Basis bestimmen (Vektorräume)?
Im Lösungsweg steht, dass nur a1 und a2 linear unabhängig sind und nicht die anderen beiden Vektoren. Aber wie kommt man darauf? Denn wenn man auf lineare Unabhängigkeit prüft man doch entweder keine Lösung beim lösen des LGS finden würde oder eine Lösung, dass alle Vektoren linear unabhänig sind. Haben die in der Aufgabe das nur für a1 und a2 geprüft und nicht für die anderen Vektoren oder wie? Und wie kommt man dann drauf welche man prüfen muss?
2 Antworten
Die Ersteller der Musterlösung haben nun mal mit a1 und a2 angefangen. Je 2 der 4 Vektoren sind linear unabhängig, je drei linear abhängig.
Welche man (zuerst) prüft, ist letztlich egal. Die Mächtigkeit der Basis ist immer gleich.
Mit den ersten Vektoren anzufangen hat den Vorteil, das da die Wahrscheinlichkeit am größten ist, die Lösungen vergleichen zu können.
Es steht doch in der Lösung drin, dass "elementare Spaltenumformungen" verwendet wurden. Das ist im Wesentlichen der Gauß-Algorithmus, nur eben auf Spalten angewendet statt auf Zeilen:
1 0 1 1
1 1 0 2
0 2 -2 2
0 1 -1 1
Nun das (-1)-Fache der ersten Spalte auf die dritte und vierte addieren:
1 0 0 0
1 1 -1 1
0 2 -2 2
0 1 -1 1
Und wenn du jetzt ganz scharf hinschaust, siehst du schon, dass die zweite, dritte und vierte Spalte alle kollinear sind. Daher genügt es, eine davon im Erzeugendensystem aufzunehmen.
Ansonsten kannst du auch weiter Spaltenoperationen durchführen, bis die Matrix auf Spaltenstufenform ist. Dann nimmst du alle Vektoren, die nicht der Nullvektor sind, in deine Basis auf.
Ah verstehe. Also wenn man dann den span(a1,a2) als Erzeugendensystem hat muss man dann noch untersuchen ob a1 und a2 linear unabhängig sind und das ist dann einfach das gauss verfahren mit dem Nullvektor oder?