Vorlesungen aufeinander aufbauen können und die Skripte von verschiedenen Unis verschieden Dinge behandeln können. Aber es ist zumindest eine Möglichkeit.

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Also entweder man definiert den Hodge-*-Operator auf diese Weise oder (ich vermute das ist eure Definition), man betrachtet eine Riemannsche Metrik g auf M (M orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n). Diese ist punktweise ein Skalarprodukt auf T*p(M). D.h. mit Linearer Algebra erhalten wir ein Skalarprodukt <-,-> auf



definiert durch

Außerdem haben wir eine nicht degenerierte Paarung:

Sei nun vol die Volumenform von M.

Der Hodge-*-Operator wird nun als eindeutige Abbildung

die

erfüllt. (vol(p) als Element von ).

Zu deiner Frage: Hier können wir punktweise argumentieren und sind somit in obiger Situation und nicht mehr bei Differentialformen. Zudem können wir uns auf eine offene Kartenumgebung um p einschränken, da die Tangentialräume isomorph sind. Lokal können wir dann jedes Element des alternierenden Produkts schreiben als Linearkombination von e^I. Das ist die ^n Notation, allgemein wäre es dx^I(p) für eine Karte (U,x). Die Argumente sind aber die gleichen. Du kannst also das folgende auch für allgemeine Mannigfaltigkeiten durchrechen. Der Vorteil hier besteht, aber darin, dass wir mit ONB argumentieren und daher nicht auf skalare Vielfache aufpassen müssen. Den allgemeine Fall kann man mit obigen lokalen Argumenten darauf reduzieren. Das ist ein beliebtes Mittel in Differentialgeometrie. Wir können uns nun darauf einschränken, zu zeigen (beachte, dass alle beteiligten Produkte bilinear sind und Hodge-* punktweise linear ist):



(I,J) ist die Permutation aus deiner Angabe. Wir bemerken, dass

Nun sehen wir, dass für

gilt (per Definition und da e^I ONB):

,wobei das Kronecker-Delta für Multiindizes hier so definiert ist, dass es gleich 1 ist für I=J' und sonst 0. Und:

Die erste Gleichung gilt, da die Volumenform auf ONBs 1 ist. Die zweite, da das Dachprodukt gleich 0 ist für zwei gleiche Indizes. D.h. es gibt eine Index in J', der nicht in I ist. Also ist das Kronecker-Delta 0. Falls I völlig verschieden von I'. Dann gilt, dass das Dachprodukt bis auf das Vorzeichen der Permutation gleich 1 ist, wegen ONB.

Es gilt aber auch I=J' und daher:



Aus obigen folgt nun:



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Ich wette durch die ganzen (hilfreichen) Antworten hast du bestimmt noch mehr Sorgen. ^^

In welcher Klasse bist du eigentlich? Ich würde mir an deiner Stelle mal ein Skript zur Lineare Algebra I bzw. Analysis I herunterladen. Anschließende fängst du mal an das Skript durchzulesen. Damit meine ich nicht überfliegen, sondern versuchen zu verstehen. Du musst nicht alles gleich könne, aber es ist gut für einen ersten Eindruck der universitären Mathematik.

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Berechne die Nullstellen des Gradienten. Das sind alle in Frage kommenden Punkte. Anschließend berechnest du die Hesse-Matrix H(x) in jedem dieser Punkte x. Dann gilt:

H(x) positiv definit impliziert x ist lokales Minimum

H(x) negativ definit impliziert x ist lokales Maximum

H(x) indefinit impliziert x ist Sattelpunkt

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Was verstehst du unter (1)(4)(2) bzw. allgemeiner unter (n)? Falls (n) bei dir nichts anderes als die Identität ist, dann stimmt deine Lösung. Allgemein gilt für einen Zyklus σ der Länge k, dass σ^k=id. D.h. die offizielle Lösung ist falsch, da (1,4,2)^3=(1,4,2) nicht die Identität ist.

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Der Satz von Vieta gilt nur, wenn dein Polynom die Form:

 hat. Vor dem x^2 muss also eine 1 stehen. Das ist aber kein Problem, weil für allgemeine Polynome gilt:

 Und das Polynom in der rechten Klammer hat die selben Nullstellen.

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Wir definieren eine Relation auf durch (f,g)∈R ⇔ Es existiert eine Permutation σ∈Sm mit f=σ◦g

Das ist die Relation. f steht in Relation mit g, falls die die Bildpunkte von g so permutieren kannst, dass die neue Funktion f ist. Für Reflexivität musst du also eine Permutation σ finden, so dass f= σ◦f. Jetzt wäre es nicht schlecht eine Permutation zu wählen, die gar nichts verändert. Welche wäre das?

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Als erstes musst du zeigen, dass f wohldefiniert ist. Das heißt in diesem Fall: Für z,y ganze Zahlen mit z ≡ y mod n muss auch xz ≡ xy mod n gelten.

Für die Bijektivität muss ich erstmal fragen, ob du Gruppen(-theorie) kennst. Denn dann gibt es sehr elegante Lösungen. Falls ja kannst du leicht zeigen, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist. Dann reicht es für die Injektivität aus folgendes zu zeigen:

f(y)=0 impliziert y=0

Oder anderes ausgedrückt xy ≡ 0 mod n impliziert y ≡ 0 mod n. Dafür musst du dann n teilt x nicht und n prim nutzen. Ohne diesen Trick kannst du Injektivität auch zeigen. Der Beweis würde sich aber wieder auf diesen Fall reduzieren. Falls Injektivität gezeigt wurde, kannst du den Schubladentrick anwenden, um die Bijektivität zu zeigen.

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Ohne weitere Voraussetzung muss g nicht linear sein. Siehe V=ℝ=W, f=id und U=W. Dann gilt Z=U=V=W und du kannst dir als g z.b. g(x)= x^3 definieren.

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Was ist g und f, wenn du in deinem Beweis das f aus der Frage mit f~ bezeichnest?

Wenn es dir aber darum geht zu zeigen, dass:

 offen ist, dann kann der Kompakte-Hausdorff-Trick hilfreich sein. Für topologische Räume X und Y, wobei X kompakt und Y hausdorff ist, gilt:

 stetig und bijektiv impliziert, h offen.

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(Deutsche) Standardbücher sind:

Busam, R., Freitag, E.: Funktionentheorie

Fischer W., Lieb, L.: Funktionentheorie

Jänich K.: Funktionentheorie. Eine Einführung

Leutbecher A.: Vorlesungen zur Funktionentheorie I.

Remmert R.: Funktionentheorie I

Ich muss aber sagen, dass ich keines davon gelesen habe. Daher kann ich auch keine Aussage über die Didaktik und die Schwierigkeit der Bücher sagen. Schau dir am besten mal Rezensionen und die Inhaltsverzeichnisse der Bücher an.

Von Jänich würde ich aber abraten (aus preislicher Sicht), da er sehr kurz ist. Da kann man für etwas mehr Geld deutlich mehr Inhalt bekommen.

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