Hallo SiriusPaul,
um eine erdgebundene Uhr, Uhren in Flugzeugen und eine Uhr in einem Satelliten miteinander zu vergleichen, brauchen wir definitiv die ART, weil Gravitation eine Rolle spielt.
...läuft die Zeit im Flugzeug schneller, da die Gravitation geringer ist als am Boden.
Der Betrag g der Gravitationsfeldstärke nimmt zwar ab, aber das ist gerade nicht der Grund, warum eine höher gelegene Uhr schneller geht; das wäre nämlich auch in einem homogenen Gravitationsfeld so. Die höher gelegene Uhr befindet sich auf höherem Gravitationspotential und geht deshalb etwas schneller.
Ein Photon hat bekanntlich die (kinetische) Energie εₖ = hf, wobei mit h die PLANCKsche Konstante gemeint ist (deshalb kann ich h nicht mehr für Höhe verwenden). Nun kann man einer Energie ε stets auch die Masse ε/c² zuschreiben, und daher hat das Photon auf dem Gravitationspotential V die potentielle Energie εₚ = hfV/c². Als – unveränderliche – Gesamtenergie ergibt das
εₖ + εₚ = hf(1 + V/c²).
Wenn sich ein Gravitationsfeld "lokal" als homogenes Feld konstanter Gravitationsfeldstärke g in −z-Richtung beschreiben lässt, ist lokal V = gz. Photonen, die bei z₀ = 0 mit der Frequenz f₀ bzw. der Periodendauer T₀ = 1⁄f₀ emittiert werden, kommen bei z₁ mit
f₀(z₁) = f₀(z₀)⁄(1 + gz₁⁄c²) ≈ f₀(z₀)(1 − gz₁⁄c²)
also der Periodendauer
T₀(z₁) = T₀(z₀)(1 + gz⁄c²)
an. Dementsprechend läuft eine bei z₀ = 0 positionierte Uhr U₀ von einer anderen Höhe z₁ aus betrachtet um den Faktor 1 + gz⁄c² langsamer oder, wenn z₁ negativ ist, schneller als eine bei z₁ positionierte Uhr U₁. Bei g = 9,81m⁄s² und z₁ − z₀ = 10⁴ m ist dieser Faktor 1 + 1,09×10⁻¹².
Allerdings beeinflusst nicht nur die Höhe, sondern auch Bewegung den Gang der Zeit. Sehen wir U₀ als ruhend an, und bewegt sich eine baugleiche Uhr U'₀ mit dem Tempo v relativ zu ihr, so ist das Verhältnis T'₀⁄T₀ der Zeittaktlängen gleich dem ihrer Energien unter Einschluss der jeweiligen Ruheenergien E₀ = mc². U₀ hat nur E₀, U'₀ hat
E = E₀ + Eₖ ≈ mc² + ½mv² = mc²(1 + ½β²),
und daher ist eben auch
T'₀⁄T₀ = E⁄E₀ ≈ 1 + ½β²,
was etwa bei v = 108km⁄h = 30m⁄s ≈ 10⁻⁷∙c etwa 1 + 5×10⁻¹⁵ ist.
Sehen wir allerdings U'₀ als stationär und U₀ als ruhend an, ist es genau umgekehrt.
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hilft uns sehr gut die SCHWARZSCHILD- Metrik weiter. Dabei tun wir so, als sei die Erde weit und breit der einzige einigermaßen
Wir verwenden ein nicht mitrotierendes Koordinatensystem mit dem Erdmittelpunkt als Ursprung. Dies kommt einem Inertialsystem am nächsten. Es handelt sich dabei um ein raumzeitliches Koordinatensystem, d.h. die von U aus ermittelte Zeit t ist eine der Koordinaten, die U- Koordinatenzeit.
Für die räumlichen Koordinaten ist es sinnvoll, diese als sphärische Koordinaten auszudrücken:
- Die radiale Koordinate r bezeichnet eine Kugelschale der Fläche 4πr² um den Ursprung.
- Der Polarwinkel θ ist der Öffnungswinkel eines Kegelmantels um die positive z- Achse herum, von dieser aus gemessen.
- Der Azimutwinkel φ beschreibt den Winkel, den eine von der z-Achse ausgehende Halbebene mit der z- +x-Achse bildet.
Eine kurze Strecke ds ist in einem geometrisch flachen Raum durch
(1) ds² = dr² + r²(dθ² + sin²(θ)dφ²)
bezeichnet, wobei der Ausdruck in Klammern hin und wieder als dΩ² abgekürzt wird.
Der absolute Abstand zwischen zwei (benachbarten) Ereignissen kann
- zeitartig (d.h., es gibt ein Koordinatensystem, in dem sie im zeitlichen Abstand dτ am selben Ort stattfinden),
- lichtartig oder
- raumartig (d.h., es gibt ein Koordinatensystem, in dem sie gleichzeitig im räumlichen Abstand dς .
Uns interessieren zeitartig getrennte Ereignisse, wir wollen ja Uhren vergleichen.
Der Zusammenhang zwischen dτ einerseits und den Koordinatendifferenzen andererseits wäre in einer geometrisch flachen Raumzeit durch MINKOWSKIs Abstandsquadrat
(2.1) dτ² = dt² − dr²⁄c² − r²dΩ²⁄c²
gegeben. Durch ein von einer Masse M um den Ursprung herum verursachtes Gravitationsfeld werden diese Gleichungen zu
(2.2) dτ² = dt²q² − dr²⁄c²q² − r²dΩ²⁄c²
mit dem SCHWARZSCHILD- Faktor
(3) q := √{1 − 2GM⁄c²r}
mit der Gravitationskonstanten G ≈ ⅔∙10⁻¹⁰ m³⁄s²kg. Gleichung (2.2) ist die SCHWARZSCHILD- Metrik, die freilich nur im Außenraum einer kugelsymmetrischen Massenverteilung gilt.
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