Sind linear unabhängige Vektoren immer orthogonal?

3 Antworten

Sei H ein Hilbert-Raum mit dim(H) > 1. (Falls dim(H) ≤ 1, dann ist die Antwort trivial: alle l. u. Mengen sind orthonormal, da es nur eine solche Menge gibt und diese enthält höchstens einen Vektor!)

Fall 1. manche l. u. Mengen von Vektoren im Hilbert-Raum sind nicht orthogonal. Gut.

Fall 2. alle l. u. Mengen von Vektoren im Hilbert-Raum sind orthogonal. Sei {u, v} irgendeine l. u. Menge. Das existiert, weil dim(H) > 1. Und insbesondere haben wir u, v ≠ 0. Per Annahme gilt <u, v> = 0. Setze nun u' := u und v' := u+v. Behauptung. {u', v'} l. u. Beweis. Seien a, b Skalare mit a·u'+b·v' = 0. Dann (a+b)·u + b·v = 0. Da {u, v} l. u. folgt hieraus b=0 und a+b=0, also a = -b = 0. Also ist {u', v'} l. u. QED. Per Annahme dann gilt (1) <u',v'> = 0. Aber (2) <u',v'> = <u,u+v> = ||u||² + <u,v> = ||u||² + 0 ≠ 0, weil u ≠ 0. Nun bilden (1) und (2) einen Widerspruch.

Darum ist Fall 2 ausgeschlossen. Es folgt, dass in keinem Hilbert-Raum von Dimension > 1 gilt die Implikation

l. u. ⟹ orthogonal.

Es gilt die einseitige Folgerung

Stimmt das? Irgendein Vektor und der Nullvektor sind linear abhängig, aber ihr Skalarprodukt ist 0.

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@SlowPhil

Der Nullvektor wird bei solchen Dingen nicht betrachtet, da er zu jedem Vektor linear abhängig und orthogonal wäre. Deshalb schließt man ihn bei solchen Dingen aus.

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„orthogonal UND nicht null“ od. „orthonormal“ wären hier passender.

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(0,1) (1,1) linear unabhängig voneinander aber sind nicht orthogonal aka rechtwinklig zueinander. (winkel ist 45° um genau zu sein).
gibt unzählige systeme aus linear unabhängigen vektoren die aber nicht orthoonal zueinander sind.
gleiches gilt wohl auch für matrizen und co.
was stimmt ist dass, wenn 2 vektoren linear abhängig sind, dass diese sozusagen "parallel" zueinander sind und demnach offensichtlich nicht orthogonal.

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