Eine Basis des Vektorraums bestimmen?
Hallo allerseits. Ich stehe gerade ein klein wenig auf dem Schlauch. Und zwar suche ich nach einer Möglichkeit, zu einer Menge V, von der man weiß, dass es sich um einen endlich erzeugten Vektorraum handelt, eine Basis zu bestimmen.
Wenn V nun eine Menge ist, die man sich halbwegs "vorstellen kann", erkennt man ja häufig, wie eine Basis aussehen könnte und muss dann nur noch beweisen, dass es tatsächlich eine ist (z.B. über lineare Unabhängigkeit und das Erzeugendensystem).
Was mache ich aber nun, wenn ich mir die Menge V einfach nicht so richtig vorstellen kann und es mir deshalb nicht gelingt, mir eine Basis auszudenken. Vielleicht kenne ich ja noch nichtmal die Dimension des Vektorraums und weiß nichtmal, wieviel Basisvektoren ich eigentlich suche? Gibt es dann ein bestimmtes Vorgehen, dass mich direkt zu einer Basis bringt?
Meine beste Idee wäre es jetzt gewesen, ein paar Vektoren aus V zu nehmen und zu prüfen, ob sie ein Erzeugendensystem bilden. Wenn dem nicht so ist, ergänzen ich immer weiter mit zufälligen Vektoren aus V und hoffe, dass ich irgendwann eine Teilmenge von V habe, die ein Erzeugendensystem vom V bildet. Anschließend würde ich dann solange linear abhängige Vektoren aus der Menge streichen, bis ich eine linear unabhängige Teilmenge von V habe. Das wäre dann meine Basis. Wenn V nun aber eine echt komplizierte Menge ist und vielleicht eine hohe Dimension hat, ist diese Herangehensweise aber doch sehr ineffizient. Deshalb suche ich nach eine Verfahren, um möglichst direkt eine Basis bestimmen zu können.
Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
1 Antwort
Eine Möglichkeit zur bestimmung einer basis eines endlich erzeugten vektorraums ist der gauss-algorithmus, Dabei erstellst Du zuerst eine matrix, die alle vektoren als spalten enthält, anschließend führt man die gaußsche Elimination auf dieser Matrix durch und determiniert so die Rangzahl der Matrix und damit die Dimension des raums danach wählt man diejenigen spalten aus, die unabhängig sind. Diese bilden dann eine basis des vektorraums
Das ist eine ChatGPT Antwort, die falsch ist. Der oben beschriebene Weg klappt nur, falls bereits ein Erzeugendensystem bekannt ist und der Vektorraum eine Teilmenge von K^n ist.
Der von dir beschriebene Weg ist einfach der Basisergänzungsatz im endlichen Fall. Für jedes Erzeugendensystem findet man ein Teilsystem, dass eine Basis bildet. Das Problem ist nur, dass man zuerst ein Erzeugendensystem finden muss, das endlich ist. Was ebenfalls nicht gerade einfach sein muss.
Für unendliche Dimensionen wird es noch schwieriger. Im Beweis des Basisergänzungsatz für allgemeine Vektorräume wird das Lemma von Zorn verwendet. Unkonstruktiver geht es im Grunde nicht.
Der von dir beschriebene Weg ist einfach der Basisergänzungsatz im endlichen Fall. Für jedes Erzeugendensystem findet man ein Teilsystem, dass eine Basis bildet.
Richtig. Und im Zweifelsfall nimmt man eben den gesamten Vektorraum als sein Erzeugendensystem. Das wiederum ist allerdings auch nur dann wirklich sinnvoll, wenn es eben nur endlich viele Vektoren im Vektorraum gibt. So hatte ich mal die ursprüngliche Antwort verstanden.
Das Problem ist nur, dass man zuerst ein Erzeugendensystem finden muss, das endlich ist. Was ebenfalls nicht gerade einfach sein muss.
Ja, da fängt man Problem auch irgendwo an. Der Weg von einem (halbwegs überschaubaren) Erzeugendensystem zur Basis ist für mich kein Problem. Aber dieses Erzeugendensystemzu finden, fällt mir dann teilweise doch sehr schwer. Genau hierfür hatte ich nach einer allgemeinen Vorgehensweise gesucht, bin aber nicht fündig geworden.
Mit dem Basisergänzungsatz an sich komme ich aber auch irgendwie nicht weiter. Klar, ich kann eine Menge von Vektoren mit zusätzlichen Vektoren aus dem Vektorraum immer zu einem Erzeugendensystem des Vektorraums ergänzen, welche Vektoren ich dafür aber aussuchen muss, wird nicht klar.
Danke dir. Das hatte ich leider schon befürchtet. Dann bleibt mir eben nur raten und ausprobieren.
Vielen Dank für deine Antwort. Bei Vektorräumen, die nicht nur endlich erzeugt sind, sondern auch nur endlich viele Vektoren haben - und davon am besten nicht zu viele -, klingt das nach einer guten Möglichkeit.
Für einen endlich erzeugten Vektorraum, der unendlich viele Vektoren enthält, dürfte das aber nicht klappen, oder habe ich dich falsch verstanden?