Wie viele Dimensionen versteht ihr?

Ich kann sogar mit n-dimensionalen Räumen rechnen - nur das Ergebnis begreife ich nicht.

Das hängt ganz davon ab, was man unter "verstehen" meint. Selbst eine vierte räumliche Dimension kann sich der Mensch nicht anschaulich vorstellen, da unsere Wahrnehmung nicht darauf ausgelegt ist. Wenn Mathematiker oder Physiker mit mehrdimensionalen bis hin zur Unendlichkeit mathematisch umgehen können, dann spricht man eher vom abstrakten oder strukturellem Verstehen, und zwar dem Verstehen der Gleichungen, Tensoren etc. Wir hantieren mit Unendlichkeiten. Das heisst aber nicht, dass wir eine Unendlichkeit im Sinne des Begreifens verstehen, geschweige denn dass es überhaupt existiert.

Es hängt also von der Definition des Verstehens ab. Wenn Verstehen keinen Bezug zur physikalischen Realität hat, dann verstehen Mathematiker auch 500 Dimensionen. Denn nur weil man etwas mathematisch ausdrücken kann, bedeutet es nicht, dass es auch in der Form irgendwie existiert.

Ich bin Mathematiker, ich verstehe auch unendliche viele Dimensionen. Also, abzählbar unendlich viele.

Hallo PadmeAmidala,

ich habe mich mit über 5dimensionalen und sogar unendlich- dimensionalen Räumen befasst, durchaus ziemlich konkret.

Bei einem solchen Raum handelt es sich natürlich nicht zwangsläufig um einen anschaulichen (oder, falls mehr als 3dimensional, eben nicht mehr so anschaulichen) Raum der Geometrie, sondern etwas Abstrakteres und damit Allgemeineres.

Zum Beispiel kann dies im Rahmen des Data Mining ein Raum von Eigenschaften ("Attributen") von Automodellen sein, wie Baujahr, Farbe, Masse, Verbrauch auf 100km, Höchsttempo usw. sein; jedes konkrete Automodell ist ein Punkt in diesem Raum, und jede Eigenschaft ist eine Dimension dieses Raumes. Man kann auch einen Abstand zwischen diesen Punkten definieren, was diesen Eigenschaftsraum zu einem sog. Metrischen Raum macht.

Im Rahmen der – zu dieser Frage getaggten – Quantenphysik ist es ein Raum aller möglichen Zustände eines Teilchens, dessen Elemente alle möglichen Wellenfunktionen desTeilchens sind. Und wenn es dabei um Größen wie Ort oder Impuls des Teilchens geht, ist dieser Raum prinzipiell unendlich- dimensional.

Anschaulich ist ein Vektor eine Größe, die durch Betrag und Richtung charakterisert ist, oft dargestellt als (parallelverschiebbarer) Pfeil.

Allgemeiner ist ein Vektor Element eines Vektorraums V, dem ein sog. Körper¹) K zugrunde liegt, dessen Elemente Skalare heißen. Vektoren lassen sich addieren und mit Skalaren multiplizieren, d.h. mit v₁, ..., vₙ ∈ V und λ₁, ..., λₙ ∈ K ist auch

λ₁v₁ + ... + λₙvₙ ∈ V

und heißt eine Linearkombination von v₁, ..., vₙ. Die Menge U aller Vektoren, die sich als Linearkombination von v₁, ..., vₙ ausdrücken lassen, ist selbst ein Vektorraum und heißt ein (linearer) Unterraum von V, und v₁, ..., vₙ selbst heißt ein Erzeugendensystem von U. Natürlich kann U mit V identisch sein; anderenfalls heißt U ein echter Unterraum von V.

Falls eine Linearkombination den Nullvektor ergibt, ohne dass

λ₁ = .... = λₙ = 0

ist, heißen v₁, ..., vₙ linear abhängig. Anschaulich heißt dies, dass man aus den Vektoren durch Verlängern/ Verkürzen/ Umkehren und Aneinanderhängen eine geschlossene Figur basteln kann, etwa in einer Ebene ein Dreieck. In diesem Fall lässt sich jeder der Vektoren auch als Linearkombination der anderen ausdrücken.

Ist dies nicht der Fall, heißen v₁, ..., vₙ linear unabhängig. In diesem Fall lässt sich jeder Vektor, der zu U gehört, auf genau eine Weise, d.h. mit genau einem Satz von Skalaren λ₁, ..., λₙ bilden, und man nennt v₁, ..., vₙ auch eine Basis von U.

Die Anzahl n der Basisvektoren heißt dann auch die Dimension von U und wird mit dim(U) bezeichnet. Mathematiker sagen also eher "U hat die Dimension n" als "U hat n Dimensionen".

Es ist auch unsinnig, "die Dimensionen" eines Vektorraums zu numerieren oder ihnen Namen zu geben, denn sie sind gegeneinander austauschbar, und man kann auch eine andere Basis wählen, indem man z.B. v₁ durch v₁' := v₁ + v₂ und v₂' := v₂ − v₁ ersetzt.

_______________

¹) Dabei handelt es sich um eine Struktur, auf der Addition und Multiplikation definiert sind; für beide muss das Assoziativ- und das Kommutativgesetz gelten, und für die Kombination beider Verknüpfungen muss das Distributivgesetz gelten. Außerdem muss ein Körper ein Nullelement (neutral bzgl. Addition) und ein Einselement (neutral bzgl. Multiplikation) haben, und es muss zu jedem Element ein Negatives (sodass Addition das Nullelement ergibt) und für jedes außer dem Nullelement einen Kehrwert (sodass Multiplikation das Einselement ergibt) geben. Dadurch sind automatisch Subtraktion und Division definiert. Die Menge der Rationalen Zahlen, die der Reellen Zahlen und die der Komplexen Zahlen sind Körper.

Länge, Breite und Höhe, also X, Y und Z Achse. dazu noch die Zeit als 4. Dimension.