Gibt es einen Isomorphismus von U/(UnW) -› (U + W) /W?
Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U, W Untervektorräume von V. Zeige:
- Es gibt einen Isomorphismus U/(UnW) -› (U + W) /W.
- Ist U Teilmenge von W, so lässt sich W/U als Untervektorraum von V/U auffassen, und (VIU)/(W/U) ist isomorph zu V/W.
2 Antworten
Ich glaube das läßt sich über naive Mengenlehre bereits zeigen, irgend eine Vektorraumtheorie benötigt man dazu nicht.
Sei x € U/(UnW) -> x € U und x nicht€ UnW -> x € U und (x nicht€U oder x nicht€W) -> x €U und x nicht€ W (da ja x in U liegt entfällt der erste Teil vom "oder") -> x € U/W. Alle Schritte lassen sich umkehren, d.h. es ist U/(UnW) = U/W. Ich will es nicht formal zeigen, aber ich glaube (U+W)/W ist ebenfalls gleich U/W. Der gesuchte Isomorphismus wäre dann die Identität auf U/W.
Es ist lediglich der Nullvektor aus der Betrachtung auszuschließen.
zu 1) kann man vlt. irgendwas zeigen dass neutrales element auf neutrales element (e) abgebildet wird? und dann jedes element von Vektorraum1 besteht ja aus n*(e1), jedes neutrale element auf vektorraum2 auch aus m*e2.
oder irgendwas mit basisvektoren? zeigen dass jeder basisvektor des einen raums eindeutig auf einen basisvektor des anderen raumes abgebildet wird. dann muss auch noch die dimension beider räume gleich sein für isomorphismus (logisch) daraus kann man sich denke ich den rest herleiten. aber mein gefühl sagt mit, da fehlt noch was
bin grad ziemlich müde und kann nicht mehr weiter nachdenken lol, wenn was ist dann schreib kommi drunter
Du denkst zu kompliziert. Um den Basisabbildungssatz zu verwenden müssten die Vektorräume entweder beide endlich dimensional sein oder von (bewiesen) gleicher Mächtigkeit sein. Das steht aber so nicht im Aufgabentext. Dass ein Isomorphismus den Nullvektor (neutrales Element der Vektorraum-Addition) auf den Nullvektor abbilden muß ist trivial und kann im vorliegenden Fall bereits mengentheoretisch gefolgert werden.