Hallo Forty024,

in beiden Atomodellen können Elektronen im Atom nur ganz bestimmte Energiezustände annehmen gekennzeichnet durch die Hauptquantenzahl n.

Dabei muss der sogenannte Bahndrehimpuls (den man zur Unterscheidung vom Spin auch im Orbitalmodell so nennt, obwohl es da keine Bahnen gibt) in Bezug auf eine gegebene Achse immer ein ganzzahliges Vielfaches von ħ=h/2π sein (l·ħ, mit der Nebenquantenzahl l), wobei h das PLANCKsche Wirkungsquantum ist. n ist das Maximum für l.

Somit sind beide Modelle geeignet, die Stabilität der Atome und die Absorptionslinien (=Emissionslinien, wenn das Material heiß genug ist) zu erklären.

Es gibt aber natürlich eine Menge Unterschiede, nicht nur, was die Gestalt des Atoms betrifft (und das Warum der diskreten Energiezustände) betrifft, sondern auch die Drehimpulse selbst.

Im Orbitalmodell kann der Drehimpuls durchaus 0 sein, was er im BOHRschen Modell nicht sein kann, vor allem nicht im ursprünglichen von 1913, das nur Kreisbahnen kennt. Dafür können nicht alle Komponenten gleichzeitig genau bestimmt werden, weil sich Drehimpulse aus Orts- und Impulsvariablen zusammensetzen - obwohl der Betrag durchaus bestimmt ist, nämlich



d.h., die Richtung von L› ist unbestimmt, und zwar umso mehr, je kleiner l ist. Auch die chemischen Bindungen kann nur das Orbitalmodell erklären.

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Hallo Lariii9528,

Magnesium ist ein Metall, d.h., es besteht im festen und wohl auch flüssigen Zustand aus Atomrümpfen, denen die äußersten Elektronen fehlen, und einer Art „Elektronensuppe, -gas“ aus Elektronen, die nicht an einzelne Atome gebunden sind, sondern nur an den gesamten Verband. Und das im Mg-Fall vergleichsweise locker, es ist als Erdalkalimetall ein relativ unedles Metall.

An Sauerstoffatome gibt es seine Elektronen also recht „gern“ ab, die aber in O₂-Molekülen gebunden sind. Das ist ein metastabiler Zustand. Die Ionenbindung mit Mg ist allerdings stabiler als die kovalente Bindung der O-Atome untereinander.

Sobald der Sauerstoff die benötigte Aktivierungsenergie verpasst bekommen hat, und die Bindungen aufbrechen, holen sich die Sauerstoffatome eher die Elektronen vom Magnesium als wieder zusammen zu finden. Dass dabei Energie frei wird, sieht man daran, wie heiß und hell das Magnesium verbrennt.

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Hallo Meddlesome,

das ist eine gute Frage, und keine ganz einfache. Hättest Du geschrieben:

Ich habe meinenTee verschüttet, deshalb habe ich keinen mehr in der Tasse,

wäre das eindeutig. Das Du neuen Tee kochen musst, ist ja weder ein Zustand (wie Tasse leer) noch ein Ereignis (wie 'ich koche mir einen Tee') und schwerlich eine unmittelbare Wirkung des Teeverschüttens zu nennen.

Vor allem kannst Du Dich noch immer frei dafür oder dagegen entscheiden, jetzt überhaupt Tee zuzubereiten. Vielleicht hast Du ja keine Lust mehr darauf und möchtest jetzt lieber Kaffee. Tee schien Dir weniger aufwändig, nur deshalb hattest Du Dich dafür entschieden, und nach dem Malheur ist diese Entscheidung hinfällig.

Ich würde die Frage also eher verneinen. Nicht rundheraus, aber mit starker Tendenz.

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Hallo 4Andi,

auf diesem speziellen Gebiet bin ich etwas fachfremd, glaube aber trotzdem helfen zu können.

Die Konstanten in den Funktionen, in der Mathematik auch Parameter oder Koeffizienten genannt, müssen natürlich richtig übernommen werden, damit bei richtiger Rechnung auch das richtige Ergebnis herauskommt. Du hast aus der 1230 aus D(p) eine 120 gemacht; wenn Du Glück hast, ist das schon der Fehler.

Generell würde ich die Parameter durch Buchstaben wiedergeben, etwa wie im Beispiel einer quadratischen Funktion

(1) y = ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + c – b²/4a,

wo x die Variable und a, b und c Konstanten sind. Der zweiten Form sieht man besser an, wie die Parabel aussieht, natürlich in Abhängigkeit von a, b und c.

Zahlen sollte man erst am Schluss einsetzen. Wenn man einen Computer benutzt, kann man die Parameter z.B. in Excel eintragen.

In diesem Fall kannst Du entweder schreiben

(2.1) D(p): q = ap + b
(2.2) C(q) = cq² + dq + e

oder

(3.1) D(p): q = –ap + b
(3.2) C(q) = cq² – dq + e;

im ersten Fall hast Du a=–1,8665, im zweiten a=1,8665 gesetzt, also nur den Betrag. Vielleicht ist das sicherer.

Das weitete Vorgehen ist nun ähnlich, wie Du es gemacht hast bzw. precursor es gemacht hat, wobei das mit Formelzeichen einfacher ist:

(4) p = (b – q)/a

Umsatz ist, wenn ich richtig verstanden habe,

(5) pq = (bq – q²)/a

und

(6) π(q) = pq – C(q)
= (b/a)q – (1/a)q² – cq² + dq – e
= –((1/a) + c)q² + (b/a + d)q – e
=: –Aq² + Bq – e

Diese quadratische Funktion kannst Du im Prinzip ähnlich umstellen wie (1), um festzustellen, wohin die Funktion q-mäßig verschoben wurde.

Du weißt aber, dass es eine nach unten offene Parabel ist. Die hat nur eine Extremstelle, ein Maximum, das zugleich die einzige Nullstelle der ersten Ableitung

(7) π'(q) =–2Aq + B =–2((1/a)+c)q + (b/a +d)

ist, also

(8.1) 2((1/a) + c)q_{opt} = (b/a +d)
(8.2) q_{opt} = (b/a + d)/(2/a + 2c)

Wenn Du jetzt die richtigen Zahlen einsetzt, sollte das richtige Ergebnis herauskommen.

Ich überschlage nur grob: b/a≈1230/1,9≈620·(1,05)≈651
d ≈ 170
=> Zähler ca. 820

2/a≈1,05
2c≈0,8
=> Nenner ca. 1,85

=> Größenordnng stimmt etwa.

Das Überschlagen ist auch nützlich, um zu prüfen, ob man sich beim Rechner vertan hat.

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Hallo DubioserNutzer,

eindeutig weniger. Du weißt ja wahrscheinlich auch, dass Ameisen im Verhältnis zu ihrer Körpermasse viel mehr schleppen können als z.B. wir, und vielleicht hast Du auch schon gehört oder gelesen, dass dies vor allem daran liegt, dass sie so viel kleiner sind.

Der schwerste landlebende Gliederfüßer ist meines Wissens der Palmendieb, der schon wesentlich gröber konstruiert sein muss als seine kleineren Verwandten oder eben Ameisen, um sein eigenes Körpergewicht tragen zu können.

Würde man uns maßstabsgerecht um den Faktor 10 verkleinern, so würde der Querschnitt unserer Muskeln um den Faktor 100 abnehmen und damit in etwa (wahrscheinlich nicht ganz, denn sie bestehen aus weniger Molekülen und dürften daher auch stabiler sein) auch deren Kraft.

Dafür würde sich unser Volumen uns damit unsere Masse um den Faktor 1000 reduzieren, sodass jemand, der im normalen Maßstab 2 seinesgleichen tragen könnte, 20 seinesgleichen müsste tragen können, theoretisch jedenfalls.

Was größer ist, das ist weniger fest. So sind Planeten (selbst feste) gleichsam flüssig. Deshalb sind sie alle mehr oder minder rund.

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Hallo tukare,

gestatte mir, Deine Frage etwas umzuformulieren:

Was hat die Krümmung der Raumzeit mit der Äquivalenz von Gravitation und Beschleunigungskräften zu tun?

Punkte in der Raumzeit werden Ereignisse genannt. Der Weg eines Körpers (genauer: seines Schwerpunkts) durch die Raumzeit heißt seine Weltlinie. Dies ist eine zeitartige Linie, d.h., eine Länge zwischen zwei Ereignissen entlang einer Weltlinie ist eine Zeitspanne Δτ, wie sie eine mitgeführte Uhr messen würde.

Weltlinien sind

  • parallel, wenn sich zwei Körper reativ zueinander nicht bewegen,
  • Geraden, wenn ein Körper keine Geschwindigkeitsänderung erfährt, und
  • Geodätische (Verallgemeinerung von Geraden), wenn ein Körper keine spürbare Beschleunigung erfährt.

Und hier - beim letzten Punkt - liegt der Hase im Pfeffer: Eine augenscheinlich gerade Weltlinie kann eine nicht-Geodätische sein. Auf unser aller Weltlinien trifft genau das zu, denn wir spüren ständig eine Beschleunigung nach oben, die der Boden auf uns ausübt. So würde man sich im freien Weltraum fühlen, wenn das eigene Raumschiff konstant beschleunigt.

Umgekehrt sind Weltlinien von Körpern im Orbit oder Freien Fall ejndeutig Geodätische, denn so ein Körper spürt ebensowenig eine Kraft, als wenn er sich mit konstanter Geschwindigkeit bzw. gar nicht durch den freien Weltraum bewegen würde (ggf., wenn er groß oder das Gravitationsfeld stark und inhomogen genug ist, eine Gezeitenkraft, was den substantiellen Unterschied ausmacht).

Stell Dir vor, Du setzt zwei Roboterameisen, die auf's Geradeauslaufen programmiert sind, parallel auf eine gewölbte Fläche. Die anfänglich parallel laufenden Ameisten würden gleichsam automatisch zusammenlaufen wie die Meridiane der Erde an den Polen. Um das zu verhindern, müsste mindestens eine einen Weg laufen, der keine Geodätische ist, die ein vom Äquator verschiedener Breitengrad.

Die gewölbte Fläche steht hier als Bild nicht etwa für den Raum, sondern die Raumzeit, wobei die Zeit durch die Laufrichtung der Ameisen dargestellt wird. Es geht auch nicht um „Krümmung in eine Extra-Dimension hinein“, sondern um Krümmung als innere geometrische Eigenschaft der Raumzeit selbst. Anfänglich parallele Geodätische in einer geometrisch flachen Raumzeit wären Geraden und würden parallel bleiben; dass sie es nicht tun, weist die Raumzeit als gekrümmt aus.

Merklich gekrümmter Raum macht sich etwa auch dadurch bemerkbar, dass selbst das geradeste überhaupt, Lichtstrahlen, krumme Wege läuft (Gravitationslinseneffekt) und der Umfang eines Kreises von 2π mal dem Radius abweicht.

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Hallo Alexx1002,

weder Zeit noch Raum gibt es als separate Größen, es gibt nur die Raumzeit, und Punkte in dieser Raumzeit werden Ereignisse genannt. Ein Beispiel dafür ist ein geplantes Treffen, für das Du auch Ort und Zeit brauchst. Für den Ort brauchst Du mindestens einen Referenzkörper, vorzugsweise eine Uhr U, die auch die Zeit anzeigt.

Deren Schwerpunkt ist in der Raumzeit eine Linie, Weltlinie genannt. Die Weltlinie eines relativ zu U mit einer Geschwindigkeit v› bewegten Körpers, etwa einer Uhr U', verläuft gleichsam schräg zu der von U - und umgekehrt. U bewegt sich relativ zu U' räumlich mit -v›.

GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) besagt nun: Jede der beiden Uhren kann mit demselben Recht als stationär und damit ihre Weltlinie als „geradeaus-vorwärts“ interpretiert werden. Das ist auch die Grundlage der Relativitätstheorie.

In den 3 folgenden Kapiteln wird es etwas mathematisch, nicht, weil ich Dich ärgern oder beeindrucken wollte, sondern weil ich präzise sein will. Ich versuche dabei aber auch so anschaulich wie möglich zu bleiben.

Ein räumliches Gleichnis I

Du kannst das ungefähr mit zwei auf einer Ebene schräg (im Winkel θ) zueinander fahrenden Autofahrern A und A° vergleichen. Jeder von denen hat seine Vorwärtsrichtung und definiert auch anders, was „genau seitwärts“ liegt.

Wenn nun beide Wagen dasselbe Tempo u haben, fährt der rechte Wagen relativ zur Fahrtrichtung des linken mit

(1.1) (u_z | u_x) = (u·cos(θ) | u·sin(θ)),

also mit u·cos(θ) nach vorn und mit u·sin(θ) nach rechts. Der linke Wagen fährt dagegen relativ zur Fahrtrichting des rechten mit

(1.2) (u_z | u_x°) = (u·cos(α)|u·sin(α)).

Jeder fällt also hinter den Anderen bezüglich dessen Fahrtrichtung zurück.

Eindeutig hinter dem Anderen zurück bleiben wird derjenige, der seinen Kurs ändert und schließlich auf einen zum anderen parallelen Kurs einschwenkt (ohne dabei das Tempo zu erhöhen, natürlich). Wenn er weit genug zurückliegt, kann er sogar dessen Fahrspur nutzen, er wird ihn dort nicht mehr antreffen.

Ein räumliches Gleichnis II

Der letzte Satz im vorigen Absatz stellt gerade das Problem dieses Gleichnisses dar. Wenn ich von einem Körper weg - und anschließend wieder hinfliege, werde ich ihn in jedem Fall antreffen. Man könnte auch zwei Salamis S und S° gleicher Länge L und gleichen Durchmessers d betrachten, die im Winkel θ auf einer Tischplatte liegen.

Jede Salami definiert ein Koordinatensystem, in dem das vordere Ende relativ zum hinteren die Position (L|0) hat, also L nach vorn und 0 nach rechts oder links.

Im Koordinatensystem von S hat das vordere Ende von S° aber die Position

(2.1) (Δz | Δx) = (L·cos(θ) | L·sin(θ))

relativ zum hinteren, und in dem von S° hat das vordere von S die Position

(2.2) (Δz° | Δx°) = (L·cos(θ) | –L·sin(θ))

relativ zum hinteren.

Macht man quer zur Längsrichtung von S einen Schnitt durch S° (oder umgekehrt), bekommt man jeweils eine Schnittkante der Breite d/cos(θ).

Kein Mensch käme auf die Idee, S° im Koordinatensystem von S als „längs kontrahiert“ oder „quer expandiert“ zu beschreiben; S° ist relativ zu S einfach gedreht, mehr nicht. Der Abstand zwischen zwei Punkten ist in beiden Koordinatensystemen natürlich identisch, nämlich, nach PYTHAGORAS,

(3) Δs = √{Δz² + Δx²} ≡ √{Δz°² + Δx°²},

was auch impliziert, dass krumme Linien in der Ebene länger sind als gerade.

Zurück zur Raumzeit

Es gibt natürlich Unterschiede zwischen der erwähnten z-x-Ebene und etwa der t-x-Ebene der Raumzeit, wobei ich mit der x-Richtung z.B. die Bewegungsrichtung von U' relativ zu U meine. In der Raumzeit gibt es nämlich zwei Klassen von Richtungen, nämlich zeitartige, in denen Weltlinien liegen können, und raumartige, die zu jeder Weltlinie tendentiell quer liegen.

Zwei Ereignisse auf einer Weltlinie liegende Ereignisse lassen sich als gleichortig interpretieren und haben den absoluten zeitartigen Abstand (Eigenzeit) Δτ. Es ist gerade der Zeitabstand, den eine mitgeführte Uhr messen würde, z.B. meine Armbanduhr (sofern sie autonom ist, also keine Funkuhr), wenn sie beim letzten Schluck einer Tasse Kaffe genau 5min mehr anzeigt als beim ersten.

Zwei zur Weltlinie einer Uhr (und zueinander) parallele Weltlinien wie die Enden eines Gebäudes, Zuges oder Raumschiffs, in dem ich meinen Kaffee trinke, haben nach einem mitgeführten Maßstab den räumlichen Abstand Δς. Dasselbe gilt für Ereignisse, die nach der mitgeführten Uhr gleichzeitig sind.

Wohl bemerkt: Wir haben die Beziehung zwischen Zeit und Raum noch nicht „festgezurrt“. Was ich bisher geschrieben habe, hätte NEWTON guten Gewissens unterschreiben können. Er hätte nur die Zusammenfassung von Raum und Zeit willkürlich und überflüssig gefunden.

Unterschied zwischen NEWTON und EINSTEIN

Für ihn wäre nämlich angenommen, dass Δτ≡Δt'≡Δt sein müsse, der absolute zeitliche Abstand zweier beliebiger Ereignisse. Falls der gleich 0 ist, gibt es nach NEWTON den räumlichen Abstand Δς=Δs(Δt=0).

Eine Umrechnung zwischen der Interpretation Σ von U als unbewegter und U' als mit (v|0|0) bewegter Uhr und der Interpretation Σ' von U' als unbewegter und U als mit
(-v|0|0) bewegter Uhr ist nach NEWTON quasi eine Scherung. Sie wird als GALILEI-Transformation bezeichnet.

Diese Annahme einer absoluten Zeit und einer absoluten Gleichzeitigkeit erwies sich als voreilig. Schon vor EINSTEIN entwickelten LORENTZ und POINCARÉ Gleichungen zur Umrechnung zwischen Σ und Σ', die erklären sollten, wieso man die eigene Bewegung nicht anhand von Messungen/Vergleichen der Lichtgeschwindigkeit nachweisen kann. Sie unterschieden allerdings noch zwischen der „Ortszeit“ t' und der „richtigen“ Zeit t, womit sie U als „die ruhende“ Uhr festlegten und U' als die eindeutig „bewegte“ Uhr, nur dass man das nicht merkt.

EINSTEIN ließ 1905 diese Unterscheidung fallen und erklärte, dass Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse relativ ist. Sein ehemaliger Matheprofessor MINKOWSKI war allerdings 1907 der Erste, der das Konzept des absoluten raumzeitlichen Abstands entwickelte:

(4.1) Δτ = √{Δt² – Δs²/c²} ≡ √{Δt'² – Δs'²/c²}
(4.2) Δς = √{Δs² – c²Δt²} ≡ √{Δs'² – c²Δt'²} = -icΔτ

Dabei ist i die imaginäre Einheit mit i² = –1 und damit (-i)·i=1. Wie Du nämlich siehst, wird Δτ² negativ und damit Δτ imaginär, wenn Δs>cΔt ist. Das ist gerade das Kriterium für raumartige Abstände.

Der Fall Δs=cΔt ist ein Grenzfall. Ein Paar von Ereignissen mit dieser Eigenschaft heißt lichtartig getrennt. Wenn ich auf eine Uhr gucke und Du mich im Abstand Δs um Δs/c später auf die Uhr gucken siehst, ist das ein Beispiel dafür. So kann man sagen, die Lichtgeschwindigkeit verbindet und trennt Raum und Zeit zugleich.

Ansonsten kann ich aber viele Parallelen zu (2.1-2) aufstellen:

Wenn ich einen Vorgang der Dauer T bei U' von U aus beobachte, ist das Ende des Vorgangs relativ zum Anfang bei

(5.1) (Δt | Δs/c) = (T·γ | T·γ·v/c) = (T/√{1 – (v/c)²} | T·v/c√{1 – (v/c)²}),

und wenn ich einen Vorgang der Dauer T bei U von U' aus beobachte, ist das Ende des Vorgangs relativ zum Anfang bei

(5.2) (Δt' | Δs'/c) = (T·γ | –T·γ·v/c).

Anngenommen, U und U' befinden sich an Bord von Raumschiffen der x- Ausdehnung d. Zwei von U aus gemessen gleichzeitige Ereignisse an den Enden des U'-Raumschiffs haben den Abstand Δς=d/γ, und umgekehrt gilt dasselbe.

Es ist leider noch immer üblich, dieses „Längenkontraktion“ und das obige Δt'=T·γ „Zeitdilatation“ zu nennen, was der Sache aber nicht wirklich gerecht wird.

Wegen des Minuszeichens in (4.1-2) ist eine krumme Strecke übrigens kürzer als eine gerade. Wenn ich also zu t₁ mit einem Raumschiff die Erde (deren Weltlinie auch nicht wirklich gerade ist, aber ziemlich) verlasse und nach einer Reise mit genügend großer Geschwindigkeit (damit man auch einen Unterschied misst) bei t₂ zurückkehre, werde ich eine Eigenzeit Δτ<(t₂–t₁) gebraucht haben.

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Hallo Kugelschreiber9,

im Prinzip sind Mikrowellen nichts anderes als Licht. Es sind elektromagnetische Wellen, ihre Quanten (unteilbare Energieportionen) heißen Photonen. Einzig die Frequenz f der Wellen und damit die Photonenenergie h·f ist um rund 5 Zehnerpotenzen kleiner als bei typischem sichtbarem Licht.

Am Ausbreitungstempo ändert das freilich nichts. Als Teilchen ohne Ruheenergie (nichs wesentlich anderes als Masse) können sich Photonen nur mit c bewegen.

Dank der niedrigeren Frequenz hat eine entsprechend größere Wellenlänge

(1.1) λ = c/f,

die man besser messen kann. Außerdem lässt sie sich zu

(1.2) c = λ·f

umstellen, weil man c ja herausfinden möchte. Bei einer Stehenden Welle haben wir einen Abstand

(2.1) d = λ/2 = c/2f

zwischen zwei Schwingungsbäuchen bzw. Schwingungsknoten. Legst Du eine Tafel Schokolade in das Gerät (Drehteller im Zweifelsfall ausbauen, die Schokolade soll sich ja nicht bewegen) und schaltest kurz ein, misst dann den Abstand zwischen zwei geschmolzenen (Bäuche) bzw. nicht geschmolzenen Stellen (Knoten), je nachdem, was sich besser lokalisieren lässt, hast Du d. Falls Du f kennst, kannst Du via

(2.2) c = 2fd

die Lichtgeschwindigkeit ausrechnen. Umgekehrt kannst Du natürlich auch die Frequenz berechnen, wenn Du die Lichtgeschwindigkeit kennst:

(2.3) f = c/2d

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Hallo Tsukini,

20kg wiegen knapp 200N (genauer: 196,2N), wenn man die mittlere Gravitationsfeldstärke von 9,81m/s²·(–1r›) ('1r›' steht für die Richtung vom Erdmittelpunkt weg, das Minuszeichen dreht die Richtung um) in der Nähe der Erdoberfläche zugrunde legt.

Die Momente müssen 0 ergeben, weshalb die Gleichgewichtsbewegung

Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm

lautet (wobei die Last eigentlich auch eine Kraft ist, also die 200N, nicht die 20kg). Da die Kraft ca. 5/4 der Last ist, muss der Kraftarm 4/5 des Lastarms sein, also ca. 4m.

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Hallo Soenph2000,

im Vakuum breitet sich das Licht mit dem Tempo

(1) c = 299792458 m/s ≈ 3×10⁸m/s

aus, und die Verringerung dieses Tempos in Luft - es bewegt sich nicht wirklich langsamer, sondern wird durch ständige Wechselwirkung aufgehalten - ist vernachlässigbar und wird hier auch vernachlässigt. Man sagt, der Brechungsindex der Luft ist n₀≈1.

Beim Übergang durch eine Grenzfläche zu einem Medium mit dem Brechungsinex n₁ nehmen die ständigen Wechselwirkungen schlagartig stark zu, und das effektive Tempo reduziert sich auf

(2) c₁ = c·(n₀/n₁) ≈ c·(1/n₁),

und die Lichtwellenfront wird an dem Ende, das zuerst auf die Grenzfläche trifft, zuerst ausgebremst und wird dadurch stärker parallel zur Grenzfläche und die Ausbreutungsrichtung zum Lot. Dabei entspricht das Verhältnis der Sinen (Pl. von 'Sinus') der Winkel α₀ und α₁ dem der Ausbreitungstempos:

(3.1) sin(α₀)/sin(α₁) = c/c₁ ≈ n₁,

in diesem Falle eben sin(38°)/sin(22°). Um c₁ zu ermitteln, muss man umstellen:

(3.2) c₁ = c·(sin(α₁)/sin(α₀)) = (hier) c·(sin(22°)/sin(38°))

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Hallo Hiitsme870,

das ist definitionsgemäß so. Das Bequerel ist durch die Anzahl der Kernumwandlungen pro Sekunde definiert:

1Bq = 1(Kernumwandlung)/s

Rein formal könnte man das Bq mit dem Hz gleichsetzen, das auch 1/s (dimensionslose Zahl durch Zeit) ist. Beim Hz wird jedoch etwas anderes gezählt, nämlich Schwingung bzw. Winkel in Radian (was auch keine echte Maßeinheit ist).

Das kleine 'k' ('kilo') vertausendfacht die Größe und tausendstelt den Zahlenwert, d.h.

1000Bq = 1kBq.

Übrigens hat 1g Radium 226 eine Aktivität von etwa

37GBq = 3,7×10¹⁰Bq =: 1Ci,

wobei 'Ci' für 'Curie' steht, eine ältere Maßeinheit für die Aktivität.

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Hallo Lelpvp,

die Kraft ist eine Vektorgröße, eine Größe mit Richtung. Vektoren werden komponentenweise addiert bzw., wenn sie als Pfeile anschaulich dargestellt werden, wir der Anfang des zweiten an die Spitze des ersten gehängt, und die Vektorsumme ist dann ein Pfeil vom Anfang des ersten zur Spitze des zweiten Pfeils.

Sollte übrigens ein Körper auf dem Erdboden aufliegen oder sonstwie fest mit der Erde verbunden sein, übt diese zu jeder vorhandenen Kraft immer die entsprechende Gegenkraft aus, weil ihre Masse recht groß ist (ca. 6×10²⁴kg).

In diesem Fall haben die Kräfte alle nur die z-Komponente, die bei nach unten gerichteten Kräften natürlich negativ ist.

Darüber hinaus gibt es noch Drehmomente M›=r›× F›. Ihre Richtung ist die Drehachse, und zwar so, dass sie auf den Betrachter zu zeigen, wenn der Drehsinn gegen den Uhrzeigersinn gerichtet ist. Dabei ist r› der Vektor vom Schwerpunkt des Trägers aus.

Die Summe aller Kräfte muss gleich 0 sein, damit der Träger als Ganzes (und damit auch sein Schwerpunkt) nicht beschleunigt wird

Die Summe aller Momente muss gleich 0 sein, damit der Träger keine Winkelbeschleunigung um seine Drehachse erfährt.

Kleine Randbemerkung: Das Bild sollte allerdings sehr gern ein vom Beobachter weg gerichtetes Drehmoment erfahren, und zwar so lange, bis es um π/2 im Uhrzeigersinn gedreht ist. Das würde das Lesen doch sehr erleichtern.

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Hallo Hiitsme870,

durch 1000 muss man teilen, weil die Aktivität des Präparates in Bq/kg, also Bq/(1000g) angegeben ist. Ich bezeichne die spezifische Aktivität des Präparats als

(1) a₁ = 16000Bq/1000g = 16Bq/g.

Die Gesamtaktivität ist also

(2.1) A₁ = a₁·m₁ = 16Bq/g·8g = 128Bq.

Das Wasser kann natürlich eine eigene Aktivität A₀ = a₀m₀ mitbringen, denn so manche Radionuklide sind quasi allgegenwärtig, und so ist die Gesamtaktivität des Wassers mit Präparat eigentlich

(2.2) A₂ = A₀ + A₁ = a₀m₀ + a₁m₁.

Allerdings gehe ich mal davon aus, dass a₀<< a₁ ist, und sogar noch A₀<<A₁ (da in der Aufgabe nichts von des Wassers natürlicher Aktivität a₀ steht), sodass A₂=A₁ ist.

Die Aufgabe ist somit beendet, da die Aktivität des Wassers gefragt ist und nicht die spezifische Aktivität.

Die Aufgabe ist ein wenig dösig formuliert. Wenn die spezifische Aktivität des Wassers wirklich nicht gefragt ist, wieso ist dann die Wassermasse m₀ überhaupt angegeben? Man sollte sie sicherheitshalber ausrechnen:

(3) a₂ = A₂/m₂ = A₂/(m₀+m₁) ≈ A₂/m₀ ≈ A₁/m₀ = 128Bq/10kg = 12,8Bq/kg,

weniger als 1/1000 von a₁.

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Hallo Tobii361,

ein stellares Schwarzes Loch (SL) von einigen 10km „Radius“ (ich schreib' das in Gänsefüßchen, weil die geometrischen Verhältnisse bei und erst recht in einem SL sehr anders sind als die aus der Schule bekannte EUKLIDische Geometrie) würde nicht in die Nähe von Planeten kommen, sondern umgekehrt.

Was genau passieren würde, kann man ausrechnen, dies hier ist erst mal qualitativ.

Das SL als neue dominierende Masse

Es kommt nicht auf die Ausdehnung an, sondern auf die Masse, und besagtes SL hätte schon 3 mal mehr davon als die Sonne und wäre somit die dominierende Masse, um die sich alles dreht. Selbst die Sonne würde das tun.

Gezeitenreibung bei gewohnter Entfernung

Was es mit Wasserwellen auf der Erde machen würde, hinge davon ab, wie nahe sie ihm käme (falls sie dann noch über flüssiges Wasser verfügte). Bei etwa 1AE Entfernung müsste die Erde erst mal bloß schneller sein, um nicht näher zu kommen, es wären etwas stärkere Gezeiten zu erwarten, aber nicht viel mehr. Falls sie nicht vorher schon in den interstellaren Raum geschleudert worden wäre.

Stärkere Annäherung

Allerdings könnte sie dem SL auch viel näher kommen als der Sonne, deren eigene Ausdehnung gleichsam „im Wege“ wäre.

Und dann würden die Gezeitenkräfte nicht mehr nur große Flutwellen auslösen, sondern den ganzen Planeten eiförmig in die Länge ziehen und rasch für gebundene Rotation sorgen.

Über Folgen für Bewohner der Erde brauchen wir aber wohl nicht nachzudenken, denn die gäbe es dann wahrscheinlich nicht mehr. Das SL würde eine Akkretionsscheibe um sich bilden und seine Umgebung mit intensiver Röntgenstrahlung fluten.

Zerreißen I

Käme die Erde wirklich sehr nahe (etwa auf einer sehr exzentrischen Bahn), würden die Gezeitenkräfte sie wohl zerreißen und ihre Materie der Akkretionsscheibe des SL hinzufügen.

Zerreißen Ii

Gäbe es uns aber dennoch, und ein Astronaut wäre so bekloppt, sich in die Nähe des SL zu wagen, würden die Gezeitenkräfte dort allerdings nicht bloß Planeten, sondern auch sein Raumschiff und ggf. sogar ihn zerreißen.

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Hallo oliver78,

Geschwindigkeit ist relativ. Wenn ein Raumschiff mit der Geschwindigkeit v› (Geschwindigkeit ist eine Größe mit Richtung, deshalb das '›') auf ein Staubkorn zufliegt, das wir als unbewegt interpretieren, können wir ebensogut das Raumschiff als unbewegt und das Staubkorn als mit –v› bewegtes Objekt ansehen.

Wenn das Tempo |v›| nur groß genug ist, wird jedes Staubkorn mit noch so kleiner Masse m zum Geschoss mit enormer kinetischer Energie

(1) E_k = mc²(γ – 1)

mit dem LORENTZ-Faktor

(2.1) γ = 1/√{1 – (|v›|/c)²},

d.h. mit |v›|→c ist γ→∞ und damit E_k→∞. Anders herum: Mit wachsender kinetischer Energie kann ich immer näher an c herankommen, erreiche es aber nie. Deshalb können sich Raumschiff und Staubkorn auch relativ zueinander nicht mit genau c, sondern nur mit (1–δ)c bewegen, wobei für δ<<1

(2.2) γ ≈ 1/√{2δ}

wird. Was passiert, hängt davon ab, wie viel von seiner Energie das Staubkorn beim Aufprall an das Raumschiff überträgt: Durchschlägt es dieses glatt und hinterlässt ein Loch, oder gibt es zumindest einen Teil seiner kinetischen Energie an das Raumschiff ab (was viel wahrscheinlicher ist) - in dem Fall würde dieses wahrscheinlich explodieren, mit der Energie einer Nuklearexplosion. 'Fat Man' hat z.B. etwa 1g reiner Energie freigesetzt. Ein Staubkorn von 1μg Masse und δ=5×10⁻¹¹ könnte immerhin noch bis zu 10% davon freisetzen.

Übrigens beschreibt man Geschwindigkeit relativ zu einer Referenzuhr U am besten als Neigung der eigenen Weltlinie gegen die Weltlinie von U. Eine Weltlinie ist gleichsam der Pfad eines Körpers (bzw. seines Schwerpunktes) durch die Raumzeit.

Punkte in der Raumzeit sind Ereignisse (wenn Du ein Date hast, musst Du ja auch Ort und Zeit des Treffens vereinbaren), und der Abstand

(3.1) Δτ = √{Δtᵢ² – Δsᵢ²/c²} bzw.
(3.2) Δς = √{Δsᵢ² – c²Δtᵢ²}

ist in Bezug auf unterschiedliche Uhren Uᵢ identisch, auch wenn die sich relativ zueinander bewegen.

Relativ zu einer gegebenen Uhr U kann man beliebig lange Strecken Δs in beliebig kurzer Eigenzeit Δτ zurücklegen, aber nicht, ohne zugleich entsprechend größere U - Zeitspannen Δt zurückzulegen, also quasi schneller in die Zukunft zu reisen. Dabei ist

γ = Δt/Δτ.

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Hallo DrCats,

ein Ausdruck wie

{z∈ℂ| |z|=5}

ist Mathematisch für „die Menge aller Komplexen Zahlen

z = x + iy,

deren Betrag

|z| = √{x² + y²} = 5

ist“. Diese Zahlen bilden zum Beispiel einen Kreis mit dem Radius 5 um 0+0i. Auf diesem Kreis liegt z.B. 3+4i oder -4+3i oder 0-5i.

Die zweite Menge Komplexer Zahlen ist ein Kreisbogen, Teil eines Kreises mit Radius 2. Mit „arg“ ist der Winkel gemeint - wobei ich tendentiell eher den Winkel im Bogenmaß (Länge eines Kreisbogens durch Radius des Kreises) angeben würde. Wegen der Formel

U = 2πr

für den Kreisumfang ist π^=180°, wobei üblicherweise (hier anscheinend nicht)

–π < arg(z) ≤ π.

Die dritte Menge ist die aller z mit einem bestimmten Polarwinkel (also eins Halbgerade), vereinigt mit der Menge aller z mit einem anderen Polarwinkel, der sich in diesem Fall um 180° bzw. π größer ist. Das ergibt insgesamt eine Gerade.

Die vierte Menge bezeichnet eine Strecke auf der 120°-Halbgeraden.

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Hallo Abcg123,

der Unterschied liegt darin, welche Kraft genau gemeint ist. Willst Du das Ende einer Feder (an dem ggf. ein Massestück der Masse m hängt) mit der Federhärte D um x₁ aus der Gleichgewichtslage auslenken willst, musst Du mit der Kraft

(1.2) F_{x, Du} = D·x₁

daran ziehen, also in genau die Richtung, in die Du die Feder auslenken willst. Die Feder selbst zieht dabei natürlich an m mit der Kraft

(1.3) F_{x, Feder} = –D·x₁

Solange beide Kräfte gleichzeitig auf m wirken, ist die Situation statisch. Sobald Du loslässt (t=0), wirkt nur noch die F_{x, Feder} und erzeugt eine Beschleunigung

(2.1) a_x(t) = ẍ(t) = √{D/m}·x

versetzt m in harmonische Schwingung:

(2.2) x(t) = x₁·cos(√{D/m}·t) =: x₁·cos(ωt).

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Hallo Kugelschreiber9,

die erste Messung der Lichtgeschwindigkeit erfolgte noch durch astronomische Beobachtungen.

Nachdem KEPLER beschrieben hatte, wie sich ein Körper geringer Masse m um einen anderen Körper der Masse M>>m bewegt, und NEWTON dies auf ein allgemeines Gravitationsgesetz zurückführen hatte können, konnte RØMER anahand scheinbarer Unregelmäßigkeiten in den Bahnen von Jupitermonden feststellen, dass die Lichtgeschwindigkeit einen endlichen Betrag c≈3×10⁸m/s hat.

Später wurde der Wert immer weiter präzisiert, und nach der Herleitung der Gleichung für Lichtwellen aus den Grundgleichungen der Elektrodynamik durch MAXWELL war klar, dass es nicht „irgendein zufällig so-seiendes“ Tempo sein kann, sondern eine universelle Konstante, und ihr Zahlenwert kann somit als Artefakt des Maßsystems aufgefasst werden (man könnte Strecken in Sekunden messen, eine Nanosekunde ist knapp 30cm).

Mehr noch: Wie EINSTEIN herausfand, ist etwas, das sich mit c relativ zu einem Beobachter O bewegt, auch mit c relativ zu einem anderen Beobachter O' unterwegs, selbst wenn der sich relativ zu O mit 0,6c oder 0,8c etc. bewegen sollte. Es ist also eine Invariante.

Bis 1973 maß man c immer genauer mit verschiedenen Methoden, bei denen z.B. Atomunren von Nutzen sind. Die Wende kam 10 Jahre später: Der Meter wurde neu definiert, indem man den innerhalb der letzten Fehlergrenzen liegenden ganzzahligen Wert verwendete,

1m(seit 1983) := (1/299792458) Lichtsekunde.

Das machte den Pariser Ur-Meter überflüssig und stellte das Metermaß auf eine reproduzierbars Grundlage.

Man hat also nicht die Lichtgeschwindigkeit, sondern die Einheit 'Meter'. Die Sekunde war schon in den 1950er Jahren über eine Cäsiumschwingung definiert worden - und damit automatisch auch die Lichtsekunde.

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Hallo maxooooooo,

die Frage vermengt mehrere Transportphänomene.

Bei diesem Q̇ handelt es sich um eine Wärmeleistung: Wie viel Energie fließt pro Zeiteinheit durch einen Querschnitt. Etwas genauer, „lokaler“, ist die Wärmestromdichte q̇. Der FOURIERsche Wärmeleitungssatz

(1) q̇ = –λ·∂T/∂x

sagt aus, dass umso mehr Wärme pro Zeiteinheit und Fläche irgendwo entlang fließen wird, je größer das Temperaturgefälle ∂T/∂x (ΔT ist eine Temperaturdifferenz, also das Gefälle mal der Strecke (falls das Gefälle konstant ist) ist. Das Minuszeichen bedeutet, dass die Wärme von Warm nach Kalt strömt und nicht umgekehrt.

Und natürlich hängt der Wärmestrom auch von der Wärmeleitfähigkeit des Materials ab, das sich auf der Strecke befindet. Es wird durch λ charakterisiert.

Das ṁ taucht in einer formal ganz ähnlichen Gleichung auf, dem FlCKschen (ja, der hieß wirklich so) Diffusionssatz

(2) ṁₖ = –D·∂ρₖ/∂x,

wobei der Index 'k' ggf. mehrere Stoffe charakterisiert. Ist z.B. auf einer Seite die Konzentration von Na⁺-Ionen hoch, auf der anderen die der K⁺-Ionen, diffundieren Natrium und Kalium in entgegengesetzte Richtungen. Das D ist der Diffusionskoeffizient und das ρₖ der Dichteanteil des k. Stoffes.

Mit c ist in der Chemie besonders oft die Konzentration gemeint, als Stoffmenge ~ Anzahl der Moleküle, Atome oder Ionen pro Volumenanteil, hier bei FlCK werden Massenanteile verwendet.

Hier: https://www.google.com/search?q=thermodynamik+wärme-+stofftransport&oq=thermodynamik+wärme-+stofftransport&aqs=chrome..69i57.17565j0j8&client=tablet-android-samsung&sourceid=chrome-mobile&ie=UTF-8

habe ich einen Link gefunden, unter dem Du Dir, wenn Du möchtest, einen Text herunterladen kannst.

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Hallo Holland420,

der Vergleich hinkt zwar etwas, aber Du kannst die den COMPTON-Effekt in gewisser Hinsicht vorstellen wie ein Billiard-Stoß mit einem Photon als „weißer Kugel“ und einem Elektron als „einer der anderen Kugeln“.

Es handelt sich um elastische Stöße, d.h., die Energie bleibt komplett erhalten, was beim Billiard natürlich nicht ganz so ist (das hört man schon - Schall ist auch Energie). Der Impuls ist natürlich erst recht erhalten, das ist er immer.

Bei Photonen ist die Energie

(1) hf = hc/λ,

wobei h eine universelle Konstante, f die Frequenz und λ die Wellenlänge ist; der Impuls ist

(2.1) p› = (h/2π)k›,

sein Betrag ist proportional zur Energie, nämlich

(2.2) |p| = (h/2π)|k| = h/λ = E/c.

Das Photon hat also einen Wellencharakter. Da es als elementare Anregung des elektromagnetischen Feldes nur als Ganzes irgendwo aufgenommen oder abgegeben werden kann, sieht man dem einzelnen Photon sein Wellenverhalten nicht an, obwohl es sich so verhalten muss. Das Betragsquadrat der Amplituden stellt die Wahrscheinlichkeitsdichten für die möglichen Bewegungsrichtungen dar.

Bei der COMPTON-Streuung geschehen solche Stöße allerdings in großer Zahl, und da kommen alle Bewegungsrichtungen vor. An der Wellenlänge in einer bestimmten Richtung kann man den Impuls pro Photon feststellen.

Am längsten müssen die Lichtwellen sein, die direkt zurückgetreut werden, denn sie geben am meisten Energie an das Elektron ab. In Vorwärtsrichtung findet man diejenigen Photonen, die nicht wechselwirken.

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