Hallo gohan88,

das Elektron gilt als Punktteilchen und wäre demnach sogar kleiner als besagte 10⁻²⁰⁰m, sollte es denn so absurd winzigen Abmessungen überhaupt geben (es ist sogar in PLANCK- Längen winzig, immerhin noch etwa 10⁻¹⁶⁵).

Allerdings ist mit dem Wort nur gemeint, dass es keine (messbare) Eigen-Ausdehnung hat. Allerdings tut das nichts zur Sache. Elektronen zeigen wie alle Quanten wellenartiges Verhalten, und die Wellenlänge hat mit dem Impuls des Teilchens zu tun - beide sind umgekehrt proportional zueinander.

Ein Elektron bildet in einem Atom, im elektrischen Feld des Atomkerns, eine stehende Welle aus, die ein Orbital genannt wird.

Dieses macht die Größe des ganzen Atoms aus, der Kern hingegen - dessen Wellenfunktion sich mit der des Elektrons überlappt - hat einen in der Größenordnung 10⁵ mal kleineren Durchmesser - nicht obwohl, sondern weil er fast die ganze Masse des Atoms enthält. als zusammengesetztes Teilchen hat er auch eine Eigen- Ausdehnung, der für das Proton (H-Atomkern) um die 10⁻¹⁵m liegt.

Jedenfalls macht die fehlende Eigen-Ausdehnung das Elektron nicht "unsichtbar", denn es besitzt elektrische Ladung. Anders sein Verwandter, das Neutino, das bei gleicher Geschwindigkeit einen kleineren Impuls und damit eine größere Wellenlänge hat, mit Materie aber nur über die Schwache Wechselwirkung - und theoretisch über Gravitation, wegen seiner geringen Masse aber kaum - interagiert. Von ihnen können Milliarden pro Sekunde uns durchfliegen, ohne sich bemerkbar zu machen.

Es macht womöglich einen Teil der DM aus, aber wohl nur einen kleinen. Ihre Gesamtmasse plus kinetische Energie scheint zu gering. Deshalb sind sie kein heißer Favorit für das Gros der DM.

Das Experiment mit dem Rohr dürfte nicht klappen, weil die DM praktisch allgegenwärtig sein müsste, sodass man keinen Effekt bemerkt. Man kann es schlecht von einem Void zum anderen durch einen Galaxiencluster legen und dann noch seine Länge genau kennen und gewährleisten, dass es wirklich nichts anderes enthält.

Übrigens ist DM eigentlich nicht dunkel, sondern unsichtbar.

...zur Antwort

Hallo Fionafionaa,

das Video selbst ist wahrscheinlich ein Fake. allerdings gibt es einen Effekt in der Quantenphysik, auf den es anspielen könnte: Den Tunnel-Effekt.

Hierbei geht es nicht unbedingt um reale Wände, sondern um Potentialwände. Es gibt irgendeine konservative Kraft, wie es die Gravitation oder die viel stärkere elektrische Kraft ist, und die erschafft bildlich gesprochen einen Wall. Ein mit bestimmtem Tempo nach oben geworfener Ball kommt nur bis zu einer gewissen Stelle, wo seine kinetische Energie aufgebraucht ist, dann fällt er wieder herunter.

Nun hat ein Wall zwei Seiten, auf denen das Potential relativ niedrig ist, aber dazwischen ist es hoch. Ein Körper oder Teilchen auf einer Seite, das nicht genügend kinetische Energie hat, um auf die andere zu gelangen, schafft das auch nicht.

Allerdings haben Teilchen auch Welleneigenschaften, es hat eine sog. (Orts-) Wellenfunktion ψ(s›,t), deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeitsdichte an jedem Ort s› dafür ergibt, dass ein Detektor anschlagen würde, wie etwa ein Elektron im Atom.

ψ wird an der Stelle, wo das Potential seine kinetische Energie übersteigt, nicht sofort 0, sondern fällt exponentiell (in Abhängigkeit von der Höhe des Potentials), und das, wo das Potential wieder kleiner ist als die kinetische Energie des Teilchens, nimmt sie wieder ihre normale Form an, mit der Amplitude, die der Potentialwall übrig gelassen hat.

Es gibt also eine kleine Wahrscheinlichkeit dafür, das Teilchen auch auf der anderen Seite des Potentialwalls zu messen. Es ist so, als sei das Teilchen gleichsam durch einen Tunnel im Wall herübergelangt.

...zur Antwort

Hallo Fraser174,

natürlich kannst Du Dir die RT selbst beibringen, vor allem, wenn Du sozusagen den Auftrag hast, sie Anderen zu erklären, insbesondere Leuten, die ein wenig skeptisch sind*).

Um dies zu tun, solltest Du unbedingt die Klassische Mechanik und Elektrodynamik verstehen. Oft wird behauptet, die RT sei eine Abkehr von der Klassischen Physik, aber das ist nicht wahr. Tatsächlich nahm EINSTEIN deren Kern - den Aufbau auf Grundprinzipien wie den Erhaltungssätzen für Impuls, Drehimpuls und Energie und GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) besonders ernst. Die SRT ist eigentlich die konsequente Anwendung des RP auf MAXWELLs elektromagnetische Wellengleichung.

Noch ehe Du den Übergang zur SRT machst, solltest Du das Konzept der Raumzeit, der Weltlinie (WL) und die zwei verschiedenen Zeitbegriffe Eigenzeit (≙ Weglänge eines Vorgangs) und Koordinatenzeit (≙ Projektion eines Vorgangs auf eine bestimmte Zeitachse, also die WL einer bestimmten Uhr) einführen. Der Unterschied zwischen NM und SRT liegt in der Art, wie Abstände zwischen Ereignissen definiert sind.

Die Mathematik der gesamten Physik besteht zu einem großen Teil aus Differenzial- und Integralrechnung und aus analytischer Geometrie, oft in Verbindung miteinander (Stichwort 'Vektorintegration').

Du solltest Dich dabei mit unterschiedlichen Koordinatensystemen, Invarianten und Tensoren befassen, die es ermöglichen, Naturgesetze koordinatenunabhängig zu formulieren. Das ist vor allem für ein umfassendes Verständnis der ART wichtig. Überlege Dir einfache Beispiele, um gleich auch die Anschauung mit den mathematischen Ausdrücken in Verbindung zu bringen.

Vermeide aber unbedingt, einfach beliebte, aber irreführende Ausdrücke und Bilder zu übernehmen. Irreführend sind "Zeitdilatation" (eigentlich Projektion des Zeittaktes einer Uhr auf die WL einer relativ zu ihr bewegten Uhr) und "Längenkontraktion" (Schrägschnitt durch die Weltwurst).

Es sind Nebeneffekte der Relativität der Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse.

Für die ART ist das Gummituch- Modell irreführend, weil es den Blick dafür verstellt, was mit Krümmung gemeint ist. Es gibt bessere Modelle wie etwa eine Flugreise zwischen zwei Orten auf demselben Breitengrad für einen senkrechten Sprung.

Ich habe u.a. in dieser Antwort zum Film 'Interstellar' möglichst viel Verständnis erzeugen wollen.

--------

*) Ich rede nicht von professionellen GdRT, die es sich zur Lebensaufgabe gemacht haben, Andere unter Ausnutzung ihrer nicht so fundierten Kenntnisse in Physik von der vermeintlichen inneren Widersprüchlichkeit der RT zu überzeugen.

...zur Antwort

Hallo TraXer120,

natürlich ziehen Protonen und Elektronen einander an. Seit RUTHERFORD 1911 entdeckt hat, wie klein der Atomkern im Vergleich zum gesamten Atom ist, verglich man Atome mit Sonnensystemen, wo ja die zentrale Sonne und ein Planet einander ebenfalls anziehen, wobei sich der Schwung des Drehimpulses mit der Gravitation die Waage hält.

Wie man inzwischen weiß, strahlt das System dabei Gravitationswellen ab, wobei der Energieverlust jedoch so gering ist, dass er in Jahrmilliarden nicht ins Gewicht fällt. Anders ist das nur bei einander eng umrundenden Schwarzen Löchern oder Neutronensternen, wo die Verschmelzung relativ schnell geht.

Bei der elektrischen Anziehung ist das anders, weil sie viel stärker ist und es zudem Dipolstrahlung gibt. Das Elektron, wie man es sich damals vorstellte, müsste eigentlich tatsächlich sehr schnell in den Kern stürzen.

Um dieses theoretische Problem zu lösen, postulierte 1913 BOHR ad hoc, auf ganz bestimmten Kreisbahnen entstehe keine Strahlung. Später entwickelten er und SOMMERFELD das Modell weiter, sodass auch elliptische Bahnen in Frage kamen.

Davei gibt es einen Grundzustand, in dem das Elektron keine Energie verlieren und daher normalerweise auch nicht mit einem Proton verschmelzen kann. Eine Verschmelzung ist auch sozusagen eine endotherme Reaktion, bei der zusätzlich Neutrinos entstehen, und geschieht nur bei hohen Energien. Normalerweise zerfallen Neutronen in Protonen, Elektronen und Antineutrinos.

In den 1924 postulierte DE BROGLIE, dass Elektronen Welleneigenschaften haben. Dabei drehte er PLANCKs Entdeckung von 1900 um, dass Lichtwellen der Frequenz f nur in "Portionen" der Energie h∙f emittiert oder absorbiert werden können, wobei h eine universelle Konstante ist.

Die BOHRschen Bahnen müssen demnach vom Umfang her ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge h/p sein, wobei p der Betrag des Impulses des Elektrons ist.

Schließlich entwickelte SCHRÖDINGER 1926 eine Wellengleichung, die das Modell der Bahnen durch das noch heute gültige Orbitalmodell ersetzte. Dabei treten Komplexe Zahlenwerte auf, deren Phase hier im Bild durch Farben dargestellt werden.

...zur Antwort

Hallo Hustri,

vor allem wird in der Speziellen Relativitätstheorie - wie übrigens auch in der NEWTONschen Mechanik - davon ausgegangen, dass Fortbewegung relativ ist. Diese Erkenntnis stammt bereits von GALILEI. Der konnte so erklären, wie man jahrtausendelang glauben konnte, die Erde Ruhe im Zentrum des Weltalls, ohne dass dies so ist.

Will heißen: eine konstante Geschwindigkeit (nach Betrag und Richtung) lässt sich immer auch wegtransformieren. Was sich nicht wegtransformieren lässt, ist eine Geschwindigkeitsänderung. Selbst bei einer Kreisbahn lässt sich z.B. zu eine Art rollendem Reifen umtransformieren, auf die man an einer Stelle momentan zum Stillstand kommt.

Insbesondere kann man von zwei relativ zueinander mit einem Tempo v bewegten Uhren bzw. Beobachtern B und B' jeden als ruhend betrachten, zumindest momentan...

Die Raumzeit

... genauso, wie man die Richtung jeder von zwei im Winkel θ zueinander verlaufenden Straßen S und S° als "vorwärts" deklarieren kann. Die jeweils andere ist dann natürlich "schräg vorwärts". Statt Straßen kann man auch im Winkel θ zueinander liegende Salamis nehmen.

Dabei steht jede für einen Vorgang, der räumlich durch z.B. Wände und zeitlich durch zwei Ereignisse abgegrenzt ist. Zum Beispiel trinken B und B' in den Bistros ihrer Raumfahrzeuge je einen Kaffee und brauchen dafür nach jeweils Ihrer Uhr die Eigenzeit Τ (lies: Tau). Das entspricht der Länge L von S und S° bzw. ihrer Abschnitte.

In Bezug auf die Straßen- oder Salami- Abschnitte wissen wir, dass man S° von S aus in einen Längs- Anteil Δz = L∙cos(θ) und einen Quer-Anteil Δx = L∙sin(θ) einteilen kann, die mit L ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Umgekehrt gilt dasselbe.

So ergibt sich nach PYTHAGORAS die Beziehung

(1) Δs² := Δz² + Δx² ≡ Δz°² + Δx°² = L²

für den Abstand zwischen den Enden jeder Salami.

Die Koordinatendifferenz Δz (bzw. Δz°) entspricht der von B (bzw. von B') aus ermittelten Koordinatenzeit Δt (bzw. Δt'). Die kann man i.Allg. nicht direkt messen, sondern muss sie berechnen, weil man die Verzögerung durch das große, aber endliche Lichttempo c berücksichtigen muss.

Entscheidend ist hier aber: Das Lichttempo ist ein Naturgesetz, da es sich aus den MAXWELL- Gleichungen herleitet. Als solches unterliegt es GALILEIs Relativitätsprinzip. D.h.: Was sich mit c relativ zu B bewegt, bewegt sich auch relativ zu B' mit c und umgekehrt.

Daraus ergibt sich nach EINSTEINs frühem Mathematikprofessor MINKOWSKI die Beziehung

(2.1) Δτ² := Δt² − Δx²⁄c² ≡ Δt'² − Δx'² = Τ²

für den jeweils ersten und letzten Schluck aus der eigenen Tasse Kaffee.

Das Minuszeichen gewährleistet, dass Δx=cΔt oder in 3D Δs=cΔt genau für die Ereignisse gilt, für die auch Δs'=cΔt' gilt und umgekehrt. Derartige Ereignisse heißen lichtartig getrennt.

Ereignisse, für die Δτ² positiv ist, heißen zeitartig getrennt. Das ist die Verallgemeinerung von der Eigenschaft, am selben Ort zu geschehen.

Es gibt auch eine Verallgemeinerung für die Gleichzeitigkeit von Ereignissen, nämlich die, raumartig getrennt zu sein. Für solche Ereignisse ist Δτ² negativ und stattdessen

(2.2) Δς² := Δs² − Δt²∙c²  ≡ Δs'² − Δt'²∙c²

positiv. Δς könnte man den Gleichzeitigkeitsabstand nennen. Gleichzeitigkeit ist in der SRT ebenso relativ wie Gleichortigkeit, was ich durch das folgende Schaubild veranschaulichen will.

Übrigens sehen sich B und B' gegenseitig im "Zeitraffer". Die sog. "Zeitdilatation" ergibt sich aus der Interpretation, welcher der beiden der "ruhende" ist.

...zur Antwort

Hallo charliehfh,

über Schwarze Löcher kann man eine Menge schreiben, wie es auch schon meine „Vorredner“ gesagt haben.

„Vorgeschichte“

Anfangen würde ich mit NEWTONs Korpuskulartheorie des Lichts und der auf ihr beruhenden allerersten Idee, dass die schwersten Sterne womöglichst unsichtbar sein könnten, die Ende des 18. / Anfang des 19. Jhd.s von MICHELL und LAPLACE formuliert wurde.

Raumzeit und Relativitätstheorie

Direkt im Anschluss würde ich eine kleine Einführung zunächst in die Raumzeit geben und dabei gleich klar machen, dass dieses Konzept nicht etwa die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) voraussetzt, sondern umgekehrt. Schließlich kann man auch die GALILEI-Transformation als Scherung in der Raumzeit beschreiben.

Die SRT würde ich über die Anwendung von GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) auf MAXWELLs Elektodynamik und die MINKOWSKI-Metrik der Raumzeit einführen.

Die Allgemeine Relativitätstheorie beschreibt Gravitation als intrinsische Krümmung der Raumzeit und ist mathematisch sehr aufwändig. Dabei solltest Du klar machen, dass hier wirklich die Raumzeit gekrümmt ist und dies nichts mit einer Verbiegung nach „unten“ - was immer das bedeuten mag - zu tun hat.

Ich würde deshalb nicht das beliebte Gummituch-Modell verwenden, denn das ist völlig irreführend. Stattdessen würde ich eine Flugreise zwischen zwei Orten auf demselben Breitengrad aus Modell für einen senkrechten Sprung verwenden (Stichwort Geodätische Weltlinien, die zusammenlaufen).

Einerseits würde ich die Frequenzverschiebung durch auf- oder Abstieg in einem Gravitationspotential Φ auf der Grundlage der Energieerhaltung behandeln, wie ich es in dieser Antwort gemacht habe.

Andererseits würde ich auch auf EINSTEINs Äquivalenzprinzip eingehen, das besagt, dass Gravitation lokal der Trägheitskraft bei gleichförmiger Beschleunigung entspricht und dass dadurch gleichsam als Artefakt ein Ereignishorizont entsteht.

Anschließend würde ich die SCHWARZSCHILD- Metrik erwähnen und diskutieren.

So bin ich zum Beispiel in dieser Antwort zum Film „Interstellar“ vorgegangen, wo ja auch ein Schwarzes Loch vorkommt.

Andere Metriken wie insbesondere die für rotierende Schwarze Löcher (KERR- Metrik) würde ich in jedem Fall ebenfalls diskutieren, aber nicht unbedingt detailliert, weil sie doch einigermaßen kompliziert ist.

...zur Antwort

Hallo MadameAnjelou,

so schnell ist Licht eigentlich gar nicht, wenn man die kosmischen Dimensionen bedenkt. Insbesondere für das größte Tempo des Universums ist das Licht- Tempo c mit 1,08 Milliarden km/h gar nicht so groß.

Zwischen zwei Sternen benötigt selbst das Licht zumindest in unseren Regionen immerhin einige Jahre. Funksignale von der Voyager1 sind buchstäblich von gestern.

Die neue Erkenntnis im 17. Jhd. war nicht, dass Licht so schnell ist, sondern, dass es überhaupt Zeit braucht. Im Alltag bemerken wir davon auch nichts. Wahrscheinlich muss das auch so sein, die Alltagswelt von Lebewesen muss wohl so gestaltet sein, dass alle dort auftretenden Geschwindigkeiten winzig im Vergleich zu c und Entfernen so klein sind, dass keine merkliche Verzögerung stattfindet. Deshalb funktioniert auch die NEWTONsche Näherung bei physikalischen Berechnungen.

...zur Antwort

Hallo killervirus98,

das Wort "Teilchen" wird noch viel zu sehr klassisch verstanden, als sei es eine Art Körper, nur eben sehr klein. Das ist ein Teilchen nicht. Es ist die elementare Anregung eines Feldes, vielleicht vergleichbar mit der Schwingung einer Saite.*)

Das "Korpuskelhafte" des Teilchens ist m.E. ein Artefakt, der dadurch zustande kommt, dass es eben nicht von mehreren Detektoren auf dem Deutschen anteilig, sondern von einem Detektor ganz und von den anderen gar nicht registriert wird; auch das bedeutet das Wort "elementar". Die Wellenfunktion ψ bzw. das, was auch immer dahinter steckt**), bleibt für uns als Beobachter unsichtbar, es sei denn, wir arbeiten mit vielen gleichen Teilchen, und auch dann gewinnen wir nur Informationen über |ψ|².

Der "Kollaps der Wellenfunktion" beim Doppelspaltexperiment hat nichts damit zu tun, dass sich die Welle in ein Teilchen verwandelte. Vielmehr entstehen auf dem Detektorschirm anstelle eines Doppelspalt-Beugungsmusters zwei Einzelspalt-Beugungsmuster, wenn man schon an einem der Spalte einen Detektor einrichtet.

Die Wellenfunktion verschwindet also nicht, sie verändert sich durch die Anwesenheit des zusätzlichen Detektors, da der jedes einzelne ankommende Teilchen eben entweder registriert oder nicht. Die Teilchen, die er registriert, können nur durch den Spalt genommen sein, wo er sich befindet.

https://www.google.com/search?q=science+asylum+particles&oq=science+asylum+particles&aqs=chrome..69i57j0.22340j1j4&client=ms-android-samsung-ga-rev1&sourceid=chrome-mobile&ie=UTF-8#

Letztendlich ist ja auch der Detektor ein Quantenobjekt, und was auch immer der funktionale Teil ist, hat dieser ebenfalls eine Wellenfunktion, die sich mit der unseres Teilchens verschränkt. Die Wellenfunktion des Teilchens steht also gar nicht mehr für sich, sondern bildet mit der des funktionalen Teils des Detektors ein Ganzes. Eine Wellenfunktion, die "so tut, als wäre der Detektor nicht da", wäre einfach inkompatibel mit der Anwesenheit des Detektors.

Nach EVERETTs Viele-Welten-Interpretation sind freilich alle erdenklichen Möglichkeiten überlagert, der "Kollaps" findet überhaupt nicht statt.

----

*) So ein Teilchen hat ja auch keine "Individualität" gegenüber anderen gleichartigen Teilchen. Sie sind nicht nur gleich, sondern auch "selb". Wären Münzen, die man werfen kann, genauso, wäre die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Kopf-Kopf:Kopf-Zahl(=Zahl-Kopf):Zahl-Zahl nicht ¼:½:¼ wie beim klassischen Münzwurf, weil es dort für das mittlere Ergebnis 2 Möglichkeiten gibt, sondern ⅓:⅓:⅓.

Warum sollte es also unbedingt dieses "Teilchen" im Sinne einer kleinen Murmel oder Punktlandung überhaupt geben?

**) ψ selbst ist die mathematische Beschreibung. Sie kann als komplexwertige skalare Wellenfunktion der Form A∙exp(i∙(‹k,x› − ωt)), aber auch als reelle vektorwertige Funktion der Form A∙(cos(‹k,x› − ωt) | sin(‹k,x› − ωt)) geschrieben werden, wobei der Vektor nichts mit einer gerichteten Größe im Raum zu tun hat.

...zur Antwort

Hallo reversehim,

es gibt zwar Bilder, die die Voyager- Sonden (nicht Satelliten) auf ihrem Weg zeigen, aber das sind künstlerische Darstellungen. Schließlich gibt es keine mitfliegenden Sonden, die Fotos von den Voyagers selbst hätten machen können.

Sie von der Erde aus zu filmen, dafür sind sie zu weit entfernt (knapp 150 AE, etwa 22,4 Milliarden km, rund 207 Lichtstunden) und zu klein, um gesehen zu werden, und sie fliegen durch Regionen, in denen kaum noch Licht ankommt. Könnte man sie sehen, sähe man sie nicht wirklich "live", sondern mit einer Verzögerung von fast 9 Tagen.

Immerhin steht die NASA noch in Funkkontakt mit ihr und wird das auch noch bis zu 10 Jahre bleiben.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Voyager_1

...zur Antwort

Hallo reversehim,

auf bereits entdeckten Planeten "vergeht" Zeit nicht wirklich wesentlich langsamer als hier. Auf Planeten oder Zwergplaneten des Sonnensystems, die weit von der Sonne entfernt sind, "vergeht" sie sogar etwas schneller, was aber auch nicht ins Gewicht fällt.

Das Wesentliche für die gravitative "Zeitdilatation" (eigentlich sind es unterschiedliche Weglängen ) ist das Gravitationspotential Φ.

Die (kinetische) Energie eines Photons ist hf, wobei h das PLANCKsche Wirkungsquantum (eine Konstante) und f die Frequenz des Lichts ist, dem das Photon angehört.

EINSTEINs berühmte Formel E=mc² besagt, dass Energie träge und schwer und Masse gleichsam kondensierte Energie ist, auch Ruheenergie genannt. Obgleich das Photon die nicht hat, kann man hf/c² als "Effektivmasse" bezeichnen und dem Photon eine potentielle Energie hfΦ/c² zuschreiben.

Beim "Aufstieg" verliert es Energie und damit Frequenz, beim "Abstieg" gewinnt es beides, denn

(1) hf(1 + Φ/c²) = const..

Solange |ΔΦ|<<c² ist, unterscheiden sich auch die Zeittakte zweier Uhren auf Φ und Φ+ΔΦ kaum. Zudem ähnelt die Situation der einer steten Bescgleunigung.

Das NEWTONsche Gravitationspotential

(2) Φ ≈ −GM⁄r für r >> μ := GM⁄c²

mit der Gravitationskonstanten G ≈ ⅔×10⁻¹⁰m³/(kg∙s²) im Außenraum einer kugelsymmetrisch verteilten Masse M ist zwar nur eine Näherung, liefert aber einen ungefähren Anhaltspunkt dafür, mit welchen Größenordnungen wir es hier zu tun haben.

Der Radius R eines gewöhnlichen Sterns und auch eines sog. Weißen Zwerges ist selbst schon viel größer als μ. Bei einem Neutronenstern liegt R immerhin in derselben ungefähren Größenordnung.

EINSTEIN beschreibt Gravitation als intrinsische Krümmung (geometrische Verzerrung) der Raumzeit. Ohne diese Verzerrung misst eine Uhr Ω, die sich relativ zu einer Bezugs-Uhr U in der kurzen Zeit dt um

(3.1) ds = √{dx² + dy² + dz²} = √{dr² + r²dθ² + r²sin²(θ)dφ²}

bewegt, wobei x, y und z kartesische und r, θ und φ sphärische Koordinaten sind, nach MINKOWSKI die Eigenzeit

(3.2) dτ = √{dt²  − ds²⁄c²} = √{dt² − (dr² + r²dθ² + r²sin²(θ)dφ²)⁄c²}.

Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, dass sich dein Körper nur in der x-y-Ebene (θ ≡ π⁄2) bewegt. Das vereinfacht (3.2) zu

(3.3) dτ = √{dt² − dr²⁄c² − r²dφ²/c²}.

Durch eine Zentralmasse M bei r = 0 oder drum herum wird (3.3) nach SCHWARZSCHILD zu

(4.1) dτ = √{dt²(1 − 2μ⁄r) − dr²/(c²(1 − 2μ⁄r)) − r²dφ²⁄c²}.

Für eine Kreisbahn ist dr = 0 und das Bahntempo v = rdφ/dt, sodass

(4.2) dτ = dt√{1 − 2μ⁄r − v²⁄c²}.

Schon aus dem NEWTONschen Gravitationsgesetz kennen wir die Kreisbahn-Bedingung

(5) v² = GM⁄r = μc²⁄r ⇔ v²⁄c² = μ⁄r,

die in (4.2) eingesetzt

(6) dτ = dt√{1 − 3μ}

ergibt. Für r=3μ wäre dτ=0; deshalb liegt hier der Photonenorbit. Könnte sich ein Planet dauerhaft beliebig eng an diesem liegen, wäre eine beliebige "Zeitdilatation" denkbar. Allerdings soll der engste stabile Kreisbahn bei r=6μ liegen, was zu dt/dτ=√{2} führt.

...zur Antwort

Hallo Fraser174,

je größer die Dimension*) einer Mannigfaltigkeit (Verallgemeinerung einer Fläche) ist, desto mehr Möglichkeiten für Krümmungen gibt es.

Eine Kurve als in eine Fläche eingebettete Linie kann lokal in einem Punkt P gekrümmt sein, aber nicht in sich, sondern in Bezug auf einen Normalenvektor n› in P. Diese Krümmung kann in (positiv) oder gegen (negativ) die Richtung von n› sein.

Bei einer in einen 3D-Raum eingebetteten Fläche lassen sich an einem gegebenen Punkt P zwei ebene Kurven in der Fläche finden, von denen eine am stärksten und eine am schwächsten gebogen ist und die einen gemeinsamen Normalenvektor n›.

Deren Krümmungen heißen Hauptkrümmungen, und ihr Produkt ist die Krümmung der Fläche. Ein Beispiel für eine positive Krümmung ist eine Kugeloberfläche, eines für negative eine Sattelfläche oder die Fläche einer Tuba. Überraschenderweise ist die eines Zylindermantels gleich Null.

Mit der Krümmung sind allerdings auch Eigenschaften verknüpft, die gänzlich unabhängig von der Einbettung in den Raum sind.

Intrinsische Krümmung

Tatsächlich lässt sich überhaupt die innere Krümmung einer Fläche völlig ohne jeden Bezug auf einen Einbettungsraum beschreiben. Das fand im frühen 19. Jahrhundert GAUSS heraus und nannte diese Erkenntnis stolz "Theorema Egregium" - zu deutsch "herausragender mathematischer Satz".

Diese Eigenschaften setzen ein Konzept voraus, dass das der Geraden verallgemeinert: Die Geodätische. Du kannst dir vorstellen, dass Du auf eine gekrümmte Fläche eine Roboter Ameise setzt, die Du darauf programmiert hast, möglichst geradeaus zu laufen. Die wird beispielsweise auf einer Kugel selbstverständlich immer auf Großkreisen laufen.

Geodätische, die an einer Stelle parallel sind, bleiben in einer flachen Mannigfaltigkeit überall parallel. In einer negativ gekrümmten Mannigfaltigkeit neigen sie aber dazu, auseinander zu laufen. Wenn einer positiv gekrümmten Mannigfaltigkeit neigen sie dazu, zusammen zu laufen, wie es z.B. die Meridiane an den Polen der Erde tun.

Verallgemeinerung

GAUSS Student RIEMANN verfasste die umfangreichste Verallgemeinerung des Konzepts der intrinsischen Krümmung von Mannigfaltigkeiten. Danach können auch Mannigfaltigkeit beliebiger Dimension intrinsisch gekrümmt sein, und zwar auch noch in verschiedene Richtungen in unterschiedlicher Weise.

Krümmung der Raumzeit

Auf dieses Konzept trifft schließlich auch EINSTEIN zurück, als er im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) die Gravitation als Krümmung der Raumzeit beschrieb. Auch hier geht es um intrinsische Krümmung, das heißt, eine Einbettung der Raumzeit in irgendetwas Höherdimensionales spielt keine Rolle.

Es geht hier um Weltlinien (WL), das sind Linien, die die Position eines Körpers als Funktion der Zeit beschreiben. Die WL eines Körpers, der im Freien Weltall eine konstante Geschwindigkeit hat, ist eine Gerade. Wird der Körper durch irgendein Antrieb ist seine WL gekrümmt. Die Beschleunigung ist allerdings anhand von Trägheitskräften messbar. Wird er allerdings durch Gravitation beschleunigt, treten keine auf, also müsste seine Weltlinien physikalisch gesehen eigentlich gerade sein. Sie ist es aber offensichtlich nicht immer. Springe ich senkrecht hoch und falle wieder herunter, ist meine WL annähernd ein Parabelstück, sie entfernt sich von der des Erdmittelpunkts und nähert sich wieder. Da ich während des Sprungs schwerelos bin, muss meine WL aber Eigenschaften einer Geraden haben. Sie ist geodätisch.

Ein Modell dafür (das nicht überstrapaziert werden sollte), ist eine Flugreise zwischen zwei Orten auf demselben nördlichen Breitengrad. Der direkte Weg ist ein (aufgrund von Verzerrungen auf Weltkarten) scheinbarer Umweg, der in höhere nördliche Breiten führt.

Das Modell zeigt natürlich eine auch extrinsisch gekrümmte, in 3D- Raum eingebettete Fläche, ist aber weniger irreführend als das beliebte Gummituch- Modell, wo man im Übrigen die Zeit nicht geometrisiert und den "Raum" (im Modell das Gummituch) als nach "unten" - was immer das heißt - ausgebeult darstellt.

Eine Murmel auf so einem Tuch folgt gerade nicht dessen Krümmung, sondern dem Streben nach "unten", im Zweifelsfall der Gravitation der Erde unter dem Tuch.

----

*) In der Umgangssprache bezeichnet man als Dimension eine Richtung, die man als Hauptrichtung auswählen kann. Auf einer Fläche z.B. kann man jede Richtung aus 2 Hauptrichtungen zusammensetzen, die vorzugsweise senkrecht aufeinander stehen (sofern das definiert ist).

In der Mathematik spricht man jedoch eher von der Dimension der Mannigfaltigkeit als Anzahl der Hauptrichtungen in ihr. Eine Fläche hat die Dimension 2.

...zur Antwort

Hallo Paulemann1234,

die Sonne wird gar nicht explodieren, weil ihre Masse nur etwa 70% der CHANDRASEKHARschen Grenzmasse liegt.

Das ist die größte Masse, bei der ein Weißer Zwerg stabil sein kann, der ehemalige Kern eines Sterns wie etwa der Sonne.

Die befindet sich zurzeit in ihrer Hauptreihenphase, einer langen Stabilitätsphase, in der sich Gravitation und Innendruck die Waage halten. Letzterer wird vor allem durch eine sehr hohe Temperatur gestützt, die durch ein Gleichgewicht aus stetiger Energieabgabe und einer sehr langsam ablaufenden Kernfusion von Wasserstoff etwa konstant gehalten wird.

Allerdings verschiebt sich dieses Gleichgewicht ganz langsam in Richtung höhere Drücke und Temperaturen, bis der Wasserstoff im Kern knapp wird.

Bei höheren Temperaturen fusioniert mehr Wasserstoff, deshalb wird der auch immer schneller immer knapper. Der Kern kühlt aber nicht etwa ab, das kann er nicht. Schließlich ist ja der Innendruck noch temperaturabhängig, und der kann nicht fallen. Stattdessen zieht sich der Kern unter deiner eigenen Schwerkraft immer weiter zusammen und heizt sich immer mehr auf. Die steigende Temperatur bewirkt einen steigenden Strahlungsdruck aus dem Inneren, die Hülle des Sterns bläht sich auf, wobei sie abgekühlt, weshalb sie in einem gelblich-rötlichen Farbton leuchtet. In der Phase heißt der Stern deshalb ein Roter Riese.

Schließlich reicht die Temperatur auch für die Kernfusion von Helium zu schweren Elementen bis Kohlenstoff und Sauerstoff. Die Hülle bläst der Kern mit seinem Strahlungsdruck schließlich so weit auf, dass sie durchsichtig wird und einen sogenannten Planetarischen Nebel (der heißt so, weil er durch ein Teleskop ein bisschen wie ein Planet aussieht) bildet, der weiter expandiert und durch das Licht aus dem Inneren angeregt in allen Regenbogenfarben leuchtet.

Im Kern passiert etwas, das den weiteren Kollaps stoppt: Die Materie FERMI- entartet, der Druck wird temperaturunabhängig. Das geschieht durch das Gedränge im Inneren, wo sich die Wellenfunktionen der Elektronen überlappen und eine Eigenschaft zum Tragen kommt, der auch die Chemie ihre Existenz verdankt, das PAULI-Prinzip. Elektronen, die sich auf engem Raum aufhalten, müssen sich in irgendwelchen Zustandsgrößen unterscheiden, und dazu gehört die Energie. Deshalb behalten etliche dieser Elektronen eine hohe Energie trotz Abkühlung weiter bei uns einen Druck aufrecht, der ausreicht ein weiteres zusammenziehen zu verhindern. Genau das ist der Weiße Zwerg.

Bei mehr als 1,4 Sonnenmassen funktioniert diese Stabilisierung nicht mehr, sondern der Kern zieht sich von Planeten- auf Stadtgröße zusammen. Dabei werden Unmengen an Energie frei, und es finden im Inneren Reaktionen statt, die alles in Neutronen verwandeln. Die dabei entstehenden Neutrinos, die normalerweise kaum mit irgendetwas reagieren, haben hier sehr dichte Materie Vorsicht und heizen sie so stark auf, das alles explodiert.

Schwere Sterne

Außerdem werden in schwereren Sternen auch höhere Temperaturen und drücke erreicht, sodass auch schwerere Elemente als Kohlenstoff oder Sauerstoff, bis hin zum Eisen, gebildet werden können. Dann ist dort allerdings auch der Ofen aus, und mehr Energie wird nur noch durch einen Gravitationskollaps frei. Das kann dann allerdings so viel sein, dass selbst energiefressende Kernreaktionen wie die Entstehung von noch schwereren Elementen wie Gold, Uran und so weiter stattfinden können, wenn auch nur für Sekundenbruchteile. Die Hülle ist dann meistens noch da, heizt sich enorm auf und expandiert explosionsartig, wobei der Stern so viel Energie freisetzt wie die Sonne in ihrer ganzen Lebensdauer. Das ist die Supernova.

Auch für Neutronen gilt das PAULI-Prinzip, und so können Neutronensterne entstehen, die bis zu etwa 2½ Sonnenmassen stabil sein können. Was noch wesentlich schwerer ist, kollabiert zu einem Schwarzen Loch.

...zur Antwort

Hallo meineemail,

ein Faktor von rund 8800 ist wohl unrealistisch (s. ganz am Schluss). Dass allerdings Geschwindigkeit und auch der Aufenthalt in der Nähe eines Schwarzen Lochs eine regelrechte Zeitmaschine darstellt, will ich gern begründen. Leider muss ich dafür etwas ausholen, hoffe aber, dass ich das verständlich darstelle.

Zeit ist Weglänge oder Koordinatendifferenz in Vorwärtsrichtung in der Raumzeit. Der Weg eines Körpers durch sie wird als seine Weltlinie bezeichnet.

  • Der Weglänge entspricht die von einer lokalen Uhr direkt gemessene Eigenzeit.
  • Der Koordinatendifferenz entspricht die Koordinatenzeit, wie sie von einer Bezugs-Uhr aus ggf. auf Distanz durch Messung und Berechnung unter der Annahme ermittelt wird, dass die Uhr stationär ist.

Relativitätsprinzip (RP) und Relativität der Gleichortigkeit

Von zwei relativ zueinander bewegten Uhren U und U' jede als stationär angesehen werden. Die Bewegungsrichtung nenne ich x- bzw. x'-Richtung und das Tempo v. Ereignisse, die in derselben Position relativ zu U stattfinden, haben relativ zu U' einen räumlichen Abstand Δs'=vΔt' und vice versa. Allgemein werden wir Ereignisse, die sich mit einer geeigneten Bezugs-Uhr Ω als gleichortig beschreiben lassen, zeitartig getrennt nennen, mit der von Ω direkt gemessenen Eigenzeit Δτ.

Ein räumliches Modell

Modellhaft können wir uns zwei zueinander schräg verlaufende Straßen (oder Salamis) S und S° vorstellen, deren Vorwärtsrichtung wir z- bzw. z°-Richtung nennen. Als x-Richtung bzw. x°-Richtung bezeichnen wir die jeweilige Quer- Richtung.

Der Abstand zwischen zwei Punkten ist natürlich unabhängig vom Koordinatensystem und nach PYTHAGORAS

(1)  Δs = √{Δz² + Δx²} ≡ √{Δz°² + Δx°²}. 

GALILEI meets MAXWELL

In der NEWTONschen Mechanik (NM) ist Δt'=Δt=Δτ, also der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen ist absolut, d.h., unabhängig davon, welche Uhr wir als ruhend ansehen. Der räumliche Abstand Δς zweier gleichzeitiger Ereignisse ist in der NM ebenfalls absolut, Δs'=Δs'=Δς.

Das lässt sich aber nicht halten, wenn man das RP auf die von MAXWELL formulierten Gesetze der Elektrodynamik und damit auch die MAXWELLsche Wellengleichung anwendet. Diese enthält das Licht-Tempo c ≈ 3×10⁸m/s. Was sich also mit c relativ zu U bewegt, muss sich auch relativ zu U' mit c bewegen und umgekehrt. 

Relativität der Gleichzeitigkeit

Ereignisse, die von U aus auf die gleiche Zeit datiert werden, werden von U' aus in zeitlichem Abstand Δt'=vΔx'/c² haben, und vice versa.

Allgemein heißen Ereignisse, die sich mit einem geeigneten Bezugskörper (z.B. der Uhr Ω) als gleichzeitig beschreiben lassen, raumartig getrennt. Ihren Abstand Δς relativ zu Ω bezeichne ich als den Gleichzeitigkeitsabstand; dessen Beziehung zwischen den räumlichen Distanzen relativ zu U und U' ist nach EINSTEINs früherem Mathematikprofessor MINKOWKSI

(2.1)  Δς = √{Δs² – Δt²·c²} ≡ √{Δs'² – Δt'²·c²}.

Der MINKOWSKI-Abstand zeitartig getrennter Ereignisse ist nichts anderes als die Eigenzeit

(2.2)  Δτ = √{Δt² – Δx²/c²} ≡ √{Δt'² – Δs'²/c²}.

Das Minuszeichen bedeutet auch, dass der geradeste Weg durch die Raumzeit nicht der kürzeste, sondern der längste ist.

Kleine Abstände

Krumme Wege lassen sich oft als aus Teilstücken zusammengesetzt beschreiben, die so klein sind, dass man sie als gerade betrachten kann. In diesem Falle schreibt man z.B. 'dτ' statt 'Δτ'. So lässt sich (2.2) auch in sphärischen Koordinaten schreiben:

(3)  dτ = √{dt² − (dr² + r²dθ² + r²sin²(θ)dφ²)/c²} =: √{dt² − (dr² + r²dΩ²)/c²}

Dabei hat dΩ nichts mit der Uhr Ω zu tun, sondern ist eine Zusammenfassung aller tangentialen Abstände, also gewissermaßen der Abstände entlang einer Kugeloberfläche. Diese Aufspaltung wird wichtig, wenn wir über Schwarze Löcher reden.

Die Radialkoordinate r steht nicht nur für den Abstand zum Ursprung r=0, sondern auch - was noch wichtig wird - das 2π-tel des Umkreises, auf dem man sich gerade befindet.

Gravitation als Krümmung der Raumzeit

Ohne es explizit zu sagen, haben wir von U und U' bislang vorausgesetzt, dass sie keinen Kräften unterliegen, und auch Gravitationsfelder ausgeklammert. Im Landschaftsmodell entspricht das geradlinig verlaufenden Straßen in einer perfekten Ebene. 

Im Folgenden meinen wir mit „kräftefrei“ allerdings nur, dass keine Trägheitskräfte auftreten. Folgt ein Körper der Gravitation im freien Fall oder Orbit, ist dies ebenfalls der Fall. Das hat EINSTEIN auf die Idee gebracht, Gravitation als Krümmung der Raumzeit zu beschreiben. Auf einer gekrümmten Fläche gibt es keine geraden Linien, sondern nur jeweils geradeste Linien, sog. Geodätische. Auf einer Kugeloberfläche sind dies die Großkreise.

Diese laufen unweigerlich zusammen. Parallele Kreise wie die Breitenkreise auf der Erde sind zum großen Teil Kleinkreise. Unternimmt man eine Flugreise an einen anderen Ort auf derselben z.B. nördlichen Breite, nimmt der Flug einen vermeintlichen Umweg nach Norden. Das sieht aber nur auf einer MERCATOR-Projektion so aus, die aus der Kugel- eine Zylinderoberfläche macht und sie dabei natürlich mit zunehmender geographischer Breite immer mehr verzerrt. Tatsächlich ist der „Umweg“ der direkteste Weg.

Er kann grob als Modell für einen senkrechten Sprung dienen, wobei der Längengrad für die Zeit, der Äquator für den Erdmittelpunkt und ein bestimmter Breitenkreis für den Fußboden steht. Während unseres Sprungs ist unser Körper kräftefrei, was durch den Großkreisbogen zwischen Start (≘ Absprung) und Ziel (≘ Landung) dargestellt wird. Das Modell hat natürlich seine Grenzen und darf nicht überstrapaziert werden.

Die Raumzeit nahe einer Kugelmasse

Die Krümmung der Raumzeit wird durch EINSTEINs Feldgleichungen beschrieben. Sie fasst Größen wie Energiedichte, Impulsstrom und Spannung in einem Tensor zusammen und setzt diesen mit ihrem Effekt, der Raumzeitkrümmung in Beziehung, die natürlich ebenfalls durch einen Tensor ausgedrückt wird. Das Ganze kann extrem kompliziert sein.

Dennoch fand schon kurz nach ihrer Veröffentlichung SCHWARZSCHILD eine exakte Lösung, für den mathematisch relativ einfachen Fall einer Punktmasse. Für eine nicht rotierende Kugelmasse ergibt sich außerhalb der Kugel dasselbe Feld.

Dies freilich kann auf keinen Fall die Bezugs-Uhr sein, im Gegenteil: Die muss möglichst weit weg sein, sodass man sie als unendlich weit entfernt idealisieren kann.

Die Masse nennen wir M, und mit der Gravitationskonstanten G ≈ ⅔×10⁻¹⁰m³/(kg·s²) und Licht-Tempo c ergibt sich der sogenannte Gravitationsradius

(4)  µ = GM/c²,

dessen Verhältnis zu r ein Maß für das lokale Gravitationspotential ist. Die Masse macht (3) zu

(5)  dτ = √{dt²·(1 – 2µ/r) − (dr²/(1 – 2µ/r) + r²dΩ²)/c²}.

Eine stationäre Uhr bei r würde also um den Faktor √{1–2µ} langsamer laufen. Das ergibt sich auch aus der Energieerhaltung. Ein Photon, das im Gravitationspotential aufsteigt, gewinnt dabei an potentieller Energie und muss dafür an kinetischer Energie und damit an Frequenz verlieren.

Außerdem ist die Situation der einer stetigen Beschleunigung ähnlich. Wenn man Licht in die Richtung der Beschleunigung schickt, wird es rot- wenn man es in Gegenrichtung schickt, blauverschoben. Die Hyperbeln stellen eine im Gravitationsfeld „stationäre“ Fläche dar, und die Asymptote einen durch die Beschleunigung als Artefakt entstehenden Ereignishorizont. Dort bleibt die Zeit stehen, aus der Sicht eines Beobachters von „weiter oben“. Der sieht aber kein Standbild, sondern buchstäblich Schwarz.

Übrigens verliert hier r die Bedeutung als Abstand vom Zentrum. Zwischen der r-Kugelschale und der r+dr-Kugelschale ist der Abstand dr/√{1–2µ/r}, sofern r>2µ ist. r=2µ markiert den Ereignishorizont; für jeden kleineren r-Wert wir r zeitartig, und zwar mit Zeitrichtung nach innen. Von dort gibt es deshalb kein Zurück mehr, auch nicht für Licht. Deshalb heißt dieses Gebilde auch ein Schwarzes Loch (SL). Der EH ist keine feste Oberfläche, sondern eher eine Art Abgrund.

Je näher man dem Zentrum kommt, desto stärker werden die Gezeitenspannungen, und gerade bei kleinen SL werden sie schon vor dem EH tödlich für jedes Raumschiff und seine Besatzung. 

Die SCHWARZSCHILD- Koordinaten sind freilich nicht die geschicktesten, weil sie am EH singulär werden. Außerdem rotieren die meisten Himmelskörper, einschließlich der SL, was die SCHWARZSCHILD-Metrik nicht erfasst. Die KERR-Metrik, die reale SL wohl besser beschreibt, ist mir noch zu kompliziert. Deshalb beschränke ich mich einstweilen auf den nicht-rotierenden Fall.

Tangentiale Geschwindigkeiten und Kreisbahnen

Wenn man sich auf einer Kugelschale bewegt, ist dr=0; das vereinfacht (5) zu

(6)  dτ = √{dt²·(1 – 2µ/r) − r²dΩ²/c²} = √{dt²·(1 – 2µ/r) − dt²·v²/c²} = dt√{1 – 2µ/r − v²/c²}.

Für Kreisbahnen gilt die Gleichgewichtsbedingung

(7)  rv² = µc²  ⇔  v²/c² = µ/r,

sodass (6) zu

(8)  dτ = dt·√{1 – 3µ/r} 

wird. Bei r=3µ wird dτ=0; deshalb liegt dort der Photonenorbit, Dort oder in unmittelbarer Nähe kann sich natürlich kein Planet halten. Die engste stabile Kreisbahn soll bei 6µ liegen, was ich bislang nicht theoretisch begründen kann. Dort ist dt/dτ = √{2}, wie man durch Einsetzen in (8) leicht einsehen kann. Das ist weit entfernt von den 8800, die im Film angegeben werden.

...zur Antwort

Hallo FlyingFireFish,

Zeit ist Weglänge oder Koordinatendifferenz in Vorwärtsrichtung in der Raumzeit. Der Weg eines Körpers durch sie wird als seine Weltlinie bezeichnet.

  • Der Weglänge entspricht die von einer lokalen Uhr direkt gemessene Eigenzeit.
  • Der Koordinatendifferenz entspricht die Koordinatenzeit, wie sie von einer Bezugs-Uhr aus ggf. auf Distanz durch Messung und Berechnung unter der Annahme ermittelt wird, dass die Uhr stationär ist.

Relativitätsprinzip (RP) und Relativität der Gleichortigkeit

Von zwei relativ zueinander bewegten Uhren U und U' jede als stationär angesehen werden. Die Bewegungsrichtung nenne ich x- bzw. x'-Richtung und das Tempo v. Ereignisse, die in derselben Position relativ zu U stattfinden, haben relativ zu U' einen räumlichen Abstand Δs'=vΔt' und vice versa. Allgemein werden wir Ereignisse, die sich mit einer geeigneten Bezugs-Uhr Ω als gleichortig beschreiben lassen, zeitartig getrennt nennen, mit der von Ω direkt gemessenen Eigenzeit Δτ.

Ein räumliches Modell

Modellhaft können wir uns zwei zueinander schräg verlaufende Straßen (oder Salamis) S und S° vorstellen, deren Vorwärtsrichtung wir z- bzw. z°-Richtung nennen. Als x-Richtung bzw. x°-Richtung bezeichnen wir die jeweilige Quer- Richtung.

Der Abstand zwischen zwei Punkten ist natürlich unabhängig vom Koordinatensystem und nach PYTHAGORAS

(1)  Δs = √{Δz² + Δx²} ≡ √{Δz°² + Δx°²}. 

GALILEI meets MAXWELL

In der NEWTONschen Mechanik (NM) ist Δt'=Δt=Δτ, also der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen ist absolut, d.h., unabhängig davon, welche Uhr wir als ruhend ansehen. Der räumliche Abstand Δς zweier gleichzeitiger Ereignisse ist in der NM ebenfalls absolut, Δs'=Δs'=Δς.

Das lässt sich aber nicht halten, wenn man das RP auf die von MAXWELL formulierten Gesetze der Elektrodynamik und damit auch die MAXWELLsche Wellengleichung anwendet. Diese enthält das Licht-Tempo c ≈ 3×10⁸m/s. Was sich also mit c relativ zu U bewegt, muss sich auch relativ zu U' mit c bewegen und umgekehrt. 

Relativität der Gleichzeitigkeit

Ereignisse, die von U aus auf die gleiche Zeit datiert werden, werden von U' aus in zeitlichem Abstand Δt'=vΔx'/c² haben, und vice versa.

Allgemein heißen Ereignisse, die sich mit einem geeigneten Bezugskörper (z.B. der Uhr Ω) als gleichzeitig beschreiben lassen, raumartig getrennt. Ihren Abstand Δς relativ zu Ω bezeichne ich als den Gleichzeitigkeitsabstand; dessen Beziehung zwischen den räumlichen Distanzen relativ zu U und U' ist nach EINSTEINs früherem Mathematikprofessor MINKOWKSI

(2.1)  Δς = √{Δs² – Δt²·c²} ≡ √{Δs'² – Δt'²·c²}.

Der MINKOWSKI-Abstand zeitartig getrennter Ereignisse ist nichts anderes als die Eigenzeit

(2.2)  Δτ = √{Δt² – Δx²/c²} ≡ √{Δt'² – Δs'²/c²}.

Das Minuszeichen bedeutet auch, dass der geradeste Weg durch die Raumzeit nicht der kürzeste, sondern der längste ist.

Kleine Abstände

Krumme Wege lassen sich oft als aus Teilstücken zusammengesetzt beschreiben, die so klein sind, dass man sie als gerade betrachten kann. In diesem Falle schreibt man z.B. 'dτ' statt 'Δτ'. So lässt sich (2.2) auch in sphärischen Koordinaten schreiben:

(3)  dτ = √{dt² − (dr² + r²dθ² + r²sin²(θ)dφ²)/c²} =: √{dt² − (dr² + r²dΩ²)/c²}

Dabei hat dΩ nichts mit der Uhr Ω zu tun, sondern ist eine Zusammenfassung aller tangentialen Abstände, also gewissermaßen der Abstände entlang einer Kugeloberfläche. Diese Aufspaltung wird wichtig, wenn wir über Schwarze Löcher reden.

Die Radialkoordinate r steht nicht nur für den Abstand zum Ursprung r=0, sondern auch - was noch wichtig wird - das 2π-tel des Umkreises, auf dem man sich gerade befindet.

Gravitation als Krümmung der Raumzeit

Ohne es explizit zu sagen, haben wir von U und U' bislang vorausgesetzt, dass sie keinen Kräften unterliegen, und auch Gravitationsfelder ausgeklammert. Im Landschaftsmodell entspricht das geradlinig verlaufenden Straßen in einer perfekten Ebene. 

Im Folgenden meinen wir mit „kräftefrei“ allerdings nur, dass keine Trägheitskräfte auftreten. Folgt ein Körper der Gravitation im freien Fall oder Orbit, ist dies ebenfalls der Fall. Das hat EINSTEIN auf die Idee gebracht, Gravitation als Krümmung der Raumzeit zu beschreiben. Auf einer gekrümmten Fläche gibt es keine geraden Linien, sondern nur jeweils geradeste Linien, sog. Geodätische. Auf einer Kugeloberfläche sind dies die Großkreise.

Diese laufen unweigerlich zusammen. Parallele Kreise wie die Breitenkreise auf der Erde sind zum großen Teil Kleinkreise. Unternimmt man eine Flugreise an einen anderen Ort auf derselben z.B. nördlichen Breite, nimmt der Flug einen vermeintlichen Umweg nach Norden. Das sieht aber nur auf einer MERCATOR-Projektion so aus, die aus der Kugel- eine Zylinderoberfläche macht und sie dabei natürlich mit zunehmender geographischer Breite immer mehr verzerrt. Tatsächlich ist der „Umweg“ der direkteste Weg.

Er kann grob als Modell für einen senkrechten Sprung dienen, wobei der Längengrad für die Zeit, der Äquator für den Erdmittelpunkt und ein bestimmter Breitenkreis für den Fußboden steht. Während unseres Sprungs ist unser Körper kräftefrei, was durch den Großkreisbogen zwischen Start (≘ Absprung) und Ziel (≘ Landung) dargestellt wird. Das Modell hat natürlich seine Grenzen und darf nicht überstrapaziert werden.

Die Raumzeit nahe einer Kugelmasse

Die Krümmung der Raumzeit wird durch EINSTEINs Feldgleichungen beschrieben. Sie fasst Größen wie Energiedichte, Impulsstrom und Spannung in einem Tensor zusammen und setzt diesen mit ihrem Effekt, der Raumzeitkrümmung in Beziehung, die natürlich ebenfalls durch einen Tensor ausgedrückt wird. Das Ganze kann extrem kompliziert sein.

Dennoch fand schon kurz nach ihrer Veröffentlichung SCHWARZSCHILD eine exakte Lösung, für den mathematisch relativ einfachen Fall einer Punktmasse. Für eine nicht rotierende Kugelmasse ergibt sich außerhalb der Kugel dasselbe Feld.

Dies freilich kann auf keinen Fall die Bezugs-Uhr sein, im Gegenteil: Die muss möglichst weit weg sein, sodass man sie als unendlich weit entfernt idealisieren kann.

Die Masse nennen wir M, und mit der Gravitationskonstanten G ≈ ⅔×10⁻¹⁰m³/(kg·s²) und Licht-Tempo c ergibt sich der sogenannte Gravitationsradius

(4)  µ = GM/c²,

dessen Verhältnis zu r ein Maß für das lokale Gravitationspotential ist. Die Masse macht (3) zu

(5)  dτ = √{dt²·(1 – 2µ/r) − (dr²/(1 – 2µ/r) + r²dΩ²)/c²}.

Eine stationäre Uhr bei r würde also um den Faktor √{1–2µ} langsamer laufen. Das ergibt sich auch aus der Energieerhaltung. Ein Photon, das im Gravitationspotential aufsteigt, gewinnt dabei an potentieller Energie und muss dafür an kinetischer Energie und damit an Frequenz verlieren.

Außerdem ist die Situation der einer stetigen Beschleunigung ähnlich. Wenn man Licht in die Richtung der Beschleunigung schickt, wird es rot- wenn man es in Gegenrichtung schickt, blauverschoben. Die Hyperbeln stellen eine im Gravitationsfeld „stationäre“ Fläche dar, und die Asymptote einen durch die Beschleunigung als Artefakt entstehenden Ereignishorizont. Dort bleibt die Zeit gleichsam stehen, von „weiter oben“ betrachtet. Man sieht aber nicht etwa ein Standbild, sondern buchstäblich schwarz.

Übrigens verliert hier r die Bedeutung als Abstand vom Zentrum. Zwischen der r-Kugelschale und der r+dr-Kugelschale ist der Abstand dr/√{1–2µ/r}, sofern r>2µ ist. r=2µ markiert den Ereignishorizont; für jeden kleineren r-Wert wir r zeitartig, und zwar mit Zeitrichtung nach innen. Von dort gibt es deshalb kein Zurück mehr, auch nicht für Licht. Deshalb heißt dieses Gebilde auch ein Schwarzes Loch (SL). Der EH ist keine feste Oberfläche, sondern eher eine Art Abgrund.

Je näher man dem Zentrum kommt, desto stärker werden die Gezeitenspannungen, und gerade bei kleinen SL werden sie schon vor dem EH tödlich für jedes Raumschiff und seine Besatzung. 

Die SCHWARZSCHILD- Koordinaten sind freilich nicht die geschicktesten, weil sie am EH singulär werden. Außerdem rotieren die meisten Himmelskörper, einschließlich der SL, was die SCHWARZSCHILD-Metrik nicht erfasst. Die KERR-Metrik, die reale SL wohl besser beschreibt, ist mir noch zu kompliziert. Deshalb beschränke ich mich einstweilen auf den nicht-rotierenden Fall.

Tangentiale Geschwindigkeiten und Kreisbahnen

Wenn man sich auf einer Kugelschale bewegt, ist dr=0; das vereinfacht (5) zu

(6)  dτ = √{dt²·(1 – 2µ/r) − r²dΩ²/c²} = √{dt²·(1 – 2µ/r) − dt²·v²/c²} = dt√{1 – 2µ/r − v²/c²}.

Für Kreisbahnen gilt die Gleichgewichtsbedingung

(7)  rv² = µc²  ⇔  v²/c² = µ/r,

sodass (6) zu

(8)  dτ = dt·√{1 – 3µ/r} 

wird. Bei r=3µ wird dτ=0; deshalb liegt dort der Photonenorbit, Dort oder in unmittelbarer Nähe kann sich natürlich kein Planet halten. Die engste stabile Kreisbahn soll bei 6µ liegen, was ich bislang nicht theoretisch begründen kann. Dort ist dt/dτ = √{2}, wie man durch Einsetzen in (8) leicht einsehen kann. Das ist weit entfernt von den 8800, die im Film „Interstellar“ angegeben werden.

...zur Antwort

Hallo Dimi18,

um die Frage, was Zeit ist, kann man schlecht sagen. Schon in der Physik gibt es mehrere unterschiedliche Zeitbegriffe, die die Zeit mit räumlichen Begriffen beschreiben. Man spricht ja sogar in der Umgangssprache von einem Lebensweg, auch wenn das noch deutlich abstrakter gemeint ist als der Ort als Funktion der Zeit. Letzteres wird in der Physik als Weltlinie bezeichnet.

Vieles spricht allerdings auch für das Bild von Zeit als Strömung, da man bzw. das eigene Jetzt sich durch sie immer in eine Richtung bewegt.

Zeit ist Weglänge oder Koordinatendifferenz in Vorwärtsrichtung in der Raumzeit.

  • Der Weglänge entspricht die von einer lokalen Uhr direkt gemessene Eigenzeit.
  • Der Koordinatendifferenz entspricht die Koordinatenzeit, wie sie von einer Bezugs-Uhr aus ggf. auf Distanz durch Messung und Berechnung unter der Annahme ermittelt wird, dass die Uhr stationär ist.

Relativitätsprinzip (RP) und Relativität der Gleichortigkeit

Von zwei relativ zueinander bewegten Uhren U und U' jede als stationär angesehen werden. Die Bewegungsrichtung nenne ich x- bzw. x'-Richtung und das Tempo v. Ereignisse, die in derselben Position relativ zu U stattfinden, haben relativ zu U' einen räumlichen Abstand Δs'=vΔt' und vice versa. Allgemein werden wir Ereignisse, die sich mit einer geeigneten Bezugs-Uhr Ω als gleichortig beschreiben lassen, zeitartig getrennt nennen, mit der von Ω direkt gemessenen Eigenzeit Δτ.

Ein räumliches Modell

Modellhaft können wir uns zwei zueinander schräg verlaufende Straßen (oder Salamis) S und S° vorstellen, deren Vorwärtsrichtung wir z- bzw. z°-Richtung nennen. Als x-Richtung bzw. x°-Richtung bezeichnen wir die jeweilige Quer- Richtung.

Der Abstand zwischen zwei Punkten ist natürlich unabhängig vom Koordinatensystem und nach PYTHAGORAS

(1)  Δs = √{Δz² + Δx²} ≡ √{Δz°² + Δx°²}. 

GALILEI meets MAXWELL

In der NEWTONschen Mechanik (NM) ist Δt'=Δt=Δτ, also der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen ist absolut, d.h., unabhängig davon, welche Uhr wir als ruhend ansehen. Der räumliche Abstand Δς zweier gleichzeitiger Ereignisse ist in der NM ebenfalls absolut, Δs'=Δs'=Δς.

Das lässt sich aber nicht halten, wenn man das RP auf die von MAXWELL formulierten Gesetze der Elektrodynamik und damit auch die MAXWELLsche Wellengleichung anwendet. Diese enthält das Licht-Tempo c ≈ 3×10⁸m/s. Was sich also mit c relativ zu U bewegt, muss sich auch relativ zu U' mit c bewegen und umgekehrt. 

Relativität der Gleichzeitigkeit

Ereignisse, die von U aus auf die gleiche Zeit datiert werden, werden von U' aus in zeitlichem Abstand Δt'=vΔx'/c² haben, und vice versa.

Allgemein heißen Ereignisse, die sich mit einem geeigneten Bezugskörper (z.B. der Uhr Ω) als gleichzeitig beschreiben lassen, raumartig getrennt. Ihren Abstand Δς relativ zu Ω bezeichne ich als den Gleichzeitigkeitsabstand; dessen Beziehung zwischen den räumlichen Distanzen relativ zu U und U' ist nach EINSTEINs früherem Mathematikprofessor MINKOWKSI

(2.1)  Δς = √{Δs² – Δt²·c²} ≡ √{Δs'² – Δt'²·c²}.

Der MINKOWSKI-Abstand zeitartig getrennter Ereignisse ist nichts anderes als die Eigenzeit

(2.2)  Δτ = √{Δt² – Δx²/c²} ≡ √{Δt'² – Δs'²/c²}.

Das Minuszeichen bedeutet auch, dass der geradeste Weg durch die Raumzeit nicht der kürzeste, sondern der längste ist.

Kleine Abstände

Krumme Wege lassen sich oft als aus Teilstücken zusammengesetzt beschreiben, die so klein sind, dass man sie als gerade betrachten kann. In diesem Falle schreibt man z.B. 'dτ' statt 'Δτ'. So lässt sich (2.2) auch in sphärischen Koordinaten schreiben:

(3)  dτ = √{dt² − (dr² + r²dθ² + r²sin²(θ)dφ²)/c²} =: √{dt² − (dr² + r²dΩ²)/c²}

Dabei hat dΩ nichts mit der Uhr Ω zu tun, sondern ist eine Zusammenfassung aller tangentialen Abstände, also gewissermaßen der Abstände entlang einer Kugeloberfläche. Diese Aufspaltung wird wichtig, wenn wir über Schwarze Löcher reden.

Die Radialkoordinate r steht nicht nur für den Abstand zum Ursprung r=0, sondern auch - was noch wichtig wird - das 2π-tel des Umkreises, auf dem man sich gerade befindet.

Gravitation als Krümmung der Raumzeit

Ohne es explizit zu sagen, haben wir von U und U' bislang vorausgesetzt, dass sie keinen Kräften unterliegen, und auch Gravitationsfelder ausgeklammert. Im Landschaftsmodell entspricht das geradlinig verlaufenden Straßen in einer perfekten Ebene. 

Im Folgenden meinen wir mit „kräftefrei“ allerdings nur, dass keine Trägheitskräfte auftreten. Folgt ein Körper der Gravitation im freien Fall oder Orbit, ist dies ebenfalls der Fall. Das hat EINSTEIN auf die Idee gebracht, Gravitation als Krümmung der Raumzeit zu beschreiben. Auf einer gekrümmten Fläche gibt es keine geraden Linien, sondern nur jeweils geradeste Linien, sog. Geodätische. Auf einer Kugeloberfläche sind dies die Großkreise.

Diese laufen unweigerlich zusammen. Parallele Kreise wie die Breitenkreise auf der Erde sind zum großen Teil Kleinkreise. Unternimmt man eine Flugreise an einen anderen Ort auf derselben z.B. nördlichen Breite, nimmt der Flug einen vermeintlichen Umweg nach Norden. Das sieht aber nur auf einer MERCATOR-Projektion so aus, die aus der Kugel- eine Zylinderoberfläche macht und sie dabei natürlich mit zunehmender geographischer Breite immer mehr verzerrt. Tatsächlich ist der „Umweg“ der direkteste Weg.

Er kann grob als Modell für einen senkrechten Sprung dienen, wobei der Längengrad für die Zeit, der Äquator für den Erdmittelpunkt und ein bestimmter Breitenkreis für den Fußboden steht. Während unseres Sprungs ist unser Körper kräftefrei, was durch den Großkreisbogen zwischen Start (≘ Absprung) und Ziel (≘ Landung) dargestellt wird. Das Modell hat natürlich seine Grenzen und darf nicht überstrapaziert werden.

Der Einfluss der Gravitation auf die Zeit

Dass Gravitation die Zeit verlangsamt, ergibt sich u.a. aus der Energieerhaltung. Ein Photon, das im Gravitationspotential aufsteigt, gewinnt dabei an potentieller Energie und muss dafür an kinetischer Energie und damit an Frequenz verlieren. Steigt es ab, passiert das Gegenteil. Diese „Rotverschiebung“ in einer und „Blauverschiebung“ in die andere Richtung geht einher mit einem schnelleren Zeitfluss auf höherem und einem langsameren auf tieferen Gravitationspotential.

Die Situation ist auch der einer stetigen Beschleunigung ähnlich. Wenn man Licht in die Richtung der Beschleunigung schickt, wird es rot- wenn man es in Gegenrichtung schickt, blauverschoben. Die Hyperbeln stellen eine im Gravitationsfeld „stationäre“ Fläche dar. Die Asymptote einen durch die Beschleunigung als Artefakt entstehenden Ereignishorizont (EH). Dort steht die Zeit von „weiter oben“ betrachtet still. Da aber auch elektromagnetische Schwingungen Zeit brauchen, sieht man dort nicht etwa ein Standbild, sondern gar nichts. Der EH ist völlig schwarz.

Die Raumzeit nahe einer Kugelmasse

Die Krümmung der Raumzeit wird durch EINSTEINs Feldgleichungen beschrieben. Sie fasst Größen wie Energiedichte, Impulsstrom und Spannung in einem Tensor zusammen und setzt diesen mit ihrem Effekt, der Raumzeitkrümmung in Beziehung, die natürlich ebenfalls durch einen Tensor ausgedrückt wird. Das Ganze kann extrem kompliziert sein.

Dennoch fand schon kurz nach ihrer Veröffentlichung SCHWARZSCHILD eine exakte Lösung, für den mathematisch relativ einfachen Fall einer Punktmasse. Für eine nicht rotierende Kugelmasse ergibt sich außerhalb der Kugel dasselbe Feld.

Dies freilich kann auf keinen Fall die Bezugs-Uhr sein, im Gegenteil: Die muss möglichst weit weg sein, sodass man sie als unendlich weit entfernt idealisieren kann.

Die Masse nennen wir M, und mit der Gravitationskonstanten G ≈ ⅔×10⁻¹⁰m³/(kg·s²) und Licht-Tempo c ergibt sich der sogenannte Gravitationsradius

(4)  µ = GM/c²,

dessen Verhältnis zu r ein Maß für das lokale Gravitationspotential ist. Die Masse macht (3) zu

(5)  dτ = √{dt²·(1 – 2µ/r) − (dr²/(1 – 2µ/r) + r²dΩ²)/c²}.

Eine stationäre Uhr bei r würde also um den Faktor √{1–2µ} langsamer laufen.

Übrigens verliert hier r die Bedeutung als Abstand vom Zentrum. Zwischen der r-Kugelschale und der r+dr-Kugelschale ist der Abstand dr/√{1–2µ/r}, sofern r>2µ ist. r=2µ markiert den Ereignishorizont; für jeden kleineren r-Wert wir r zeitartig, und zwar mit Zeitrichtung nach innen. Von dort gibt es deshalb kein Zurück mehr, auch nicht für Licht. Deshalb heißt dieses Gebilde auch ein Schwarzes Loch (SL). Der EH ist keine feste Oberfläche, sondern eher eine Art Abgrund; um im Strömungbild zu bleiben, könnte man es als Kante eines Wasserfalls beschreiben.

Je näher man dem Zentrum kommt, desto stärker werden die Gezeitenspannungen, und gerade bei kleinen SL werden sie schon vor dem EH tödlich für jedes Raumschiff und seine Besatzung. 

Die SCHWARZSCHILD- Koordinaten sind freilich nicht die geschicktesten, weil sie am EH singulär werden. Außerdem rotieren die meisten Himmelskörper, einschließlich der SL, was die SCHWARZSCHILD-Metrik nicht erfasst. Die KERR-Metrik, die reale SL wohl besser beschreibt, ist mir noch zu kompliziert. Deshalb beschränke ich mich einstweilen auf den nicht-rotierenden Fall.

Tangentiale Geschwindigkeiten und Kreisbahnen

Wenn man sich auf einer Kugelschale bewegt, ist dr=0; das vereinfacht (5) zu

(6)  dτ = √{dt²·(1 – 2µ/r) − r²dΩ²/c²} = √{dt²·(1 – 2µ/r) − dt²·v²/c²} = dt√{1 – 2µ/r − v²/c²}.

Für Kreisbahnen gilt die Gleichgewichtsbedingung

(7)  rv² = µc²  ⇔  v²/c² = µ/r,

sodass (6) zu

(8)  dτ = dt·√{1 – 3µ/r} 

wird. Bei r=3µ wird dτ=0; deshalb liegt dort der Photonenorbit, Dort oder in unmittelbarer Nähe kann sich natürlich kein Planet halten. Die engste stabile Kreisbahn soll bei 6µ liegen, was ich bislang nicht theoretisch begründen kann. Dort ist dt/dτ = √{2}, wie man durch Einsetzen in (8) leicht einsehen kann.

...zur Antwort

Hallo tolgahan97,

in der Antike hatten manche Denker sogar Bedenken, die Eins als Zahl anzuerkennen, weil man ja quasi mit dem Zählen aufhört, sobald man damit anfängt.

Um bis Null zu zählen, muss man quasi vor dem Anfangen schon aufhören, und so ist verständlich, dass man philosophische Schwierigkeiten mit der Null hatte.

In jedem Fall ist aber die Null nicht einfach nichts, sondern eine Zahl. Als Kardinalzahl ist sie die Mächtigkeit von ∅, der Leeren Menge. Als Element der Abelschen Gruppen (ℤ,+), (ℚ,+), (ℝ,+) und (ℂ,+) ist sie das neutrale Element. Als Element der Körper (ℚ,+,∙), (ℝ,+,∙) und (ℂ,+,∙), als Ringe aufgefasst, ist sie das einzige singuläre Element.

In der Mathematik darf man keine Zahlen durch die Null teilen, da es auch keinen Sinn ergibt.

Man kann durch kein singuläres Element teilen, weil es insbesondere kein eindeutiges Ergebnis gibt. Nicht die Unendlichkeit ist das Problem.

Sie (genauer der Nullvektor) charakterisiert Stillstand als spezielle Form der Bewegung oder auch geradlinig- gleichförmige Bewegung als spezielle Form der Beschleunigung.

In der Raumzeit steht die Weglänge (Eigenzeit) Δτ=0 für Wege, die das Licht nimmt.

So auch auf einer Kreisbahn um ein nichtrotierendes Schwarzes Loch der Masse M bei r = 3μ = 3GM/c² mit dem Gleichgewichtstempo √{⅓}c - Licht bewegt sich dort also tatsächlich langsamer als im freien Weltraum.

...zur Antwort

Hallo Ertone,

die Frage selbst ist schnell beantwortet:

Ich beschleunige mein Auto auf Lichtgeschwindigkeit…

Das ist nicht nur technisch, sondern physikalisch unmöglich (s.u.).

und schalte das Licht ein. Ist dann das Licht doppelt so schnell?

Nein. Du würdest überhaupt nichts Außergewöhnliches bemerken. Das Licht würde einfach ganz normal aus dem Scheinwerfer kommen. Das liegt am Relativitätsprinzip (RP), das übrigens schon GALILEI formuliert hat.

Es besagt, dass man von zwei geradlinig-gleichförmig relativ zueinander bewegten Uhren U und U' jede mit dem gleichen Recht als die Bezugs-Uhr auswählen kann. 

Raumzeit - Geschwindigkeit als Neigung

Dies ist ähnlich wie man von zwei Straßen S und S°, die schräg zueinander verlaufen, jede als „vorwärts“ bezeichnen kann. Statt Straßen kann man auch Salamis nehmen, wobei eine dünne Scheibe den Körper zu einer bestimmten Zeit symbolisiert.

Die Geschwindigkeit von U' relativ zu U ist die Neigung Δx/Δt der Weltlinie (WL) von U' gegen die von U und entspricht damit der Neigung v=Δx/Δz von S° gegen S, wobei natürlich die z-Richtung die Vorwärtsrichtung von S ist. 

Die Breiten der Straßen lassen sich als Modell für die räumliche Ausdehnung der Fahrzeuge interpretieren, deren Borduhren U und U' sind.

In der Ebene, durch die S und S° verlaufen, ist der Abstand zwischen zwei Orten unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems und damit auch davon, ob die z- oder die z°- Richtung als „vorwärts“ gilt: Er ist die Wurzel aus dem PYTHAGORAS-Abstandsquadrat

(1) Δs² = Δz² + Δx² ≡ Δz°² + Δx°².

Die Neigung ist natürlich nicht additiv, sondern der Neigungswinkel θ, deren Tangens Δx/Δz ist. Für sehr kleine θ macht das allerdings fast dasselbe. 

In der Raumzeit geht es um Abstände nicht zwischen Orten, sondern von Ereignissen. Solange v klein genug ist, ist Δt'≈Δt (NEWTONscher Grenzfall).

Als zeitartig getrennt bezeichnet man Ereignisse, für die es eine Uhr Ω geben kann, relativ zu der sie dieselbe Position haben. Die von dieser Uhr gemessene Zeitspanne Δτ heißt Eigenzeit und entspricht der in (1) genannten Distanz Δs. Ereignisse, für die man von Ω aus auf dieselbe Zeit und den räumlichen Abstand Δς kommt, entspricht dies Δs.

Die Uminterpretation von U als Bezugs-Uhr zu U' als Bezugs-Uhr oder umgekehrt ist im NEWTONschen Grenzfall die sog. GALILEI- Transformation, eine Scherung in der Raumzeit.

GALILEI meets MAXWELL

Die fundamentalen Beziehung zwischen physikalischen Größen (nichts anderes sind Naturgesetze) hängen nicht davon ab, ob man U oder U' als stationär ansieht.

Zu ihnen gehört auch MAXWELLs elektromagnetische Wellengleichung, welche die Ausbreitung des Lichts beschreibt und deren Tempo c als Konstante enthält. Deshalb muss sich etwas, das sich relativ zu einem Körper mit c bewegt, relativ zu jedem Körper mit c bewegen. Das führt auf das MINKOWSKI-Abstandsquadrat

(2.1) Δτ² = Δt² – (Δx² + Δy² + Δz²)/c² ≡ Δt'² – (Δx'² + Δy'² + Δz'²)/c²

respektive 

(2.2) Δς² = Δx² + Δy² + Δz² – c²Δt² ≡ Δx'² + Δy'² + Δz'² – c²Δt'²,

je nachdem, welcher Ausdruck einen nicht-negativen Wert liefert. Die Uminterpretation von U auf U' oder umgekehrt als Bezugs-Uhr heißt LORENTZ-Transformation und kann am besten als hyperbolische Drehung charakterisiert werden. Die Rolle des Neigungswinkels θ übernimmt die Rapidität ζ, deren Tangens Hyperbolicus v/c ist.

Unerreichbarkeit von c

Relativ zu sich selbst bewegt sich das Fahrzeug (s.o.) gar nicht, schon gar nicht mit c, und deshalb (s.o.) kann es sich auch nicht relativ zu irgendeinem Körper mit c bewegen. Freilich stößt man da nicht etwa auf eine undurchdringliche Grenze. Es könnte im Prinzip permanent gleichförmig beschleunigen (sodass an Bord eine konstante Trägheitskraft herrscht).

Ein Modell dafür ist eine unendlich ausgedehnte Ebene, auf der die Entfernung von einem durch eine Fahne oder einen darauf stehenden anderen Menschen markierten Bezugspunkt für ζ und der Winkel ϑ zum Lot, unter dem man diesen Punkt sieht für das Tempo steht. Wie der Winkel ϑ immer unter 90° bleiben muss, bleibt auch v stets unter c.

Wie kommt der Lichtstrahl an einem Ziel an?

Falls sich U und U' gerade in der Annäherungsphase befinden, kann der z.B. von U' aus nach vorn gesendete Lichtstrahl auf U treffen. Ein relativ zu U ruhender Beobachter wird keine höhere Geschwindigkeit messen, sondern eine um den Faktor 

(3) K := √{(c + v)/(c – v)}

höhere Frequenz bzw. eine um den Faktor 1/K kürzere Wellenlänge.

...zur Antwort

Hallo HadiSorr589,

ein Faktor von rund 8800 ist wohl unrealistisch (s. ganz am Schluss). Dass allerdings Geschwindigkeit und auch der Aufenthalt in der Nähe eines Schwarzen Lochs eine regelrechte Zeitmaschine darstellt, will ich gern begründen. Leider muss ich dafür etwas ausholen, hoffe aber, dass ich das verständlich darstelle.

Zeit ist Weglänge oder Koordinatendifferenz in Vorwärtsrichtung in der Raumzeit. Der Weg eines Körpers durch sie wird als seine Weltlinie bezeichnet.

  • Der Weglänge entspricht die von einer lokalen Uhr direkt gemessene Eigenzeit.
  • Der Koordinatendifferenz entspricht die Koordinatenzeit, wie sie von einer Bezugs-Uhr aus ggf. auf Distanz durch Messung und Berechnung unter der Annahme ermittelt wird, dass die Uhr stationär ist.

Relativitätsprinzip (RP) und Relativität der Gleichortigkeit

Von zwei relativ zueinander bewegten Uhren U und U' jede als stationär angesehen werden. Die Bewegungsrichtung nenne ich x- bzw. x'-Richtung und das Tempo v. Ereignisse, die in derselben Position relativ zu U stattfinden, haben relativ zu U' einen räumlichen Abstand Δs'=vΔt' und vice versa. Allgemein werden wir Ereignisse, die sich mit einer geeigneten Bezugs-Uhr Ω als gleichortig beschreiben lassen, zeitartig getrennt nennen, mit der von Ω direkt gemessenen Eigenzeit Δτ.

Ein räumliches Modell

Modellhaft können wir uns zwei zueinander schräg verlaufende Straßen (oder Salamis) S und S° vorstellen, deren Vorwärtsrichtung wir z- bzw. z°-Richtung nennen. Als x-Richtung bzw. x°-Richtung bezeichnen wir die jeweilige Quer- Richtung.

Der Abstand zwischen zwei Punkten ist natürlich unabhängig vom Koordinatensystem und nach PYTHAGORAS

(1)  Δs = √{Δz² + Δx²} ≡ √{Δz°² + Δx°²}. 

GALILEI meets MAXWELL

In der NEWTONschen Mechanik (NM) ist Δt'=Δt=Δτ, also der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen ist absolut, d.h., unabhängig davon, welche Uhr wir als ruhend ansehen. Der räumliche Abstand Δς zweier gleichzeitiger Ereignisse ist in der NM ebenfalls absolut, Δs'=Δs'=Δς.

Das lässt sich aber nicht halten, wenn man das RP auf die von MAXWELL formulierten Gesetze der Elektrodynamik und damit auch die MAXWELLsche Wellengleichung anwendet. Diese enthält das Licht-Tempo c ≈ 3×10⁸m/s. Was sich also mit c relativ zu U bewegt, muss sich auch relativ zu U' mit c bewegen und umgekehrt. 

Relativität der Gleichzeitigkeit

Ereignisse, die von U aus auf die gleiche Zeit datiert werden, werden von U' aus in zeitlichem Abstand Δt'=vΔx'/c² haben, und vice versa. Allgemein heißen Ereignisse, die sich mit einem geeigneten Bezugskörper (z.B. der Uhr Ω) als gleichzeitig beschreiben lassen, raumartig getrennt. Ihren Abstand Δς relativ zu Ω bezeichne ich als den Gleichzeitigkeitsabstand; dessen Beziehung zwischen den räumlichen Distanzen relativ zu U und U' ist nach EINSTEINs früherem Mathematikprofessor MINKOWKSI

(2.1)  Δς = √{Δs² – Δt²·c²} ≡ √{Δs'² – Δt'²·c²}.

Der MINKOWSKI-Abstand zeitartig getrennter Ereignisse ist nichts anderes als die Eigenzeit

(2.2)  Δτ = √{Δt² – Δx²/c²} ≡ √{Δt'² – Δs'²/c²}.

Das Minuszeichen bedeutet auch, dass der geradeste Weg durch die Raumzeit nicht der kürzeste, sondern der längste ist.

Kleine Abstände

Krumme Wege lassen sich oft als aus Teilstücken zusammengesetzt beschreiben, die so klein sind, dass man sie als gerade betrachten kann. In diesem Falle schreibt man z.B. 'dτ' statt 'Δτ'. So lässt sich (2.2) auch in sphärischen Koordinaten schreiben:

(3)  dτ = √{dt² − (dr² + r²dθ² + r²sin²(θ)dφ²)/c²} =: √{dt² − (dr² + r²dΩ²)/c²}

Dabei hat dΩ nichts mit der Uhr Ω zu tun, sondern ist eine Zusammenfassung aller tangentialen Abstände, also gewissermaßen der Abstände entlang einer Kugeloberfläche. Diese Aufspaltung wird wichtig, wenn wir über Schwarze Löcher reden.

Die Radialkoordinate r steht nicht nur für den Abstand zum Ursprung r=0, sondern auch - was noch wichtig wird - das 2π-tel des Umkreises, auf dem man sich gerade befindet.

Gravitation als Krümmung der Raumzeit

Ohne es explizit zu sagen, haben wir von U und U' bislang vorausgesetzt, dass sie keinen Kräften unterliegen, und auch Gravitationsfelder ausgeklammert. Im Landschaftsmodell entspricht das geradlinig verlaufenden Straßen in einer perfekten Ebene. 

Im Folgenden meinen wir mit „kräftefrei“ allerdings nur, dass keine Trägheitskräfte auftreten. Folgt ein Körper der Gravitation im freien Fall oder Orbit, ist dies ebenfalls der Fall. Das hat EINSTEIN auf die Idee gebracht, Gravitation als Krümmung der Raumzeit zu beschreiben. Auf einer gekrümmten Fläche gibt es keine geraden Linien, sondern nur jeweils geradeste Linien, sog. Geodätische. Auf einer Kugeloberfläche sind dies die Großkreise.

Diese laufen unweigerlich zusammen. Parallele Kreise wie die Breitenkreise auf der Erde sind zum großen Teil Kleinkreise. Unternimmt man eine Flugreise an einen anderen Ort auf derselben z.B. nördlichen Breite, nimmt der Flug einen vermeintlichen Umweg nach Norden. Das sieht aber nur auf einer MERCATOR-Projektion so aus, die aus der Kugel- eine Zylinderoberfläche macht und sie dabei natürlich mit zunehmender geographischer Breite immer mehr verzerrt. Tatsächlich ist der „Umweg“ der direkteste Weg.

Er kann grob als Modell für einen senkrechten Sprung dienen, wobei der Längengrad für die Zeit, der Äquator für den Erdmittelpunkt und ein bestimmter Breitenkreis für den Fußboden steht. Während unseres Sprungs ist unser Körper kräftefrei, was durch den Großkreisbogen zwischen Start (≘ Absprung) und Ziel (≘ Landung) dargestellt wird. Das Modell hat natürlich seine Grenzen und darf nicht überstrapaziert werden.

Die Raumzeit nahe einer Kugelmasse

Die Krümmung der Raumzeit wird durch EINSTEINs Feldgleichungen beschrieben. Sie fasst Größen wie Energiedichte, Impulsstrom und Spannung in einem Tensor zusammen und setzt diesen mit ihrem Effekt, der Raumzeitkrümmung in Beziehung, die natürlich ebenfalls durch einen Tensor ausgedrückt wird. Das Ganze kann extrem kompliziert sein.

Dennoch fand schon kurz nach ihrer Veröffentlichung SCHWARZSCHILD eine exakte Lösung, für den mathematisch relativ einfachen Fall einer Punktmasse. Für eine nicht rotierende Kugelmasse ergibt sich außerhalb der Kugel dasselbe Feld.

Dies freilich kann auf keinen Fall die Bezugs-Uhr sein, im Gegenteil: Die muss möglichst weit weg sein, sodass man sie als unendlich weit entfernt idealisieren kann.

Die Masse nennen wir M, und mit der Gravitationskonstanten G ≈ ⅔×10⁻¹⁰m³/(kg·s²) und Licht-Tempo c ergibt sich der sogenannte Gravitationsradius

(4)  µ = GM/c²,

dessen Verhältnis zu r ein Maß für das lokale Gravitationspotential ist. Die Masse macht (3) zu

(5)  dτ = √{dt²·(1 – 2µ/r) − (dr²/(1 – 2µ/r) + r²dΩ²)/c²}.

Eine stationäre Uhr bei r würde also um den Faktor √{1–2µ} langsamer laufen. Das ergibt sich auch aus der Energieerhaltung. Ein Photon, das im Gravitationspotential aufsteigt, gewinnt dabei an potentieller Energie und muss dafür an kinetischer Energie und damit an Frequenz verlieren.

Außerdem ist die Situation der einer stetigen Beschleunigung ähnlich. Wenn man Licht in die Richtung der Beschleunigung schickt, wird es rot- wenn man es in Gegenrichtung schickt, blauverschoben. Die Hyperbeln stellen eine im Gravitationsfeld „stationäre“ Fläche dar, und die Asymptote einen durch die Beschleunigung als Artefakt entstehenden Ereignishorizont.

Übrigens verliert hier r die Bedeutung als Abstand vom Zentrum. Zwischen der r-Kugelschale und der r+dr-Kugelschale ist der Abstand dr/√{1–2µ/r}, sofern r>2µ ist. r=2µ markiert den Ereignishorizont (EH); für jeden kleineren r-Wert wir r zeitartig, und zwar mit Zeitrichtung nach innen. Von dort gibt es deshalb kein Zurück mehr, auch nicht für Licht. Deshalb heißt dieses Gebilde auch ein Schwarzes Loch (SL). Der EH ist keine feste Oberfläche, sondern eher eine Art Abgrund.

Je näher man dem Zentrum kommt, desto stärker werden die Gezeitenspannungen, und gerade bei kleinen SL werden sie schon vor dem EH tödlich für jedes Raumschiff und seine Besatzung. 

Die SCHWARZSCHILD- Koordinaten sind freilich nicht die geschicktesten, weil sie am EH singulär werden. Außerdem rotieren die meisten Himmelskörper, einschließlich der SL, was die SCHWARZSCHILD-Metrik nicht erfasst. Die KERR-Metrik, die reale SL wohl besser beschreibt, ist mir noch zu kompliziert. Deshalb beschränke ich mich einstweilen auf den nicht-rotierenden Fall.

Tangentiale Geschwindigkeiten und Kreisbahnen

Wenn man sich auf einer Kugelschale bewegt, ist dr=0; das vereinfacht (5) zu

(6)  dτ = √{dt²·(1 – 2µ/r) − r²dΩ²/c²} = √{dt²·(1 – 2µ/r) − dt²·v²/c²} = dt√{1 – 2µ/r − v²/c²}.

Für Kreisbahnen gilt die Gleichgewichtsbedingung

(7)  rv² = µc²  ⇔  v²/c² = µ/r,

sodass (6) zu

(8)  dτ = dt·√{1 – 3µ/r} 

wird. Bei r=3µ wird dτ=0; deshalb liegt dort der Photonenorbit, Dort oder in unmittelbarer Nähe kann sich natürlich kein Planet halten. Die engste stabile Kreisbahn soll bei 6µ liegen, was ich bislang nicht theoretisch begründen kann. Dort ist dt/dτ = √{2}, wie man durch Einsetzen in (8) leicht einsehen kann. Das ist weit entfernt von den 8800, die im Film angegeben werden.

...zur Antwort

Hallo 378389,

das Wort 'Längenkontraktion' ist ebenso wie übrigens auch das Wort 'Zeitdilatation' irreführend. Es kommt darauf an, welche Richtungen in der Raumzeit Du als 'vorwärts' bzw. 'seitwärts' definierst.

Angenommen, ich trinke einen Kaffee und brauche nach eigener Uhr Ω eine Zeit Ⲧ dafür.

Als Modell für diesen Vorgang kannst Du Dir eine Salami oder einen Straßenabschnitt S° vorstellen, dessen Länge wir L und dessen Breite wir d nennen wollen. Die denken wir uns in einem Winkel θ gegen einen Maßstab oder eine andere Salami bzw. Straße S geneigt, die wir als "Referenz- Salami" oder "Referenz-Straße" nehmen, deren Längsrichtung definitionsgemäß "vorwärts" ist. In diese Richtung sind die Enden von S° nur mehr Δz = L∙cos(θ) auseinander, quer dazu Δx = L∙sin(θ). Insgesamt hat sich an der Länge nichts geändert:

(1) Δs = √{Δz² + Δx²} ≡ √{Δz°² + Δx°²} = L

Messen oder schneiden wir S° quer zu S an, bekommen wir eine Schnittfläche der Länge d⁄cos(θ) in Schnittrichtung.

Der oben beschriebene Vorgang soll im Bordbistro B' eines Raumfahrzeugs stattfinden, wobei ich die Abmessung von B' in einer Richtung ich ebenfalls d nenne. In genau diese Richtung bewegt sich das Fahrzeug relativ zu einem baugleichen Fahrzeug mit Bordbistro B mit dem Tempo v.

Die Rolle von θ nimmt in der Raumzeit die Rapidität ein, die ich hier mit ζ bezeichnet habe. Dabei ist

(2.1) v = c∙tanh(ζ)
(2.2) γ = 1⁄√{1 − (v⁄c)²} = cosh(ζ) (LORENTZ- Faktor)
(2.2) γ∙v = c∙sinh(ζ).

Von der Referenzuhr bei B würde man für das Kaffeetrinken die Dauer Δt = Ⲧ∙cosh(ζ) = Ⲧ∙γ ermitteln, aber in der Zeit hat sich das Schiff auch um c∙Ⲧ∙sinh(ζ) = v∙Ⲧ∙γ weiterbewegt. An der Eigenzeit ändert dich nichts:

(3) Δτ = √{Δt² − Δx²⁄c²} ≡ √{Δt'² − Δx'²⁄c²} = Ⲧ

Zwei Ereignisse an Anfang und Ende des Bistros, die für mich zu leicht unterschiedlichen Zeiten stattfinden, sind für einen Beobachter in B gleichzeitig, haben aber nur den räumlichen Abstand d⁄cosh(ζ) = d⁄γ ("Schrägschnitt durch die Weltwurst").

...zur Antwort

Hallo Kroplay99,

Es gibt Dinge, die sich überlichtschnell bewegen können, etwa eine vorabgesprochene LaOla oder ein Lichtfleck. Das sind allerdings alles Dinge, die keine innere zeitliche Ordnung haben - und keine Information übertragen.

Dafür gibt es einen tieferen Grund: Die Relativität der Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse.

Person A hält eine Schnur ... Person B hält das andere Ende der Schur und ist 2 Lichtjahre entfernt...

Warum immer gleich so viel? Eine Lichtsekunde wäre mehr als genug. Als Verzögerung bei der Kommunikation ist das schon störend. Lassen wir das offen und sagen einfach d wie 'Distanz'. Ebenfalls im Abstand d von B, in entgegengesetzter Richtung, befinde sich eine dritte Person C.

In dem Moment (wir setzen t = t' = 0), wo eine vierte Person B' mit dem Tempo v aus Richtung A in Richtung C an B vorbeizieht, erhalten B und B' Funksignale von A und C.

Wir können A, B und C als stationär auffassen, dann werden wir beide Emissions-Ereignisse Eᴀ und Eᴄ auf den gleichen Zeitpunkt t = −d⁄c „datieren“.

Wir können allerdings auch B' als stationär und A, B und C als Konvoi interpretieren, der an B' vorbeizieht. Demnach entfernt sich A (war also näher) und nähert sich C (war also weiter weg). Eᴄ ist demnach auf den früheren Zeitpunkt t' = −d∙K⁄c zu „datieren“ als Eᴀ mit t' = −d⁄(K∙c), wobei K der DOPPLER-Faktor ist.

Würde sich B' in die entgegengesetzte Richtung bewegen, wäre die zeitliche Reihenfolge übrigens genau umgekehrt, was der Verlauf der in Grün dargestellten Linie in der folgenden Zeichnung andeutet.

„Über Bande“ ließe sich somit Information sogar in die Vergangenheit schicken („Antitelefon“).

...zur Antwort