Sei v[i]∈ℂ die i-te Komponente von v. Dann v = ∑v[i]·e[i], wobei e[i] = i-ter Einheitsvektor. Beachte: Ce[i] = i-te Spalte von C. Darum wegen Linearität

||Cv||² = ||C∑v[i]e[i]||²
        = ||∑v[i]·Ce[i]||²
        = ∑|v[i]|² · ||Ce[i]||² weil (Ce[i]) orthornomal sind.
        = ∑|v[i]|² · 1
        = ||v||²

genau wie bei reellwertigen Matrizen. Das Schema ist genau das gleiche. Deswegen findest du auch nichts, weil das selbstverständlich ist und deshalb erwartet wird, das man nicht jede konkrete Instanz erleuchten muss.

für Funktionen f und g gilt f in O(g) gdw. ein C>0 existiert, so dass für alle außer vernachlässigbar vielen Punkten gilt |f(n)| <= C•|g(n)|.

Arbeite mit dieser Definition und es soll dir klar werden, warum 1000n in O(n) und n^2 nicht in O(n).

Was hat das Statement „0 und ∞ = = -∞“ mit der Frage „Was ist die Weltformel“ überhaupt zu tun? Ich kann keine Kohärenz an deinem Gedankengang erkennen. Worauf willst du mit der scheinbar willkürlichen Assoziierung hinaus?

Du hast was vertauscht. Die Formel ist 3x₁ + 4x₂ + 3x₃ = 12. Der Formel zur Folge ist n = (3, 4, 3) ein Normalvektor zur Ebene. Seien

• O der Ursprung;
• P = (4, 5, 7);
• E ein Punkt auf der Ebene, der am nächsten zu P liegt.

Da E auf der Ebene liegt, gilt laut Ebene-Formel

1)...    OE•n = 12.

Nun ist es leicht zu zeigen, dass EP || n und darum

2)... d(P, Ebene) = |EP•n|/||n||.

Theorie beiseite, wir berechnen nun:

3)...
EP•n = (OP–OE)•n
     = (OP•n) – (OE•n)
     = (4,5,7)•(3,4,3) – 12, laut 1 und durch Einsetzen von P, n
     = 53 – 12
     = 41
4)...
||n|| = √((4)²+(3)²+(4)²) = √41

Aus 2–4 folgt

d(P, Ebene) = |41| / √41 = √41 ≈ 7,031 Einheiten.

Die Ungleichung Чебышёва ist eine Approximation für ZV mit Mittelwert und beschränkter Varianz. Ist X eine (Banachraum- / reell- / komplexwertige) ZV, so dass µ := E[X] existiert und s² := E[||X – E[X]||] < ∞, dann kann man sehr leicht beweisen, dass

ℙ[||X–µ|| < c] ≥ 1 – (s/c)².

In deiner Anwendung gilt also:

ℙ[X in (µ–λs; µ+λs)] = ℙ[||X–µ|| < λs]
                     ≥ 1 – (1/λ)² (Чебышёв)
                     = 1 – (1/4)²
                     = 15/16 = 0,9375.

Es ist wirklich nicht schwierig. Du musst lediglich sauber mit den Definitionen arbeiten.

Fixiere L eine passende Sprache für FOL für die gebrauchte Formeln.

Zu 13.2:

Sei φ ∈ FO(L). Sei M eine L-Struktur. Sei s eine Belegung der freien Variablen. Zu zeigen: eval(∀x φ; s) = eval(¬∃x ¬φ; s).

Fall 1. eval(∀x φ; s) = TRUE. Dann per Definition für alle a ∈ M gilt eval(φ; s[a/x]) = TRUE od. wie auch immer du Substitutionen schreibst. Darum eval(¬φ; s[a/x]) = FALSE für alle a ∈ M, sodass per Definition eval(∃x ¬φ; s) = FALSE. Daraus folgt eval(¬∃x ¬φ; s) = TRUE.

Fall 2. eval(∀x φ; s) = FALSE. Dann per Definition existiert ein a ∈ M mit eval(φ; s[a/x]) = FALSE. Also eval(¬φ; s[a/x]) = TRUE, sodass per Definition eval(∃x ¬φ; s) = TRUE. Daraus folgt eval(¬∃x ¬φ; s) = FALSE.

In allen Fällen gilt also eval(∀x φ; s) = eval(¬∃x ¬φ; s). Da dies für alle s und alle M gilt, gilt per Definition ∀x φ ≡ ¬∃x ¬φ.

Zu 13.3

Seien ψ, φ₁, φ₂ ∈ FO(L).

(⟹) Angenommen, ψ ⊨ {φ₁, φ₂} … ACHTUNG diese Schreibweise ist allgemein in der Logik gefährlich. Vom Kontext ist es klar, dass dies (ψ ⊨ φ₁ und ψ ⊨ φ₂) bedeutet. Seien M, s eine L-Struktur bzw. eine Interpretation. Zu zeigen: eval(ψ⟶(φ₁⋀φ₂); s) = TRUE.

Fall 1. eval(ψ; s) = TRUE. Dann, da ψ ⊨ φ₁ und ψ ⊨ φ₂, folgt aus der Annahme dieses Falls eval(φ₁; s) = TRUE und eval(φ₂; s) = TRUE. Also eval(φ₁⋀φ₂; s) = TRUE. Es folgt, dass eval(ψ⟶(φ₁⋀φ₂); s) = TRUE.

Fall 2. eval(ψ; s) = FALSE. Dann gilt eval(ψ⟶(φ₁⋀φ₂); s) = TRUE trivialerweise.

Also gilt in allen Fällen eval(ψ⟶(φ₁⋀φ₂); s) = TRUE. Da dies für alle M, s gilt, folgt ψ⟶(φ₁⋀φ₂) ∈ TAUT.

(⟸). Angenommen, ψ⟶(φ₁⋀φ₂) ∈ TAUT. Seien M, s eine L-Struktur bzw. eine Interpretation mit eval(ψ; s) = TRUE. Zu zeigen: eval(ψ; φ₁) = TRUE und eval(ψ; φ₂) = TRUE.

• Da ψ⟶(φ₁⋀φ₂) ∈ TAUT, gilt eval(ψ⟶(φ₁⋀φ₂); s) = TRUE.
• Da eval(ψ; s) = TRUE, folgt hieraus eval(φ₁⋀φ₂; s) = TRUE.
• Daraus folgt eval(φ₁; s) = TRUE und eval(φ₂; s) = TRUE.

Da eval(ψ; φ₁) = TRUE und eval(ψ; φ₂) = TRUE für alle M, s mit eval(ψ; s) = TRUE, erschließt sicht, dass ψ ⊨ {φ₁, φ₂}.

Das kann dir genauer genommen niemand ehrlichsagen. Man könnte dir _Beispiele_ geben, aber das erfasst die Allgemeinheit nicht. Was du eher rausfinden solltest ist:

_Was ist ein VEKTORRAUM?_

Wenn du dieses Konzept verstehst, dann ist die Antwort auf deine Frage trivial und lautet etwa _Vektoren sind halt die Objekte in Vektorräumen._

Was also ist ein Vektorraum?

• Eine strukturierte Menge von Objekten:
• In diesem Raum kann man die Objekte miteinander addieren; und sie mit Skalaren (wie bspw. rationale, reelle, komplexe Zahlen, oder gar „Zahlen“ aus bizarren Feldern) multiplizieren;
• Addition erfüllt folgende Verhältnisse für alle Objekte x,y,z: x+y = y+x; (x+y)+z=x+(y+z); es gibt ein 0 Objekt so dass x+0=0+x=x; es gibt ein -x Objekt so dass x + -x = -x + x = 0;
• Skalarmuliplikation erfüll folgende Eigenschaften für Objekte x, y und Skalare s,t:  (st)x = s(tx); s(x+y) = (sx) + (sy).

Und das wars!

Man könnte ja sagen Vektor sind Objekte mit Größe und Richtung. Das ist Quatsch! Das sind Vektoren in *normierten Vektorräumen*. Die klassischen VR wie IR^2; IR^3; etc. sind die aller einfachsten und eher langweiligen Vektorräume, und stellen die Allgemeinheit nicht dar.

Weile eine Spur immer unter „zyklischen Permutationen“ erhalten bleibt:

tr(AB) = tr(BA)

für alle Operatoren A, B in der Spurklasse. Das kann man beweisen (und das solltest du irgendwann mal beweisen).

Alle, die diese Frage stelle, sind entweder blind oder unreflektierend. In beiden Fällen ist ihnen nicht bewusst, dass in fast allen Argumentationen mindestens eine Instanz von Formeln der Prädikatenlogik vorkommt.

Vergiss München : ) Studiere in Leipzig! Geile Stadt und man kann sich das Leben leisten ohne Blut spenden zu müssen. In Leipzig sind auch etliche Jobmöglichkeiten und die Infrastruktur ist 1000x besser in Sachsen als in Bayern. Wir haben außerdem das beste Schulsystem Deutschlands, also kannst du hier ein hohes Niveau erwarten.

Du brauchst überhaupt keine Indizes. Das macht die Sache nur verwirrender und bringt nichts. Sei Q dein Operator mit Q* = Q. Sei ξ ≠ 0 ein Eigenvektor von Q und μ∈ℂ sein Eigenwert, d. h. Qξ =µξ. Man berechnet:

µ·||ξ||²  = µ·<ξ, ξ>
= <µξ, ξ> weil das Skalarprodukt sesquilinear ist
= <Qξ, ξ> weil µξ = Qξ
= <ξ, Q*ξ> Definition von *
= <ξ, Qξ> weil Q* = Q
= <ξ, µξ> weil Qξ = µξ
= µ*·<ξ, ξ> weil das Skalarprodukt sesquilinear ist
= µ*·||ξ||²

Daraus folgt (µ–µ*)·||ξ||² = 0. Da ξ ≠ 0, gilt ||ξ|| ≠ 0 und daher (µ–µ*) = 0. Also µ* = µ. Also µ ∈ IR. QED

Bücher rausholen, Internet abschalten.

Nein, das ist pauschalisiert. Du brauchst u. a. folgende Dinge:

Ablenkungen entfernen/ausblenden. Also im Netzt kein YT, etc., oder was auch immer du benutzt. Musik kann gehen, weil du nicht visuell davon abgelenkt wirst, und die kann im Hintergrund deiner Gedanken verschoben werden.

Impuls aufbauen. DAS ist der schwerste Schritt überhaupt. In den Worten dieses Schauspielers in 2015 'Just do it! Yesterday you said to-morrow… ' Wie du dich auch immer dazu bringst—tu es! Fang an! Für mich bedarf es mal einer Ortsversetzung, oder eines Spaziergangs, oder ich schau mir die coolen Dinge an, was ich bisher geschrieben/gelöst/gelernt habe und erinnere mich an meine Ziele (nicht vages Zeug, sondern wirklich spezifische Dinge, die ich abhacken kann). Das darfst du nicht unterschätzen: (Lern)erfolge schüttern Endorphine aus und helfen, den Impuls aufzubauen.

Disziplin. Du weißt schon was das ist! Das untermauert dein ganzes Vorhaben langfristig: Strukur, Regelmäßigkeit, Zuverlässigkeit, Absagen von sinnlosen Terminen (es gibt immer Zeit am Ende des Semesters zu feiern).

Motivation. Ohne einen großen Wunsch, Freude, etc. wird das alles für dich träg. Die Haltung verhindern alles oder bringt dich geistig voran. (Das passt zum Impuls, aber ist ein wenig anders.)

Ressourcen. Hol dir das Skript und die Übungsblätter. Hol dir ggf. Fachliteratur zum Nachschlagen. Kannst auch im PDF Format meistens finden 😏.

PS: schmeiß deinen Taschenrechner weg 😂 Hol dir vllt R oder octave. Du vergeudest zu viel Zeit mit den wertlosen Dingern. Und niemand bentutzt einen Taschenrechner in Mathe. Nur so Wirtschaftler oder Buchhaltungsleute,

Sei H ein Hilbert-Raum mit dim(H) > 1. (Falls dim(H) ≤ 1, dann ist die Antwort trivial: alle l. u. Mengen sind orthonormal, da es nur eine solche Menge gibt und diese enthält höchstens einen Vektor!)

Fall 1. manche l. u. Mengen von Vektoren im Hilbert-Raum sind nicht orthogonal. Gut.

Fall 2. alle l. u. Mengen von Vektoren im Hilbert-Raum sind orthogonal. Sei {u, v} irgendeine l. u. Menge. Das existiert, weil dim(H) > 1. Und insbesondere haben wir u, v ≠ 0. Per Annahme gilt <u, v> = 0. Setze nun u' := u und v' := u+v. Behauptung. {u', v'} l. u. Beweis. Seien a, b Skalare mit a·u'+b·v' = 0. Dann (a+b)·u + b·v = 0. Da {u, v} l. u. folgt hieraus b=0 und a+b=0, also a = -b = 0. Also ist {u', v'} l. u. QED. Per Annahme dann gilt (1) <u',v'> = 0. Aber (2) <u',v'> = <u,u+v> = ||u||² + <u,v> = ||u||² + 0 ≠ 0, weil u ≠ 0. Nun bilden (1) und (2) einen Widerspruch.

Darum ist Fall 2 ausgeschlossen. Es folgt, dass in keinem Hilbert-Raum von Dimension > 1 gilt die Implikation

l. u. ⟹ orthogonal.

Die erste Reihe ist super einfach zu vereinfachen:

(1)

∑∑{(2m über i)·(n+1)^(2m-i)·(-k)^i
    | i = 0 bis 2m–1; k=1 bis n}
= ∑{(n+1 – k)²ᵐ – 1·(n+1)⁰·(-k)²ᵐ | k=1 bis n}
= ∑{(n+1 – k)²ᵐ – (-k)²ᵐ | k=1 bis n}
= ∑{k²ᵐ | k=n+1-n bis n+1-1} – ∑ {(-1)²ᵐk²ᵐ | k=1 bis n}
= ∑{k²ᵐ | k=1 bis n} – ∑ {k²ᵐ | k=1 bis n}
= 0

(2)

∑∑{(2m+1 über i)·(n+1)^(2m+1–i)·(-k)^i
    | i=0 bis 2m; k=1 bis n}
= ∑{(n+1–k)²ᵐ⁺¹ – 1·(n+1)⁰(-k)²ᵐ⁺¹ | k=1 bis n}
= ∑{(n+1–k)²ᵐ⁺¹ | k=1 bis n} – ∑{(-1)²ᵐ⁺¹k²ᵐ⁺¹ | k=1 bis n}
= ∑{k²ᵐ⁺¹ | k=n+1-n bis n+1-1} – ∑{(-1)k²ᵐ⁺¹ | k=1 bis n}
= ∑{k²ᵐ⁺¹ | k=1 bis n} + ∑{k²ᵐ⁺¹ | k=1 bis n}
= 2·∑{k²ᵐ⁺¹ | k=1 bis n}

Also gilt die behauptete Gleichung.

Vergiss Matrizen! Machs doch mit ganz normaler linearen Algebra für Hilberträume! Seien

u := (1,1,1,1),
c := ||u|| = 4
v := (1,2,3)

und definiere

ƒ := (1/c²)·|v><u|

d. h. ƒ(x) = (<u, x>/c²) · v für alle x.

Dann offensichtlich ist ƒ linear und weiterhin gilt

ƒ((1,1,1,1)) = ƒ(u)
             = (<u, u>/c²) · v
             = ||u||²/c² · v
             = 1·v, weil c = ||u||
             = (1,2,3).

Matrizen sind bloße Darstellungen von linearen Operatoren. Die liefern einem kein Verständnis.

Setze V(ε) := {x | ƒ(x) > ε}. Dies ist eine messbare Teilmenge von [a, b], weil ƒ stetig und deshalb messbar ist.

Behauptung 1. V(ε) ist Lebesgue-null für alle ε > 0.
Beweis.
Da ƒ ≥ 0 überall gilt ƒ ≥ ε·χ_{V(ε)} wobei χ_{C} die Indikatorfunktion ist.
Durch Monotonie des Integrals folgt

0 = ∫ ƒ ≥ ∫ ε·χ_{V(ε)} = ε·λ(V(ε)),

wobei λ(·) das Lebesgue-Maß ist. Da λ ≥ 0 und ε > 0, folgt hieraus λ(V(ε)) = 0. QED

Folgerung. Da ƒ ≥ 0 überall gilt {x | ƒ(x) ≠ 0} = U{V(ε) | ε ∈ ℚ, ε > 0} ist eine abzählbare Vereinigung aus Nullmengen und deshalb selber eine Nullmenge. Also gilt ƒ = 0 fast überall.

Behauptung 2. ƒ = 0 überall.

Beweis.
Da das Lebesgue-Maß von nicht leeren offenen Mengen positiv ist, und die V(ε) alle wegen der Stetigkeit von ƒ offen sind, muss V(ε) = Ø gelten für alle ε > 0. Also ist {x | ƒ(x) ≠ 0} = U{V(ε) | ε ∈ ℚ, ε > 0} nicht nur eine Null- sonder auch eine Leermenge. Darum gilt ƒ = 0 überall. QED

Der Zweck eines Rätsels besteht darin, dass DU es versuchst und durch den Versuch was lernst, auch wenn man es nicht löst, denn was du lernst ist viel wichtiger als die fertige Lösung an sich: fragen zu stellen, Begriffe und Konzepte zu hinterfragen, das Denken an sich zu überlegen…

Deine Zahl sei x ∈ [0, ∞) und gegeben sei eine Ziffernexpansion, die „irgendwann periodisch“ ist.

ALGORITHMUS ZUR TRANSFORMATION IN BRUCHDARSTELLUNG:

• Mit 10ⁿ multiplizieren für ein genügend großes n so, dass direkt nach dem Komma das periodische Muster startet. Deine Zahl ist jetzt der Form

10ⁿx = ####,(····)¯

• Finde ganze Zahlen r, p, q ≥ 0 mit q > 0, so dass

r = #### und p/q = 0,(····)¯

also gilt 10ⁿx = r + p/q = (qr + p) / q

• Deine ursprüngliche Zahl ist

x = (qr+p)/(q·10ⁿ)

Zum Schluss Zähler und Nenner reduzieren, bis sie keine gemeinsamen Teiler haben.

ENDE DES ALGORITHMUS.

Zu deiner konkreten Frage über (b₃):

d_z(x) = x–[x] für x ∈ ℝ mit x ≤ [x]+1/2; und
d_z(x) = 1–(x–[x]) für x ∈ ℝ mit x ≥ [x]+1/2.

Das ist ganz einfach zu verifizieren.

Zu Teil (c):

Ich beweise es allgemeiner. Sei (X,d) ein metrischer Raum und M⊆X nicht leer. Betrachte die Funktion dᴹ:X⟶[0,∞).

Behauptung 1. Seien x,y ∈ X. Dann

dᴹ(x)–dᴹ(y) ≤ d(x,y)

Beweis. Der Definition von dᴹ und der Dreiecksungleichung zufolge gilt dᴹ(x) ≤ d(x,m) ≤ d(x,y)+d(y,m) für alle m ∈ M. Folglich dᴹ(x) ≤ inf {d(y,m) + d(x,y) : m∈M} = dᴹ(y) + d(x,y).

Folgerung 1. Für alle x, y ∈ X gilt

|dᴹ(x)–dᴹ(y)|
= min{dᴹ(x)–dᴹ(y), dᴹ(y)–dᴹ(x)}
≤ min{d(x,y), d(y,x)}
= d(x,y)

Folgerung 2. dᴹ ist also gleichmäßig stetig auf (X,d) und deshalb insbesondere stetig.