Kommutativer Ring als Vektorraum?
Hallo, ich hänge an folgender Aufgabe:
Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Es bezeichne 1 das Einselement und 0 das Nullelement in K. Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage.
i) Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins bezüglich der Verknüpfungen in K und es gelte K⊆ R. Dann ist R ein K-Vektorraum.
Ich frage mich wie K⊆ R gelten kann, da K insbesondere ein Integritätsring ist und R nicht zwangsläufig. Wie soll ich hier vorgehen mit dem Beweis?
Danke für eure Antworten!
2 Antworten
Ich frage mich wie K⊆ R gelten kann, da K insbesondere ein Integritätsring ist und R nicht zwangsläufig.
Nehmen wir ein endlichdimensionales Beispiel. Sei R = R^2 mit der komponentenweisen Multiplikation und Addition. Dann ist R offensichtlich ein Ring mit Einselement. R ist aber kein Körper, da nicht nullteilerfrei (warum?). Sei K = {(x1, x2)^T € R^2: x2 = 0}. K ist ebenso offensichtlich bezüglich komponentenweiser Addition und Multiplikation ein Körper und Teilmenge von R.
Beweisen tust du die im Satz vorgelegte Aussage indem du die Vektorraumaxiome einzeln zeigst und dabei die Ringeigenschaften von R und die Körpereigenschaften von K ausnutzt.
Hinweis: Bei dem von mir genannten Beispiel ist die Skalarmultiplikation für den Vektorraum geeignet zu definieren. "Geeignet" heißt hier NICHT komponentenweise, das geht schief.
K⊆ R kann durchaus gelten, z.B. wenn K der Körper der rationalen Zahlen ist und R der Körper der reellen Zahlen.
Ich würde mir mal ein paar Beispiele angucken - wenn da kein Gegenbeispiel dabei ist, einfach mal damit anfangen, die Vektorraum-Axiome nachzurechnen. Wenn das bei jedem Axiom funktioniert, bist du ja schon mit dem Beweis fertig ;)
Für R einen Ring zu nehmen der gleichzeitig ein Körper ist ist natürlich rafiniert. Und ich habe mir für mein Beispiel einen abgebrochen... :rofl:
Dein Beispiel ist aber wirklich gut! Ich bin erstmal davon ausgegangen, dass K ein Unterring von R sein soll, aber davon steht in der Aufgabe tatsächlich nichts, was alles ändert.
Zu beachten ist das in meinem Beispiel K zwar ein Unterring von R ist (denn er ist Teilmenge von R und ein Ring), aber das Eins-Element von K nicht in R liegt und K ein eigenes Einselement hat. Ist so etwas überhaupt möglich? Ich habe nicht so viel mit Algebra am Hut und mit Ringen nie wirklich gearbeitet.
Bemerkung: Tatsächlich ist es für die Eigenschaft eines Unterrings wesentlich, dass die Einselemente (sofern vorhanden) übereinstimmen.
https://de.wikiversity.org/wiki/Ringtheorie/Unterring/Definition
Ich ärgere mich heute ein wenig das ich in meinem Studium Algebra so vernachlässigt habe. Wir hatten mit Leopold sogar eine echte Kapazität auf dem Gebiet in Karlsruhe. Leider war sein Vorlesungsstil dermaßen schlecht dass er mir diesbezüglich alles vermiest hat. Kein Script, ein völlig unleserlicher Vorlesungsanschrieb und keinerlei Struktur in den Sätzen und Definitionen. Ich habe den Schein gemacht um ihm (er war auch noch Vorsitzender des Prüfungsausschusses) bei der Prüfungsanmeldung für reine Mathematik (FT I/II, Topologie, Funktionalanlysis) wenigstens nachweisen zu können dass ich Grundwissen habe und deshalb mich ansonsten ruhig auf Analysis konzentrieren darf.
Ich kann dir nur empfehlen, die Galois-Theorie zu Gemüte zu führen, falls du eines Tages Zeit dafür findest (LinA II Kenntnisse reichen dafür aus) - die liefert auf recht elegante Weise wirklich spannende Resultate.
danke erstmal für deine Antwort :) woher weiß ich aber, welche Verknüpfungen genau vorliegen? Oder soll ich einfach von den normalen Verknüpfungen + und • ausgehen?