Vektorraum, Untervektorraum?
Hallo, bin voll am Verzweifeln, weil ich nicht verstehe was ein Vektorraum ist. Habe mir die Definition dazu angeschaut und alles was ich verstehe ist,
das ein Vektorraum eine Menge von Vektoren ist, die für die Addition und Multiplikation abgeschlossen ist
und ein untervektorraum ist einfach eine Teilmenge des Vektorraumes für die das gleiche gilt wie V.
Ich kann mir aber einfach gar nix darunter vorstellen, ich checke das nicht :(((((((( das ist mir zu abstrakt irgendwie.
2 Antworten
Ein K-Vektorraum (das K ist hier wichtig!)
Ist eine Menge V mit einem Körper K, mit zwei Verknüpfungen.
1. Eine Innere Verknüpfung, die meist mit einem + bezeichnet wird (es muss aber nicht die Klassische Addition sein)
2. Eine äußere Verknüpfung, die mit einem Malzeichen bezeichnet wird.
Die innere Verknüpfung ordnet zwei Elementen aus V jeweils ein drittes Element aus V zu. Wenn also v, w in V sind, dann ist v+w auch in V
Die Äußere Verknüpfung ordnet einem Skalar a aus K und einem Element v aus V ein Element aus V zu, a*v ist somit ein Element aus V.
Die beiden Verknüpfungen müssen noch bestimmte Eigenschaften erfüllen, die du aber auch siehst, wenn du dir die Definition anschaust.
Ein K-Vektorraum ist also eine Menge V, für die definiert ist, wie zwei Elemente aus V miteinander "interagieren" und wie die Körper K auf die Menge V "wirkt", wobei bestimmte Eigenschaften gelten sollen.
Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge W von V, mit den selben Verknüpfungen, die folgendes erfüllt:
W ist nicht leer
Wenn v, w in W sind, dann ist auch v+w in W
Wenn v in W und a in K ist, dann ist a*v in W
Ein Untervektorraum ist also eine nichtleere Teilmenge W von V, für die gilt, dass beide Verknüpfung abgeschlossen sind (das bedeutet, egal wie du die Verknüpfungen auf Vektoren aus W anwendest, du wirst in W bleiben).
Falls du keine Ahnung hast, was Gruppen und Körper (nicht Geometrische, sondern algebraische), dann solltest du das auf jeden Fall zuerst anschauen bevor dich mit Vektorräumen beschäftigst. (Arbeite zum Beispiel ein Buch der Linearen Algebra durch (eins auf Uni-Niveau), da werden Gruppen und Körper definiert).
Ein Beispiel dafür wäre zum Beispiel der R-Vektorraum aller Funktionen von R nach R.
Die innere Verknüpfung ist dann die Klassische Addition, man addiert also beide Funktionen, wie gewohnt.
Die Äußere Abbildung ist die klassische Multiplikation, man multipliziert dann die Funktion mit der reellen Zahl.
Ein Beispiel für einen Untervektorraum wäre dann die Menge der Abbildungen der Form f(x) = ax + b, wobei a und b reelle Zahlen sind.
(Weswegen die anderen Eigenschaften gelten, kannst du du dir selbst überlegen)
Denn: die Menge ist nicht leer
Die Summe zweier solcher Funktionen lässt sich in der vorgegebenen Form darstellen.
Wenn du eine solche Funktion mit einer reellen Zahl multiplizierst, kannst du die dann wieder in der vorgegebenen Form darstellen.
Somit ist es ein Untervektorraum.
https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition
da gibt es so Einiges, das man braucht... erstmal einen Körper (z. B. (R,+,·) )... kennst du Algebra?
ein Untervektorraum von V ist wiederum ein Vektorraum, der Teilmenge von V ist... https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Untervektorraum