Hallo josefbeham123,

die Antworten, die 'r²' enthalten, scheiden aus, weil nach dem Flächenanteil gefragt ist, da hat ein 'r²' nichts mehr verloren.

Die Diagonale eines Quadrats ist immer das √{2}-fache der Kantenlänge a. Gleichzeitig ist sie der Durchmesser 2r des Kreises, also

(1.1) 2r = √{2}a und damit
(1.2) r = (1/√{2})a = √{½}a.

Wir wissen, dass die Fläche des Kreises πr² ist und müssen das nur noch durch die des Quadrates ausdrücken, die ja a² beträgt. Wir quadrieren also beide Seiten von (1.2) und multiplizieren sie mit π:

(2.1) A = πr² = ½πa²
(2.2) a² = (2/π)A

Die Quadratfläche muss aber von der Kreisfläche abgezogen werden:

(3) A – a² = (1 – (2/π))A

Der Anteil ist also (1 – (2/π)). Wenn wir für π die Näherung 22/7 ansetzen, bekommen wir für 2/π etwa 7/11 heraus, und das Komplement dazu sind 4/11.
Das sind nicht ganz 40% (rund 91% dieser 40%, um genau zu sein). Hätt' ich auch nicht gedacht, bevor ich die Aufgaben gerechnet habe…

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Hallo stefanharl,

in meiner Kindheit galten 'Schlääsch' oder 'Aschka mit Möhrkes' noch als völlig normal, aber meine Eltern haben eher selten davon Gebrauch gemacht. Aber sie haben, wenn es ihnen „zu bunt wurde“, freilich immer nach vorheriger Androhung.

Körperlich weh taten die Schläge schon, was aber eigentlich kaum eine Rolle gespielt hat - das ging schnell vorüber. Ich war vor allen beleidigt, und das auch etwas länger.

Lieber 'Schlääsch' als 'Knast'

Allerdings habe ich nie Hausarrest bekommen. Dass es so etwas gibt, erfuhr ich erst auf der Schule. Ich hätte im Leben nicht mit jemandem tauschen wollen, der zwar nie geschlagen wird, aber Hausarrest bekommt. Schläge gehen einfach eher vorüber und schränken die Freiheit nicht so ein. Eingesperrt werden, dachte ich, ist etwas für erwachsene Diebe, Räuber etc., nichts für Kinder.

Erfahrung mit anderen Kindern

Ich habe auch Kinder kennengelernt, die wesentlich mehr geschlagen wurden als etwa ich. Die waren aber meist schwieriger. Gerade wenn einer häufig geschlagen wird, ist er das anscheinend gewohnt und hört auf Worte kaum noch. Die größten Rabauken hatten oft besonders strenge Eltern, deren Hand locker saß. Ihren Eltern gegenüber mögen sie aus Angst folgsam gewesen sein, aber sie haben natürlich woanders ein Ventil gesucht.

Liebevolle versus lieblose Erziehung

Vor allem war meine Erziehung eines nie: Lieblos. Ich habe mir schon Einiges anhören müssen, aber nie hat mich ein Elternteil als kompletten Versager oder dergleichen bezeichnet und abgekanzelt. Ich glaube, so etwas fühlt sich weit schlimmer an als Schläge und spielt deshalb auch eine größere Rolle.

Oben habe ich geschrieben, die größten Rabauken haben meiner Erfahrung nach auch die strengsten Eltern gehabt. Die haben aber vor allem geschlagen, statt zu reden. Von wirklichem Zuspruch, und dass die Eltern hinter ihnen gestanden wären, haben die mir auch selten was erzählt.

Fazit

Ich denke, man hat seine Kinder (und Pflegekinder) vor allem liebevoll zu erziehen; wer das nicht kann oder will, sollte sich gar keine zulegen. Hinter seinen Kindern stehen, auch mal stolz auf sie sein. Tut man das, verzeihen sie sogar Schläge.

Womit ich keinesfalls Schlägen das Wort reden will. Eigentlich sind sie ein Erziehungsersatz, ein Ausdruck elterlicher Bequemlichkeit. Das Kind nervt? Einmal draufgehauen und is' Ruhe im Karton. Reden ist natürlich aufwändiger.

Null Toleranz verdient Schwarze Pädagogik. Sie erzieht keine guten Menschen, sondern Zombies oder Verbrecher. Oder beides, im Zweifelsfalle den perfekten Verbrecher, der nicht einmal ein schlechtes Gewissen hat, weil er über ein solches schon mangels eigenen Willens nicht verfügt. Die Schwarze Pädagogik kommt direkt aus der Hölle und wer sie begründet, rechtfertigt und anwendet, ist wie jemand, der seine Kinder vergewaltigt - tut er ja eigentlich auch, wenngleich vielleicht nicht notwendigerweise auch im sexuellen Sinne.

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Hallo Dani314159,

die Mondphasen zeigen Dir schon, dass der Mond nicht selbst leuchtet, sondern nur dad Licht der Sonne reflektiert. Manchmal, kurz vor oder kurz nach Neumond, bei klarem Wetter, hebt sich die eigentlich unbeleuchtete Seite vom Hintergrund ab, weil natürlich auch die Erde Licht zum Mond hin reflektiert und der wieder zurück.

Würde die Sonne nur etwas weniger scheinen,…

…als sie es tut, würde die Erde deutlich abkühlen. Was genau passieren würde, ist schwer vorherzusagen, weil es in Vielem auch von der Erde selbst ab, ihrer Atmo- und Hydrosphäre. Vor 700-600 Millionen Jahren soll sie komplett vereist gewesen sein und sich vor etwa 600 Millionen Jahren durch Vulkanismus wieder erwärmt haben.

Auf dem Mars etwa ist wohl nicht nur kalt, weil er weiter weg ist und weniger Sonnenlicht abbekommt, er hat auch keine Hydro- und eine sehr dünne Atmosphäre. Venus ist näher und bekommt mehr Sonnenstrahlung ab, aber ihre dichte Kohlenstoffdioxid-Atmosphäre trägt mehr zu ihren mörderischen Temperaturen bei.

Die Sonne mit Mond-Leuchtkraft

Wäre die Sonne freilich selbst nur so hell (von der Erde aus betrachtet) wie der Vollmond, wäre allerdings schluss mit warm (bis auf Vulkanismus). Bei Saturn ist die Sonne etwa 100mal schwächer als hier, aber immer noch viel heller als der Vollmond bei uns - und guck Dir mal die Saturnmonde an, auch Titan, den größten, mit dichter Atmosphäre. Die Felsen sind dort aus Wasser (Eis nämlich) und die Ge„wässer“ aus Methan.

Selbst bei Pluto ist die Sonne heller als der Vollmond auf der Erde, und dort herrschen gerade mal etwa 13% der hiesigen Temperaturen, um 40K (um –230°C). Man kann sich also ausmalen, was passieren würde, wenn die Sonne von hier aus nur so hell scheinen würde wie der Vollmond heute, auch wenn das nicht passieren wird (wahrscheinlich nicht einmal als Weißer Zwerg in 8 Milliarden Jahren, aber dann hat sie die Erde vorher ohnehin verbrannt).

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Hallo Raph101,

im Wesentlichen hast Du Recht. Ich würde allerdings mit der Definition des Funktionals anfangen. Das ist eine Abbildung f: V→K, wobei V ein Vektorraum über dem Körper K ist. V ist nicht notwendiger- aber üblicherweise ein Funktionenraum.

Lineare Funktionale f, also solche mit den Eigenschaften

(1) f(y₁ + y₂) = f(y₁) + f(y₂), y₁, y₂ ∈ V
(2) f(λ·y) = λ·f(y), y ∈ V, λ ∈ K

bilden selbst einen Vektorraum V*, den Dualraum von V.

Vielleicht könnt ihr mir auch noch dabei helfen:was sagt der Spektralsatz aus?

Dabei geht es um Endomorphismen g: V →V, nicht um Funktionale. Auch g ist allerdings linear (g ist ja insbesondere ein Homomorphismus), und es gibt y∈V mit

(3) g(y) = α·y,

wobei α zu einem Erweiterungskörper von K gehört und Eigenwert von g heißt. Dann heißt y Eigenvektor (ggf. Eigenfunktion) von g zum Eigenwert α. Wenn V endlichdimensional ist, sagt der Spektralsatz aus, dass g dann eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren hat und damit diagonalisierbar ist, wenn die Eigenwerte alle aus K sind. Wenn K=ℂ ist, funktioniert das immer.

Es gibt unterschiedliche Versionen des Spektralsatzes für Endomorphismen in endlich- und unendlichdimensionale Vektorräumen. Für die Quantenmechanik ist vor allem relevant, dass ein Operator (der führt quasi die Abbildung aus) dann nur reelle Eigenwerte hat, wenn er selbstadjungiert, also HERMITEsch ist.

Bei Matrizen heißt das, wenn man sie transponiert, kommt das komplex Konjugierte heraus.

Leider sind die Wikipedia-Artikel zu dem Thema ziemlich abstrakt formuliert. Ich trage mich mit dem Gedanken, da mal etwas „Fleisch“ hinzuzufügen.

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Hallo HenrikhMaurer,

das Wort 'Ableiten' ist im Allgemeinen mehrdeutig verwendbar; es kann bedeuten, dass man eine Beziehung zwischen Größen aus anderen, bereits bekannten erschließt. Das nennt man dann aber oft 'herleiten', um es nicht mit der unten beschriebenen Differentiation zu verwechseln.

Ein Beispiel für eine Herleitung ist die der pq-Formel für die Suche nach Nullstellen von

(1.1) f(x) = x² + px + q.

Das ist für f(x)=0 äquivalent zu

(1.2) x² + px = –q

(wir haben von beiden Seiten q abgezogen) und zu

(1.3) x² + 2·½px + ¼p² = (x + ½p)² = –q + ¼p²

(Addition der quadratischen Ergänzung ¼p²). Der nächste Schritt ist keine Äquivalenzumformung im strengen Sinne, wir finden 2 Lösungen:

(1.4) x₁,₂ + ½p = ±√{¼p² – q},

der letzte aber wieder:

(1.5) x₁,₂ = –½p ± √{¼p² – q},

Voilà! Das (1.4-5) sind natürlich jeweils 2 Gleichungen in einer.

Ableitung im Sinne von Differentiation

Das ist die Ermittlung der Änderungsrate einer Funktion f(x) in Abhängigkeit von x. Wenn Du beispielsweise eine Stelle x=a nimmst, suchst Du die Steigung der Tangente am Graphen durch (a|f(a)), vorausgesetzt, es gibt eine. Eine Tangente ist der Grenzfall einer Sekante durch (a|f(a)) und (a+h|f(a+h)) für h→0.

Deren Steigung ist die „Höhendifferenz“ f(a+h)–f(a), geteilt durch die horizontale Distanz h. Jetzt muss h gerade für den Grenzfall kleiner h aus dem Nenner raus, damit man h getrost gleich 0 setzen kann.

Beispiel (1.1):

(2) ((a+h)² + p(a+h) + q – a² – pa – q)/h
= (2ah + h² + ph)/h = 2a + h + p

Die Steigung einer Tangente dort ist also

(3.1) f'(a) = 2a+p (Ableitung von f(x) in x=a),

woraus sich durch Verallgemeinerung die Ableitungsfunktion

(3.2) f'(x) = 2x + p (Ableitung von f(x) nach x)

ergibt.

Ein Beispiel aus der Physik ist eine beschleunigte Bewegung, wenn Du die Strecke kennst und die Momentangeschwindigkeit wissen willst.

Strecke gegen Zeit ist im Bild unten dargestellt.

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Hallo Bjoern4Torateon,

genau genommen ist die Potentielle Energie V das negative Doppelte der kinetischen, T.

Das ist aufgrund des von indiachinacook erwähnten Virialsatzes zumindest im zeitlichen Mittel auf jeder KEPLER - Bahn so, denn sie ist ja das Negative der gesamten äußeren (ohne die Ruheenergie mc²) Energie E=T+V:

‹T› = –E = –(‹V› + ‹T›) ⇔ 2‹T› = –‹V›

Bei Kreisbahnen iist das nur einfacher zu rechnen, denn sowohl T als auch V sind für sich genommen konstant, und T lässt sich über Kreisbahn-Bedingung berechnen, und man kommt auch auf dieses Ergebnis.
Man kann die kinetische Energie aufspalten in die Energie der radialen Bewegung und die Rotationseneegie (in Abhängigkeit vom Drehimpuls L›, der wie E konstant ist).

Natürlich stellt das BOHRsche Modell die Wirklichkeit nicht sehr realistisch dar, aber der Virialsatz gilt auch im Orbitalmodell, wo E und L› ebenfalls konstant sind (wobei L› eine unscharf definierte Richtung hat, aber die Komponente bezüglich einer gegebenen Achse definiert ist, ebenso wie ‹L,L›=L²).

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Hallo Bjoern4Torateon,

die Näherungsformel

(1) p› = m·v›

ist nicht anwendbar; dafür ist die kinetische Energie E[k] mit 1MeV (zu erkennen an der Beschleunigungsspannung 1MV) zu groß, fast doppelt so groß wie die Ruheenergie mc²≈511keV.

Natürlich kannst Du versuchen, erst die Geschwindigkeit auszurechnen, und dann die sog. „relativistische Masse“ (veralteter Ausdruck). Es geht einfacher: Gesamtenergie und Impuls bilden den Viererimpuls

(2.1) p» = (E/c | p›) = (E/c | p | 0 | 0)

(ich habe die Bewegungsrichtung als x-Richtung ausgewählt) mit dem MINKOWSKI -Betrag

(2.2) √{E²/c² – p²} = mc.

Ausquadrieren und umstellen ergibt

(2.3) p² = E²/c² – m²c² = E[k]²/c² + 2E[k]·m

(wegen E=E[k]+mc²). Wurzel draus ergibt

(2.4) p = √{E[k]²/c² + 2E[k]·m}
= √{2,022}MeV/c
≈ 7,2E-18J/(3E+8m/s) ≈ 2,4E-26Ns.

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Hallo ElonMusket,

es gibt z.Z. keine tiefere Erklärung dafür, dass es 3 räumliche Dimensionen gibt, zumindest keine „großen“ (es gibt Hypothesen über „eingerollte“ Raumdimensionen, also solche, die nach extrem kurzer Distanz in sich selbst zurücklaufen; vergleiche es mit der Oberfläche eines menschlichen Haares, die eigentlich 2D ist, im großen Maßstab aber nur 1D).

Allerdings haben 3D-Vektorräume und Strukturen, die solche beinhalten (ich denke da insbesondere an die Quaternionen) schon Besonderheiten, die einen schon auf den Gedanken bringen können, ein Universum könne gleichsam nur 1+3D sein (Zeit und 3 Raumdimensionen). So gibt es beispielsweise das Kreuzprodukt als Pseudovektor nur in 3D, und die Quaternionen sind der einzige Schiefkörper mit mehr als einer nicht-reellen Dimension. Also ist die Aussage…

…viele physikalische, wie auch mathematische Gesetze auch in höheren Dimensionen gelten würden.

…nur teilweise richtig. Das gilt vor allem für physikalische Gesetze. Die Gesetze der Elektrodynamik sind stark auf 1+3D abgestimmt, und wenn man z.B. die Erste Maxwellgleichung

(1) div(E›) = ρ/ε₀

in ein Abstandsgesetz übersetzt, kommt nur wegen der Dreidimensionalität des Raumes die Beziehung

(2) |E›| ~ 1/r²

zustande, bei der stabile KEPLER-Bahnen zustande kommen. Vielleicht gibt es aber auch unzählige ganz unterschiedliche „Universen“, unter denen unseres gleichsam privilegiert ist, aber das ist Spekulation. Auch, dass wir in einer 3D-Bran leben, die in einem mehrdimensionalen Bulk herumwabert, ist eine nette Idee, die aber auch mehr spekulativ als gesichert ist.

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Hallo Forty024,

in beiden Atomodellen können Elektronen im Atom nur ganz bestimmte Energiezustände annehmen gekennzeichnet durch die Hauptquantenzahl n.

Dabei muss der sogenannte Bahndrehimpuls (den man zur Unterscheidung vom Spin auch im Orbitalmodell so nennt, obwohl es da keine Bahnen gibt) in Bezug auf eine gegebene Achse immer ein ganzzahliges Vielfaches von ħ=h/2π sein (l·ħ, mit der Nebenquantenzahl l), wobei h das PLANCKsche Wirkungsquantum ist. n ist das Maximum für l.

Somit sind beide Modelle geeignet, die Stabilität der Atome und die Absorptionslinien (=Emissionslinien, wenn das Material heiß genug ist) zu erklären.

Es gibt aber natürlich eine Menge Unterschiede, nicht nur, was die Gestalt des Atoms betrifft (und das Warum der diskreten Energiezustände) betrifft, sondern auch die Drehimpulse selbst.

Im Orbitalmodell kann der Drehimpuls durchaus 0 sein, was er im BOHRschen Modell nicht sein kann, vor allem nicht im ursprünglichen von 1913, das nur Kreisbahnen kennt. Dafür können nicht alle Komponenten gleichzeitig genau bestimmt werden, weil sich Drehimpulse aus Orts- und Impulsvariablen zusammensetzen - obwohl der Betrag durchaus bestimmt ist, nämlich



d.h., die Richtung von L› ist unbestimmt, und zwar umso mehr, je kleiner l ist. Auch die chemischen Bindungen kann nur das Orbitalmodell erklären.

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Hallo Lariii9528,

Magnesium ist ein Metall, d.h., es besteht im festen und wohl auch flüssigen Zustand aus Atomrümpfen, denen die äußersten Elektronen fehlen, und einer Art „Elektronensuppe, -gas“ aus Elektronen, die nicht an einzelne Atome gebunden sind, sondern nur an den gesamten Verband. Und das im Mg-Fall vergleichsweise locker, es ist als Erdalkalimetall ein relativ unedles Metall.

An Sauerstoffatome gibt es seine Elektronen also recht „gern“ ab, die aber in O₂-Molekülen gebunden sind. Das ist ein metastabiler Zustand. Die Ionenbindung mit Mg ist allerdings stabiler als die kovalente Bindung der O-Atome untereinander.

Sobald der Sauerstoff die benötigte Aktivierungsenergie verpasst bekommen hat, und die Bindungen aufbrechen, holen sich die Sauerstoffatome eher die Elektronen vom Magnesium als wieder zusammen zu finden. Dass dabei Energie frei wird, sieht man daran, wie heiß und hell das Magnesium verbrennt.

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Hallo Meddlesome,

das ist eine gute Frage, und keine ganz einfache. Hättest Du geschrieben:

Ich habe meinenTee verschüttet, deshalb habe ich keinen mehr in der Tasse,

wäre das eindeutig. Das Du neuen Tee kochen musst, ist ja weder ein Zustand (wie Tasse leer) noch ein Ereignis (wie 'ich koche mir einen Tee') und schwerlich eine unmittelbare Wirkung des Teeverschüttens zu nennen.

Vor allem kannst Du Dich noch immer frei dafür oder dagegen entscheiden, jetzt überhaupt Tee zuzubereiten. Vielleicht hast Du ja keine Lust mehr darauf und möchtest jetzt lieber Kaffee. Tee schien Dir weniger aufwändig, nur deshalb hattest Du Dich dafür entschieden, und nach dem Malheur ist diese Entscheidung hinfällig.

Ich würde die Frage also eher verneinen. Nicht rundheraus, aber mit starker Tendenz.

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Hallo 4Andi,

auf diesem speziellen Gebiet bin ich etwas fachfremd, glaube aber trotzdem helfen zu können.

Die Konstanten in den Funktionen, in der Mathematik auch Parameter oder Koeffizienten genannt, müssen natürlich richtig übernommen werden, damit bei richtiger Rechnung auch das richtige Ergebnis herauskommt. Du hast aus der 1230 aus D(p) eine 120 gemacht; wenn Du Glück hast, ist das schon der Fehler.

Generell würde ich die Parameter durch Buchstaben wiedergeben, etwa wie im Beispiel einer quadratischen Funktion

(1) y = ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + c – b²/4a,

wo x die Variable und a, b und c Konstanten sind. Der zweiten Form sieht man besser an, wie die Parabel aussieht, natürlich in Abhängigkeit von a, b und c.

Zahlen sollte man erst am Schluss einsetzen. Wenn man einen Computer benutzt, kann man die Parameter z.B. in Excel eintragen.

In diesem Fall kannst Du entweder schreiben

(2.1) D(p): q = ap + b
(2.2) C(q) = cq² + dq + e

oder

(3.1) D(p): q = –ap + b
(3.2) C(q) = cq² – dq + e;

im ersten Fall hast Du a=–1,8665, im zweiten a=1,8665 gesetzt, also nur den Betrag. Vielleicht ist das sicherer.

Das weitete Vorgehen ist nun ähnlich, wie Du es gemacht hast bzw. precursor es gemacht hat, wobei das mit Formelzeichen einfacher ist:

(4) p = (b – q)/a

Umsatz ist, wenn ich richtig verstanden habe,

(5) pq = (bq – q²)/a

und

(6) π(q) = pq – C(q)
= (b/a)q – (1/a)q² – cq² + dq – e
= –((1/a) + c)q² + (b/a + d)q – e
=: –Aq² + Bq – e

Diese quadratische Funktion kannst Du im Prinzip ähnlich umstellen wie (1), um festzustellen, wohin die Funktion q-mäßig verschoben wurde.

Du weißt aber, dass es eine nach unten offene Parabel ist. Die hat nur eine Extremstelle, ein Maximum, das zugleich die einzige Nullstelle der ersten Ableitung

(7) π'(q) =–2Aq + B =–2((1/a)+c)q + (b/a +d)

ist, also

(8.1) 2((1/a) + c)q_{opt} = (b/a +d)
(8.2) q_{opt} = (b/a + d)/(2/a + 2c)

Wenn Du jetzt die richtigen Zahlen einsetzt, sollte das richtige Ergebnis herauskommen.

Ich überschlage nur grob: b/a≈1230/1,9≈620·(1,05)≈651
d ≈ 170
=> Zähler ca. 820

2/a≈1,05
2c≈0,8
=> Nenner ca. 1,85

=> Größenordnng stimmt etwa.

Das Überschlagen ist auch nützlich, um zu prüfen, ob man sich beim Rechner vertan hat.

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Hallo DubioserNutzer,

eindeutig weniger. Du weißt ja wahrscheinlich auch, dass Ameisen im Verhältnis zu ihrer Körpermasse viel mehr schleppen können als z.B. wir, und vielleicht hast Du auch schon gehört oder gelesen, dass dies vor allem daran liegt, dass sie so viel kleiner sind.

Der schwerste landlebende Gliederfüßer ist meines Wissens der Palmendieb, der schon wesentlich gröber konstruiert sein muss als seine kleineren Verwandten oder eben Ameisen, um sein eigenes Körpergewicht tragen zu können.

Würde man uns maßstabsgerecht um den Faktor 10 verkleinern, so würde der Querschnitt unserer Muskeln um den Faktor 100 abnehmen und damit in etwa (wahrscheinlich nicht ganz, denn sie bestehen aus weniger Molekülen und dürften daher auch stabiler sein) auch deren Kraft.

Dafür würde sich unser Volumen uns damit unsere Masse um den Faktor 1000 reduzieren, sodass jemand, der im normalen Maßstab 2 seinesgleichen tragen könnte, 20 seinesgleichen müsste tragen können, theoretisch jedenfalls.

Was größer ist, das ist weniger fest. So sind Planeten (selbst feste) gleichsam flüssig. Deshalb sind sie alle mehr oder minder rund.

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Hallo tukare,

gestatte mir, Deine Frage etwas umzuformulieren:

Was hat die Krümmung der Raumzeit mit der Äquivalenz von Gravitation und Beschleunigungskräften zu tun?

Punkte in der Raumzeit werden Ereignisse genannt. Der Weg eines Körpers (genauer: seines Schwerpunkts) durch die Raumzeit heißt seine Weltlinie. Dies ist eine zeitartige Linie, d.h., eine Länge zwischen zwei Ereignissen entlang einer Weltlinie ist eine Zeitspanne Δτ, wie sie eine mitgeführte Uhr messen würde.

Weltlinien sind

  • parallel, wenn sich zwei Körper reativ zueinander nicht bewegen,
  • Geraden, wenn ein Körper keine Geschwindigkeitsänderung erfährt, und
  • Geodätische (Verallgemeinerung von Geraden), wenn ein Körper keine spürbare Beschleunigung erfährt.

Und hier - beim letzten Punkt - liegt der Hase im Pfeffer: Eine augenscheinlich gerade Weltlinie kann eine nicht-Geodätische sein. Auf unser aller Weltlinien trifft genau das zu, denn wir spüren ständig eine Beschleunigung nach oben, die der Boden auf uns ausübt. So würde man sich im freien Weltraum fühlen, wenn das eigene Raumschiff konstant beschleunigt.

Umgekehrt sind Weltlinien von Körpern im Orbit oder Freien Fall ejndeutig Geodätische, denn so ein Körper spürt ebensowenig eine Kraft, als wenn er sich mit konstanter Geschwindigkeit bzw. gar nicht durch den freien Weltraum bewegen würde (ggf., wenn er groß oder das Gravitationsfeld stark und inhomogen genug ist, eine Gezeitenkraft, was den substantiellen Unterschied ausmacht).

Stell Dir vor, Du setzt zwei Roboterameisen, die auf's Geradeauslaufen programmiert sind, parallel auf eine gewölbte Fläche. Die anfänglich parallel laufenden Ameisten würden gleichsam automatisch zusammenlaufen wie die Meridiane der Erde an den Polen. Um das zu verhindern, müsste mindestens eine einen Weg laufen, der keine Geodätische ist, die ein vom Äquator verschiedener Breitengrad.

Die gewölbte Fläche steht hier als Bild nicht etwa für den Raum, sondern die Raumzeit, wobei die Zeit durch die Laufrichtung der Ameisen dargestellt wird. Es geht auch nicht um „Krümmung in eine Extra-Dimension hinein“, sondern um Krümmung als innere geometrische Eigenschaft der Raumzeit selbst. Anfänglich parallele Geodätische in einer geometrisch flachen Raumzeit wären Geraden und würden parallel bleiben; dass sie es nicht tun, weist die Raumzeit als gekrümmt aus.

Merklich gekrümmter Raum macht sich etwa auch dadurch bemerkbar, dass selbst das geradeste überhaupt, Lichtstrahlen, krumme Wege läuft (Gravitationslinseneffekt) und der Umfang eines Kreises von 2π mal dem Radius abweicht.

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Hallo Alexx1002,

weder Zeit noch Raum gibt es als separate Größen, es gibt nur die Raumzeit, und Punkte in dieser Raumzeit werden Ereignisse genannt. Ein Beispiel dafür ist ein geplantes Treffen, für das Du auch Ort und Zeit brauchst. Für den Ort brauchst Du mindestens einen Referenzkörper, vorzugsweise eine Uhr U, die auch die Zeit anzeigt.

Deren Schwerpunkt ist in der Raumzeit eine Linie, Weltlinie genannt. Die Weltlinie eines relativ zu U mit einer Geschwindigkeit v› bewegten Körpers, etwa einer Uhr U', verläuft gleichsam schräg zu der von U - und umgekehrt. U bewegt sich relativ zu U' räumlich mit -v›.

GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) besagt nun: Jede der beiden Uhren kann mit demselben Recht als stationär und damit ihre Weltlinie als „geradeaus-vorwärts“ interpretiert werden. Das ist auch die Grundlage der Relativitätstheorie.

In den 3 folgenden Kapiteln wird es etwas mathematisch, nicht, weil ich Dich ärgern oder beeindrucken wollte, sondern weil ich präzise sein will. Ich versuche dabei aber auch so anschaulich wie möglich zu bleiben.

Ein räumliches Gleichnis I

Du kannst das ungefähr mit zwei auf einer Ebene schräg (im Winkel θ) zueinander fahrenden Autofahrern A und A° vergleichen. Jeder von denen hat seine Vorwärtsrichtung und definiert auch anders, was „genau seitwärts“ liegt.

Wenn nun beide Wagen dasselbe Tempo u haben, fährt der rechte Wagen relativ zur Fahrtrichtung des linken mit

(1.1) (u_z | u_x) = (u·cos(θ) | u·sin(θ)),

also mit u·cos(θ) nach vorn und mit u·sin(θ) nach rechts. Der linke Wagen fährt dagegen relativ zur Fahrtrichting des rechten mit

(1.2) (u_z | u_x°) = (u·cos(α)|u·sin(α)).

Jeder fällt also hinter den Anderen bezüglich dessen Fahrtrichtung zurück.

Eindeutig hinter dem Anderen zurück bleiben wird derjenige, der seinen Kurs ändert und schließlich auf einen zum anderen parallelen Kurs einschwenkt (ohne dabei das Tempo zu erhöhen, natürlich). Wenn er weit genug zurückliegt, kann er sogar dessen Fahrspur nutzen, er wird ihn dort nicht mehr antreffen.

Ein räumliches Gleichnis II

Der letzte Satz im vorigen Absatz stellt gerade das Problem dieses Gleichnisses dar. Wenn ich von einem Körper weg - und anschließend wieder hinfliege, werde ich ihn in jedem Fall antreffen. Man könnte auch zwei Salamis S und S° gleicher Länge L und gleichen Durchmessers d betrachten, die im Winkel θ auf einer Tischplatte liegen.

Jede Salami definiert ein Koordinatensystem, in dem das vordere Ende relativ zum hinteren die Position (L|0) hat, also L nach vorn und 0 nach rechts oder links.

Im Koordinatensystem von S hat das vordere Ende von S° aber die Position

(2.1) (Δz | Δx) = (L·cos(θ) | L·sin(θ))

relativ zum hinteren, und in dem von S° hat das vordere von S die Position

(2.2) (Δz° | Δx°) = (L·cos(θ) | –L·sin(θ))

relativ zum hinteren.

Macht man quer zur Längsrichtung von S einen Schnitt durch S° (oder umgekehrt), bekommt man jeweils eine Schnittkante der Breite d/cos(θ).

Kein Mensch käme auf die Idee, S° im Koordinatensystem von S als „längs kontrahiert“ oder „quer expandiert“ zu beschreiben; S° ist relativ zu S einfach gedreht, mehr nicht. Der Abstand zwischen zwei Punkten ist in beiden Koordinatensystemen natürlich identisch, nämlich, nach PYTHAGORAS,

(3) Δs = √{Δz² + Δx²} ≡ √{Δz°² + Δx°²},

was auch impliziert, dass krumme Linien in der Ebene länger sind als gerade.

Zurück zur Raumzeit

Es gibt natürlich Unterschiede zwischen der erwähnten z-x-Ebene und etwa der t-x-Ebene der Raumzeit, wobei ich mit der x-Richtung z.B. die Bewegungsrichtung von U' relativ zu U meine. In der Raumzeit gibt es nämlich zwei Klassen von Richtungen, nämlich zeitartige, in denen Weltlinien liegen können, und raumartige, die zu jeder Weltlinie tendentiell quer liegen.

Zwei Ereignisse auf einer Weltlinie liegende Ereignisse lassen sich als gleichortig interpretieren und haben den absoluten zeitartigen Abstand (Eigenzeit) Δτ. Es ist gerade der Zeitabstand, den eine mitgeführte Uhr messen würde, z.B. meine Armbanduhr (sofern sie autonom ist, also keine Funkuhr), wenn sie beim letzten Schluck einer Tasse Kaffe genau 5min mehr anzeigt als beim ersten.

Zwei zur Weltlinie einer Uhr (und zueinander) parallele Weltlinien wie die Enden eines Gebäudes, Zuges oder Raumschiffs, in dem ich meinen Kaffee trinke, haben nach einem mitgeführten Maßstab den räumlichen Abstand Δς. Dasselbe gilt für Ereignisse, die nach der mitgeführten Uhr gleichzeitig sind.

Wohl bemerkt: Wir haben die Beziehung zwischen Zeit und Raum noch nicht „festgezurrt“. Was ich bisher geschrieben habe, hätte NEWTON guten Gewissens unterschreiben können. Er hätte nur die Zusammenfassung von Raum und Zeit willkürlich und überflüssig gefunden.

Unterschied zwischen NEWTON und EINSTEIN

Für ihn wäre nämlich angenommen, dass Δτ≡Δt'≡Δt sein müsse, der absolute zeitliche Abstand zweier beliebiger Ereignisse. Falls der gleich 0 ist, gibt es nach NEWTON den räumlichen Abstand Δς=Δs(Δt=0).

Eine Umrechnung zwischen der Interpretation Σ von U als unbewegter und U' als mit (v|0|0) bewegter Uhr und der Interpretation Σ' von U' als unbewegter und U als mit
(-v|0|0) bewegter Uhr ist nach NEWTON quasi eine Scherung. Sie wird als GALILEI-Transformation bezeichnet.

Diese Annahme einer absoluten Zeit und einer absoluten Gleichzeitigkeit erwies sich als voreilig. Schon vor EINSTEIN entwickelten LORENTZ und POINCARÉ Gleichungen zur Umrechnung zwischen Σ und Σ', die erklären sollten, wieso man die eigene Bewegung nicht anhand von Messungen/Vergleichen der Lichtgeschwindigkeit nachweisen kann. Sie unterschieden allerdings noch zwischen der „Ortszeit“ t' und der „richtigen“ Zeit t, womit sie U als „die ruhende“ Uhr festlegten und U' als die eindeutig „bewegte“ Uhr, nur dass man das nicht merkt.

EINSTEIN ließ 1905 diese Unterscheidung fallen und erklärte, dass Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse relativ ist. Sein ehemaliger Matheprofessor MINKOWSKI war allerdings 1907 der Erste, der das Konzept des absoluten raumzeitlichen Abstands entwickelte:

(4.1) Δτ = √{Δt² – Δs²/c²} ≡ √{Δt'² – Δs'²/c²}
(4.2) Δς = √{Δs² – c²Δt²} ≡ √{Δs'² – c²Δt'²} = -icΔτ

Dabei ist i die imaginäre Einheit mit i² = –1 und damit (-i)·i=1. Wie Du nämlich siehst, wird Δτ² negativ und damit Δτ imaginär, wenn Δs>cΔt ist. Das ist gerade das Kriterium für raumartige Abstände.

Der Fall Δs=cΔt ist ein Grenzfall. Ein Paar von Ereignissen mit dieser Eigenschaft heißt lichtartig getrennt. Wenn ich auf eine Uhr gucke und Du mich im Abstand Δs um Δs/c später auf die Uhr gucken siehst, ist das ein Beispiel dafür. So kann man sagen, die Lichtgeschwindigkeit verbindet und trennt Raum und Zeit zugleich.

Ansonsten kann ich aber viele Parallelen zu (2.1-2) aufstellen:

Wenn ich einen Vorgang der Dauer T bei U' von U aus beobachte, ist das Ende des Vorgangs relativ zum Anfang bei

(5.1) (Δt | Δs/c) = (T·γ | T·γ·v/c) = (T/√{1 – (v/c)²} | T·v/c√{1 – (v/c)²}),

und wenn ich einen Vorgang der Dauer T bei U von U' aus beobachte, ist das Ende des Vorgangs relativ zum Anfang bei

(5.2) (Δt' | Δs'/c) = (T·γ | –T·γ·v/c).

Anngenommen, U und U' befinden sich an Bord von Raumschiffen der x- Ausdehnung d. Zwei von U aus gemessen gleichzeitige Ereignisse an den Enden des U'-Raumschiffs haben den Abstand Δς=d/γ, und umgekehrt gilt dasselbe.

Es ist leider noch immer üblich, dieses „Längenkontraktion“ und das obige Δt'=T·γ „Zeitdilatation“ zu nennen, was der Sache aber nicht wirklich gerecht wird.

Wegen des Minuszeichens in (4.1-2) ist eine krumme Strecke übrigens kürzer als eine gerade. Wenn ich also zu t₁ mit einem Raumschiff die Erde (deren Weltlinie auch nicht wirklich gerade ist, aber ziemlich) verlasse und nach einer Reise mit genügend großer Geschwindigkeit (damit man auch einen Unterschied misst) bei t₂ zurückkehre, werde ich eine Eigenzeit Δτ<(t₂–t₁) gebraucht haben.

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Hallo Kugelschreiber9,

im Prinzip sind Mikrowellen nichts anderes als Licht. Es sind elektromagnetische Wellen, ihre Quanten (unteilbare Energieportionen) heißen Photonen. Einzig die Frequenz f der Wellen und damit die Photonenenergie h·f ist um rund 5 Zehnerpotenzen kleiner als bei typischem sichtbarem Licht.

Am Ausbreitungstempo ändert das freilich nichts. Als Teilchen ohne Ruheenergie (nichs wesentlich anderes als Masse) können sich Photonen nur mit c bewegen.

Dank der niedrigeren Frequenz hat eine entsprechend größere Wellenlänge

(1.1) λ = c/f,

die man besser messen kann. Außerdem lässt sie sich zu

(1.2) c = λ·f

umstellen, weil man c ja herausfinden möchte. Bei einer Stehenden Welle haben wir einen Abstand

(2.1) d = λ/2 = c/2f

zwischen zwei Schwingungsbäuchen bzw. Schwingungsknoten. Legst Du eine Tafel Schokolade in das Gerät (Drehteller im Zweifelsfall ausbauen, die Schokolade soll sich ja nicht bewegen) und schaltest kurz ein, misst dann den Abstand zwischen zwei geschmolzenen (Bäuche) bzw. nicht geschmolzenen Stellen (Knoten), je nachdem, was sich besser lokalisieren lässt, hast Du d. Falls Du f kennst, kannst Du via

(2.2) c = 2fd

die Lichtgeschwindigkeit ausrechnen. Umgekehrt kannst Du natürlich auch die Frequenz berechnen, wenn Du die Lichtgeschwindigkeit kennst:

(2.3) f = c/2d

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Hallo Tsukini,

20kg wiegen knapp 200N (genauer: 196,2N), wenn man die mittlere Gravitationsfeldstärke von 9,81m/s²·(–1r›) ('1r›' steht für die Richtung vom Erdmittelpunkt weg, das Minuszeichen dreht die Richtung um) in der Nähe der Erdoberfläche zugrunde legt.

Die Momente müssen 0 ergeben, weshalb die Gleichgewichtsbewegung

Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm

lautet (wobei die Last eigentlich auch eine Kraft ist, also die 200N, nicht die 20kg). Da die Kraft ca. 5/4 der Last ist, muss der Kraftarm 4/5 des Lastarms sein, also ca. 4m.

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Hallo Soenph2000,

im Vakuum breitet sich das Licht mit dem Tempo

(1) c = 299792458 m/s ≈ 3×10⁸m/s

aus, und die Verringerung dieses Tempos in Luft - es bewegt sich nicht wirklich langsamer, sondern wird durch ständige Wechselwirkung aufgehalten - ist vernachlässigbar und wird hier auch vernachlässigt. Man sagt, der Brechungsindex der Luft ist n₀≈1.

Beim Übergang durch eine Grenzfläche zu einem Medium mit dem Brechungsinex n₁ nehmen die ständigen Wechselwirkungen schlagartig stark zu, und das effektive Tempo reduziert sich auf

(2) c₁ = c·(n₀/n₁) ≈ c·(1/n₁),

und die Lichtwellenfront wird an dem Ende, das zuerst auf die Grenzfläche trifft, zuerst ausgebremst und wird dadurch stärker parallel zur Grenzfläche und die Ausbreutungsrichtung zum Lot. Dabei entspricht das Verhältnis der Sinen (Pl. von 'Sinus') der Winkel α₀ und α₁ dem der Ausbreitungstempos:

(3.1) sin(α₀)/sin(α₁) = c/c₁ ≈ n₁,

in diesem Falle eben sin(38°)/sin(22°). Um c₁ zu ermitteln, muss man umstellen:

(3.2) c₁ = c·(sin(α₁)/sin(α₀)) = (hier) c·(sin(22°)/sin(38°))

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Hallo Hiitsme870,

das ist definitionsgemäß so. Das Bequerel ist durch die Anzahl der Kernumwandlungen pro Sekunde definiert:

1Bq = 1(Kernumwandlung)/s

Rein formal könnte man das Bq mit dem Hz gleichsetzen, das auch 1/s (dimensionslose Zahl durch Zeit) ist. Beim Hz wird jedoch etwas anderes gezählt, nämlich Schwingung bzw. Winkel in Radian (was auch keine echte Maßeinheit ist).

Das kleine 'k' ('kilo') vertausendfacht die Größe und tausendstelt den Zahlenwert, d.h.

1000Bq = 1kBq.

Übrigens hat 1g Radium 226 eine Aktivität von etwa

37GBq = 3,7×10¹⁰Bq =: 1Ci,

wobei 'Ci' für 'Curie' steht, eine ältere Maßeinheit für die Aktivität.

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Hallo Lelpvp,

die Kraft ist eine Vektorgröße, eine Größe mit Richtung. Vektoren werden komponentenweise addiert bzw., wenn sie als Pfeile anschaulich dargestellt werden, wir der Anfang des zweiten an die Spitze des ersten gehängt, und die Vektorsumme ist dann ein Pfeil vom Anfang des ersten zur Spitze des zweiten Pfeils.

Sollte übrigens ein Körper auf dem Erdboden aufliegen oder sonstwie fest mit der Erde verbunden sein, übt diese zu jeder vorhandenen Kraft immer die entsprechende Gegenkraft aus, weil ihre Masse recht groß ist (ca. 6×10²⁴kg).

In diesem Fall haben die Kräfte alle nur die z-Komponente, die bei nach unten gerichteten Kräften natürlich negativ ist.

Darüber hinaus gibt es noch Drehmomente M›=r›× F›. Ihre Richtung ist die Drehachse, und zwar so, dass sie auf den Betrachter zu zeigen, wenn der Drehsinn gegen den Uhrzeigersinn gerichtet ist. Dabei ist r› der Vektor vom Schwerpunkt des Trägers aus.

Die Summe aller Kräfte muss gleich 0 sein, damit der Träger als Ganzes (und damit auch sein Schwerpunkt) nicht beschleunigt wird

Die Summe aller Momente muss gleich 0 sein, damit der Träger keine Winkelbeschleunigung um seine Drehachse erfährt.

Kleine Randbemerkung: Das Bild sollte allerdings sehr gern ein vom Beobachter weg gerichtetes Drehmoment erfahren, und zwar so lange, bis es um π/2 im Uhrzeigersinn gedreht ist. Das würde das Lesen doch sehr erleichtern.

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