Hallo Eliifff,

"arcus" heißt Bogen. Der Winkel φ wird mit dem Verhältnis zwischen einem Kreisbogen zwischen den Schenkeln von φ und dem Radius des Kreises identifiziert.

Als kartesische Form würde ich

(1) z = x + i∙y

schreiben, mit

(2) |z| =: r = √{x² + y²}.

Für φ gilt

(3.1) cos(φ) = x⁄r
(3.2) sin(φ) = y⁄r
(3.3) tan(φ) = y⁄x
(3.4) cot(φ) = x⁄y;

Wenn x und y beide positiv sind, ist

(4) φ = arccos(x⁄r) = arcsin(y⁄r) = arctan(y⁄x) = arccot(x⁄y),

d.h., jede dieser Funktionen kannst Du benutzen, um φ auszurechnen (den Arcustangens habe ich hervorgehoben, weil ich ihn bevorzuge).

Die Funktionen haben einen eingeschränkten Definitionsbereich. Davon, welche Du benutzt, hängt es ab, wie Du vorgehen musst, sollte x, y oder beides nicht positiv sein.

Wenn Du den TR nicht benutzen darfst, werden Dir sicherlich nur Aufgaben gestellt, in denen spezielle Winkel vorkommen, z.B. ⅙π = 30°:

sin(⅙π) = ½
cos(⅙π) = √{¾} = ½√{3}
tan(⅙π) = 1/√{3}

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Hallo Eliifff,

aus den Potenzgesetzen

(1) ab∙ac = ab + c 

und

(2) (ab)c = ab∙c 

kannst Du durch Einsetzen von a = 2 in beiden Fällen und b = c = 5 im ersten und b = 5, c = 2 im zweiten Fall schließen, dass 32² = 1024 sein muss. In diesem Fall wäre auch die 5. Wurzel leicht zu ziehen, weil der Exponent auch durch 3 teilbar ist.

Übrigens kannst Du Wurzeln im Allgemeinen gut annähern, indem Du eine der Binomischen Formeln benutzt. Willst Du Dich z.B. der Quadratwurzel von 1000 nähern, hast Du mit 1024 eine Quadratzahl in der Nähe, auf die Du die 2. Binomische Formel

(3) (a − b)² = a² + 2ab + b² ≈ a² − 2ab

anwenden kannst, indem Du a = 32 und 2ab ≈ 24 setzt. Damit muss a∙b ≈ 32b ≈ 12 sein, und damit ist b ≈ ⅜. Die erste Näherung liefert daher 31⅝, was zwar immer noch zu viel ist, aber deutlich näher an √{1000} liegt als 32 selbst. Und natürlich kann man das wiederholen.

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Hallo rikki11,

es geht darum, dass beim Doppeltspaltexperiment ein Teilchen durch beide Spalte geht, wenn nicht einer davon mit einen Detektor versehen ist.

Dies sieht man an dem 2-Spalten- Beugungsbild aus einem Hauptmaximum und mehreren Nebenmaxima im Wechsel mit Minima, das sich auf einem Detektorfeld dahinter aufbaut, auch dann, wenn man die Teilchen einzeln durch den Doppelspalt schickt, auch wenn auf jedes einzelne Teilchen nur je eine Detektorzelle anspricht. Ein Detektor an einem der Spalte lässt das Beugungsbild zugunsten zweier Ein-Spalt- Beugungsbilder verschwinden.

Der Befund ist merkwürdig, besonders, wenn man Teilchen als kompakte Klumpen von irgendetwas auffasst – was sie allerdings nicht sind.

Teilchen sind elementare Anregungen von Feldern. Weil sie elementar sind, lässt sich ein einzelnes nur als Ganzes registrieren, und man hat den Eindruck von etwas Kompaktem mit klar definiertem Ort. Ansonsten verhalten sie sich wie Wellen. Und die können sehr wohl durch zwei Spalte gehen und mit sich selbst interferieren.

Auch mit Detektor verhalten sich die Teilchen nicht wie kleine Gewehrkugeln; statt eines 2-Spalt- Beugungsbildes entstehen eben 2 1-Spalt- Beugungsbilder.

Abb. 1: Teilchen sind elementare Anregungen von Feldern, wie hier ein Elektron in einem angeregten Wasserstoffatom oder wasserstoffähnlichen Ion. Das Elektron bildet eine stehende Welle im Atom, ein sog. Orbital. Die Phase wird durch die Farbgebung dargestellt.

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Hallo Eliifff,

eine Komplexe Zahl

(1.1) z = x + i∙y

hat ein "Spiegelbild", ihr Konjugiertes

(1.2) z* = x − i∙y.

Multipliziert man sie, erhält man die nichtnegative Reelle Zahl

(2) zz* = (x + i∙y)(x − iy) = x² − i²y² = x² + y²,

deren Quadratwurzel der Betrag r von z ist.

Mit Hilfe der EULERschen Formel

(3) ei∙φ = cos(φ) + i∙sin(φ)

lässt sich z auch als

(4) z = r∙ei∙φ = r∙cos(φ) + i∙r∙sin(φ)

darstellen, wobei

(5.1) φ = arctan(y⁄x), falls x > 0
(5.2) φ = ½∙π∙sign(y), falls x = 0
(5.3) φ = arctan(y⁄x) ± π, falls x < 0

Der Phasenwinkel im Bogenmaß ist. Diese Form eignet sich besser zum multiplizieren, Potenzieren oder Wurzelziehen als die kartesische Form, denn z.B. ist

(5) z⁵ = r⁵e5i∙φ := Z = X + iY

In unserem Fall ist der X = −16∙√{3} und Y = 16, sodass r¹⁰ = 1024 = 2¹⁰ ist (Der Betrag ist daher 32. Die 5. Wurzel davon ist 2.

Beim Winkel, dem Arcustangens von Y⁄X = −√{⅓} brauchst Du im Prinzip schon einen Taschenrechner, es sei denn, Du weißt die Werte für einige Winkel auswendig.

So ist der Sinus von ⅙π (30°) einfach ½ und der Cosinus dementsprechend √{¾} = ½∙√{3}. Der Tangens ist der Sinus durch den Cosinus, und das ist √{⅓}.

Somit wäre 5∙φ = −⅙π (−30°), wenn X positiv wäre. So ist es (7⁄6)π (210°) respektive −⅚π (−150°), was bei Komplexen Zahlen bevorzugt wird. Da die trigonometrischen Funktionen 2π- periodisch sind, gibt es 5 verschiedene "Kandidaten" für z. Einer davon ist 2∙ei∙(−⅙π), der sog. Hauptwert der 5. Wurzel. Es ist der Winkel, dessen 5-faches im Intervall ]−π, π] liegt.

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Hallo Eliifff,

es handelt sich um den griechischen Kleinbuchstaben theta, der gern für Winkel verwendet wird, wie das kleine phi (φ) auch.

In der 3D- Geometrie

...ist es eine der Kugelkoordinaten oder sphärischen Koordinaten. θ heißt dabei der Polarwinkel, φ der Azimutwinkel.

Abb. 1: Sphärische Koordinaten aus dem zugehörigen Wikipedia- Artikel

Im Kontext der Komplexen Zahlen

...verwendet man eher φ, um den Phasenwinkel zu bezeichnen. Man kann aber den Winkel auch θ nennen, das ist eigentlich wurscht. Oder es gibt zwei Komplexe Zahlen, deren Phasenwinkel φ und θ statt φ₁ und φ₂ genannt werden.

Abb. 2: Die Komplexe Zahlenebene

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Hallo IQTC52,

so schwer ist das nicht: Der Gesamtimpuls am Anfang muss dem am Ende entsprechen. Wir sind hier auch im NEWTON- Limes, sodass wir

(1) pₓ = m∙vₓ

rechnen können. Für die übrigen Komponenten gilt dasselbe, aber wir brauchen nur eine Richtung zu berücksichtigen und können den Index weglassen.

Aufgabe 30 a):

Am Anfang ist der Astronaut mit Pfeil mit v₁ unterwegs. Während der Pfeil fliegt, ruht er und hat daher den Impuls 0. Es ist

(2.1) (mA + mP)v₁ = mPv₂;

um das nach v₂ aufzulösen, musst Du nur beide Seiten durch mP teilen:

(2.2) ((mA + mP)/(mP)v₁ = v₂

In Zahlen:

(70,2kg/0,2kg)∙0,5 m⁄s = v₂ = 176 m⁄s.

Aufgabe 31 b):

Der Pfeil schlägt in die Zielscheibe, wodurch sich sein Impuls auf Pfeil und Raumschiff verteilt, nach ähnlichem Muster wie in (2.1) und (2.2):

(3.1) mPv₂ = (mP + mR)v₃

(3.2) (mP/(mP + mR))v₂ = v₃

Dies ist die Geschwindigkeit des Raumschiffs mit Pfeil nach dem Einschlag, relativ zur Geschwindigkeit des Raumschiffs vorher und auch zum Astronauten. Gefragt ist aber die Geschwindigkeit des Astronauten relativ zum Raumschiff, und die ist −v₃.

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Hallo ElonIsBack,

eigentlich ist das ganz simpel:

...wie lange dauert es für uns auf der Erde.

Was Du suchst, ist also die Σ- Koordinatenzeit Δt, wobei Σ ein raumzeitliches Koordinatensystem ist, in dem sowohl die Erde als auch ein Zielplanet im α Centauri- System mehr oder minder stationär sind. Der Einfachheit halber denken wir uns dessen x- Achse so ausgerichtet, dass Start- und Zielort auf ihr liegen.

Die zurückgelegte Strecke in x-Richtung ist

(1.1) Δx = vₓ∙Δt,

was sich leicht nach Δt umstellen lässt:

(1.2) Δt = Δx⁄vₓ ≈ 4,34 a∙c/0,7∙c = 6,2 a.

Die Koordinatenzeit ist, wie der Name schon sagt, eine Koordinatendifferenz. Sie ist keine direkt gemessene, sondern von einer Σ- stationären Uhr U aus ermittelte Zeit, wobei die Ermittlung auch eine Berechnung einschließt.

Ein vom Koordinatensystem unabhängiges Maß für die Dauer eines Vorgangs ist die Eigenzeit, die von Deiner Uhr Ώ direkt gemessene Zeitspanne Δτ.

Für die im Raumschiff vergeht die Zeit ja schneller.

Richtig, die Eigenzeit ist kürzer. Die Formel hierfür ist das MINKOWSKI- Abstandsquadrat

(2.1) Δτ² = Δt² − (Δx⁄c)².

Es erinnert an den Satz des PYTHAGORAS, allerdings mit einem Minuszeichen. Dieses macht den Unterschied zwischen Zeit und Raum aus. Mit (1.1) wird (2.1) zu

(2.2) Δτ² = Δt²∙(1 − (vₓ⁄c)²) =: Δt²⁄γ²

wobei γ der berühmte LORENTZ- Faktor ist. Setzen wir die Zahlen ein, bekommen wir

6,2 a∙√{0,51} ≈ 6,2 a∙0,714 ≈ 4,43 a.

0,7∙c liegt übrigens knapp unter √2∙c, für die sog. proper velocity (im deutschen Sprachgebrauch hat sich das Wort Eigengeschwindigkeit leider noch nicht in dieser Bedeutung durchgesetzt; sie ist aber gleich dem spezifischen Impuls)

Δx/Δτ = γ∙vₓ = c

ist.

Abb. 1: Eigenzeit und Koordinatenzeit für einen Vorgang in schematischer Darstellung

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Hallo bumblebee308,

Dunkle Materie (DM) ist weitgehend hypothetische Materie, die keinerlei elektromagnetische Interaktionen aufweist. Ich habe Leute schon von "Schwarzer Materie" sprechen hören, aber das ist total falsch: DM ist das Gegenteil von schwarz. Eigentlich müsste sie "unsichtbare Materie" heißen, denn sie gibt nicht nur kein Licht ab, sondern sie absorbiert auch keines.

Eine andere Bedeutung des Wortes "dunkel" ist in diesem Zusammenhang die Tatsachen, dass man so gut wie gar nichts über sie weiß. Nur wenige offensichtliche Eigenschaften sind bekannt:

Sie muss also nicht nur insgesamt elektrisch neutral sein, sondern sie kann sich auch überhaupt nicht aus elektrisch geladenen Teilchen zusammensetzen, wie uns bekannte Materie es tut.

Ich schreibe "weitgehend hypothetische", weil es bereits ein bekanntes Teilchen gibt, dass sich genauso verhält: das Neutrino. Immerhin interagiert dieses über die Schwache Wechselwirkung mit Materie und kann so letztlich doch aufgespürt werden.

Wieso glaubt man, dass es sie gibt?

Das hängt Metz der Bewegung der Sterne in einer Galaxie zusammen: im Orbit um das Zentrum der Galaxie müssen sich im Mittel Schwerkraft und Fliehkraft die Waage halten. Zur Schwerkraft trägt aber nur die Materie bei, die näher am Zentrum des Milchstraßensystem ist als der betreffende Stern selbst.

Von dem, was man sehen kann, befindet sich aber viel mehr Masse nahe dem Zentrum als weiter außen, so dass man zwar nicht gerade eine KEPLER-Situation erwarten würde, aber doch eine rasche Abnahme der Geschwindigkeit zum Rand hin.

Sie nimmt aber kaum ab, und das lässt darauf schließen, dass bei einem weiter entfernten Stern dessen größere Entfernung durch deutlich mehr Masse kompensiert wird, die näher am Zentrum liegt als er selbst. Das, was man sehen kann, reicht dafür aber überhaupt nicht aus.

Eine Alternative zur Annahme der DM ist, dass die Gravitationsfeldstärke mit wachsender Entfernung irgendwann aufhöre, nennenswert abzunehmen. Dies "fällt" aber irgendwie "vom Himmel"; das 1/r² - Gesetz ist bei weitem logischer, es lässt sich auf die Geometrie des 3D- Raumes zurückführen.

Oben hatte ich die Neutrinos erwähnt. PAULI postulierte ihre Existenz, weil die einzige Alternative eine Verletzung des Impulserhaltungssatzes beim β- Zerfall gewesen wäre. BOHR hielt für möglich, dass der in der Welt der kleinsten Teilchen nicht gilt, PAULI hielt dagegen. Er sollte Recht behalten.

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Hallo Gurke129,

Deine Frage spielt auf die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) und die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) an genauer: auf ein Phänomen, das (etwas irreführend) als "Zeitdilatation" bezeichnet wird.

Im Rahmen der SRT hat dies mit Bewegung relativ zu einer als ruhend beschriebenen Uhr (Bezugsuhr) zu tun, im Rahmen der ART kommt noch der Effekt hinzu, wenn man sich auf tieferem Gravitationspotential aufhält, zum Beispiel in der Nähe eines Schwarzen Lochs.

...ich habe mal gehört das die Zeit im Weltraum bzw. auf Planeten langsamer vergeht wie auf der Erde.

Die Formulierung ist etwas irreführend, denn in der SRT bzw der ART wird Zeit nicht als etwas beschrieben, dass "vergeht", sondern als eine spezielle Richtung, Art von Abständen etc. in der Raumzeit. Es geht dabei um die Abstände von Ereignissen voneinander, die man sich ganz grob wie Bäume oder andere Landmarken in einer Landschaft vorstellen kann.

Dabei muss man zwischen der Eigenzeit und einer U- Koordinatenzeit unterscheiden. Dabei ist U eine Uhr, die man als Bezugsuhr ausgewählt hat, d.h. als ruhend ansieht.

Die Eigenzeit entspricht tatsächlich einer Weglänge, die U- Koordinatenzeit ist, wie der Name schon sagt, eine Koordinatendifferenz. Der Weg zwischen zwei betrachteten Ereignissen wird auf die Weltlinie (WL) von U projiziert.

Tut man dann auch länger leben als auf der Erde?

Was genau meinst du mit "länger leben"? Angenommen, Du verreist mit 30 mit hoher Geschwindigkeit und kehrst nach 7 Jahren Eigenzeit zurück. Ein Kumpel gleichen Alters, der auf der Erde geblieben ist, ist um 24 Jahre älter geworden.

Nimm an, er stirbt 5 Jahre vor Dir, also in einem um 12 Jahre höheren Alter als Du: Von wem würdest Du dann sagen, er habe länger gelebt?

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Hallo ElonIsBack,

ob es regelrechte Physikclubs gibt, weiß ich nicht. Sollte es sie geben, täte es ihnen aber jedenfalls gut, nicht ausschließlich aus "Dilettanten" zu bestehen.

Es muss immer auch jemanden geben, der sich näher mit der Materie befasst, sie möglichst auch studiert hat, damit nicht der ganze Club in wildwüchsiger Spekulation versinkt, gerade, wenn es sich um Themen wie die Relativitätstheorie (SRT oder auch ART) oder die Quantik geht.

...aber ich bin um ehrlich zu sein eine absolute Niete in der Mathematik und was Formeln angeht.

Vielleicht bist Du nur langsamer als die typischen Mathe- oder Physik- Freaks. Die Sprache der Formeln ist nicht an sich unverständlich, aber es braucht Zeit, sich mit ihr anzufreunden. Eine Überdosis einem bislang unbekannter Zeichen in zu kurzer Zeit kann im schlimmsten Fall eine regelrechte Aversion auslösen.

Letztlich ist sie unumgänglich, denn präzise Aussagen lassen sich oft nur mit Hilfe mathematischer Formeln ausdrücken.

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Hallo ElonIsBack,

seit der Begründung der Klassischen Physik durch GALILEI, NEWTON und ihre Nachfolger hat jede neue physikalische Theorie eine bestehende als Grenzfall enthalten. Formeln verändern sich, aber bestimmte Prinzipien (Erhaltungssätze oder das Relativitätsprinzip) haben Bestand.

Denn - wie wir bereits wissen - existiert eine sogenannte Quantenphysik, die der normalen Physik ,,widerspricht''.

Die Anführungszeichen sind wichtig, denn tatsächlich besteht gerade eine Korrespondenz zwischen Klassischer Physik und Quantik.

Und dies in der Hinsicht, dass Teilchen innerhalb der Quantenwelt nicht nach den - uns bekannten - physikalischen Axiomen spielt.

Es gibt keine spezielle Quantenwelt, der etwa eine Klassische Welt gegenüberstünde. Vielmehr ergibt sich bei großen Quantenzahlen klassisches Verhalten, als Grenzfall. Die Quantenphysik widerspricht hauptsächlich unserer Intuition davon, was denn ein "Teilchen" sei.

Früher hat man strikt zwischen Teilchen und Feldern unterschieden, und diese Unterscheidung ist nicht länger haltbar. Was wir ein Teilchen nennen, ist eine elementare Anregung eines Feldes und kein "Ding".

Da sie elementar sind, können wir sie nur als Ganzes registrieren, etwa, wenn wir mit einer Detektorzelle eine ungefähre Ortsmessung durchführen oder ihren Impuls messen.

Da der Impuls mit dem Wellenvektor assoziiert ist, bedeutet ein besonders scharf definierter Impuls automatisch eine große Unbestimmtheit bei der Position und umgekehrt. Im Prinzip, wie man es von einer Welle erwarten würde.

Zugleich gelten allerdings bekannte Prinzipien weiter. Als klar wurde, dass beim β- Zerfall die Energie- und Impulserhaltung nicht erfüllt schien, war BOHR bereit, dies für die mikroskopische Welt zu akzeptieren, nicht aber PAULI; er postulierte stattdessen ein in der Nebelkammer nicht sichtbar werdendes Teilchen, das wir heute das Neutrino nennen. PAULI behielt Recht.

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Hallo ElonIsBack,

was wir "Teilchen" nennen, sind keine Körper im Kleinformat, sondern elementare Anregungen von Feldern. Sie haben somit eben auch einen Wellencharakter und können sehr unterschiedliche Zustände haben.

Ein Zustand mit einem ganz bestimmten Impuls p› wird beispielsweise durch eine Ebene Welle mit räumlich konstantem Wellenvektor k› = p›/ħ, wobei ħ das reduzierte PLANCKsche Wirkungsquantum ist. In diesem Zustand ist das Teilchen schier überall, d.h., sein Ort ist komplett unbestimmt.

Trifft die Welle auf eine Detektorzelle in einen der Spalte, kommt zum Zuge, dass das Teilchen elementar ist; es kann nur als Ganzes registriert werden. Sollte die Zelle ansprechen, war das Teilchen nach allen, was wir wissen, nicht etwa vorher schon eindeutig im Anflug auf diesem, sondern dadurch fällt diese Entscheidung erst.

Wenn man hinsieht...

Darauf kommt es nicht an, es genügt, dass die Information überhaupt vorliegt, durch welchen es geht.

...bilden sich bei Einströmung von Elektronen zwei Linien,...

Eigentlich bilden sich dann zwei Einzelspalt- Beugungsmuster.

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Hallo Kriegerluka,

"nichts" ist nicht ganz richtig: Nichts, das eine innere zeitliche Ordnung hat, kann sich schneller als mit c bewegen, dem Ausbreitungstempo elektromagnetischer Wellen.

  • Nach GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) sind die Naturgesetze (= grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen) unabhängig davon, welche von zwei relativ zueinander bewegten Uhren U und U' man zur Bezugsuhr wählt und damit als ruhend beschreibt.
  • Zu den Naturgesetzen gehören auch MAXWELLs Grundgleichungen der Elektrodynamik und damit auch seine elektromagnetische Wellengleichung – und damit auch c.

Was sich also relativ zu U mit c bewegt, das bewegt sich auch relativ zu U' mit c.¹) Dies impliziert eine bestimmte geometrische Struktur der Raumzeit. Es geht dabei um Abstände zwischen Ereignissen.

Die Koordinaten von Ereignissen

Von U und U' aus lässt sich jeweils ein Koordinatensystem Σ bzw. Σ' definieren, mit der Weltlinie (WL) der jeweiligen Uhr als Zeitachse.

In Σ lässt sich ein Ereignis als É₁(t₁ | x₁ | y₁ | z₁), in Σ' als É₁(t'₁ | x'₁ | y'₁ | z'₁) beschreiben. Dabei ist t₁ bzw. t'₁ die von U bzw. von U' aus ermittelte²) Zeit von É₁, seine Σ- bzw. Σ'- Koordinatenzeit im Sinne von "Zeitpunkt".

Als Σ- bzw. Σ'- Koordinatenzeit im Sinne von "Zeitspanne" ist der jeweilige Zeitabstand zwischen É₁ und einem zweiten Ereignis É₂, Δt = t₂ − t₁ bzw. Δt' = t'₂ − t'₁. Die räumlichen Koordinatendifferenzen sind Δx = x₂ − x₁, Δx' = x'₂ − x'₁ usw.; insgesamt haben sie in Σ den räumlichen Abstand

(1.1) Δs = √{Δx² + Δy² + Δz²}

und in Σ' den räumlichen Abstand

(1.2) Δs' = √{Δx'² + Δy'² + Δz'²}.

  • Zwei Ereignisse können zeitartig getrennt sein, d.h., es gibt ein Koordinatensystem, in dem sie gleichortig sind. Eine lokale Uhr, in deren Nähe sie beide stattfinden, misst direkt die Zeitspanne Δτ, die Eigenzeit.
  • Zwei Ereignisse können raumartig getrennt sein, d.h., es gibt ein Koordinatensystem, in dem sie gleichzeitig sind, mit dem Gleichzeitigkeitsabstand Δς.

Zum Unterschied zwischen NM und SRT

All diese Begriffe kann man schon in der NEWTONschen Mechanik (NM) verwenden. Die GALILEI- Transformation als Umrechnung zwischen Σ und Σ' ist geometrisch eine Scherung, die gleichzeitige Ereignisse auch gleichzeitig und Zeitabstände invariant lässt, d.h., sie haben in Σ und Σ' denselben Wert Δτ ≡ Δt' ≡ Δt.

Gleichortigkeit ist allerdings schon in der NM relativ. Nur für gleichzeitige Ereignisse gilt in der NM auch Δς ≡ Δs' ≡ Δs.

Die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) beruht aber darauf, dass c invariant ist. Daraus ergibt sich, dass auch die Gleichzeitigkeit zweier raumartig getrennter Ereignisse relativ ist.

Abb. 1: Schematische Darstellung der Begegnung von Raumfahrzeugen A bei x=−d, B bei x=0 und C bei x=d und B' mit x=v(t − t₀) und x'=0. Alle stehen in Funkkontakt; interessant sind die Signale von A und C mit dem Zeitstempel t₀ − d⁄c. Sehen wir stattdessen B' als ruhend und A, B und C als Konvoi an, der mit −v an B' vorbeizieht, muss das Signal von C auf einen um den Faktor (c + v)/(c − v) =: K² früheren Zeitpunkt "datiert" werden als das von A.

Daraus ergibt sich für zeitartig getrennte Ereignisse das MINKOWSKI- Abstandsquadrat

(2.1) Δτ² = Δt² − Δs²⁄c² ≡ Δt'² − Δs'²⁄c²

für die Eigenzeit und für raumartig getrennte Ereignisse

(2.2) Δς² = Δs² − c²Δt² ≡ Δs'² − c²Δt'²

für den Gleichzeitigkeitsabstand. Raumartig getrennte Ereignisse haben keine feste zeitliche Ordnung.

________________

¹) Das bedeutet auch, dass sich z.B. U' nicht relativ zu U mit genau c bewegen kann, da sie sich sonst relativ zu sich selbst mit c bewegen müsste. Dabei bewegt sie sich relativ zu sich selbst definitionsgemäß gar nicht.

²) Dabei muss die Entfernung r = √{x² + y² + z²} berücksichtigt werden, in der das Ereignis stattfindet. Beobachten wir von U aus zur Zeit t* ein Ereignis in der Entfernung r, so ist t = t* − r⁄c.

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Hallo diecooleperson1,

vorab: es ist bedauerlich, dass in den meisten Antworten hier die negative Wertung direkt am Anfang kommt. Sie beantwortet nicht die Frage.

Bedeutung

Hier ist vorab zu sagen, dass das Wort Gendergap doppelsinnig ist:

  • Es kann sich auf die unterschiedlichen Lebensverhältnisse der Geschlechter beziehen, s. gender pay gap.
  • Es kann allerdings auch die Sprechpause bezeichnen und entspricht dann dem Gendersternchen.

Dann hat beides dieselbe Bedeutung, nämlich als Versuch einer geschlechtsneutralen Bezeichnung z.B. von Berufen.

Grund

Bislang ist es üblich, bei bestimmten Bezeichnungen für Tätigkeiten (beruflich, wie "Lehrer", oder nicht beruflich, wie "Zuhörer") die maskuline Form als kürzeste Form immer zu verwenden, wenn man mehrere Personen meint, die nicht ausschließlich Frauen sind ("generisches Maskulinum").

Viele Personen, die sich nicht als männlich verstehen, fühlen sich dadurch nicht mitgemeint, quasi sprachlich unterschlagen, was man mit diesen Formen zu überwinden glaubt.

Alternativen

In den 1990ern war eher das Binnen- I üblich ("LeherInnen"), heute gibt es neben dem Sternchen den Doppelpunkt, und natürlich kann man immer beide (hauptsächlichen) Geschlechter nennen, was natürlich erst recht etwas länglich ist.

Es gibt auch Verfechterinnen eines generischen Femininums, d.h. ein Mensch unbekannten oder in einem Zusammenhang irrelevanten Geschlechts im Lehramt heißt erst mal "Lehrerin", es sei denn, man wolle besonders betonen, dass es sich um einen Mann handle. Das Maskulinum wird von den Protagonistinnen als "Schwundform" bezeichnet.

Eher im Scherz hat mal jemand vorgeschlagen, eine explizite männliche Form einzuführen, etwa z.B. "Lehreriche", wenn wirklich nur Männer gemeint sind und man Wert darauf legt, dies sprachlich abzubilden. Ich halte das freilich für die beste Idee. Warum sollten wir Männer quasi die kürzeste Form für uns haben?

Kritik

Die meiste Kritik besteht in ästhetischen Werturteilen ("Verhuntzung der Sprache") oder beziehen sich darauf, dass der Sprachgebrauch gleichsam oktroyiert sei.¹)

Dem schließe ich mich weitgehend an (ich finde solche Texte dann einfach furchtbar länglich), möchte aber hinzufügen, dass ich es auch nicht für besonders zielführend halte. Ich glaube auch nicht an die emanzipatorische Wirkung von Sprachregelung im Sinne der PC und halte Selbstermächtigung betroffener Gruppen für eine wesentlich bessere Strategie.

Es ist auch eine Frage der Gewohnheit, ob man etwa bei "Lehrer" ausschließlich Männer assoziiert.

________________

¹) In dem Zusammenhang gibt es gelegentlich auch zweifelhafte Behauptungen wie die, Schülern sei das Nicht- Gendern negativ angekreidet worden und habe zu einer erheblichen Verschlechterung der Note geführt.

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Hallo IQDetectiv,

Deine Geschwindigkeit relativ zu einer Bezugsuhr U kann weder c noch größer sein.

Ein Problem kann das von vorn kommende Licht sein, da es einem DOPPLER- Effekt um den Faktor

(1) K := √{(c + v)/(c − v)}

unterliegt und auch umso intensiver bei Dir ankommt, je schneller Du Dich auf die Lichtquellen zu bewegst. Respektive diese auf Dich. Fortbewegung ist relativ.

In jeden Fall divergiert der DOPPLER- Faktor für v → c und wäre auch für v > c nicht definiert (solange man nicht imaginäre Zahlen zulässt, was aber an sich keinen Sinn ergibt).

Könnte ich in diesem Zug lesen oder ist das unmöglich?

Ja. Die Relativitätstheorie beruht auf GALILEIs Relativitätsprinzip (RP). Deshalb musst Du bei jeder beliebigen erreichbaren Geschwindigkeit relativ zu einer Bezugsuhr U genauso lesen und dabei einen Kaffee trinken können, als wenn Du Dich relativ zu U nicht bewegen würdest.

Mehr noch: Die mit Deinen Uhren und Deinen Maßstäben gemessene Geschwindigkeit eines beliebigen Lichtsignals ist immer gleich c, selbst dann, wenn Du selbst relativ zu U mit fast c unterwegs wärst.

Nehmen wir nun an ich führe mit diesem Zug um eine Blume.

Das freilich ist keine konstante Geschwindigkeit, Du musst umso stärker Richtung Mittelpunkt beschleunigen, je schneller Du bist, und diese Kraft divergiert für v → c. Um das überhaupt lebend zu überstehen, musst Du den Kreis auf astronomische Dimensionen – bei sehr großen Geschwindigkeiten reden wir von Lichtjahren (!) – ausdehen.

Würde ich im Zeitraffer der Blume beim Wachsen zusehen können?

Im Prinzip schon. Das kannst Du als "Zeitdilatation" (der Ausdruck ist irreführend) entweder aufgrund von Geschwindigkeit oder aufgrund Deines tieferen Gravitationspotentials deuten, denn Zentrufugalbeschleunigung wirkt physikalisch wie Gravitation.

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Hallo Kaiser290346986,

natürlich ist das Innere des Schwarzen Lochs (SL) – von außen betrachtet – das perfekte Schwarz, da einfallendes Licht ebenso wenig wieder zum Vorschein kommt wie Materie, und der Ereignishorizont (EH) ist auch keine Oberfläche und reflektiert überhaupt kein Licht.

Selbst Vantablack hat ein endliches Reflexionsvermögen, auch wenn es mit 2×10⁻³ sehr gering ist.

Dadurch sind sie an sich ja aber auch nicht sichtbar oder?

Nicht vor ebenso schwarzem Hintergrund. Der ist allerdings weniger dunkel als das SL, zumindest, wenn es groß ist, denn mit wachsender Größe sinkt die HAWKING- Temperatur¹), da die – einstweilen hypothetische – HAWKING- Strahlung²) eine Wellenlänge mindestens in der Größenordnung der Ausdehnung des SL haben muss.

In Wellenlängen des kosmischen Mikrowellenhintergrundes wäre ein mindestens stellares SL als schwarzer Schatten sichtbar.

Nur anhand des gekrümmten Lichts am Ereignishorizont.

Du meinst vermutlich um den EH. Der Schatten des SL ist allerdings deutlich größer als die Ausdehnung des EH selbst, gerade durch den Gravitationslinseneffekt, der auch Galaxien im Hintergrund und das Bild der Akkretionsscheibe verzerrt – und übrigens auch verhindert, dass man sich hinter einem SL verstecken könnte.

Abb. 1: Simulation des Gravitationslinseneffekts bei einem Neutronenstern von Corvin Zahn, aus dem Wikipedia- Artikel über das Thema. Das Muster soll jeweils die "geografischen Längen" und "Breiten" darstellen, und man sieht mehr von der Oberfläche, als es ohne den Effekt der Fall wäre.

_______________________

¹) Gleichwohl würde man bei einen Sturz in ein SL vermutlich eher verbrennen als erfrieren, denn die HAWKING- Temperatur ist ja die nach außen wirkende Temperatur, man könnte ebensogut das Gravitationsfeld als sehr guten Wärmeisolator beschreiben.

²) Dabei handelt es sich um Strahlung, die in der Umgebung des SL entsteht und thermisch ist.

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Hallo Mila1sweet,

zunächst einmal Grundsätzliches: Eine Komplexe Zahl

(1) z = x + iy

lässt sich in der GAUßschen Zahlenebene als Punkt Pz(x | y) bzw. als Vektor r›z = (x; y) darstellen.

Abb. 1: Punkt- und Vektordarstellung für eine Beispielzahl 4+3i

Als Punkt/Vektor lässt sich z auch durch den Abstand vom Ursprung (0 | 0)/den Betrag r und einen Winkel φ darstellen, der auch das Argument von z genannt wird, mit

(2.1) x = r∙cos(φ) und
(2.2) y = r∙sin(φ),

sodass sich für einen positiven Realteil x

(3) φ = arctan(y/x)

ergibt. Für einen negativen muss π addiert oder subtrahiert werden. Eine Konvention ist, dass sich −π < φ ≤ π ergeben soll.

EULERs Formel macht's einfacher

Für die Frage nach Multiplikation, Division, Potenzieren und Wurzeln ist aber noch etwas Wichtigeres bedeutsam: EULERs Formel

(4) ei∙φ = cos(φ) + i∙sin(φ).

Dies ermöglicht die Polardarstellung

(5) z = r∙ei∙φ ,

d.h., es enthält eine Potenz. Deshalb lassen sich die Potenzgesetze anwenden:

  • Bei Multiplikation/ Division addieren/ subtrahieren sich die Argumente.
  • Beim Potenzieren mit einer Zahl n/ Ziehung der n. Wurzel multipliziert sich das Argument mit n/ dividiert es sich durch n.

2π - Periodizität in Bezug auf das Argument φ

Außerdem ist

(6) z = r∙ei∙φ ≡ r∙ei∙φ ± 2πk 

für alle Natürlichen oder Ganzen Zahlen k: wenn ich einen Zeiger (wie diesen Vektor) um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π bzw. 360° drehe, komme ich wieder an derselben Stelle heraus.

Für die n. Wurzel einer Komplexen Zahl gibt es immer n Werte.

Deine Aufgabe

Im Fall von Z⁴ in Deinem Fall ist die Polardarstellung

(7) Z⁴ = ²√{2}∙e−i∙(π/4 ± 2π∙k) ,

sodass schon mal |Z| = ⁸√{2} und nicht ⁴√{2} ist.

Abb. 2: Die "4. Wurzeln" von Z⁴; z₀ ist der Hauptwert der 4. Wurzel

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Hallo d7780,

die Relativitätstheorie setzt das Konzept der Raumzeit voraus. Selbst wenn es die absolute Zeit der NEWTONsche Mechanik (NM) gäbe, und auch den absoluten Raum, könnte man sie zur Raumzeit zusammenfassen. Sie lässt sich durch ein Koordinatensystem Σ kartographieren, von einer Bezugsuhr U aus, deren Weltlinie (WL) die Zeitachse von Σ ist.

Zwei Ereignisse fallen dann zusammen, wenn sie sowohl räumlich als auch zeitlich zusammenfallen, z.B. wenn ich einen Cappuccino antrinke (E₁) und meine Uhr Ώ dabei eine Zeit τ₁ anzeigt, oder wenn ich ihn austrinke (E₂) und Ώ die Zeit τ₂ anzeigt.

Eigenzeit und Koordinatenzeit

Die von Ώ direkt gemessene Zeitspanne Δτ = τ₂ − τ₁ heißt Eigenzeit und ist eine Art Weglänge entlang meiner WL – und damit eine absolute Größe.

Von ihr wird die Zeitspanne Δt = t₂ − t₁, die U- oder Σ- Koordinatenzeit, begrifflich unterschieden. Sie lässt sich i.Allg. nicht direkt messen, besonders, wenn sich Ώ relativ zu U bewegt. So tritt nicht nur durch die Entfernung eine Verzögerung ein (die jeweils abgezogen werden muss), sondern diese ändert sich auch. Bei diesen Berechnungen wird U als ruhend angesehen.

GALILEIs Relativitätsprinzip (RP)

Fortbewegung ist nämlich relativ. Ist U die Borduhr eines Raumfahrzeugs B bei x = 0 (zwischen zwei Raumfahrzeugen A bei x = −d und C bei x = d), und ich bin an Bord eines Raumfahrzeugs B', das sich mit konstanter Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt, kann man ebensogut B' und damit mich als ruhend und A, B und C als mit −v in x'- Richtung bewegten Konvoi ansehen.

Anhand physikalischer Experimente lässt sich die Frage, wer stationär ist, nicht entscheiden, denn die Naturgesetze (=grundlegende Beziehungen zwischen physikalischen Größen) sind unabhängig von der Wahl des Bezugssystems.

Welche WL also nur zeitlich vorwärts ausgerichtet ist und welche "schief" liegt, ist Interpretationssache.

Eigentlich ist der absolute Raum schon damit hinfällig, da die Gleichortigkeit zweier zeitlich aufeinanderfolgende Ereignisse relativ ist: In Σ sind etwa E₁ und E₂ nicht gleichortig, in Σ', in dem ich als ruhend beschrieben werde, schon. Daher müssen wir den Begriff der Gleichortigkeit verallgemeinern: E₁ und E₂ sind zeitartig getrennt. In der NM sind das alle Ereignispaare, die nicht gleichzeitig sind.

GALILEI meets MAXWELL

Zu den Naturgesetzen gehören natürlich auch MAXWELLs Grundgleichungen der Elektrodynamik und seine elektromagnetische Wellengleichung. Und damit c. Es sollte sich daher etwas, was sich relativ zu einem Körper mit c bewegt, relativ zu jedem Körper mit c bewegen.

Dies ist der Ausgangspunkt der Speziellen Relativitätstheorie (SRT). Sie ersetzt das Konzept einer absoluten Zeit, insbesondere einer absoluten Gleichzeitigkeit, durch einen absoluten raumzeitlichen Abstand.

Abb. 1: Die Raumfahrzeuge A, B, C und B' stehen miteinander in Sicht- und Funkkontakt. Besonders interessant sind diejenigen Signale von A und C, die B und B' gleichzeitig, nämlich zum Zeitpunkt t₀ bzw. t'₀ erreichen, wenn beide aneinander vorbei ziehen. Da die Borduhren von A und C mit der von B synchronisiert sind, wird ein allfälliger Zeitstempel derselbe sein, nämlich t₀ − d⁄c. Mit B' als Bezugskörper muss aber C ihre Signal eher abgeschickt haben als A, da es bei seiner Absendung um den Faktor (c + v)/(c − v) =: K² weiter entfernt war als A bei seiner.

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Hallo elOfant126,

jede Energie "wiegt was", genau das sagt die berühmte Gleichung "E = m∙c²" aus. Und Masse ist Energie.

Als die Masse eines Körpers versteht man dessen Ruheenergie

(1) E₀ = mc²,

gleichsam in Materieteilchen, aus denen er besteht, kondensierte Energie. In Bezug auf eine Bezugsuhr U, relativ zu der er sich mit dem Tempo v bewegt, hat er zudem eine kinetische Energie

(2) Eₖ = E₀∙(γ − 1) = E₀(1/√{1 − v²⁄c²} − 1).

Die Gesamtenergie E = E₀ + Eₖ bildet zusammen mit dem Impuls des Körpers den raumzeitlichen Impuls oder Viererimpuls, dessen "Betrag" durch MINKOWSKIs Längenquadrat

(3) (E⁄c)² − p² = (E₀⁄c)²

gegeben ist. Bei Photonen ist halt einfach E₀ = 0, sie bestehen nur aus kinetischer Energie.

Abb.1: Der Raumzeitliche Impuls und seine Komponenten

Ich gehe mal davon aus, dass Licht an sich nichts wiegt, weil ich keinen Grund zu der Annahme habe, ich habe noch nie Licht irgendetwas wegdrücken gesehen.

Weil das Licht zu wenig Impuls dafür hat und Materie meist relativ schwer ist und Reibung unterliegt. Es gibt aber Beispiele für Strahlungsdruck mit messbaren Effekt.

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Hallo TimTimTimTimyvh,

in der Frühzeit der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) hat man von der Massenveränderlichkeit gesprochen und

(1) mᵥ = m₀∙γ = m₀/√{1 − v²⁄c²}

als "bewegte Masse" bezeichnet. Heute wird sie auch "Impulsmasse" genannt, Proportionalitätsfaktor zwischen der Geschwindigkeit und dem Impuls

(2) p = mᵥ∙v = m₀∙γ∙v.

Beschleunigung und Kraft

Sobald wir von der Trägen Masse reden, d.h. Masse als Proportionalitätsfaktor zwischen Beschleunigung und Kraft, wird es komplizierter: mᵥ ist nur die "Quermasse", d.h. die Beschleunigung a eines Körpers quer zur momentanen Bewegungsrichtung erfordert die Kraft

(3.1) mᵥ∙a = m₀∙γ∙a.

Die Beschleunigung a längs der momentanen Bewegungsrichtung ändert auch die Impulsmasse selbst und erfordert daher die Kraft

(3.2) m₀∙γ³∙a = mᵥ∙γ²∙a ,

und so gesehen hätte ein Photon, wenn man ihm die Impulsmasse mᵥ = hf⁄c² zuschreibt, tatsächlich eine unendliche Längsmasse, da für v → c auch γ → ∞ geht. Für Licht ist γ allerdings überhaupt nicht definiert, weil da ein Nenner den Wert 0 annimmt, und 0 hat keinen Kehrwert, auch nicht "∞".

Außerdem ist Geschwindigkeit relativ, das ist schon GALILEI aufgefallen. Auf seinem Relativitätsprinzip (RP) beruht die SRT überhaupt.

Der raumzeitliche Impuls

Aus diesen Gründen bezeichnet man heute (außer im Schulunterricht) nur noch m₀ als die Masse eines Körpers, denn die ist invariant unter einem Wechsel des Bezugssystems, d.h., ihr Zahlenwert ist unabhängig davon, in welchem Koordinatensystem man rechnet.

Bis auf konstanten Faktor ist sie identisch mit der Ruheenergie E₀. Je nach Bezugssystem kommt hier mehr oder weniger an kinetischer Energie Eₖ hinzu. Bei einem Körper oder Teilchen, der/das keinen Kräften unterliegt, ergibt sich daraus die Gesamtenergie

(4) E₀ + Eₖ =: E = E₀∙γ,

die mit dem Impuls den raumzeitlichen Impuls oder Viererimpuls

(5.1) p» = (E⁄c | p›) = (E⁄c | px | py | pz)

bildet. Der hat auch eine Art Betrag, der durch MINKOWSKIs Längenquadrat

(5.2) (E⁄c)² − p² = (E₀⁄c)² = (m₀∙c)²

gegeben und ebenfalls bis auf konstanten Faktor mit der Masse identisch ist.

Abb. 1: Der Viererimpuls und seine Komponenten

Energie und Geschwindigkeit

Wenn Du E₀ und Eₖ kennst, kannst Du leicht das Tempo (den Betrag der Geschwindigkeit) ausrechnen, indem Du (4) umstellst:

(6) v = c∙√{1 − (E₀⁄(E₀ + Eₖ))²}

Wenn die kinetische Energie so groß wird, dass man die Ruheenergie dagegen vernachlässigen kann, ist v praktisch c.

Dasselbe gilt, wenn E₀=0 ist. Das ist bei Licht der Fall. Man kann also sagen, Licht besteht überhaupt nur aus kinetischer Energie; es ist nicht ein Etwas, das sich ggf. bewegt, sondern es ist die Bewegung selbst.

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