Hallo Oana,

wenn Du das Erscheinungsbild des SL mit Hintergrund in etwa nachbasteln willst, nimm ein Weinglas, das möglichst glatt ist, und trenne vorsichtig Kelch und Fuß voneinander.

Grundsätzlich eignet sich beides dazu, den Gravitationslinseneffekt annähernd nachzuahmen, denn die Form liegt darin, im Randbereich annähernd wie Fensterglas zu sein und zur Mitte hin zunehmend stärker als Sammellinse zu agieren.

Die Mitte kannst Du schwarz machen, wobei Vantablack die beste Option wäre. Am besten sollte das Glas so beschaffen sein, dass auch das Licht von Dingen, die hinter dem schwarzen Kreis liegen, ins Auge des Betrachters gelangen, weil sie an allen Seiten um die dicke Stelle herumgeleitet werden. Eine punktförmige Lichtquelle, die genau dahinter liegt, sollte zu einem Ring verzerrt werden. Der entspricht dem von einem SL erzeugten EINSTEIN- Ring.

Hallo Ccccc04,

die Geschwindigkeit des Reisenden kann nicht c betragen haben.

Nicht, weil das physikalisch nicht möglich ist, immerhin kann man sich c theoretisch beliebig annähern; Teilchen in Teilchenbeschleunigern erreichen ja tatsächlich Tempos, die sich von c kaum mehr unterscheiden lassen.

Allerdings hat laut Lösung der Reisende immerhin Δτ = 27 Jahre Eigenzeit erlebt. Gegenüber den Δt = 45 Jahren Erd- Koordinatenzeit, die eine erdgebundene Uhr dafür misst, ist das zwar ziemlich wenig, aber es ist eben nicht 0.

Wie schnell er gewesen sein muss, lässt sich berechnen, indem man die Formel

(1) Δt⁄Δτ = γ := 1/√{1 − β²}   mit β := v⁄c

nach β auflöst. Dabei ergibt sich

(2) β = √{1 − 1⁄γ²},

wobei in unserem Fall γ = 45⁄27 = 5⁄3 und daher 1⁄γ² = 9⁄25 ist. Setzen wir dies ein, so ergibt sich β = √{16⁄25} = ⅘ = 0,8.

Der Reisende muss also mit 80% der Lichtgeschwindigkeit oder besser des Lichttempos unterwegs gewesen sein.

Warum Δτ statt Δt'?

Es gibt hier zwei Uhren: Eine Uhr U auf der Erde und eine Uhr Ώ (nach gr. ώρα "Stunde") an Bord. Δτ ist die für die gesamte Reise von Ώ gemessene Zeit, die Eigenzeit eben.

Allerdings ist die Geschwindigkeit von Ώ relativ zur Erde nicht die ganze Zeit über konstant. Wenn wir die Bewegungsrichtung von Ώ auf dem Hinweg der Einfachheit halber als x-Richtung des Koordinatensystems S bezeichnen, ändert sich die 1D-Geschwindigkeit von Ώ in der Mitte der Reise von vₓₕ = +0,8c auf vₓᵣ = −0,8c.

Das Tempo (engl. speed) ist dasselbe, nicht aber die Geschwindigkeit (engl. velocity), weil die Richtung sich in der Zwischenzeit umgekehrt hat.

In der Lösung ist von zwei Koordinatensystemen S und S' die Rede, und das würde bedeuten, dass S' ein Nichtinertialsystem wäre, eines, in dem (nämlich bei der Umkehr) Trägheitskräfte auftreten, die wie eine Art universelles Gravitationsfeld behandelt werden müssten, das sich im Moment der Umkehr einschaltet. Um so ein Koordinatensystem als gleichberechtigt zu S zu beschreiben, müssten wir Allgemeine Relativitätstheorie (ART) betreiben.

In der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) sind (ebenso wie übrigens auch in der NEWTONschen Mechanik (NM)) nur Inertialsysteme gleichwertig, respektive Koordinatensysteme, die auf dieselbe Art von Inertialsystemen abweichen. Und dann brauchen wir allein für den Reisenden zwei Inertialsysteme S' und S":

• In S' bewegt sich die Erde mit −0,8c. Der Reisende bleibt zunächst in Ruhe, muss dann aber die Erde mit −0,976c*) einholen.
• In S" bewegt sich die Erde mit +0,8c. Der Reisende beschleunigt auf +0,976c und eilt ihr voraus, bis er den fremden Planeten eingeholt hat. Dann lässt er den sausen und wartet auf die Erde.

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*) Ergibt sich aus dem Additionstheorem für Geschwindigkeiten. Bewegt sich B relativ zu A mit v und C relativ zu B mit u', so bewegt sich C relativ zu A mit

u = (v + u')/(1 + vu'⁄c²).

Hallo Radioactiveman5,

das Wort von der "Krümmung des Raumes" ist nicht ganz korrekt*), denn den Raum für sich allein gibt es eigentlich auch gar nicht, nur die Raumzeit.

Somit geht es auch nicht um Bahnen, sondern um Weltlinien (WL). Gerade WL sind die von Körpern, die keinen äußeren Kräften unterliegen und daher eine konstante Geschwindgkeit haben. Diese entspricht der Neigung der WL gegen die Zeitachse eines raumzeitlichen Koordinatensystems.

Die Krümmung der WL eines Körpers ist nichts anderes als die Beschleunigung, die dieser erfährt.

In einer gekrümmten Raumzeit können WL nicht wirklich gerade, sondern nur geodätisch **) sein. Solche WL sind die von Körpern, die höchstens der Gravitation unterliegen.

Und ja, die Krümmung der Raumzeit lässt sich im Alltag spüren, nämlich durch Gravitation: Man spürt sie nicht, wenn man ihr folgt (freier Fall). Steht man jedoch auf dem Boden, spürt man ein Gewicht bzw. die Kraft, mit der der Boden dagegen hält und sozusagen eine ständige Kurskorrektur vornimmt. In Abb. 2 ist dies durch ein Modell veranschaulicht.

Mit der Raumzeit ist auch der Raum gekrümmt, aber das macht sich fast nie bemerkbar, weil der "Krümmungsradius" riesig ist: Ist c das Lichttempo und g die Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche, ist der Krümmungsradius c²⁄g ≈ 9×10¹⁵ m, fast 1 Lichtjahr!

Details

Raumzeit vs. "Raum und Zeit"

Wir brauchen einen Bezugspunkt (einen Punkt, auf den wir Orte und Geschwindigkeiten beziehen, den wir daher als ruhend betrachten) O***), um die Raumzeit in Raum und Zeit zerlegen zu können. Die Zeit macht aus dem Punkt eine Linie (O zu verschiedenen Zeitpunkten), seine Weltlinie (WL). Die WL von Punkten, in denen keine Kräfte wirken, sind Geraden oder, etwas allgemeiner Geodätische Linien. Die WLn zweier relativ zueinander Punkte verlaufen parallel.

Allerdings ist O als Bezugspunkt nicht verbindlich; man kann ebensogut einen relativ zu O mit konstanter Geschwindigkeit v› bewegten Punkt O' als ruhend und dafür O als mit −v› (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung) bewegt interpretieren, und dann ist die Zerlegung der Raumzeit eine andere.

Eigentlich gilt dies schon in der NEWTONschen Mechanik (NM), denn die obige Aussage stammt schon von GALILEI und heißt Relativitätsprinzip (RP). Eine Schlussfolgerung daraus ist die Relativität der Gleichortigkeit zeitlich aufeinanderfolgender Ereignisse E₁ und E₂, d.h., finden sie an derselben Stelle relativ zu O' statt, liegen sie relativ zu O um

v∙Δt = v∙(t₂ − t₁)

auseinander. Dabei sind t₁ und t₂ die von O aus ermittelten Zeiten von E₁ und E₂, und Δt heißt auch O- Koordinatenzeit. In der NM gilt sie allerdings als von der Wahl des Bezugspunktes unabhängig.

Die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) beruht freilich auf der Erkenntnis, dass das Ausbreitungstempo c der elektromagnetischen Wellen ("Lichtgeschwindigkeit") unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes ist.

Daraus folgt die Relativität der Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse.

Abb. 1: Ein Raumfahrzeug B' zieht an drei im Abstand d in einer Linie liegenden Raumfahrzeugen A, B und C vorbei respektive umgekehrt. In Grün sind diejenigen Licht- oder/und Funksignale von A und C in Richtung B dargestellt, die B und B' im Augenblick ihrer Passage erreichen. Interpretieren wir A, B und C als ruhend, müssen A und C auch beim Absenden des jeweiligen Signals dieselbe Entfernung zu dieser Stelle (wo B und B' sind) gehabt haben und sind daher als "gleich alt" zu interpretieren. Interpretieren wir B' als ruhend, muss C beim Absenden seines Signals um den Faktor (1 + v⁄c)/(1 − v⁄c) =: K² weiter von B' entfernt gewesen sein als A bei Absendung seines Signals – und ist daher um den Faktor K² "älter" zu interpretieren.

Die Raumzeit wird in der NM und SRT als geometrisch "flach" beschrieben. Dies bedeutet nicht etwa zweidimensional, sondern hat etwas mit dem Verhalten Geodätischer Linien zu tun. In einer geometrisch flachen Fläche sind Geodätische, die an einer Stelle in dieselbe Richtung verlaufen, überall parallel.

EINSTEIN verallgemeinerte die SRT zur Allgemeinen Relativitätstheorie (ART). Sie beschreibt Gravitation als Krümmung der Raumzeit.

Abb. 2: Die Reise zwischen zwei auf demselben Breitenkreis liegenden Orten als Modell für einen vertikalen Sprung. Der Äquator steht in diesem Bild für die Weltlinie des Erdmittelpunktes, jeder Breitenkreis für die Weltlinie einer bestimmten Entfernung von ihm. Nun ist von allen Breitenkreisen nur der Äquator ein Großkreis, also eine Geodätische. Alle anderen sind Kleinkreise, d.h., die Reise entlang eines Breitenkreises verlangt ständige Kurskorrektur. Das entspricht der Kraft, die der Fußboden ausüben muss, um mich an der Oberfläche zu halten, und die entgegengesetzte Kraft, die ich dadurch auf den Boden ausübe, ist mein Gewicht. Wenn ich springe, entspricht das einer Reise auf dem Bogen eines Großkreises, meine WL ist geodätisch und ich spüre für kurze Zeit mein Gewicht nicht.

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*) Vielleicht hast Du das Gummituch- Bild vor dem geistigen Auge, mit einer Boccia- Kugel als "Sonne" und Murmeln als "Planeten". Vergiss dieses Bild, es führt Dich von einem richtigen Verständnis der Sache nur weg.

Murmeln werden im Zweifelsfall der echten Gravitation der echten Erde unter dem Tuch folgen, nicht der Krümmung des Tuches. Insbesondere würde sich die Murmel komplett anders verhalten, wenn man das Tuch nach oben ausbeulen statt nach unten eindellen würde, obwohl dies an der Krümmung des Tuches nichts ändert.

Ein Schritt in die richtige Richtung ist es, sich stattdessen aufs Geradeausgehen programmierte Roboter-Ameisen vorzustellen, die an der Fläche haften und denen die Schwerkraft daher egal ist. Sie stellen dann z.B. Lichtsignale dar.

**) Eine Geodätische (Linie) ist eine Linie innerhalb einer Fläche oder allgemeiner einer Mannigfaltigkeit (wie der Raumzeit), die so gerade ist, wie es die Geometrie der Fläche oder Mannigfaltigkeit gerade erlaubt. Auf einer Kugeloberfläche zum Beispiel sind die Geodätischen Linien Großkreise wie der Äquator oder die Längenkreise.

***) Zum Beispiel der Schwerpunkt eines Körpers.

Hallo Chicchic69,

zunächst wurde die Lichtgeschwindigkeit gar nicht aus einer Formel berechnet, sondern im späteren 17. Jahrhundert von RØMER (indirekt) gemessen, und zwar AFAIR durch Beobachtung des Umlaufs der größten Jupitermonde.

RØMER verglich die von ihm beobachtete Stellung der Jupitermonde zu aufeinander folgenden Zeiten mit der Stellung, die sie nach KEPLER und NEWTON hätten haben sollen. Das setzte natürlich die Kenntnis der Gesetze für die Planetenbahnen voraus.

Erst nach Mitte des 19. Jahrhunderts entwickelten MAXWELL und andere die Grundgleichungen der Elektrodynamik, in denen die empirischen Konstanten ε₀ (elektrische Feldkonstante) und μ₀ (magnetische Feldkonstante) enthalten sind. Zwei dieser Gleichungen stellen die Abhängigkeit der sog. Rotation des ekektrischen*) Feldes (seine "Ringelrum- Anteile") von der Zeitableitung (zeitlichen Änderungsrate) des magnetischen*) dar und umgekehrt.

Daraus lässt sich eine Wellengleichung herleiten, die die Größe ε₀μ₀ enthält. Daraus ergibt sich, dass ε₀μ₀ = 1⁄c² sein muss.

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*) Eigentlich gibt es gar nicht das elektrische Feld an sich oder das magnetische Feld an sich, denn es gibt Fälle, in denen die An- bzw. Abwesenheit eines magnetischen Feldes oder auch die eines elektrischen Feldes Interpretationssache ist.

Es hängt von der Wahl des Bezugssystems ab: Ein relativ zu einem Bezugskörper B ruhender geladener Körper hat ein rein elektrisches Feld. Wenn wir allerdings statt B einen relativ zu ihm mit konstanter Geschwindigkeit v› bewegten Körper B' als Bezugskörper wählen, so haben wir B und damit auch den geladenen Körper als mit −v› (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung) bewegt bewegen, und damit erzeugt er ein magnetisches Wirbelfeld.

Hallo Nichtsnutz12,

das ist ein Planet, mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit die Venus. Ihre Wolken reflektieren das Sonnenlicht, und das ist eine Menge, da die Venus näher an der Sonne als wir.

Vor wenigen Wochen stand Jupiter von der Erde aus etwa in der selben Richtung wie die Venus, allerdings viel weiter weg und deshalb etwas weniger hell (Jupiter ist ungefähr 5 mal weiter von der Sonne entfernt als die Erde).

Hallo Krea12345,

die Formulierung ist irreführend. Wenn ich Dich und Deine Uhr U als ruhend ansehe (Bezugsuhr) und ich mich relativ zu Dir eine Weile mit dem Tempo v bewege, ist der Zeittakt meiner Uhr als um den Faktor

(1) γ := 1/√{1 − (v⁄c)²}

verlängert zu interpretieren, d.h., für mich geht Deine Uhr U um diesen Faktor schneller. Es ist aber kein Jungbrunnen; wenn ich so schnell sein könnte, dass ich signifikant langsamer altern würde, würde ich auch entsprechend weniger Zeit erleben.

Warum sage ich eigentlich "relativ zu Dir", und warum mache ich die Einschränkung "wenn ich Dich ... als ruhend betrachte? Nun, angenommen, eine Uhr U' bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit v› relativ zu U und Dir.

Dann kann ich gemäß GALILEIs Relativitätsprinzip (RP), auf dem die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) beruht, auch U' als ruhend und dafür U als mit −v› (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung) bewegte Uhr ansehen. Ob U oder U' sich bewegt und somit langsamer geht, ist daher Interpretationssache – was widersprüchlich scheint. Dieser scheinbare Widerspruch ist die Grundlage des Zwillingsparadoxons.

Um zu verstehen, was da vor sich geht, muss man sich klar machen, dass es eigentlich weder den Raum noch die Zeit, sondern nur die Raumzeit gibt.

Hallo Halloichbine428,

sicher hast Du schon mal von EINSTEINs berühmter Formel "E = mc²" gehört. Sie bedeutet folgendes:

• Energie (und zwar jede) "wiegt was" und besitzt eine eigene Trägheit.
• Masse ist nichts anderes als "kondensierte" Energie. Die Masse m eines Körpers oder Teilchens ist nichts anderes als seine Ruheenergie E₀ = mc², nur in einer anderen Maßeinheit.

Der Grund dafür, dass hier das Megaelektronenvolt (MeV) statt der SI- Einheit Joule (1 MeV ≈ 1,6×10⁻¹³ J) für die Energie verwendet wird, liegt darin, dass für Elementarteilchen die Energien recht klein sind. Die Ruheenergie des Elektrons z.B. liegt bei etwa 8,2×10⁻¹⁴ J, das ist ca. 0,51 MeV.

Ein MeV ist auch die Energie, die einem einfach geladenen Teilchen als kinetische Energie zugeführt wird, wenn es eine Beschleunigungsspannung von 1MV (1 Million Volt) durchläuft.

Ein Elektron würde diese Energie auf 0,94c beschleunigen.

Hallo NinjagoWWW,

es stimmt zwar (offensichtlich), dass einem dieselbe Zeitspanne mal sehr kurz und mal schier ewig vorkommt. Das ist aber ein psychologischer Effekt.

Die Spezielle (SRT) und die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) sagen einen Effekt voraus, der "Zeitdilatation" genannt wird und nichts mit subjektiver Zeitempfindung zu tun, sondern durchaus mit objektiver Zeitmessung. Es handelt sich um die Diskrepanz zwischen der Eigenzeit und einer Koordinatenzeit.

Stell Dir eine Uhr U vor, die wir als ruhend betrachten können und das jetzt auch wollen. Sie ist unsere Bezugsuhr. In der Nähe einer anderen Uhr Ώ findet ein Vorgang statt, der mit einem Ereignis E₁ beginnt und mit einem anderen Ereignis E₂ endet.

Die Eigenzeit ist dann die von Ώ direkt gemessene Zeitspanne Δτ = τ₂ − τ₁, die U- Koordinatenzeit ist die von U aus auf ggf. unterschiedliche Entfernung ermittelte Zeitspanne Δt = t₂ − t₁ zwischen denselben Ereignissen, Dauer desselben Vorgangs.

Wie der Name schon sagt, ist die U-Koordinatenzeit eine Koordinatendifferenz, wie räumliche Koordinatendifferenzen Δx usw. auch. Wie Δx die Projektion eines zurückgelegten Weges auf die x-Achse ist, ist Δt die Projektion des Vorgangs auf die t-Achse der Raumzeit, d.h. auf die Weltlinie (WL) von U. Die Eigenzeit hingegen ist so etwas wie die eigentliche Weglänge zwischen E₁ und E₂ in der Raumzeit.

Die Diskrepanz zwischen Δτ und Δt hängt laut ART von zwei Dingen ab:

• Der Bewegung von Ώ relativ zu U und
• dem Unterschied in den Gravitationspotentialen zwischen Ώ und U.

Sie wird durch die sog. SCHWARZSCHILD- Metrik beschrieben.

-- Baustelle --

Hallo DerDieDasFurz,

Stell Dir 4 Raumfahrzeuge vor: A, B, C und B'. Die ersten drei schweben im Abstand d in einer Linie, und zwar relativ zueinander auf der Stelle, B' zieht mit konstanter 1D- Geschwindigkeit v nacheinander an ihnen vorbei. Sie stehen ständig in Blick- und Funkkontakt, natürlich auch zur Zeit t₀ bzw. t'₀, wenn B' gerade B passiert.

Beide empfangen daher dieselben beiden Signale von A und C, und da A und C gleich weit von B entfernt sind, müssen sie zur selben Zeit t₀ − d⁄c abgeschickt worden sein, oder?

Das RP sagt, dass man auch B' als ruhend und A, B und C als mit −v an B' vorbeiziehenden Konvoy auffassen kann. Zwar sind zur Zeit t'₀ A und C gleich weit von B' entfernt, waren es aber nicht bei Aussendung des gerade empfangenen Signals. Vielmehr war nach dieser Interpretation C bei seiner Absendung um den Faktor (1 + v⁄c)/(1 − v⁄c) =: K² weiter von B' entfernt als A bei seiner, deshalb muss C sein Signal auch entsprechend eher abgesendet haben, nämlich zur Zeit t'(C) = t'₀ − d∙K⁄c gegenüber t'(A) = t'₀ − d/(Kc).

Ein einfaches Zahlenbeispiel wäre etwa v=0,6c und d=2 Lichtminuten (das sind ca. 36 Millionen km). In diesem Falle ist K=2. Würden die Uhren von B und B' bei ihrer Begegnung beide 12:00 Uhr anzeigen, so würde dies bedeuten, dass, wenn wir B als ruhend betrachten, sowohl A als auch C ihre Signale um 11:58 Uhr abgeschickt haben müssen. Teilen A und C auch tatsächlich ihre Uhrzeiten mit, so zeigt der auch in beiden Fällen 11:58 Uhr, wenn wir annehmen, dass die Uhren von A, B und C EINSTEIN- synchronisiert sind.

Betrachten wir B' als ruhend, muss C sein Signal schon um 11:56 Uhr abgesetzt haben, A aber erst um 11:59 Uhr. Aus Sicht von B' geht daher die Uhr von C um 2min vor, die von A um 1min nach.

Abb. 1: Eine raumzeitliche Darstellung der Begegnung zwischen B und B'; die Zeit ist vertikal dargestellt, die Bewegungsrichtung horizontal. Dieses Bild ist eine Darstellung aus einer "mittleren" Perspektive, in der sich A, B und C einerseits und B' andererseits mit demselben Tempo bewegen, damit als gleich lang gemeinte Strecken/ Zeitspannen auch gleich lang dargestellt werden.

Hallo Peter12383,

ich bin davon überzeugt, dass es objektive Wahrheit gibt. Anderenfalls könnte niemand sich irren, allenfalls lügen (d.h., Dir erzählt jemand etwas, das er selbst nicht glaubt).

Ich glaube auch, dass es absolute (lat.: absolutus = losgelöst) Wahrheiten gibt, d.h. manche Aussagen sind unabhängig von uns oder irgendeiner Weltanschauung wahr und andere unwahr.

Allerdings bedeutet diese Absolutheit auch, dass niemand sie besitzen kann. Sonst wäre es ja seine Wahrheit. Du kannst sie kennen, ohne allerdings zu 100% zu wissen, dass es sich tatsächlich um die Wahrheit handelt. In sehr komplexen Fällen kommt es auch vor, dass einander scheinbar widersprechende Aussagen wahr, allerdings auch unvollständig sind.

Noch ein Wort zur Relativitätstheorie, weil Du sie getaggt hast. Sie hat nicht das Geringste mit Relativismus zu tun. Ihre Aussage besteht nicht darin, dass alles relativ sei, sondern beruht auf GALILEIs (!) Relativitätsprinzip (RP), das aussagt, dass Fortbewegung relativ ist.

Damit geht auch die Relativität der Gleichortigkeit zeitlich aufeinanderfolgender Ereignisse einher: Wenn Du in einem Bistro eine Tasse Kaffee trinkst, findet der letzte Schluck am selben Ort statt wie der erste – aber nur nach der Interpretation des Bistros als ruhend. Berücksichtigen wir die Bewegung der Erde, sieht das ganz anders aus.

Die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) geht noch einem Schritt weiter: Sie postuliert zusätzlich die Relativität der Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse. Grund dafür ist, dass eine andere Größe als absolut erkannt wurde: Das Lichttempo c.

Stell Dir 4 Raumfahrzeuge vor: A, B, C und B'. Die ersten drei schweben im Abstand d in einer Linie, und zwar relativ zueinander auf der Stelle, B' zieht mit konstanter 1D- Geschwindigkeit v nacheinander an ihnen vorbei. Sie stehen ständig in Blick- und Funkkontakt, natürlich auch zur Zeit t₀ bzw. t'₀, wenn B' gerade B passiert.

Beide empfangen daher dieselben beiden Signale von A und C, und da A und C gleich weit von B entfernt sind, müssen sie zur selben Zeit t₀ − d⁄c abgeschickt worden sein, oder?

Das RP sagt, dass man auch B' als ruhend und A, B und C als mit −v an B' vorbeiziehenden Konvoy auffassen kann. Zwar sind zur Zeit t'₀ A und C gleich weit von B' entfernt, waren es aber nicht bei Aussendung des gerade empfangenen Signals. Vielmehr war nach dieser Interpretation C bei seiner Absendung um den Faktor (1 + v⁄c)/(1 − v⁄c) =: K² weiter von B' entfernt als A bei seiner, deshalb muss C sein Signal auch entsprechend eher abgesendet haben, nämlich zur Zeit t'(C) = t'₀ − d∙K⁄c gegenüber t'(A) = t'₀ − d/(Kc).

Hallo gelbepelmeni,

in der Beschleunigungsspannung −U = −100 V (das Vorzeichen steht da, weil das Elektron vom Minus- zum Pluspol fliegt) erhält das Elektron mit seiner Ladung −e = −1,6×10⁻¹⁹ C die kinetische Energie

(1.1) Eₖ = e∙U,

also 100 eV, was 1,6×10⁻¹⁷ J entspricht. Das ist sehr klein im Vergleich zu seiner Ruheenergie

(1.2) E₀ = mc² ≈ 511keV ≈ 8,18×10⁻¹⁴ J,

wobei m ≈ 9×10⁻³¹ kg die Masse des Elektrons und c ≈ 3×10⁸ m⁄s die Lichtgeschwindigkeit ist.

Deshalb kann man das Tempo des Elektrons hier getrost mit der aus der NEWTONschen Mechanik bekannten Formel

(2.1) Eₖ = e∙U ≈ ½mv²

berechnen, indem man nach v umstellt:

(2.2) v = √{2∙e∙U⁄m}

Mit dieser Geschwindigkeit tritt es im rechten Winkel zum Magnetfeld der (gesuchten) Flussdichte mit Betrag B ein, und deshalb wirkt die LORENTZkraft mit Betrag

(3.1) F_L = e∙v∙B = e∙B∙√{2∙e∙U⁄m}

auf das Elektron und zwingt es auf eine Bahn mit Radius r = 3×10⁻² m. Hier tritt die LORENTZkraft als Zentripetalkraft

(3.2) F_z = mv²⁄r = 2∙e∙U⁄r

auf, d.h.

(3.3) e∙B∙√{2∙e∙U⁄m} = 2∙e∙U⁄r.

Ein e fällt raus, und der Rest lässt sich nach B umstellen:

(3.4) B = √{2∙m∙U/e∙r²}

(Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet).

Hallo Sueda2009,

eine ältere Maßeinheit für Energie ist die Kalorie (cal), definiert als die Energie, die man braucht, um 1g, also etwa 1ml Wasser von 14,5°C auf 15,5°C zu erwärmen. Sie entspricht etwa 4,19J, d.h.; Wasser hat also die spezifische Wärmekapazität von

c_H₂O ≈ 4,19 kJ/kg∙K,

im Temperaturbereich um 15°C. Allerdings bleibt sie zwischen 0°C und 100°C (Letzteres bei rund 1000 hPa Luftdruck) in einem Bereich um 4,2 kJ/kg∙K. Erst dort geht sie hoch, weil das Wasser dann siedet, ohne sich weiter zu erwärmen.

Dabei ist 1kg etwa 1l und steht 'K' für Kelvin, die Maßeinheit für die Temperatur. Die Schrittweite ist dieselbe wie bei °C, nur dass 0K = −273,15°C, der absolute Nullpunkt, ist.

Du musst das Wasser um ΔΤ=90K erwärmen, um es zum Sieden zu bringen.

Hallo Phonix2757,

eine sehr gute Frage. Wahrscheinlich würde ein Bewohner einer Welt in der Nähe eines galaktischen Zentrums, vielleicht sogar in der näheren Umgebung eines Schwarzen Lochs, tatsächlich auf ein wesentlich geringeres Alter für das Universum kommen als wir.

Es kommt allerdings nicht auf die Gravitationsfeldstärke (= Fallbeschleunigung) an, sondern auf das Gravitationspotential, d.h., der Frage, wie viel Energie pro kg Masse ich benötige, um mich von einer Schweren Masse beliebig weit zu entfernen.

Die Betrags-Formel für die Feldstärke lautet im NEWTONschen Grenzfall

(1) g = GM/r²,

die für das Potential

(2) Φ = –GM/r,

d.h., wenn man einen Himmelskörper z.B. 4× so schwer und gleichzeitig doppelt so groß machen könnte, wie er ist, würde die Gravitationsfeldstärke an seiner Oberfläche gleich bleiben, aber um sich von dort ausn beliebig weit von ihm zu entfernen, bräuchte man doppelt so viel Energie.

Deshalb wäre dann übrigens auch die Rate, um die die Uhr auf der Oberfläche langsamer ginge als in großer Entfernung, verdoppelt (was allerdings niemand merken würde, da wir ja den NEWTONschen Grenzfall angenommen haben, in dem der Effekt winzig ist).

Hallo ZuNiceFrage,

die Aussage die Masse eines Körpers nehme mit wachsender Geschwindigkeit zu, korrespondiert mit der Erkenntnis der Trägheit der Energie.

Schon vor der Entdeckung der SRT überlegte sich HASENÖHRL, dass die in einem Kasten vorhandene Strahlung eigentlich zu seiner Masse beitragen müsse, wenn auch nur minimal.

EINSTEIN argumentierte später, dass eine in ihrem eigenen Ruhesystem gleichmäßig in alle Richtungen strahlende Lichtquelle ihren Bewegungszustand beibehalten muss.

Das Problem: In einem Koordinatensystem, in dem sie sich mit einer 1D-Geschwindigkeit v bewegt, ist ihr Licht blau- und in Gegenrichtung rotverschoben. Nun wusste man damals aber schon, dass Licht Kraft ausübt, und zwar umso mehr, je höher seine Frequenz ist. Das von der Lichtquelle abgestrahlte Licht übt also nach vorn mehr Kraft aus als nach hinten.

Kraft ist aber die Änderungsrate des Impulses, d.h., die Lichtquelle muss an Impuls verlieren. Sie muss daher an Geschwindigkeit oder/ und an Masse verlieren, und da Ersteres nicht sein kann, muss sie Masse verlieren – allein durch die Abstrahlung von Licht. Dieses muss daher "was wiegen". Wenn aber eine Energieform "was wiegt", muss dies für alle gelten, da Energieformen ständig ineinander umgewandelt werden.

Das gilt auch für die von einem relativ zu einem gegebenen Bezugskörper bewegten Körper "mitgeschleppte" kinetische Energie.

Das lässt sich tatsächlich an beschleunigten z.B. Elektronen feststellen, wenn man sie durch ein Magnetfeld fliegen lässt. Dies tun sie wegen der LORENTZkraft in einem Kreis, der bei verhältnismäßig kleinen kinetischen Energien den Radius

R = mv/-eB,

hat, wobei m ihre Masse, v ihr Tempo, -e ihre elektrische Ladung und B die magnetische Flussdichte ist. Variiert man v und B gleichzeitig im selben Maße, bleibt R gleich. Bei großen Geschwindigkeiten ändert sich das allerdings. Man braucht dann stärkere Magnetfelder für denselben Radius.

Hallo SeiEhrlich2020,

sagen wir es so: Im materiefreien Raum breiteten sich elektromagnetische Wellen (also Licht) mit demselben Tempo aus wie Gravitation.

Hallo ZuNiceFrage,

die elektrische und magnetische Feldkonstante treten beide in den MAXWELLschen Gleichungen (M3) und (M4) bzw. (M4*) auf, die ich in einer früheren Frage hingeschrieben habe.

Wenn man diese kombiniert, kommt man auf die Wellengleichung, welche die räumliche Änderungsrate der räumlichen Änderungsrate (d.h. die zweite Ableitung nach den räumlichen Koordinaten, ∇²) des elektrischen bzw. magnetischen Feldes in Beziehung zur zeitlichen Änderungsrate der zeitlichen Änderungsrate (d.h. die zweite Zeitableitung, d²/dt²) mal ε₀μ₀ in Beziehung setzt.

Der Vorfaktor vor letzterer in einer Wellengleichung ist stets das inverse Quadrat des Ausbreitungstempos der Welle, d.h. elektromagnetische Wellen breiten sich im materiefreien Raum mit 1/√{ε₀μ₀} =: c aus.

Ich weiß nicht, wie gut Du mit Dingen wie dem Skalarprodukt, dem Kreuzprodukt und Differentialoperatoren vertraut bist. In der früheren Frage habe ich den Nabla- Operator

∇ = (∂⁄∂x | ∂⁄∂y | ∂⁄∂z)

eingeführt, der alles nach den Koordinaten ableitet, was dahinter steht. Dessen Skalarprodukt mit sich selbst, also

Δ = ∇² = ∂²⁄∂x² + ∂²⁄∂y² + ∂⁄∂z²,

heißt der LAPLACE- Operator.

Hallo Mia534,

die Zeitgenossen haben sich vorgestellt, dass die Münze unabhängig von ihrer vorherigen Bewegung genau lotrecht zu Boden fallen müssen.

Das passiert aber auch nicht, wenn man z.B. die Münze beim Reiten fallen ließe. Der Luftwiderstand würde sie natürlich etwas bremsen, aber natürlich "erbt" die Münze die Geschwindigkeit des Pferdes.

Bei der Erde ist das noch definitiver, weil die Luft sich mit der Erde mitbewegt und die Münze nicht bremst.

Der entscheidende Punkt ist GALILEIs Erkenntnis, dass Kraft nicht zur Aufrechterhaltung, sondern zur Änderung einer Geschwindigkeit (engl. velocity) nach Betrag, Richtung oder beidem erforderlich ist und ein Körper ansonsten seine momentane Geschwindigkeit beibehält, d.h., sich geradeaus weiterbewegt. Wer je Aquaplaning oder Glatteis erlebt hat, weiß das.

Dieses heißt Trägheitsprinzip oder auch das Erste NEWTONsche Gesetz, obwohl es, wie gesagt, älter ist.

Es liefert allerdings die Grundlage für eine noch radikalere Idee GALILEIs, das Relativitätsprinzip (RP): Eine konstante Geschwindgkeit lässt sich immer wegtransformieren. Jeder Körper lässt sich als zumindest momentan ruhend ansehen. Das kann eine durchaus sehr aktive "Ruhe" sein, wie etwa die eines Läufers auf einem Laufband. Gehst Du eine Straße entlang, lässt sich diese (und der Erdboden) auch quasi als riesiges Laufband interpretieren, und Du gehst, um an Ort und Stelle zu bleiben.

Hallo ZuNiceFrage,

eine Frequenzverschiebung kommt nur zustande, wenn sich Lichtquelle und Empfänger relativ zueinander bewegen.

Beim MMX*) wurden allerdings Lampen verwendet – heute würde man ziemlich sicher Laser verwenden – die sich relativ zur Apparatur nicht bewegen.

Selbst nach der alten Äthertheorie ergäbe das keine Frequenzverschiebung, da, wenn der Arm des Interferometers in Bewegungsrichtung ausgerichtet ist, die ursprüngliche Blauverschiebung (die Quelle eilt dem eigenen Licht nach) der Rotverschiebung am Spiegel genau entgegengesetzt ist.

_______

*) Beliebte Abkürzung für "MICHELSON- MORLEY- EXperiment"

Hallo ZuNiceFrage,

wir benötigen nur 2 der MAXWELLschen Gleichungen:

(M3) ∇×E› = −dB›⁄dt
(M4) ∇×B› = μ₀∙j› + μ₀∙ε₀∙dE›⁄dt                      = μ₀∙j› + dE›⁄c²dt.

Im Vakuum ist die Stromdichte j› = 0, und da reduziert sich (M4) zu

(M4*) ∇×B› = dE›⁄c²dt.

Dabei ist E› die elektrische Feldstärke, B› die magnetische Flussdichte, μ₀ die magnetische Feldkonstante und ε₀ die elektrische Feldkonstante. Außerdem ist

(1) ∇:= (∂⁄∂x | ∂⁄∂y | ∂⁄∂z)

der Vektoroperator Nabla, der alles partiell nach den Koordinaten differenziert, was dahinter steht. Das Kreuzprodukt steht dafür, dass die Differentiation quasi "über Kreuz" stattfindet, und zwar in der Form

(2) (∇×E›)_z = ∂E_y⁄∂x − ∂E_x⁄∂y.

Diese Größe nennt man auch "Rotation"; sie "misst" sozusagen die "Ringelrum"- Anteile eines Feldes.

Hallo BaviH,

die Zeit vergeht nicht wirklich langsamer, wenn man ständig auf die Uhr guckt, es kommt einem nur subjektiv so vor.

Wenn Du auf die Uhr guckst, achtest Du explizit auf die Zeit, was nicht besonders interessant ist. Wir neigen dazu, die Dauer von Vorgängen, die uns nicht besonders interessieren, zu überschätzen, was sich im Wort "langweilig" niederschlägt.

Die Dauer von Vorgängen, die wir interessant oder unterhaltsam finden, unterschätzen wir gewöhnlich, was sich im Wort "kurzweilig" niederschlägt.

Du hast aber auch "Relativitätstheorie" getaggt. Ihr zufolge müssen die von einer lokalen Uhr Ώ direkt gemessene Dauer Δτ eines Vorgangs (Eigenzeit) und die von einer Bezugsuhr (einer Uhr, die als stationär gilt) U aus ermittelten Dauer Δt desselben Vorgangs nicht miteinander übereinstimmen und tun dies auch nicht, wenn sich Ώ z.B. relativ zu U bewegt oder sich auf einem anderen Gravitationspotential befindet. Auffällig wird dies erst bei ziemlich großen Geschwindigkeiten oder Differenzen im Gravitationspotential, aber eine gewisse Diskrepanz ist immer da. Und sie ist objektiv.