Zunächst ein Hinweis: Statt die Dinge einfach passiv anzustarren, wenn man versucht, alles ausführlich auszupacken/auszurechnen, kommt man meistens auf die Antwort ; )

Nun zu der Erklärung: Beachte als Erstes, dass Φ folgendermaßen definiert ist. Sei Z irgendeine standardnormal verteilte ZV, kurz Z ~ N(0, 1). Dann definiert man

Φ(x) := ℙ[Z < x] für x ∈ ℝ. 

Da ε[t] ~ N(0, σ²), gilt ε[t]/σ ~ N(0, 1) und damit gilt bspw.

ℙ[ε[t] ≤ –µ] = ℙ[ε[t]/σ ≤ –µ/σ]
             = ℙ[ε[t]/σ < –µ/σ]
               weil die Verteilung der ZV atomfrei ist
             = Φ(–µ/σ)
               weil ε[t]/σ ~ N(0, 1)

Jetzt rechne es halt durch:

ℙ[I[t] > 1]               <— darum geht es eigentlich!
= ℙ[P[t]/P[t–1] > 1]
= ℙ[log(P[t]/P[t–1]) > log 1]
= ℙ[log P[t] - log P[t–1] > 0]
= ℙ[p[t] – p[t–1] > 0]    <– ab hier fängt deren Berechnung an
= ℙ[µ + ε[t] > 0]         <— vgl. mit rekursiver Formel
= ℙ[ε[t] > –µ]
= 1 – ℙ[ε[t] ≤ –µ]
= 1 – Φ(–µ/σ)             <— siehe Erklärung oben
= Φ(µ/σ).                 <— Symmetrie-Eigenschaft von Φ)

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PS: I(t) ist keine „Dummyvariable“. Das ergibt keinen Sinn. I(t) ist eine Zufallsvariable.

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Dies ist eine Aufgabe, um deine Augen/dein Wahrnehmungsvermögen, nicht deine Mathekenntnisse zu testen.

Es gibt Hexen (H), Zauberstäbe (Z), und Besen (B). Was erkennt man? Beim genauen hinschauen:

  • 3(H+Z+B) = 45
  • (1+1+1)Z = 21
  • (1+2+1)B = 12 (genauer hinschauen!!)
  • 1B + 1H x 2Z = ?

Zur Kontrolle: Z = 7; B = 3; H = 5; Output = 3 + 5·14 = 73. Aber wie gesagt, die Lösung / Mathe ist egal. Hier will man deine Aufmerksamkeit prüfen. (Und wahrscheinlich habe auch ich was übersehen ; )

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Erstmals der Hinweis: Induktion ist nicht die Lösung für alles! Mittels Induktion gewinnst du keine Erkenntnisse.

Ich betreibe ein bisschen reverse engineering, um an eine Argumentation heranzukommen:

x < (2a)^{1/(n–1)} + (2b)^{1/n}
⟸ x ≤ (2a)^{1/(n–1)} oder x ≤ (2b)^{1/n} **
⟸ x^{n–1} ≤ (2a) oder x^{n} ≤ (2b)
⟸ xⁿ ≤ 2ax oder xⁿ ≤ 2b
⟸ xⁿ ≤ max{2ax, 2b}
⟸ xⁿ ≤ max{ax + ax, b + b}
⟸ xⁿ ≤ ax + b ***

(lies ⟸ als „ist eine hinreichende Bedingung für die vorherige Zeile“)

Zeile ** und *** sind die einzige Stelle, wo wir etwas „kreativ“ sein müssen. Der Rest ist ein ziemliches analytisches Urteil. Beachte, dass Zeile 2 gilt mit ≤, weil a und b positiv sind.

Nun lässt sich das o. s. umkehren und man erhält ein Argument dafür, dass

xⁿ ≤ ax + b ⟹ x < (2a)^{1/(n–1)} + (2b)^{1/n}.

Das sauber zu machen, überlass ich dir.

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Du brauchst kein ε-δ-Argument.

h Häufungspunkt von (a[n])
⟹ ex. Teilfolge (a[n(k)]) mit a[n(k)] ⟶ h
⟹ da ƒ stetig ist, gilt ƒ(a[n(k)]) ⟶ ƒ(h)
⟹ ƒ(h) ein Häufungspunkt von (ƒ(a[n]))

und das wars. Darüber hinaus spielt der Kontext von [c, d] und IR in diesem Argument überhaupt keine Rolle : )

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Für Laienwerke siehe Road to Reality (Penrose). Das gibt es auf deutsch, aber nicht zu empfehlen, da der Text abgekürzt und ganze Kapitel weggelassen werden. Das Buch behandelt nicht ausschließlich den Urknall, aber das ist eines der größeren Themen drin. Das „Werk“ hat auch ein gutes Literaturverzeichnis, falls du dein Wissen vertiefen willst, wobei Penrose (im Gegensatz zu Hawking) sich nicht davon scheut, echte Mathematik in seinen Büchern zu schreiben, sodass du auch in RtR schon einen ziemlich guten Einblick bekommst, auch ohne Astrophysikstudium.

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Beachte, dass lim sup_n ƒ(n) = inf_n sup_{k≥n} ƒ(k).

Wenn inf_n BLA(n) < q, dann per Definition von inf muss ein n existieren, so dass sup_{k≥n} ƒ(k) = BLA(n) < q. (Sonst wäre BLA(n) ≥ q für alle n und damit inf_n BLA(n) ≥ q—ein Widerspruch!) Aus sup_{k≥n} ƒ(k) < q folgt per Definition vom Supremum, dass ƒ(k) < q für alle k ≥ n. (Sonst gibt es ein k₀ ≥ n mit ƒ(k₀) ≤ q und damit würde sup_{k≥n} ƒ(k) ≥ ƒ(k₀) ≥ q gelten—ein Widerspruch!) Darum

lim sup_n ƒ(n) < q ⟹ ∃n: ∀k≥n: ƒ(k) < q.

Wenn inf_n BLA(n) > q, dann per Definition von inf muss sup_{k≥n} ƒ(k) = BLA(n) > q gelten für alle n. Sei n beliebig. Dann aus sup_{k≥n} ƒ(k) > q folgt, dass ein k≥n existieren muss, so dass ƒ(k) > q. (Sonst ƒ(k) ≤ q für alle k≥n und damit würde sup_{k≥n}ƒ(k) ≤ q gelten—ein Widerspruch!). Also

lim sup_n ƒ(n) > q ⟹ ∀n: ∃k≥n: ƒ(k) > q
                   ⟺ {k | ƒ(k) > q} unendlich.
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Vielleicht

Ich habe „vielleicht“ geantwortet, denn… warum dich nur auf Lehramt beschränken? Die Grundfragen—ob dir Mathematik/Sozialwissenschaften liegen—ist ein getrenntes und da würde ich bejahend antworten, solange dir die Fächer liegen. Aber innerhalb dieser Fächer gibt es mehrere Möglichkeiten—nicht nur Lehrer, sondern Forscher/Akadmiker oder, gekoppelt mit anderen Fächern wie Informatik, kannst du ja in die Industrie gehen.

Um Lehrer zu werden, sind andere Kompetenzen entscheidend: Umgang mit Menschen, didaktisches und pädagogisches Können, die Fähigkeit, Lernen zu fördern, die vielfaltigen Bedürfnisse einer Gruppe parallel zu berücksichtigen, usw. Das hat wenig mit deinen fachlichen Kompetenzen des Gebietes zu tun. Da würde ich vorschlagen Sachen freiwillig auszuprobieren um zu testen, ob dir das Lehrersein was für dich ist.

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Ansatz 1. Wenn (a_{n})_{n\in\mathbb{N}} konvergiert, dann muss die Folge Cauchy sein. Insbesondere müsste dann |a_{2n+1} – a_{n}| ⟶ 0 für n⟶∞. Aber |a_{2n+1} – a_{n}| = 2 für alle n. Darum konvergiert die ursprüngliche Folge nicht.

Ansatz 2. Wenn (a_{n})_{n\in\mathbb{N}} konvergiert (gegen einen Wert L), dann konvergieren alle Teilfolgen gegen denselben Wert, L. Betrachte nun die Teilfolgen, (a_{2n})_{n\in\mathbb{N}} und (a_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}. Diese konvergieren gegen verschiedene Werte (+1 bzw. –1). Darum konvergiert die ursprüngliche Folge nicht.

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Funktionalanalysis liegen Kenntnisse aus Topologie zugrunde.
Ergebnisse aus der Spieltheorie, Optimierung, usw. liegen Kenntnisse aus FA, Topologie und Logik zugrunde.

Topologie ist als Teilgebiet eine (große!) Grundlage für andere Gebiete. Theoretisch kannst du versuchen, dir „genügend“ Konzepte anzueignen und später immer neue dazu holen, wie es nötig ist. Empfehlenswert zu lernende Konzepte: Konvergenz/Netze, Abschluss, metrische (und normierte) Räume, Kompaktheit, zusammenhängende Gebiete sowie (aus der FA) Konvexität und (abgeschlossene) konvexe Hüllen, Fixpunkte, Stetigkeit, Korrespondenzen, usw.

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Korrektur:

  • Kräfte, nicht Naturgesetze. Es gibt deutlich mehr als 4 Naturgesetze;
  • wir erkennen exakt 4 Kräfte. Vllt sind es mehr. Vllt lassen sich die 4 Kräfte vereinen.

Denke nicht, dass wir alle physikalischen Erkenntnisse (oder gar einen wesentlichen Anteil davon) schon besitzen. Wir sind noch eine primitive Zivilisation.

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Injektivität: reicht aus zu zeigen, dass g strikt monoton ist. Und dafür reicht es aus zu zeigen, dass g in C¹(IR) und dass g´ > 0 (strikt) überall. Dies gilt, weil g´ = cosh was ja stetig ist. Darüber hinaus gilt cosh(x) = ½(exp(x)+exp(–x)) > 0 für alle x ∈ IR, da exp(·) > 0 auf ganzem IR. Darum ist g injektiv.

Surjektivität: da IR ein zusammenhängender Raum ist, und g stetig ist (warum?), ist das Image im(g) = g(IR) wiederum zusammenhängend. Da die einzigen zusammenhängenden Teilmengen, A, von IR nun der Form

(a,b) ⊆ A ⊆ [a,b]
oder (a,∞) ⊆ A ⊆ [a,∞)
oder (–∞,b) ⊆ A ⊆ (–∞,b]
oder A = (–∞, ∞) = ℝ

sind, reicht es aus zu zeigen, dass g(IR) unbeschränkt ist. Nun

x ⟶ ∞ ==> exp(x) ⟶ ∞ und exp(–x) ⟶ 0,
also g(x) = sinh(x) = ½(exp(x)–exp(–x)) ⟶ ∞.

Analog

x ⟶ –∞ ==> exp(x) ⟶ 0 und exp(–x) ⟶ ∞, 
also g(x) = sinh(x) = ½(exp(x)–exp(–x)) ⟶ –∞.

Darum ist g unbeschränkt und wie oben argumentiert gilt im(g) = IR, sprich, g ist surjektiv.

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Tipp: du solltest niemals ein ellenlanges Product berechnen, noch eine n-te Wurzel für großes n. Das wird zu großen Fehlern führen. Berechne lieber den Mittelwert aus log(xk) für k=1 bis n, dann exponiere dies. Das ist stabiler.

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ran(arctan) \subseteq (-π/2, π/2).

Die ==>-Richtung stimmt gdw. a ε (-π/2, π/2).

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weil es eine einfache Formel (entweder Kronecker oder Kramer nachschlagen) für die (i,j)-Komponenten des Inverses gibt:

A¯¹[i,j] = det(M[i,j]) / det(A)

wobei M[i,j] = die Matrix A ohne Zeile i und Spalte j. Also gilt M[i,j] ∈ ℤ^{(n–1)x(n–1)} und damit det(M[i,j]) ∈ ℤ.

Es ist auch klar, dass det(A) ∈ ℤ. Da |det(A)|=1, gilt det(A) ∈ {–1; 1}.

Aus der o. s. Formel folgt also A¯¹[i,j] ∈ ℤ für alle i, j.
Darum A¯¹ ∈ ℤ^{nxn}.

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