Relativitätstheorie: Zeitdilatation?

Hallo,

ich beschäftige mich grade privat mit dem Thema Relativitätstheorie und hätte dazu eine Frage. Und zwar ist es ja so dass wenn man sich schnell bewegt die Masse zunimmt (erst bei sehr hohen Geschwindigkeiten spürbar), dadurch die Raumzeit gekrümmt wird und somit die Zeit langsamer vergeht. So habe ich das aufheben Fall verstanden, ob das 100% richtig ist bin ich mir nicht sicher. Ich habe mir dann vorgestellt das ein Raumschiff mit sehr hoher Geschwindigkeit von Punkt A zu B fliegt, für diese Strecke braucht das Raumschiff 1 Jahr. Auf der Erde vergehen in dieser Zeit aber z.B. 5 Jahre. Ich habe mir jetzt vorgestellt das Beobachter von der Erde das Raumschiff betrachten, es sieht wie in Slowmotion aus denn es braucht aus der sich ja 5 Jahre. Nur wo ich mir jetzt unsicher bin: Wenn man jetzt annimmt das diese Raumschiff direkt an der Erdeoberfläche vorbeiflieg. Sieht es dann für die Menschen auf der Erde so aus als würde es ganz langsam vorbei fliegen was irgendwie kein Sinn ergibt. Oder ist es so das es selber die Raumzeit so stark krümmt das die Zeit um ihn rum langsamer vergeht also auch für die Beobachter an denen es vorbei fliegt. Aber das würde dann doch auch bedeuten das dieses Raumschiff eine viel stärkerer Gravitation als die Erde hätte und alles an sich zeigen würde.

Natürlich sind das alles Realitätsferne Gedankenspiele aber würde mich riesig über eine Antwort freuen um die Zeitdilatation besser zu verstehen.

Lg und danke für das durchlesen und Antworten :))

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Hallo HEYLOL268,

die Relativitätstheorie hat zwei Stufen, die Spezielle (SRT) und die Allgemeine (ART).

  • Die SRT lässt sich als Geometrie der "flachen" Raumzeit auffassen, in der Gravitation vernachlässigt werden kann.
  • Die ART beschreibt Gravitation als (lokale) innere Krümmung der Raumzeit.
... dass wenn man sich schnell bewegt die Masse zunimmt (erst bei sehr hohen Geschwindigkeiten spürbar), dadurch die Raumzeit gekrümmt wird ...

Nein, so funktioniert das nicht. Zwar "wiegt" jede Energie, auch die von einem bewegten Körper "mitgeschleppte" kinetische Energie was, aber mit einem nennenswerten Effekt von Gravitation hat das nichts zu tun.

... und somit die Zeit langsamer vergeht.

Das ist zu schwammig formuliert. Zeit kann immer nur "langsamer vergehen" im Vergleich mit anderer Zeit.

Betrachten wir zwei Ereignisse Ě₁ und Ě₂ an Bord bzw. in der Nähe eines Raumfahrzeugs. Die von einer lokalen Uhr Ώ direkt gemessene Zeitspanne Δτ = τ₂ − τ₁ zwischen ihnen heißt Eigenzeit. Die von einer Bezugsuhr U, die natürlich stationär gedacht wird (und die fern aller schweren Massen im freien Weltraum schwebt) gemessene Zeitspanne Δt = t₂ − t₁ zwischen Ě₁ und Ě₂ heißt U- Koordinatenzeit und ist normalerweise länger als Δτ.

Diese Diskrepanz zwischen Δt und Δτ wird (etwas irreführend, wie ich finde) Zeitdilatation genannt, und es gibt zwei Arten davon:

  • In der SRT ist allein die Bewegung von Ώ relativ zu U dafür verantwortlich, dass Δt > Δτ ist.
  • In der ART bewirkt sowohl das Gravitationspotential ¹), auf dem sich Ώ befindet, als auch die Bewegung von Ώ einen Effekt in diese Richtung.
Ich habe mir dann vorgestellt das ein Raumschiff mit sehr hoher Geschwindigkeit von Punkt A zu B fliegt, für diese Strecke braucht das Raumschiff [Δτ =] 1 Jahr. Auf der Erde vergehen in dieser Zeit aber z.B. [Δt =] 5 Jahre.

Dafür müsste es mit

(1.1) v = c∙√{1 − (Δτ⁄Δt)²} = c∙√{24⁄25} ≈ 0,9798c

unterwegs sein. Das ergibt sich, wenn man

(1.2) Δτ⁄Δt = 1⁄γ := √{1 − β²}, β = v⁄c

nach v auflöst.

Ich habe mir jetzt vorgestellt das Beobachter von der Erde das Raumschiff betrachten, es sieht wie in Slowmotion aus denn es braucht aus der sich ja 5 Jahre.

Das ist ganz unterschiedlich: Ein Objekt, das mit β = 0,9798 auf Dich zukommt, sieht für Dich um den Faktor 1/(1 − β) ≈ 49,505 schneller aus, als es ist. Ein Objekt, das sich mit demselben Tempo entfernt, sieht um den Faktor 1/(1 + β) ≈ 0,5051 langsamer als es ist.

Dies hat freilich noch nichts mit "Zeitdilatation" zu tun. Die liegt woanders, nämlich in der Symmetrie des optischen DOPPLER-Effekts.

Der optische DOPPLER-Effekt

Wenn ich im Raumschiff mit 0,9798c auf Dich zukomme, sieht dieses nicht nur fast um den Faktor 1/(1 − β) = 49,505 schneller aus, als es wirklich ist, sondern auch die Frequenz eines jeden Signals von mir sollte um diesen Faktor gestaucht werden.

Jedes Signal von Dir zum Raumschiff sollte dagegen nur um den Faktor 1 + β = 1,9798 gestaucht werden. Ich sollte Deine Uhr also nur knapp doppelt so schnell ticken sehen, Du meine knapp 50 mal schneller.

Das klingt doch logisch, schließlich bin ich doch derjenige, der sich bewegt – oder?

Die Relativitätstheorie hat ihren Namen von GALILEIs Relativitätsprinzip (RP), demzufolge die Physik keinen Unterschied macht, ob ich mit 0,9798c auf Dich zukomme oder Du auf mich. Deshalb muss der optische DOPPLER-Effekt symmetrisch sein, d.h. die Freqenzerhöhung muss dieselbe sein: Sende ich ein Signal zu Dir, misst Du eine um den Faktor

(2) √{(1 + β)/(1 − β)} =: K ≈ 9,9

höhere Frequenz; umgekehrt gilt dasselbe. Wenn wir also Dich als ruhend ansehen, siehst Du meine Uhr etwa 5× langsamer ticken als erwartet; dafür sehe ich Deine Uhr etwa 5× schneller ticken als erwartet. Da liegt es nahe, dass meine Borduhr tatsächlich 5× langsamer geht als Deine.

Wenn wir stattdessen mich mit dem Raumschiff als ruhend und Dich als mit 0,9798c auf mich zukommend interpretieren, ist es genau umgekehrt.

________________

¹) Wohl bemerkt, es geht um das Gravitationspotential, nicht um die Gravitationsfeldstärke. Diese ist an der Erdoberfläche wesentlich größer als etwa die Fallbeschleunigung, welche die Erde im Gravitationsfeld der Sonne erfährt. Dennoch ist der Einfluss der Sonne auf eine Uhr in der Erdbahn (aber weit entfernt von der Erde) größer als der Einfluss der Erde auf eine Uhr an deren Oberfläche – und immer noch verschwindend klein.

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Hallo Thoni021,

Licht breitet sich so geradlinig aus wie es überhaupt möglich ist. Eine solche Bahn nennt man eine Geodätische (Linie) oder Geodäte.

In der Nähe von Massenansammlungen (nicht nur Schwarze Löcher, auch normale Sterne können das schon) kann das dennoch eine gekrümmte Bahn sein, wie JMC01 richtig angemerkt hat.

Bestimmt kennst Du dieses berühmte (und bei Leuten wie mir berüchtigte) Gummituch- Modell, bei dem ein Gummituch durch einen schweren Ball eingedellt ist. Viele lassen dann Murmeln darauf herumrollen und siehe da, sie werden zum Ball hin abgelenkt. Das ist, wohl bemerkt, kein gutes Modell für Gravitation als Krümmung der Raumzeit, denn Murmeln folgen nicht der Krümmung des Tuches, sondern rollen tendenziell zur tiefsten Stelle; würde man die Delle durch eine gleich geformte Beule ersetzen, würden Murmeln wegrollen.

Was wir stattdessen brauchen, ist eine aufs Geradeausgehen programmierte Roboter-Ameise, die am Untergrund so gut haftet, dass ihr die reale Gravitation egal ist. Ihr Weg würde den Weg eines Lichtsignals repräsentieren. Die Ameise würde durch Delle oder Beule gleichermaßen nach innen abgelenkt. Von oben sähe die Bahn wie ein Hyperbelast aus.

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Hallo 0Meeri7,

Masse ist im Grunde nur "kondensierte" Energie, die ein Körper selbst in seinem Ruhesystem noch hat. Man spricht auch von seiner Ruheenergie.

Ein mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v bewegter Körper oder Teilchen mit der Ruheenergie E₀ hat insgesamt die Energie

(1.1) E = E₀/√{1 − (v⁄c)²} =: E₀∙γ

wobei

E − E₀ = E₀(γ − 1) = Eₖ

seine kinetische Energie ist. Wenn man (1) nach v auflöst, ergibt sich

(1.2) v = c√{1 − (E₀⁄E)²},

d.h., um so schnell zu werden, dass man sein Tempo kaum mehr von c unterscheiden kann, muss seine Gesamtenergie so groß sein, dass seine Ruheenergie dagegen verschwindend klein wird. Umgekehrt kann sich ein Teilchen (z.B. Photon) mit E₀ = 0 nur mit c bewegen.

Würdest Du entlang eines gebündelten, monochromatischen Lichtstrahls beschleunigen, um irgendwann mit dem Photonen mitzuhalten, würden sie relativ zu Dir nicht langsamer, sondern immer langwelliger und energieärmer, bis sie schließlich quasi verschwinden würden, weil sich ihre Wellenlänge ins Unendliche streckt.

Um Kraft auszuüben, brauchen Teilchen einen Impuls. Zwischen Energie E und Impuls p besteht die Beziehung

(2.1) E² = E₀² + c²p²,

die man nach p auflösen kann:

(2.2) p² = (E⁄c)² − (E₀⁄c)²

Das bedeutet: Ruheenergie ist für einen Impuls nicht erforderlich. Ohne sie ist einfach

(2.3) p = E⁄c.

Über die Leistung, also die Energie pro Zeit, bekommst Du eine Kraft, und wenn Du die durch die Fläche teilst, auf die das Licht auftrifft, erhältst Du den Druck.

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Hallo AnakininLove,

Gravitation ist schon real, aber laut ART nicht als Kraft im üblichen Sinne, wie es die elektrische Anziehung bzw. Abstoßung ist, sondern eben als Krümmung der Raumzeit.

Der Grund dafür, dass die Gravitationskraft gelegentlich als Illusion bezeichnet wird, liegt darin, dass diese sich genau so verhält wie eine Trägheitskraft; solche Kräfte werden ja auch gern als Scheinkräfte bezeichnet.

Wenn Du in einem Bus stehst und der plötzlich bremst, hast Du den Eindruck, von einer Kraft nach vorne gezogen zu werden; tatsächlich ist die einzige echte Kraft die, mit der Du Dich irgendwo festhältst, um genau so schnell abbremsen zu können wie der Bus. In Erlebnisparks gibt es Trommeln, die sich so schnell drehen, dass für Menschen im Inneren der Eindruck eines nach außen gerichteten Schwerefelds entsteht; eine tatsächlich vertikale Wand verhält sich wie eine schiefe Ebene, die man auch hinaufgehen kann.

Umgekehrt spürst Du im freien Fall kein Gewicht, z.B., wenn Du vom Zehner springst. Der Effekt wird auch von bestimmten Flugzeugen genutzt, die eine ballistische Flugbahn fliegen (also so, wie ein geworfener Stein fliegen würde) um im Inneren Schwerelosigkeit zu erzeugen.

Krümmung der Raumzeit

Eigentlich könnte und sollte man schon vor dem Übergang von der NEWTONschen Mechanik (NM) zu (zunächst einmal) Speziellen Relativitätstheorie (SRT) das Konzept der Raumzeit einführen.

Das ist eine Struktur, die sich erst anhand eines Bezugskörpers, eines Körpers B, auf den wir Orte und Geschwindigkeiten beziehen (und den wir damit automatisch als stationär betrachten) in Raum (Menge aller Orte = Positionen relativ zu B) und (der von B aus ermittelten) Zeit (B- Koordinatenzeit) zerlegen lässt. Der Weg von B (oder genauer seines Schwerpunkts) durch die Raumzeit, seine Weltlinie (WL), ist die Zeitachse eines von B (genauer: B zu einem bestimmten Zeitpunkt t=0) aus definierten Koordinatensystems Σ.

Bewegt sich ein zweiter Körper B' mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v, z.B. entlang der x-Achse von Σ, können wir genausogut B' als neuen Bezugskörper (und damit als stationär) und B als mit -v (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung in einem von B' aus definierten Koordinatensystem Σ') bewegt ansehen. Die Geschwindigkeit beider Körper relativ zueinander ist geometisch gesehen die Neigung ihrer WLn gegeneinander; parallene WLn gehören also zu Punkten die sich relativ zueinander nicht bewegen.

Die WL eines Körpers, auf den keine Kräfte wirken, ist eine Gerade oder Geodätische, d.h., sie ist so gerade wie es geht. Ein Beispiel für eine solche Linie ist ein Großkreis auf einer Kugeloberfläche.

Bei "Krümmung" geht es nicht um "Verbiegung" der Raumzeit in eine weitere Dimension oder so etwas, und schon gar nicht darum, dass sie in dieser höheren Dimension "nach unten" (was immer das heißen soll) erfolgt, wie es das Gummituch- Modell suggeriert, sondern um die innere Krümmung, die z.B. bei einer Zylindermantelfläche gleich Null ist. Geodätische hier sind Geraden (längs) und Kreise (quer) sowie Schraubenlinien. Solche, die an einer Stelle parallel sind, bleiben überall parallel.

Auf einer Kugeloberfläche ist das anders: Von zwei Parallelen (wie den Breitenkreisen) ist mindestens eine nicht geodätisch, und Großkreise schneiden sich unweigerlich an zwei Stellen.

Bild zum Beitrag

Abb. 1: Kugel- Modell eines Sprungs vom Zehner: Der Äquator steht für die WL des Erdmittelpunkts, ein Breitenkreis für die der Wasseroberfläche. Ein höherer Breitenkreis (rot) steht für Deine WL, während Du auf dem Brett stehst, und der Großkreisbogen in Gelb für Deine WL während des Sprungs.

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Hallo nn5274,

die Wörter "Zeitdilatation" und "Längenkontraktion" sind irreführend. Beides sind eigentlich Nebeneffekte der Relativität der Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse.

Im Diagramm selbst siehst Du das daran, dass die x'-Achse des Koordinatensystems Σ' (blau) gegen die x-Achse des Koordinatensystems Σ (gelb) geneigt ist. Entlang der x-Achse ist t=0, entlang der x'-Achse ist t'=0.

-- Baustelle --

Wenn wir eine Salami der Länge L neben ein Lineal legen, haben ihre Enden natürlich die Koordinatendifferenzen (Δz | Δx) = (L | 0). Drehen wir sie um einen Winkel θ, so ist (Δz | Δx) = (L∙cos(θ) | L∙sin(θ)), d.h., der Vorwärtsanteil ist um den Faktor cos(θ) geschrumpft. Kein Mensch indes würde dies "Längenkontraktion" nennen.

Wenn wir die Salami nun anschneiden, und zwar senkrecht nicht zu sich selbst sondern zum Lineal, erhalten wir eine Schnittkante der Breite d⁄cos(θ). Niemand indes würde hier von "Breitendilatation" sprechen.

Die Dicke d der Salami seht für die räumliche Ausdehnung d eines Raumfahrzeugs.

Die Länge der Salami seht für die – an Bord gemessene – Dauer (Eigenzeit) Ƭ eines an Bord stattfindenden Vorgangs, während die Koordinatendifferenz Δz für die von einer Bezugsuhr U aus ermittelte Dauer Δt desselben Vorgangs (U- Koordinatenzeit) steht. Die Neigung Δx⁄Δz = tan(θ) steht für die 1D-Geschwindigkeit Δx⁄Δz = v, mit der sich das Fahrzeug relativ zu U bewegt.

Die erwähnte Schnittfläche stellt eine "Momentaufnahme" während des erwähnten Vorgangs dar.

Allerdings gibt es neben den Ähnlichkeiten zwischen der räumlichen z-x-Ebene und der raumzeitlichen t-x-Ebene auch große Unterschiede.

In der z-x-Ebene gilt der Satz des PYTHAGORAS: Das Abstandsquadrat zwischen zwei Punkten ist durch

(1) Δz² + Δx² = Δs²

gegeben. Punkte mit gleichem Abstand von einem bestimmten Punkt, z.B. den Ursprung O, liegen auf demselben Kreis um O.

In der Raumzeit gilt stattdessen MINKOWSKIs Abstandsquadrat

(2.1) Δt² − Δx²⁄c² = Δτ²

zwischen zwei Ereignissen, was wegen des Minuszeichens 0 oder sogar negativ werden kann. Für Ereignisse, bei denen letzteres der Fall ist, ist es sinnvoll, (2.1) in

(2.2) Δx² − c²Δt² = Δς²

umzuschreiben, wobei Δς der räumliche Abstand zwischen beiden Ereignissen in einem Koordinatensystem ist, in dem sie gleichzeitig sind.

Ereignisse mit gleichem MINKOWSKI- Abstand von einem gegebenen Ereignis liegen auf derselben Hyperbel um diesen, und die Rolle von cos(θ) ≤ 1 übernimmt in der Raumzeit der berühmte LORENTZ-Faktor

(3) γ := 1/√{1 − (v⁄c)²} ≥ 1;

Bild zum Beitrag

Abb. 1: Vergleich räumliche vs raumzeitliche Ebene

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Hallo Johannesnufre,

Doc Hollyday benutzt bei seiner Argumentation das Ruhesystem des Zuges, in dem der Erdboden gewissermaßen ein riesiges Laufband ist, auf dem der Zug rollt, um an Ort und Stelle zu bleiben.

Er vergisst allerdings, dass in diesem Koordinatensystem die Schüsse von Luke und Billy nicht gleichzeitig sind; Billys Uhr geht gegenüber Lukes Uhr vor, und deshalb schießt er auch früher.

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Hallo njnia,

Photonen sind Quanten bzw. Quanta (Singular: Quant oder Quantum), genauer Quanten der elektromagnetischen Strahlung.

Es gibt auch andere Quanta, die keine Teilchen sind, z.B. das PLANCKsche Wirkungsquantum¹) h bzw. das reduzierte PLANCKsche Wirkungsquantum ħ = h⁄2π. Misst man den sog. Bahndrehimpuls eines Teilchens (z.B. eines Elektrons in einem Atom) in Bezug auf eine gegebene Achse, ist dieser immer ein ganzjähriges Vielfaches von ħ.

Dass speziell Licht quantisiert ist, bedeutet, dass Licht einer monochromatischen Lichtwelle der Frequenz f nur in "Portionen" der Energie hf (das sind die Photonen) emittiert, absorbiert oder auch registriert werden kann. Dies postulierte PLANCK, um sein Strahlungsgesetz zu erklären; da er glaubte, seine Annahme werde später einer besseren Erklärung Platz machen, heißt seine Konstante h wie "Hilfsgröße". EINSTEIN fand später heraus, dass die Quantisiertheit eine Eigenschaft des Lichts selbst ist und erklärte so auch den Photoelektrischen Effekt.

Die Energien der Schwingungen der Teilchen eines Festkörpers sind übrigens auch quantisiert. Diese Quanten, die keine richtigen Teilchen sind, sich aber so ähnlich verhalten, heißen Phononen.

_________

¹) Die sog. Wirkung (engl. action) ist eine in der theoretischen Physik viel gebrauchte Größe, die die Dimension Energie mal Zeit hat. Sie hängt von der Bahn eines Körpers zwischen zwei Punkten ab, und wenn man wissen will, welche von mehreren möglichen Bahnen ein Körper bei einer bestimmten Energie nimmt, läuft die Antwort auf diejenige Bahn hinaus, entlang derer die Wirkung am kleinsten ist. Die Dimension der Wirung ist übrigens zugleich die eines Drehimpulses.

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Hallo MenschDNA,

die Aussage, Licht bewege sich immer nur in eine Richtung, ist vermutlich ganz anders gemeint, denn ist ist ja Alltagserfahrung, dass Licht grundsätzlich aus allen Richtungen kommen kann.

Herr Winkler ist meines Wissens kein Physiker und auch nicht unbedingt ein Meister darin, sich präzise auszudrücken.

In einem liegt er allerdings richtig: Bewegt sich ein Objekt mit exakt derselben Geschwindigkeit (Richtung eingeschlossen) wie Du, steht es relativ zu Dir still.

Grundsätzlich ist ja Fortbewegung relativ, d.h., sie versteht sich immer relativ zu einer gegebenen Bezugsuhr U.

Allerdings liegt er in manchem auch falsch: So kann ein Körper oder ein Teilchen mit Ruheenergie (was physikalisch dasselbe ist wie Masse, nur in einer Energieeinheit: 1kg ≙ 9×10¹⁶ J = 2,5×10⁹ kWh) das Lichttempo c gar nicht erreichen oder überschreiten.

Theoretisch könnte man beliebig lange eine konstante Eigenbeschleunigung (das ist die an Bord spür-und messbare Beschleunigung) aufrecht erhalten und legt dabei immer mehr Strecke in immer kürzerer Eigenzeit (das ist die an Bord erlebte und gemessene Zeit) zurücklegen. Dabei legt das eigene Jetzt allerdings auch immer mehr U- Koordinatenzeit zurück, d.h., Du fliegst praktisch in die Zukunft.

Die Strecke pro U- Koordinatenzeit bleibt immer unter c.

Wenn man sehr schnell ist, kommt Licht fast nur noch von vorn und ist stark blauverschoben, während Licht, das mehr oder weniger von hinten entsprechend stark rotverschoben ankommt – bis zur Unsichtbarkeit.

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Hallo EinSteinimWald,

Nach der speziellen Relativitätstheorie von Albert Einstein kann sich kein Objekt im Universum schneller als Lichtgeschwindigkeit (c) fortbewegen.

Die Allgemeine Relativitätstheorie relativiert diese Aussage aber wieder: Raum kann sich so schnell ausbreiten, dass er dabei Dinge in ihm überlichtschnell voneinander entfernen kann.

Außerdem hängt das Lichttempo vom Gravitationspotential ab. In der Nähe schwerer Massen ist es – aus der Perspektive eines weit entfernten Beobachters – signifikant kleiner als c.

Wobei ein lokaler Beobachter nach wie vor c messen würde, weil aus seine Uhren entsprechend langsamer liefen, und zwar alle. Für ihn wäre stattdessen das Licht weit entfernt etwas schneller, und so könnten aus seiner Perspektive ferne Objekte schneller sein, als sich Licht in seiner Nähe bewegt.

Doch die Idee von Teilchen, die schneller als Licht sind, fasziniert mich sehr.

Die Mathematik der SRT "erlaubt" tatsächlich Teilchen, die sich nur schneller als mit Lichttempo bewegen können und dabei umso weniger Energie haben, je schneller sie sind. Sollte es sie geben, könnten sie allerdings auch auf keinen Fall so etwas wie eine innere zeitliche Ordnung haben, denn es gibt dann immer auch ein Koordinatensystem, in dem ein Tachyon unendlich schnell flöge, und dann gibt es auch eines, in dem es sich zeitlich rückwärts bzw. in entgegengesetzte Richtung bewegte.

Bild zum Beitrag

Abb. 1: Dasselbe Szenario in zwei verschiedenen Koordinatensystemen Σ und Σ' betrachtet, die von zwei relativ zueinander bewegten Körpern B und B' aus definiert sind. Die Grüne Linie stellt den Weg eines Tachyons durch die Raumzeit dar.

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Hallo Unbekannt1613,

Fluoreszenz ändert die Beschaffenheit des betroffenen Atoms nicht grundsätzlich. Was Du beschreibst, ist Radioaktivität. Ein ⁴⁰K- Atomkern fängt ein Elektron ein und wird ein ⁴⁰Ar- Kern, weil ja aus einem Proton ein Neutron geworden ist.

Die Erhaltung der Leptonenzahl bewirkt, dass dabei ein Neutrino entsteht.

"... und die Energie der charakteristischen Röntgenstrahlung, die beim Auffüllen der K-Schale des Argons entsteht, bei der Berechnung von ΔE ... nicht berücksichtigt wurde."

Mich überrascht ein bisschen, dass es sich dabei schon um Röntgenstrahlung handelt, aber jedenfalls werden in der Tat auch Photonen produziert, nicht nur das Neutrino.

Die freigesetze Energie verteilt sich auf das Neutrino und die Photonen.

Theoretisch besitzt die Röntgenstrahlung ja auch ein Masseäquivalent, ...

Nicht nur theoretisch. Jegliche Energie "wiegt was". Das ist die Hauptausage der Gleichung 'E = mc²'. Umgekehrt heißt das: Strahlt ein angeregtes Atom beim Übergang in den Grundzustand ein Photon der Energie ε ab, so verliert es Δm = ε⁄c² an Masse.

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Hallo Fragesteller,

im Prinzip hast Du schon das Konzept der Raumzeit eingeführt, mit der Zeit als Richtung. Wenn Du einen Körper durch die Zeit "trackst", bekommst Du seine Weltlinie (WL) und ist zugleich "Zeitachse" eines von ihm aus definierten Koordinatensystems.

Die WL eines Körpers, auf den keine Kräfte wirken, ist gerade; das von ihm aus definierte Koordinatensystems heißt dann ein Inertialsystem.

Die WLn zweier Körper, die sich relativ zueinander nicht bewegen, verlaufen parallel, die zweier Körper, die sich relativ zueinander bewegen, sind gegeneinander geneigt.

Das Relativitätsprinzip (RP)

Schon GALILEI fiel auf, dass Fortbewegung relativ ist und ein Beobachter, der sich hinreichend geradlinig-gleichförmig bewegt, seine eigene Geschwindigkeit nicht spürt. Die Gesetze der Mechanik sind in zumindest allen Inertialsystemen dieselben.

Dies macht natürlich auch die Gleichortigkeit zeitlich aufeinander folgender Ereignisse relativ: Ziehe ich mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v nacheinander an zwei relativ zueinander ruhenden Körpern vorbei, die voneinander den Abstand d haben, so kann ich umgekehrt auch behaupten, dass beide als Konvoy an mir vorbei ziehen. So gesehen finden beide Begegnungen am selben Ort statt, nämlich bei mir. Wenn es für zwei Ereignisse überhaupt ein Koordinatensystem gibt, in dem sie gleichortig sind, heißen sie zeitartig getrennt.

Gleichzeitige Räume in der NM ...
In Gedanken kann man sich einen Zeitpunkt "t = irgendwas" heraussuchen, die Zeit stoppen und kann einen Gesamtzustand betrachten.

Das ist der sog. Gleichzeitige Raum, eine Art "Ebene" (natürlich 3D) der Raumzeit. Dessen "Betrachtung" ist freilich nur in Gedanken möglich, weil das Lichttempo den endlichen Wert c hat. Deshalb ist die Welt um Dich herum eher so etwas wie die Mantel"fläche" eines Kegels: Je weiter etwas entfernt ist, in einem desto früheren Zustand siehst Du es.

In der NEWTONschen Mechanik (NM) teilen dennoch zwei Koordinatensysteme denselben gleichzeitigen Raum. Die Umrechnung zwischen zwei Koordinatensystemen in der NM, die GALILEI- Transformation, ist geometrisch betrachtet eine Scherung.

... und in der SRT
Jetzt sagt ja die Relativistik, dass es sowas wie eine absolute Zeit gar nicht gibt.

Genauer, die Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse ist relativ.

Die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) sagt erstmals aus, dass die Gleichzeitigen Räume zweier Koordinatensysteme, deren Zeitachsen gegeneinander geneigt sind, ebenfalls gegeneinander gekippt sind, und zwar in die entgegengesetzte Richtung. Wenn es für zwei Ereignisse ein Koordinatensystem gibt, in dem sie gleichzeitig sind, heißen sie raumartig getrennt.

GALILEI meets MAXWELL

Über GALILEIs Relativitätsprinzip haben wir schon gesprochen. Nun kannten weder GALILEI noch NEWTON die Gesetze der Elektrodynamik. Diese wurden erst von MAXWELL zusammengestellt und aus ihnen die elektromagnetische Wellengleichung hergeleitet.

Das Besondere an ihr ist, dass sie direkt aus den Grundgleichungen folgt, ohne Eigenschaften eines Mediums zu brauchen. Das macht sie zum Naturgesetz, das eigentlich auch dem RP unterliegen sollte.

Wenn das so ist, muss jeder Beobachter, der sich selbst als stationär betrachtet, bei Messung der Lichtgeschwindigkeit in jede Richtung auf denselben Betrag c kommen.

Ein konkretes Beispiel

Wir stellen uns drei Raumfahrzeuge A, B und C vor, die mit ausgeschaltetem Antrieb entlang einer Geraden – der x-Achse eines von B aus definierten Koordinatensystems Σ – schweben, A bei x = −d, B natürlich bei x = 0 und C bei x = d. Als Zahlenbeispiel können wir d = 2 lmin = 120 ls nehmen.

Ein viertes, B', zieht mit ebenfalls ausgeschaltetem Antieb mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v an allen nacheinander vorbei. Hier verwende ich mein Lieblingsbeispiel v = 0,6c. Die Begegnung A-B' nenne ich Ě₁, die Begegnung B-B' Ě₂.

Die Raumfahrzeuge stehen in ständigem Sicht- und Funkkontakt. Dabei interessieren wir uns für die Signale von A und C, die B zur selben Zeit t₂ erreichen. Da in dem Moment gerade B' vorbeikommt, erhält es sie ebenfalls zur selben Zeit t'₂.

Die Sache scheint klar: Da A und C gleich weit von B entfernt sind, müssen sie dieses Signal auch zeitgleich, nämlich zur Zeit t₀ − d⁄c = t₀ − 2 min.

Nun wenden wir aber mal das RP an, indem wir B' als stationär und A, B und C als Konvoy beschreiben, der mit -v (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung) an B' vorbeizieht. A entfernt sich, war in der Vergangenheit also näher; C nähert sich, war in der Vergangenheit also weiter entfernt. Konkreter: C war bei seinem Senden um den Faktor

(1) (c + v)/(c − v) =: K² (hier = 4)

weiter von B' entfernt als A bei seinem. Noch genauer war C zu dieser Zeit in der Entfernung d∙K = 2d = 4 lmin, A bei d⁄K = ½d = 1 lmin.

Dementsprechend muss C zur Zeit t'₂ − 4 min und A zur Zeit t'₂ − 1 min gesendet haben.

Bild zum Beitrag

Abb. 1: Schematisches Raumzeit-Diagramm des Vorbeifluges von B' an A, B und C oder umgekehrt.

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Hallo argmnt,

vielleicht sollte ich als erstes auf den zweiten Halbsatz eingehen:

... wenn man sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt?

Geschwindigkeit ¹) ist immer Geschwindigkeit relativ zu ²) einem Bezugskörper.

An das Lichttempo ¹) c kommt ein Körper oder ein Teilchen mit Masse nur beliebig nahe heran, kann c selbst aber nicht erreichen.

Der im Folgenden beschriebene Effekt tritt aber auch nicht erst bei c auf, sondern grundsätzlich bei jedem Tempo, nur dass er sich unterhalb von 0,1c (was immerhin 30 000 km⁄s sind) kaum bemerkbar macht.

Warum vergeht die Zeit schneller ...

Die Formulierung ist etwas unpräzise. Wir brauchen zwei Ereignisse Ě₁ und Ě₂ und zwei Uhren, die zwischen genau diesen Ereignissen zwei unterschiedliche Zeitspannen messen, die wir miteinander vergleichen wollen.

Ein konkretes Beispiel

Drei Raumfahrzeuge A, B und C mit ausgeschaltetem Antrieb schweben in einer Linie, die wir als x-Achse eines von B aus definierten Koordinatensystems Σ bezeichnen können. B selbst ist also bei x = 0. A und C sollen denselben Abstand d von B haben, d.h., A ist bei x = −d und C bei x = d. Natürlich sind alle Uhren in Σ synchronisiert.

Als Zahlenbeispiel verwende ich gern d = 2 lmin = 120 ls, das sind rund 36 Millionen km.

Du sitzt in einem vierten Raumfahrzeug B', das sich – ebenfalls mit ausgeschaltetem Antrieb – entlang der x-Achse bewegt, und zwar mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v = 0,6c.

Die beiden Ereignisse Ě₁ und Ě₂ sind Dein Vorbeiflug an A und an B. Die Zeitspanne dazwischen muss nach der Uhr von B natürlich Δt = t₂ − t₁ = d⁄v = 200 s sein.

Die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) sagt nun aus, dass Deine eigene Uhr zwischen denselben Ereignissen nur 160 s misst. Die Bewegung von A nach B geht für Dich also um 20% schneller, aber warum?

Das versuche ich im Folgenden zu erklären:

Das Relativitätsprinzip

Wir haben A, B und C immer als stationär angesehen. Ebensogut könnten wir aber auch Dich als stationär und A, B und C als mit −v (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung) bewegten Raum- Konvoy ansehen, also in einem von B' aus definierten Koordinatensystem Σ' rechnen.

Das Relativitätsprinzip (RP), das schon von GALILEI formuliert wurde, sagt dabei aus, dass sich durch diese Umdeutung an den grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen (nichts anderes sind Naturgesetze) nichts ändert.

Nach GALILEI und NEWTON sind damit zunächst die Gesetze der Mechanik gemeint.

GALILEI meets MAXWELL

Zu den Naturgesetzen gehören allerdings auch die erstmals von MAXWELL formulierten Grundgleichungen der Elektrodynamik und damit auch die elektromagnetische Wellengleichung. Das besondere an ihr ist, dass sie anders als andere Wellengleichung ohne Bezug auf irgendein Medium direkt aus MAXWELLs Gleichungen folgt.

Deshalb sollte insbesondere auch die elektromagnetische Wellengleichung in Σ und Σ' dieselbe Form haben, oder, konkret gesprochen, was sich relativ zu ²) A, B und C mit c bewegt, das bewegt sich auch relativ zu ²) B', also relativ zu Dir mit c und umgekehrt.

Der optische DOPPLER-Effekt

Gehen wir jetzt einen Schritt zurück und rechnen in Σ, d.h., wir sehen B als ruhend an.

  • Wenn B zu B' ein Signal schickt, sollte es mit 1 + v⁄c = 1,6 - facher Freqenz bei B' ankommen, da Signal und B' mit Differenztempo ²) c + v aufeinander zukommen. Das heißt auch, B' sollte die Uhr von B 1,6- mal schneller ticken sehen.
  • Wenn B' zu B ein Signal schickt, komprimiert die Bewegung von B' die Wellenlänge des Signals auf das 1 − v⁄c = 0,4- fache, weshalb es bei B mit 1/(1 − v⁄c) = 2,5- facher Frequenz bei B eintreffen sollte. Das heißt auch, B sollte die Uhr von B' 2,5- mal schneller ticken sehen.

Schickt einer von beiden ein Signal mit der konkreten Absicht, ein Echo aufzufangen, wird dessen Frequenz um den Faktor

(1) (1 + v⁄c)/(1 − v⁄c) =: K² = 4

höher sein als die des ursprünglichen Signals.

Nun könnte man daran, wer die stärkere Freqenzerhöhung misst, feststellen, wer sich bewegt und wer nicht. Laut RP ist das aber gerade nicht möglich; der optische DOPPLER-Effekt muss symmetrisch sein, d.h., Jeder misst eine Frequenzerhöhung um den Faktor K = 2 und sieht die Uhr des Anderen doppelt so schnell ticken wie die eigene, solange beide sich einander nähern.

Aus der Perspektive von B' ist das um den Faktor 2÷1,6=1,25 "zu schnell", aus der Perspektive von B ist das um den Faktor 2÷2,5=0,8 "zu langsam".

Weitere Konsequenzen

Ich habe oben B' an 3 Raumfahrzeugen vorbei fliegen lassen. Das wirft die Frage auf, was das dritte, C, eigentlich soll.

Nun, die Raumfahrzeuge stehen alle in Funkkontakt. Besonders will ich dabei den Blick auf zwei Signale von A und C lenken, die B und B' im Augenblick t₂ ihrer Begegnung erreichen.

Rechnen wir in Σ, hatten die Signale beide die Strecke Δx = d zurückzulegen und sind daher beide offensichtlich zur Zeit t₂ − d⁄c abgeschickt worden, auch wenn Du als Beobachter auf B' aufgrund von Aberration C in der Entfernung K∙d (4 lmin) und A in der Entfernung d⁄K (1 lmin) siehst.

Rechnen wir allerdings in Σ', so ist diese Deutung nicht haltbar. Schließlich bist in Σ' Du der Ruhende, weshalb Du C bzw. A in der Entfernung siehst, in der C bzw. A bei Absendung seines Signals war (Retardierungseffekt). Daher hatte das Signal einen um K², also 4 mal längeren Weg zu Dir als das von A und muss entsprechend früher abgeschickt worden sein.

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Abb. 1: Schematisches Raumzeit- Diagramm des Vorbeifluges von B' an A, B und C und umgekehrt. In Grün sind die Signale eingezeichnet, die B und B' bei ihrem Vorbeiflug gleichzeitig erreichen. Die gestrichelten Linien sind Linien konstanter Zeit, wobei die blauen für t=const. und die roten für t'=const. stehen.

__________

¹) Geschwindigkeit im engeren physikalischen Sinne ist eine Vektorgröße, eine Größe mit Richtung. Wenn wir uns gleich schnell bewegen, bewegen wir uns u.U. auch relativ zueinander; wenn wir uns relativ zu einem Bezugskörper mit derselben Geschwindigkeit bewegen, bewegen wir uns relativ zueinander gar nicht.

²) Mit "relativ zu X" ist immer gemeint, dass wir in diesem Zusammenhang X als stationär betrachten. Die Differenzgeschwindigkeit zweier Körper in Bezug auf einen dritten (den wir in diesem Zusammenhang als stationär ansehen) ist im Allgemeinen nicht dasselbe.

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Hallo MenschDNA,

die Möglichkeit einer willkürlichen, gezielten Beeinflussung der Raumzeit ist natürlich der feuchte Traum eines jeden SF- Begeisterten, der die Ideen von z.B. Star Trek gern in die Realität umgesetzt wissen würde.

Sowohl der Warp-Antrieb als auch der Trägheitsdämpfer (der, wenn Du ihn als Anzug trügest, Dich jeden Sturz unbeschadet überstehen ließe) und andere Star Trek- Technologien erfordern eine Manipulation der Raumzeit.

Und das ist das Problem: Die Struktur der Raumzeit wird durch die Verteilung von Energie (Masse ist grundsätzlich nichts anderes als Energie, gleichsam kondensierter Energie) bestimmt und lässt sich nicht einfach manipulieren.

Es gibt Theoretische Physiker, die sich mal ernsthaft mit der Möglichkeit auseinander gesetzt haben, so zum Beispiel der Mexikaner Miguel Alcubierre.

Hier liegt ein Problem darin, dass die benötigten Energiemengen weit außerhalb dessen liegen, das wir überhaupt nutzen können; wesentlicher ist aber, dass Alcubierres Antrieb eine Form von "Materie" im weitesten Sinne voraussetzt, dessen Existenz zwar nach heutigem Wissen theoretisch nicht "verboten" ist, aber ob et dat Zeuch in Echt gibt, ist völlig unklar.

So oder so, die benötigte Energie wird natürlich die Masse des Raumschiffs beeinflussen, denn jede Energie "wiegt was".

Gravitation an Bord

Das Problem, der Crew Gravitation "wie zu Hause" zu bieten, lässt sich viel leichter lösen, wenn Du nur genug Energie zur Verfügung hast, um lineare Beschleunigung längerfristig aufrecht zu erhalten:

Wenn Du zu einem fernen Himmelskörper reisen willst, musst Du ja das ja ohnehin mit einem signifikanten Bruchteil des Lichttempos c tun. Um dahin zu kommen, musst Du, weil Du zu starke Beschleunigung nicht lange durchhältst, über einen ziemlich langen Zeitraum (Eigenzeit, d.h. die Zeit, die Du selbst misst) beschleunigen. Den hinteren Teil des Raumschiffs musst Du dan als Boden benutzen.

In der Mitte der Reise drehst Du das Raumschiff, wenn es nicht ohnehin symmetrisch gebaut ist; für die zweite Hälfte der Reise wäre in dem Fall der vordere Teil des Raumschiffs quasi der Boden.

Selbstverständlich sind 10 m⁄s² Eigenbeschleunigung ideal für uns, weil das "wie zu Hause" ist, aber etwas mehr kann es schon sein.

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Hallo Levi129,

genau das Lichttempo c kann ein massives Teilchen oder auch ein Körper nicht erreichen. Wenn allerdings seine kinetische Energie (im Ruhesystem einer Bezugs-Uhr U) so groß ist, dass seine Ruheenergie E₀ = mc² dagegen verschwindend klein ist, kann man sein Tempo von c praktisch nicht mehr unterscheiden.

Es ist ja

(1) E = E₀ + Eₖ = E₀/√{1 − (v⁄c)²};

formen wir das nach v um, erhalten wir

(2.1) v = c∙√{1 − (E₀⁄E)²}.

Was keine Ruheenergie hat, kann sich überhaupt nur mit c bewegen. Was Ruheenergie hat, kann c nur beliebig nahe kommen, nämlich, indem E >> E₀ wird. In diesem Fall können wir (2.1) nähern:

(2.2) v ≈ c(1 − E₀²/2E²).

Wenn z.B. E = 86400∙E₀ ist, ist c − v ≈ 2 cm⁄s. Warum habe ich ausgerechnet diese Zahl genommen? Weil E₀⁄E zugleich das Verhältnis zwischen der Eigenzeit Δτ und U- Koordinatenzeit Δt ist und ein Tag 86400s hat. Will heißen: Bei diesem Tempo fliegt man jede Sekunde um 1 Tag in die Zukunft.

Ich verstehe das irgendwie mit der Kinetischen Energie nicht so.

Wenn ein Körper mit der Erde kollidiert und nicht z.B. einfach glatt durchgeht, sondern durch die Erde gestoppt wird, wird seine kinetische Energie freigesetzt, mehr oder weniger auf einen Schlag. Nehmen wir an, der Körper habe 1g Masse. Schon seine Ruheenergie entspricht dann etwa 21,5 kT TNT- Äquivalent, also etwa der Sprengkraft von Trinity und Fat Man.

Bei oben genanntem Tempo wäre die kinetische Energie über 86000 mal so groß.

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Hallo ItachiUchihaLx,

die wohl bekannsteste – und offensichtlich am häufigsten nicht verstandene bzw. missverstandene – Gleichung der Physik,

(0) E = mc²,

bedeutet, dass

  • jede Art von Energie "was wiegt" und dass
  • die Masse m₀ eines Körpers oder Teilchens gleichsam kondensierte Energie ist. Diese Energie wird die Ruheenergie E₀ = m₀c² des Körpers genannt.
Angenommen wir haben zwei Objekte mit folgenden Eigenschaften: [m₁ = 1 kg, E₁ = 1 J, m₂ = 2 kg, E₂ = 1 J]
Die Masse ist also unterschiedlich, die Energie jedoch gleich.

Dies ist dann Energie, die jeder Körper zusätzlich besitzt, zum Beispiel als kinetische Energie, weil sich die Körper mit unterschiedlichem Tempo v₁ und v₂ = v₁⁄√2 bewegen. Es kann natürlich auch sein, dass umgekehrt beide Körper eine gewisse chemische Energie enthalten, die dann tatsächlich zur Masse von 1 kg beiträgt, allerdings extrem wenig.

Wenn wir nun die Formel der Relativitätstheorie nehmen … und unsere Werte einsetzen, dann kommt …

… Unsinn heraus, da Du hier Dinge gleichsetzt, die absolut nicht gleich sind, nämlich die z.B. kinetische Energie, die jeder der beiden Körper hat, und die jeweilige Ruheenergie.

E₁ = 1 J = m₁∙c² = 1 kg∙c²

Das zweite Gleichheitszeichen ist Mumpitz, denn Dein E₁ ist z.B. die kinetische Energie des ersten Körpers, Eₖ,₁, oder eben die verfügbare, im Körper gespeicherte Energie; m₁∙c² ist natürlich nicht 1 J, sondern ca.

(1) m₁c² ≈ 1 kg∙(3×10⁸ m⁄s)² ≈ 9×10¹⁶ J,

was 25 TWh oder etwas über 21 MT TNT- Äquivalent entspricht (das ist das Tausendfache der Energie, die beim Trinity- Test und beim Angriff auf Nagasaki freigesetzt wurde).

An den überwiegenden Teil dieser Energie kommt man nicht heran, ähnlich wie an Geld, das in einer Immobilie steckt, die man hat, aber nicht verkauft kriegt. Die gesamte Energie freizusetzen gelingt nur mittels der Paarvernichtung, und dazu braucht man Antimaterie.

Jedes Nukleon (Kernteilchen, Sammelbegriff für Protonen und Neutronen) in einem Körper besteht nur zu einem kleinen Teil aus der Masse der Quarks, aus denen es sich zusammensetzt; das meiste ist Bindungsenergie.

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Hallo Levi129,

wir reisen mit Lichtgeschwindigkeit – durch die Raumzeit, wobei die Zeit so etwas wie unsere Vorwärtsrichtung ist, und räumliche Bewegung so etwas wie eine Seitwärtsbewegung.

Was die Geschwindigkeiten von Körpern, die sich relativ zueinander räumlich bewegen, voneinander unterscheidet, ist also die Bewegungsrichtung.

Das ist aber vermutlich nicht das, was Du hören möchtest.

Früher galten viele Dinge auch als unmöglich, aber sind heute möglich.

Das ist richtig, aber beim Reisen mit der Lichtgeschwindigkeit bzw. dem Lichttempo c ist es genau umgekehrt:

  • Gemäß der NEWTONschen Mechanik (NM), die es seit rund 350 Jahren gibt, wäre das Erreichen und Überschreiten von c ein rein technisches Problem, es wäre grundsätzlich möglich.
  • Erst mit der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) kam die Erkenntnis, dass c eine grundsätzliche Grenze darstellt, die materielle Körper nicht einmal erreichen können.

Allerdings können wir c mit genügend Energie, starken Schilden gegen immense Strahlung und Materie von vorn und Geduld (Du kannst nicht einfach mal eben schnell auf z.B. 0,8c beschleunigen, weil Du viel stärkere Beschleunigungen als 10 m⁄s² nicht lange durchhältst.

Ein anderes Problem wäre jedoch, falls wir es schaffen würden mit Lichtgeschwindigkeit zu reisen, würde es uns nicht viel bringen, weil das Universum so groß ist, selbst der nächste Stern würde lange dauern, selbst mit Lichtgeschwindigkeit.

Nicht für Dich als Reisendem. Wenn Du zu einem 6 Lichtjahre entfernten Ziel mit 0,6c fliegen würdest, würde diese Reise aus der Sicht der Erde 10 Jahre dauern, für Dich aber nur 8.

Würdest Du zu einem 8 Lichtjahre entfernten Stern mit 0,8c aufbrechen, was auf der Erde ebenfalls 10 Jahre dauern würde, würest Du nach eigener Uhr sogar nur 6 Jahre unterwegs.

Würdest Du zu einem 9,6 Lichtjahre entfernten Ziel mit 0,96c aufbrechen, würde das für die Bodenkontrolle ebenfalls 10 Jahre dauern, für Dich aber nur 2,8 Jahre.

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Hallo CollerTyp197,

Gravitation ist eine Wechselwirkung zwischen Massen, die zu gegenseitiger Anziehung führt.

In den Anfängen der Klassischen Mechanik, zur Zeit GALILEIs und NEWTONs, wurden zwei Massenbegriffe unterschieden:

  • Die Träge Masse mₜ, die den Widerstand eines Körpers gegen jede Änderung seiner Geschwindigkeit bezeichnet und
  • die Schwere Masse mₛ, sozusagen Gravitations- Ladung, die eine ähnliche Rolle für die Gravitation spielt wie die elektrische Ladung q für die elektrische Wechselwirkung.
Körper im Gravitationsfeld einer dominanten Masse

Wenn ein Körper aus einer gewissen Höhe auf die Erde fällt, ziehen eigentlich die Erde und der Körper einander gegenseitig und mit gleich großer Kraft an, nur dass die Erde mit ihrer überwältigenden Trägen Masse von 6×10²⁴kg praktisch keine Beschleunigung erfährt. Deshalb erscheint es so, als ziehe nur sie den Körper an und nicht umgekehrt.

Gleichheit von Schwerer und Träger Masse

Die Kraft, mit der sie den Körper anzieht, ist proportional zu mₛ. Die Beschleunigung, die der Körper dadurch in Richtung der Erde erfährt, ist antiproportional zu mₜ.

Hätten nun zwei Körper dieselbe Träge Masse, aber der zweite die doppelte Schwere Masse, würde er doppelt so stark beschleunigt wie der erste.

Allerdings stellte sich schon früh heraus, dass mₜ ≡ mₛ =: m ist. Schon GALILEI hatte sich überlegt, dass leichte und schwere Körper grundsätzlich gleich schnell fallen müssten und nur der Luftwiderstand etwas daran ändert (genau genommen hängt die Fallbeschleunigung auch von der Dichte des Körpers ab, denn die Luft, die er verdrängt, führt zu einem Auftrieb).

Äquivalenz von Schwere und Trägheit

Dieses Verhalten – dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse dieselbe Fallbeschleunigung erfahren – ist eines, das sonst nur Trägheitskräfte an den Tag legen; das sind Scheinkräfte, die in beschleunigten Systemen auftreten. Wärest Du z.B. in einem Raumfahrzeug, das mit konstant 9,81 m⁄s² beschleunigt, würden innen dieselben Verhältnisse herrschen wie auf der Erde, was die Gravitation betrifft (wobei hinten "unten" und vorn "oben" wäre).

Umgekehrt würdest Du in einer frei fallenden Fahrstuhlkabine Schwerelosigkeit erfahren; dasselbe geschieht in einem Flugzeug, das eine ballistische Flugbahn fliegen kann (dass es also der Gravitation widerstandslos folgt). Das schlägt Vielen auf den Magen (daher die Bezeichnung "Kotzbomber"), aber die Erfahrung ist einzigartig.

Diese Eigenschaften erlauben es, die Gravitation statt als Kraft als innere Krümmung der Raumzeit zu beschreiben.

Der Weg eines Körpers durch die Raumzeit wird seine Weltlinie (WL) genannt. Die WL eines Körpers, der keinen Kräften [außer der Gravitation] unterliegt, ist eine Gerade [eine Geodäte (die geradeste mögliche Linie in einer gekrümmten Fläche oder Mannigfaltigkeit = mehrdimensionale Verallgemeinerung einer Fläche)].

Die WLn zweier Körper, die sich relativ zueinander nicht bewegen, verlaufen parallel.

  • In einer Fläche, die geometrisch flach ist – das heißt nicht, dass sie nicht gebogen sein darf; eine Zylindermantelfläche ist geometrisch flach – verlaufen Geodäten, die an einer Stelle parallel sind, überall parallel.
  • In einer negativ gekrümmten Fläche (Sattelfläche) würden Geodäten auseinanderlaufen.
  • In einer positiv gekrümmten Fläche (Kugelfläche) laufen Geodäten immer zusammen.

Eine Kugelfläche ist ein ganz passables Modell für einen Sprung vom Zehner. Dabei steht die geografische Länge für die Zeit, der Äquator für den Erdmittelpunkt, ein Breitenkreis für die WL der Wasseroberfläche und ein etwas höherer für die WL des Sprungbretts. Solange Du darauf stehst, ist Deine WL parallel zu der des Erdmittelpunkts, aber alles andere als geodätisch. Der Sprung wird durch einen Großkreisbogen dargestellt, der mit wachsender Rate auf den Äquator zuläuft, bis er auf die Wasseroberfläche trifft.

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Abb. 1: Modell für einen Sprung vom Zehner (roter Breitenkreis). Die schwarzen Breitenkreise stehen für die WLn von Erdmittelpunkt und Wasseroberfläche, und der gelbe Großkreisbogen stellt den Sprung dar.

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Hallo Nichtduuuiuiiii,

anscheidend wird hier Reibung vernachlässigt, sodass die Energie erhalten bleibt.

Epot ist ja die Ruhe Energie, ...

Ich vermute, Du meinst Lageenergie, die Energie, die ein Körper aufgrund seiner Position in einem Kraftfeld hat, in diesem Fall dem Gravitationsfeld der Erde.

Ruheenergie ist etwas völlig anderes, nämlich die Energie E₀, die in einem Körper als dessen Masse m = E₀⁄c² kondensiert ist.

Dass Energie "was wiegt" und Masse nichts anderes als kondensierte Energie ist, ist die wahre Bedeutung von EINSTEINs berühmter Formel 'E = mc²'.

Dabei "wiegen" knapp 9×10¹³ J, in anderen Maßeinheiten 25 GWh oder ca. 21,5 kT TNT- Äquivalent (etwa so viel, wie die erste Atombombe freigesetzt hat) an Energie gerade 1g.

... wieso ist die mitten im looping nicht null?

Es ist egal, wo Du Eₚₒₜ = 0 setzt. Nur die Differenzen in Eₚₒₜ spielen eine Rolle bei der Berechnung von Geschwindigkeiten.

Das Ganze spielt sich in der Nähe der Erdoberfläche ab, wo man deren Gravitationsfeld näherungsweise als homogen mit konstanter Stärke 9,81 N⁄kg ansehen kann. Daher kannst Du die Formeln

(1.1) Eₚₒₜ = m∙g∙h

und

(1.2) Eₖᵢₙ = ½∙m∙v²

benutzen und h da gleich 0 setzen, wo Du lustig bist.

Wir können die Höhen bei ① h₁, bei ② h₂, bei ③ h₃ und ganz unten h₀ nennen.

Mit den Geschwindigkeiten machen wir dasselbe, v₁ bei ①, v₂ bei ② und v₃ bei ③. Leider ist v₁ in km⁄h angegeben, und das passt nicht zur Maßeinheit Joule = kg∙m²⁄s². Allerdings ist 1 m⁄s = 3,6 km⁄h, wir müssen den Zahlenwert also nur durch 3,6 teilen. Damit ergibt sich v₁ = 10 m⁄s.

Wir kennen also v₁ und wollen v₂ ausrechnen. Energieerhaltung verlangt, dass

(2.1) Eₚₒₜ,₂ + Eₖᵢₙ,₂ = Eₚₒₜ,₁ + Eₖᵢₙ,₁,

also

(2.2) m∙g∙h₂ + ½∙m∙v₂² = m∙g∙h₁ + ½∙m∙v₁².

Das haben die in der Vorgabe auch brav gemacht, mit der Angabe m = 600 kg und, offensichtlich, h₀ = 0, also h₁ = 20 m.

Natürlich kommt das Richtige raus, aber superclever ist das nicht:

  • Wenn man entweder h₁ = 0 oder h₂ = 0 setzt, fällt ein Summand in (2.2) sofort weg. Setzen wir, wie Du vorgeschlagen hast, h₂ = 0, dann ist h₁ = 8 m.
  • Die Masse m des Fahrzeugs steht in der Gleichung überall und lässt sich rauskürzen.

So erhalten wir

(2.3) ½∙v₂² = g∙h₁ + ½∙v₁²,

woraus

(2.4) v₂ = √{2∙g∙h₁ + v₁²} = √{256,96 m²⁄s²}

folgt. Natürlich lässt sich das leicht mit TR ausrechnen, aber das macht keinen Spaß.

256 ist eine Quadratzahl, nämlich 16². Also ist v₂² = (16 + x) m⁄s, also soll

(3.1) (16 + x)² = 16² + 32∙x + x² = 256,96

sein, oder

(3.2) 32∙x + x² = 0,96

bzw.

(3.3) x + x²⁄32 = 0,03.

Also muss x < 0,03 = 3×10⁻² sein und damit x² < 0,0009 = 9×10⁻⁴, und deshalb vernachlässigen wir x² getrost.

Sollte man die nicht eigentlich schreiten können??

Diese Frage verstehe ich nicht. Was meinst Du damit? Dass wir h₂ = 0 setzen sollten, wie wir das oben gemacht haben?

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Hallo Bogi82,

  • ein Körper der Masse m, auf den eine Netto- Kraft mit dem Betrag F wirkt, erfährt eine Beschleunigung in Richtung der Kraft mit dem Betrag a = F⁄m.
  • In der Nähe der Erdoberfläche erfährt der Körper eine anziehende Kraft in Richtung der Erde, die m∙g beträgt, wobei g eine Konstante ist, nämlich g = 9,81 N⁄kg.

Das heißt, bei doppelter Masse ist für die gleiche Beschleunigung auch doppelt so viel Kraft erforderlich; andererseits wird ein Körper doppelter Masse auch doppelt so stark angezogen. Im Vakuum erfahren daher alle Körper dieselbe Fallbeschleunigung von 9,81 m⁄s². Das ist nichts anderes als g.

Dass alle Körper unabhängig von ihrer Masse eigentlich gleich stark beschleunigt werden, fiel erstmals GALILEI auf, und das, obwohl er kein Vakuum erzeugen konnte.

Wenn die Luft ins Spiel kommt, kommt zugleich Reibungskraft ins Spiel. Die hängt nicht von der Masse des Körpers ab, sondern von seiner Gestalt, seinem Querschnitt und von seiner bereits erreichten Geschwindigkeit. Ihre Richtung ist immer der Bewegungsrichtung entgegen gesetzt, beim Fall also nach oben. Wenn sie genauso groß ist wie die Gravitationskraft, also m∙g beträgt, hört der Körper auf, schneller zu werden. Die Geschwindigkeit, mit der der Körper dann fällt, heißt terminale Geschwindigkeit.

Leichtere Körper erreichen ihre terminale Geschwindigkeit früher als schwerere, wobei es natürlich nicht nur auf die Masse, sondern auch auf die Dichte eines Körpers ankommt. Ein Körper verhältnismäßig geringer Dichte muss bei gleicher Masse größer sein und bietet dementsprechend mehr Luftwiderstand.

Bei extrem niedriger Dichte, vergleichbar mit der von Luft, erfährt ein Körper von vornherein nicht mehr die Beschleunigung g, weil dann zusätzlich noch der Auftrieb wichtig wird.

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