Sind linear unabhängige Vektoren immer orthogonal?

3 Antworten

Sei H ein Hilbert-Raum mit dim(H) > 1. (Falls dim(H) ≤ 1, dann ist die Antwort trivial: alle l. u. Mengen sind orthonormal, da es nur eine solche Menge gibt und diese enthält höchstens einen Vektor!)

Fall 1. manche l. u. Mengen von Vektoren im Hilbert-Raum sind nicht orthogonal. Gut.

Fall 2. alle l. u. Mengen von Vektoren im Hilbert-Raum sind orthogonal. Sei {u, v} irgendeine l. u. Menge. Das existiert, weil dim(H) > 1. Und insbesondere haben wir u, v ≠ 0. Per Annahme gilt <u, v> = 0. Setze nun u' := u und v' := u+v. Behauptung. {u', v'} l. u. Beweis. Seien a, b Skalare mit a·u'+b·v' = 0. Dann (a+b)·u + b·v = 0. Da {u, v} l. u. folgt hieraus b=0 und a+b=0, also a = -b = 0. Also ist {u', v'} l. u. QED. Per Annahme dann gilt (1) <u',v'> = 0. Aber (2) <u',v'> = <u,u+v> = ||u||² + <u,v> = ||u||² + 0 ≠ 0, weil u ≠ 0. Nun bilden (1) und (2) einen Widerspruch.

Darum ist Fall 2 ausgeschlossen. Es folgt, dass in keinem Hilbert-Raum von Dimension > 1 gilt die Implikation

l. u. ⟹ orthogonal.

(0,1) (1,1) linear unabhängig voneinander aber sind nicht orthogonal aka rechtwinklig zueinander. (winkel ist 45° um genau zu sein).
gibt unzählige systeme aus linear unabhängigen vektoren die aber nicht orthoonal zueinander sind.
gleiches gilt wohl auch für matrizen und co.
was stimmt ist dass, wenn 2 vektoren linear abhängig sind, dass diese sozusagen "parallel" zueinander sind und demnach offensichtlich nicht orthogonal.

Es gilt die einseitige Folgerung

Stimmt das? Irgendein Vektor und der Nullvektor sind linear abhängig, aber ihr Skalarprodukt ist 0.

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@SlowPhil

Der Nullvektor wird bei solchen Dingen nicht betrachtet, da er zu jedem Vektor linear abhängig und orthogonal wäre. Deshalb schließt man ihn bei solchen Dingen aus.

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„orthogonal UND nicht null“ od. „orthonormal“ wären hier passender.

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