Ist die Menge {0,1} ein Ring?
Ist die Menge {0,1} mit der Addition 0+0=1+1=0 und 0+1=1+0= 1 und der Multiplikation x*y=0 (für x,y Element {0,1} beliebig) ein Ring? ?Wenn ja, besitzt er ein Einselement bzw. ist er kommutativ?
3 Antworten
Ja. Es handelt sich dabei um einen Ring. [Du kannst ja die Ringaxiome mal nachprüfen. Ich schreibe das jetzt nicht extra auf.]
Nein, der Ring besitzt kein Einselement. Denn 0 ist kein neutrales Element der Multiplikation, da 0 * 1 = 0 statt 0 * 1 = 1 ist. Und auch 1 ist kein neutrales Element der Multiplikation, da 1 * 1 = 0 statt 1 * 1 = 1 ist.
Ja, der Ring ist kommutativ, da offensichtlich a * b = 0 = b * a für alle Elemente a, b im Ring ist.
Ja, insbesondere muss die Menge zusammen mit der Addition eine abelsche Gruppe bilden.
[Aber das ist nur eine notwendige Bedingung für einen Ring. Es ist allein nicht hinreichend, da noch weitere Bedingungen (Halbgruppe mit Multiplikation; Distributivität) erfüllt werden müssen.]
weil ich brauche ja a+(b+c)= (a+b)+c, aber was ist a,b, c? ich verstehe das nicht
a, b, c sind beliebige Elemente aus der Menge {0, 1} des Rings.
Da es nicht viele Elemente sind, könntest du da alle Kombinationen einzeln durchgehen.
0 + (0 + 0) = 0 = (0 + 0) + 0
0 + (0 + 1) = 1 = (0 + 0) + 1
0 + (1 + 0) = 1 = (0 + 1) + 0
0 + (1 + 1) = 0 = (0 + 1) + 1
1 + (0 + 0) = 1 = (1 + 0) + 0
1 + (0 + 1) = 0 = (1 + 0) + 1
1 + (1 + 0) = 0 = (1 + 1) + 0
1 + (1 + 1) = 1 = (1 + 1) + 1
ja das weiß ich. aber ich weiß leider nicht, wie ich das nachweisen soll.
Da es nicht viele Elemente sind, könntest du da alle Kombinationen für a, b, c einzeln durchgehen.
0 + (0 + 0) = 0 + 0 = 0 = 0 + 0 = (0 + 0) + 0
0 + (0 + 1) = 0 + 1 = 1 = 0 + 1 = (0 + 0) + 1
0 + (1 + 0) = 0 + 1 = 1 = 1 + 0 = (0 + 1) + 0
0 + (1 + 1) = 0 + 0 = 0 = 1 + 1 = (0 + 1) + 1
1 + (0 + 0) = 1 + 0 = 1 = 1 + 0 = (1 + 0) + 0
1 + (0 + 1) = 1 + 1 = 0 = 1 + 1 = (1 + 0) + 1
1 + (1 + 0) = 1 + 1 = 0 = 0 + 0 = (1 + 1) + 0
1 + (1 + 1) = 1 + 0 = 1 = 0 + 1 = (1 + 1) + 1
oh okay, danke!!!
und das gleiche muss ich dann auch bei der Assoziativität der Multiplikation und der Distributibität machen, oder?
Ja.
Wobei du bei der Multiplikation gar nicht alle Fälle einzeln durchgehen musst, da ja a * b = 0 für beliebige Elemente gilt. Da kannst du beispielsweise für die Assoziativität einfach...
(a * b) * c = 0 = a * (b * c)
... und für die Distributivität einfach...
a * (b + c) = 0 = 0 + 0 = a * b + a * c
(b + c) * a = 0 = 0 + 0 = b * a + c * a
... aufschreiben.
ok dankeschön.
Eine Frage noch:
beim neutralen und inversen element, muss ich das dann so machen:
Neutral: 0+0=0+0=0 und 0+1=1+0=1
invers: -1+1=1-1=0 und 0+0=0+0=0
passt das so?
Das für das neutrale Element passt.
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Aber das mit dem inversen Element passt nicht. Es ist beispielsweise nicht klar, was da „-1“ sein soll... welches der Elemente 0, 1 ist mit „-1“ gemeint.
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Richtig wäre bei den inversen Elementen bzgl. der Addition:
0 + 0 = 0 --> 0 ist das inverse Element zu 0 bzgl. der Addition.
1 + 1 = 0 --> 1 ist das inverse Element zu 1 bzgl. der Addition.
[Denn allgemein musst du zeigen, dass es zu jedem Element a ein zu a inverses Element -a mit a + (-a) = 0 und (-a) + a = 0 gibt. Im konkreten Fall gibt es zu 0 das Element -0 := 0 und zu 1 das Element -1 := 1.]
Ring ja, kommutativ ja, Einselement: nein, da die Multiplikation trivial definiert ist…
Es ist nicht nur ein Ring, sondern der kleinste Körper (F2).
Es ist auch unklar ob der Fragesteller es so gemeint hat, wie er es dargestellt hat.
damit es ein RIng ist muss die Addition eine abelsche gruppe bilden, oder? Ich verstehe nicht genau, wei ich die Assoziativität überprüfe, weil ich brauche ja a+(b+c)= (a+b)+c, aber was ist a,b, c? ich verstehe das nicht