Hallo DagwoodBarry,

stell Dir drei Raumfahrzeuge A, B und C mit ausgeschaltetem Antrieb vor, die auf einer Linie liegen und je d = 2 Lichtminuten voneinander entfernt sind. Du gleitest in einem vierten Raumfahrzeug B' mit ebenfalls ausgeschaltetem Antieb mit v = 0,6c an ihnen vorbei.

Alle Raumfahrzeuge stehen in Sicht- und vor allem Funkkontakt. Besonders interessant sind nun zwei Lichtsignale, die zu genau dem Zeitpunkt t₀ = 12:00 Uhr B erreichen, zu dem B' gerade B passiert. Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, dass der Zeitpunkt t'₀, den seine Uhr in dem Moment zeigt, ebenfalls 12:00 Uhr ist.

Im gemeinsamen Ruhesystem Σ von A, B und C ist klar, dass beide Signale 2 min gebraucht haben müssen also um 11:58 Uhr abgeschickt wurden.

Im Ruhesystem Σ' von B' sieht es aber völlig anders aus: C war zur Zeit der Absendung un den Faktor

(1) (1 + v⁄c)/(1 − v⁄c) =: K²,

in unserem Zahlenbeispiel 4, näher als A. Konkreter gesagt war C ganze 4 und A nur eine Lichtminute entfernt. So muss C sein Signal schon um 11:56Uhr, A aber erst um 11:59Uhr abgeschickt haben, sodass sie Dich gleichzeitig erreichen.

Abb. 1: Raumzeit-Diagramm für den Vorbeiflug von B' an A, B und C

Hallo Shawndasschaf12,

genauso ist es. Theoretisch kannst Du nit einem leistungsfähigen Raumfahrzeug die Strecke in beliebig kurzer Eigenzeit (das ist die von der Borduhr direkt gemessene Zeitspanne) erreichen.

Allerdings wird das Raumfahrzeug dadurch in Bezug auf eine "stationäre" (was immer das heißt, denn Fortbewegung ist relativ) Uhr U automatisch zur Zeitmaschine, die in dieser kurzen Eigenzeit sehr viel U- Koordinatenzeit (das ist die von U aus ermittelte Zeitspanne) zurücklegt.

Hallo Ali12149,

es kommt natürlich darauf an, wie schnell Du fliegst. Und wie hoch, denn Uhren auf höherem Gravitationspotential gehen achneller als auf tieferem. Daher gibt es Kombinatiinen aus Geschwindigkeit und Flughöhe, bei denen sich beides perfekt ausgleicht.

Die Formel dafür lässt sich aus der SCHWARZSCHILD- Metrik

(1) dτ² = dt²(1−2м⁄r) − dr²/(1−2м⁄r) − r²dΩ²

herleiten. Dabei ist dτ eine kurze Zeitspanne auf Deiner Uhr (Eigenzeit), dt eine kurze Zeitspanne auf einer hypothetischen fernen Uhr U (U-Koordinatenzeit), r ist die radiale Koordinate und beschreibt eine Sphäre der Fläche 4πr² um den Mittelpunkt eines Himmelskörpers, 2м ist der SCHWARZSCHILD- Radius des besagten Himmelskörpers (der ist proportional zur Masse des Körpers; bei der Erde ist er knapp 0,9cm groß), dr ist ein kleiner r-Unterschied und

(2) dΩ := √{dθ² + r²sin²(θ)dφ²}

steht für eine kleine Entfernung entlang einer Kugelschale. Längeneinheiten werden hier in (Licht-)Sekunden (1 (Licht-)Nanosekunde ≈30cm) angegeben, sonst hätten wir r⁄c und dr⁄c schreiben müssen.

Wenn Du stationär auf dem Boden bist oder im Flugzeug mit konstanter Flughöhe bist, ist dr=0. Der entsprechende Term fällt also weg. Du kannst außerdem ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass dθ=0 ist. Befindest Du Dich auf, sagen wir, 60° nördlicher Breite, so ist θ=30° und damit sin(θ)=½. Die Winkelgeschwindigkeit dφ/dt ist dann 2π/86164s (1 Tag hat 86400s, aber eine Umdrehung der Erde geht etwas schneller).

Beim Flugzeug kannst Du annehmen, dass es "geradeaus", d h. einen Großkreis fliegt, und dann kannst Du annehmen, dass dies der Äquator ist, also θ=90° und damit sin(θ)=1.

Hallo Wassermann21719,

das Wort "erkennen" im Zusammenhang mit Koordinatensystemen ist irreführend.

Koordinatensysteme sind "künstlich", d.h., sie werden von uns Menschen definiert, um z.B. eine Position P relativ zu einem Bezugskörper, z.B. einer Uhr U, ganz einfach durch ein Zahlentripel ausdrücken zu können. Das Wort "Bezugskörper" impliziert, dass U als stationär betrachtet wird.

Abb. 1: Position P relativ zu U, der in dem aus den je 1 m langen Einheitsvektoren u›_x, u›_y und u›_z gebildeten Koordinatensystem die Koordinaten x_P = −0,9 m, y_P = 3,6 m und z_P = 1,2 m hat.

Der gewöhnliche 3D-Raum – definiert von U aus – heißt Euklidisch, weil das Verhältnis zwischen der Entfernung r_P der Position P und den Koordinaten durch die Euklidische Metrik

(1) r_P² = x_P² + y_P² + z_P²

gegeben ist, die sich aus dem Satz des PYTHAGORAS ergibt.

Ein Ereignis ist durch Ort (Position relativ zu U) und Zeit gekennzeichnet, wobei diese von U aus ermittelt wird. Bei Ereignissen, die weit entfernt von U stattfinden, muss dabei eine zeitliche Verzögerung eingerechnet werden, weil das Licht sich mit dem endlichen Tempo c ≈ 3×10⁸ m⁄s ausbreitet.

Diese Zeit lässt sich problemlos auch als vierte – oder "nullte" – Koordinate auffassen. Natürlich ist das üblicherweise keine Meter-Angabe, sondern Datum und Uhrzeit einschließlich Selunden und ihrer Bruchteile.

Das Ganze schimpft sich die Raumzeit.

Hallo Anonymus,

die Formulierung "man bewegt sich nur noch durch den Raum und nicht mehr durch die Zeit" ist eine starke Verkürzung und eigentlich sogar falsch.

Stell Dir eine äußere Uhr U vor, von der aus man ein Koordinatensystem Σ definieren kann und neben der eine Zeitmaschine steht. Eine von U angezeigte Zeitspanne Δt zwischen zwei Ereignissen heißt dann U- Koordinatenzeit. Die von einer Borduhr Ώ angezeigte Zeitspanne Δτ zwischen denselben Ereignissen heißt Eigenzeit.

Wann würdest Du sagen, dass Du Dich zeitlich schnell vorwärts bewegst? Wenn Du in wenig Eigenzeit viel U- Koordinatenzeit zurücklegst, nicht umgekehrt.

Ein mit hoher Geschwindigkeit bewegtes Teilchen oder bewegter Körper, z.B. ein Raumfahrzeug, ist gewissermaßen automatisch eine Zeitmaschine, die sich zeitlich immer schneller vorwärts bewegt als räumlich.

Im Prinzip ist es möglich, relativ zur Bezugsuhr U eine beliebig lange Strecke Δx in einer beliebig kurzen Eigenzeit zurückzulegen, d.h. Δx⁄Δτ kann beliebig groß werden; seine 1D-Geschwindigkeit in Σ ist aber als Strecke durch U-Koordinatenzeit, Δx⁄Δt definiert.

Hallo Wassermann21719,

ich weiß nicht, was Du hier mit "Singularität" meinst, ein Ganzes vielleicht?

In der Mathematik bezeichnet das Wort meist einen Variablenwert, für den eine Funktion nicht definiert ist, weil an dieser Stelle durch 0 dividiert werden müsste (z.B.: die Funktion y = 1/(x + 1)² hat eine Singularität an der Stelle x = −1.

Bei Flächen oder deren mehrdimensionaler Verallgemeinerung, sog. Mannigfaltigkeiten, wird eine Stelle als Singularität bezeichnet, an der sie eine gewissermaßen unendlich starke innere Krümmung aufweisen, z.B. die Spitze eines Kegels.

Um Raum und Zeit zu einem Ganzen zusammenzufassen, brauchen wir die Relativitätstheorie nicht einmal.

Es ist eigentlich sogar umgekehrt, Raum und Zeit als separate Dinge gibt es zunächst einmal gar nicht. Wir brauchen einen Bezugskörper (einen Körper, von dem wir annehmen, dass er sich nicht bewegt), anhand dessen wir die Raumzeit überhaupt erst in Raum und Zeit zerlegen können, vorzugsweise eine Uhr U.

Raum ist "die Menge aller Orte", und ein Ort lässt sich als zeitlich konstante Position relativ zu U auffassen.

Zeit manifestiert sich durch die Abfolge von Ereignissen, z.B. die Wechsel in der Anzeige von U selbst. Anschaulich kann man sie sich wie Leitpfosten entlang einer Straße vorstellen, deren Mittellinie die Weltlinie (WL) von U darstellt. Da wir U als ruhend denken, ist ihre WL gerade, und wir können sie als Zeitachse eines Koordinatensystems Σ verwenden.

Ein Ort wird damit quasi zu einer Geraden, einer Parallelen der Zeitachse.

Beobachten wir von U aus zwei Ereignisse E₁ und E₂, so müssen wir deren Entfernungen kennen und berücksichtigen, um die Zeiten t₁ und t₂ beider Ereignisse und damit natürlich auch die Zeitspanne Δt = t₂ − t₁ zwischen ihnen zu ermitteln, denn Licht breitet sich bekanntlich mit dem endlichen Tempo c aus. Δt wird als U- Koordinatenzeit zwischen E₁ und E₂ bezeichnet, da sie ja eine Koordinatendifferenz in Σ darstellt.

Finden E₁ und E₂ nahe einer beliebig bewegten Uhr Ώ statt, so kann Ώ natürlich auch eine Zeitspanne Δτ = τ₂ − τ₁ direkt messen. Diese Zeitspanne heißt dann Eigenzeit und ist anschaulich die Weglänge entlang der WL von Ώ zwischen E₁ und E₂.

"Beliebig bewegt" schließt natürlich Spezialfälle ein. So kann Ώ mit U selbst oder mit einer relativ zu U mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v› bewegte Uhr U' identisch sein; v› ist anschaulich die Neigung ihrer WL gegen die von U, einschließlich ihrer Richtung.

Wir können auch von U' aus ein Koordinatensystem Σ' mit der WL von U' als Zeitachse definieren, in dem U als mit −v› (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung) bewegt auffassen.

Das RP besagt, dass die grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen (nichts anderes sind Naturgesetze) unabhängig davon sind, ob wir die Größen selbst in Σ oder in Σ' ausdrücken.

Damit ist natürlich auch die Definition von Orten uneindeutig. Finden E₁ und E₂ in derselben Position zu U' statt, sind sie in Σ gleichortig, in Σ' aber natürlich nicht. Da es aber wenigstens ein Koordinatensystem gibt, in dem sie gleichortig sind, bezeichnen wir sie als zeitartig getrennt.

Zu den Naturgesetzen gehören freilich auch MAXWELLs Grundgleichungen der Elektrodynamik und damit auch die elektromagnetische Wellengleichung, da sie direkt aus Ersteren folgt.

Auch sie muss also in beiden Koordinatensystemen gelten; das heißt aber auch: Wenn Beobachter bei U und U' beide das Tempo eines und desselben elektromagnetischen Signals relativ zu sich (jeweils sich selbst als unbewegt betrachtend) messen, müssen sie laut RP auf denselben Wert c kommen. Und hier setzt die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) an.

-- Baustelle --

Hallo marina2010,

eigentlich wird es bis Weihnachten jeden Tag etwas später hell und etwas früher dunkel.

Als die Uhren zurückgestellt wurden, wurde es nicht plötzlich eine Stunde früher morgens heller und abens dunkler, sondern die Uhrzeit heißt jetzt nur anders, und Du machst alles eine Stunde später als während der Gültigkeit der Mitteleuropäischen Sommerzeit (MESZ).

Die "Winterzeit" ist freilich einfach die Mitteleuropäische Zeit (MEZ). Wahrscheinlich wurde der Terminus von Verfechtern der ganzjährigen MESZ aufgebracht, um die MEZ psychologisch mit Winter und damit mit ungemütlichem Wetter zu verknüpfen und mies zu machen. 😎

Hallo AlexandPeace,

grundsätzlich ist Fortbewegung laut klassischer Mechanik relativ. Bewegen sich zwei Körper bzw. Beobachter B und B' geradlinig- gleichförmig relativ zueinander und ist v› die Geschwindigkeit von B' relativ zu B, so können wir ebensogut B' als ruhend und B als mit −v› (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung) bewegt ansehen.

GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) sagt aus, dass die grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen (nichts anderes sind Naturgesetze) in einem von B aus definierten Koordinatensystem Σ und in einem von B' aus definierten Koordinatensystem Σ' identisch sind.

...und die gesamte Milchstraße bewegt sich wiederum um einen anderen Mittelpunkt (wo ist hier eigentlich die Grenze?).

Man könnte den Kosmischen Mikrowellen- Hintergrund (CMB), der erst in den 1960ern entdeckt wurde, als ein besonderes Bezugssystem betrachten, relativ zu dem sich das Sonnensystem mit ca. 370km/s, also rund 1,24×10⁻³c, bewegt.

Man muss aber beachten, dass sich diese Bewegung nicht mit ausschließlich physikalischen Methoden nachweisen lässt, nur mit modernen astronomischen Beobachtungen.

Licht hat immer die gleiche Geschwindigkeit, selbst wenn sich das emittierende Objekt bewegt?

Ursprünglich waren zwei Theorien zur Lichtausbreitung "auf dem Markt":

• Der Emissionstheorie oder ballistischen Theorie zur Folge sollte Licht aus kleinen Teilchen (Korpuskeln) bestehen, die sich relativ zur Quelle immer mit demselben Tempo c bewegen. Dies ist konsistent mit dem RP, wirft aber die Frage auf, ob und, wenn ja, warum sie immer c haben sollten und nicht ganz unterschiedliche Tempos.
• Der Wellentheorie zur Folge besteht Licht aus Wellen, die sich relativ zu einem Medium namens (Welt-) Äther immer mit c ausbreitet, also unabhängig von der Bewegung der Quelle. Dies ist konsistent mit der MAXWELLschen Elektrodynamik, aber es müsste dann Abweichungen vom RP geben, wenn man sich relativ zum Äther schnell genug bewegt.

Tatsächlich hätte man bei einigen Experimenten (Stichwort MICHELSON- MORLEY- Experiment, kurz MMX) schon aufgrund der Bewegung der Erde um die Sonne mit ca. 10⁻⁴c eine solche Abweichung finden müssen, fand aber keine.

Das brachte FITZGERALD und LORENTZ auf die Idee, dass der hypothetische Äther Längen bewegter Maßstäbe derart beeinflusse, dass auch ein relativ zu ihm bewegter Beobachter bei einer Messung der 2-Wege- Lichtgeschwindigkeit immer auf c kommt (F-L- Kontraktion oder Längenkontraktion).

LORENTZ erkannte später auch, dass der Äther auch relativ zu ihm bewegte Uhren verlangsamen müsse (Zeitdilatation), sodass ein relativ zu ihm bewegter Beobachter seine eigene Bewegung nicht nachweisen kann. Er entwickelte die LORENTZ- Transformationen zur Umrechnung zwischen den Ruhesystemen zweier relativ zueinander bewegter Körper bzw. Beobachter.

EINSTEIN schließlich gab die Idee des Äther ganz auf und benutze nur noch das RP und postulierte "zusätzlich", dass sich Licht sowohl relativ zur Quelle als auch relativ zu einem beliebigen Empfänger immer mit c bewege.

Nun besteht Licht aus elektromagnetischen Wellen und die unterliegen direkt MAXWELLs Grundgleichungen der Elektrodynamik. Das macht die Lichtausbreitung mit c zu einem Naturgesetz, d.h., EINSTEIN hätte das Postulat auch direkt aus dem RP ableiten können.

Wenn man jetzt einen Test auf der Erde mit Laser in zwei entgegengesetzten Richtungen macht, kommt die selbe Lichtwellenlänge heraus.

Für einen mit der Quelle, sprich, dem Sendegerät bzw. der Erde mitbewegten bzw. relativ zu ihr unbewegten Beobachter ja. Ein Beobachter, der sich relativ zum CMB nicht bewegt, wären die Lichtwellen schon leicht unterschiedlich, wenn ein Strahl in und der andere gegen die momentane Bewegungsrichtung der Erde geschickt wird.

Für das Licht der Sonne gilt dasselbe. Auch die Sonne kann als ruhender Körper angesehen werden.

Hallo Waldmorti,

EINSTEIN war nicht seiner Zeit weit voraus, sondern er war sozusagen "mutiger", was die Integration neuer Gedanken in die Physik betrifft.

Hatte LORENTZ noch immer am Konzept des ruhenden Äthers festgehalten, sodass in seiner Theorie GALILEIs (!) Relativitätsprinzip (RP) sozusagen rein technisch erfüllt ist (ein Beobachter kann mit rein physikalischen Methoden nicht feststellen, wie schnell oder in welche Richtung er sich relativ zu diesem Äther bewegt).

EINSTEIN gab die Idee des Äther komplett auf und wandte einfach das RP auf MAXWELLs Grundgleichungen der Elektrodynamik und auf die direkt aus ihnen folgende elektromagnetische Wellengleichung an. Das Ergebnis ist die Spezielle Relativitätstheorie (SRT).

Allerdings war die Gravitation nicht dabei. Nun hatte schon GALILEI erkannt, dass Körper mit verschieden Massen im Prinzip dieselbe Fallbeschleunigung erfahren. Eine Gravitationskraft wirkt demnach genauso wie eine Trägheitskraft.

Und dies hat EINSTEIN auf die Idee gebracht, zunächst das Äquivalenzprinzip (ÄP) zu formulieren und darauf die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) aufzubauen.

Das ÄP sagt aus, dass man einen statischen Zustand in einem homogenen Gravitationsfeld physikalisch nicht von der Wirkung geradlinig- gleichförmiger Beschleunigung unterscheiden kann; umgekehrt kann man den freien Fall in einem solchen Gravitationsfeld nicht von einem statischen Zustand im freien Weltraum unterscheiden.

Allerdings sind natürliche Gravitationsfelder nicht homogen, und Körper, die einander nahe genug sind, werden von ihren Gravitationsfeldern aufeinander zu beschleunigt. Dies ist natürlich ein Problem, hier gilt das ÄP offensichtlich nicht in dieser Form.

Hier war das Konzept der Raumzeit von großem Nutzen. Der Weg eines Körpers durch die Raumzeit heißt seine Weltlinie (WL). Gerade WLn sind die von Körpern, die ruhen oder sich geradlinig- gleichförmig bewegen. Parallele WLn sind die von Körpern, die relativ zueinander ruhen.

Hier konnte EINSTEIN auf die Ideen von GAUß und RIEMANN zurückgreifen, die die innere Krümmung von Flächen bzw. ihren mehrdimensionalen Verallgemeinerungen, den Mannigfaltigkeiten, ohne Bezug auf deren Einbettung in einen noch höherdimensionalen Raum beschreiben.

Hallo AlexandPeace,

das meiste Licht geht schon aus dem Wasser raus, wenn die Wasserschicht zwischen Lichtquelle und Oberfläche nicht zu groß ist. Wasser ist dabei durchsichtiger für blaues als für grünes oder rotes Licht.

Es kommt aber auf den Blickwinkel an. Licht, das unter einem zu großem Winkel zum Lot auf die Oberfläche trifft, wird total reflektiert.

Hallo Hala1666,

Eine Uhr...

...nennen wir sie B'...

...bewegt sich mit v = 0,6c nacheinander an zwei ruhenden, synchronen Uhren...

...nennen wir diese A und B...

...vorbei.

Das ist eine mögliche Interpretation. Eine andere ist, dass die Uhren A und B mit −v (gleiches Tempo, entgegengesetzte Richtung) an B' vorbei ziehen. Fortbewegung ist relativ, und darauf beruht auch die Spezielle Relativitätstheorie (SRT).

A und B laufen übrigens in ihrem gemeinsamen Ruhesystem Σ synchron, im Ruhesystem Σ' von B' aber nur isochron (gleich schnell). In der SRT ist auch die Gleichzeitigkeit zweier räumlich getrennter Ereignisse relativ.

Das Zahlenbeispiel β := v⁄c = 0,6 mag ich übrigens besonders gern, da es sich leicht rechnen lässt: 3, 4 und 5 bilden ein sog. Primitives Pythagoreisches Tripel, d.h., 3² + 4² =  5².

Daher ist der berühmte LORENTZ-Faktor

(1) γ := 1/√{1 − β²}

auch rational, nämlich 5⁄4. Sein Kehrwert beträgt natürlich ⅘.

...zeigt [B'] 2 Sekunden [A] 3 Sekunden.

Das musst Du berücksichtigen, und deshalb ist Deine Lösung auch falsch.

Als [B'] an [B] vorbeifliegt, zeigt diese gerade 8 Sekunden.

Was bedeutet, dass der Flug in Σ 5s in Anspruch genommen hat. Die entsprechende Zeitspanne in Σ' muss daher ⅘∙5s = 4s betragen, und die musst Du zu den ursprünglich von B' angezeigten 2s addieren; so kommst Du auf 6s.

Hallo sitiscp,

die Relativitätstheorie hat zwei Stufen, die Spezielle Relativitätstheorie (SRT), in der die Effekte von Geschwindigkeiten eine wichtige Rolle spielen, und die Allgemeine Relativitätstheorie (ART), in der außerdem die Effekte von Gravitationsfeldern behandelt werden.

Mit der Krümmung der Raumzeit befasst sich nur die ART; die SRT heißt heute "speziell", weil sie nur eine Raumzeit beschreibt, die geometrisch "flach" ist.

Deine Frage bezieht sich auf Geschwindigkeit, also auf die SRT.

Wenn ich mit Lichtgeschwindigkeit reisen würde in einem Raumschiff...

Das ist gar nicht möglich. Dem Lichttempo*) c kannst Du Dich nur beliebig nähern. Die berühmten relativistischen Effekte werden dann extrem, und Kommunikation ist dann nicht mehr möglich.

Bei moderaten Tempos wie z.B. 0,6c treten sie deutlich auf, aber moderat. Der berühmte LORENTZ-Faktor

(1) γ :=ₙ1/√{1 − β²} mit β = v⁄c

ist dann gleich 1,25.

...würde ich dann meinen Freund in Zeitraffer altern sehen wenn er einfach die ganze Zeit da sitzen würde?

Nein, nur schneller als nach z.B. der klassischen Äthertheorie zu erwarten wäre, wenn Du ihn als den ruhenden Beobachter ansähest.

-- Baustelle --

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*) Geschwindigkeit (engl. velocity) ist eine Vektorgröße, eine Größe mit Richtung. Was wir im Deutschen oft Geschwindigkeit nennen, ist nur deren Betrag (engl. speed), den man als Tempo bezeichnen könnte. Auch die "Lichtgeschwindigkeit" ist eigentlich ein Tempo.

Hallo celik334,

nein, das tut sie nicht: Die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) sagt u.a. aus, dass c das maximale Tempo kausaler Beziehungen ist.

Zwei Ereignisse, die in einem gegebenen Koordinatensystem Σ die räumliche Entfernung Δs und den Zeitabstand Δt (Σ- Koordinatenzeit) haben, heißen zeitartig getrennt, wenn Δs < cΔt ist, lichtartig getrennt, wenn Δs = cΔt ist und raumartig getrennt, wenn Δs > cΔt ist.

Im ersten Fall gibt es ein Koordinatensystem, in dem sie gleichortig sind, d.h. an derselben räumlichen Stelle stattfinden. Ihr zeitlicher Abstand Δτ in diesem System heißt auch Eigenzeit. Im letzten Fall gibt es ein Koordinatensystem, in dem sie gleichzeitig sind und den räumlichen Abstand Δς haben. Ihre zeitliche Reihenfolge ist generell abhängig vom verwendeten Koordinatensystem, ist also Interpretationssache.

Wenn wir ein Spin-0-Teilchen in zwei Spin-½-Teilchen mit entgegengesetzt gerichtetem Spin zerlegen, sind deren Richtungen gänzlich unbestimmt. Wenn wir allerdings eine Achse als z-Achse auswählen und den Spin eines dieser Teilchen entlang dieser Achse messen, können wir +½ (in Richtung der Achse) oder −½ (entgegen der Achsenrichtung) als Ergebnis erhalten und wissen sofort, dass eine Messung des anderen Teilchens das gegenteilige Ergebnis liefern muss.

Nehmen wir nun an, wir entfernen uns jeder mit seinem Teilchen eine Lichtstunde voneinander. Dabei bleiben wir in Funkkontakt und richten unsere Messvorrichtung stikt parallel aus. Um 12:00 unserer gemeinsamen Zeit misst Du den Spin Deines Teilchens, ohne ein Ergebnis von mir erhalten zu haben, und erhältst −½. Das schickst Du mir per Funk. In dem Moment weißt Du, dass ich bei einer Messung +½ erhalten oder erhalten haben muss, egal ob ich schon um 11:00:01 Uhr gemessen habe oder erst um 12:59:59 messen werde. Um 13:00 Uhr oder später brauche ich eigentlich gar nicht mehr zu messen, da ich dann auch weiß oder zumindest wissen könnte, was ich messen werde.

Wenn ich zwischen 11:00:01 und 12:59:59 messe, sind die Messungen kausal unabhängig voneinander und die Ereignisse trotzdem klar negativ korreliert: Misst Du −½, messe ich +½ und umgekehrt, aber es gibt keinen Weg, eine Messung als Ursache des anderen Messergebnisses festzunageln.

Hallo Kelec,

ich möchte zunächst anmerken, dass die Wörter "Zeitdilatation" und "Längenkontraktion" irreführend sind. Sie suggerieren ein brontales Gezerre und Gequetsche für etwas, das in Wahrheit nur eine völlig gewaltfreie Uminterpretation ist.

Wenn Du eine Straße schräg überquerst, wirst Du eine längere Strecke zu gehen haben als wenn Du sie genau im rechten Winkel überquerst. Niemand würde aber hier von "Breitendilatation" reden.

Nun steht die Breite der Straße für die Ausdehnung eines Körpers und ihre Mittellinie für dessen Weltlinie (WL) die sich in Zeitrichtung erstreckt. Zwei im rechten Winkel zu ihr einander gegenüberliegende Leitpfosten stehen für denselben Zeitpunkt an den Enden des Körpers – in dessen Ruhesystem, also einem Koordinatensystem, dessen Zeitachse die WL darstellt.

Natürlich hinkt das Bild, da die Raumzeit erstens insgesamt 4 Dimensionen hat und zweitens nicht einfach ein 4D-Raum ist.

Wo bei zwei Punkten in der räumlichen z-x-Ebene Ebene das Quadrat der Entfernung gleich der Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen ist (PYTHAGORAS lässt grüßen), ist bei zwei Ereignissen in der t-x-Ebene aus das Quadrat der absoluten Entfernung gleich der Differenz der Quadrate der Koordinatendifferenzen und kann 0 und sogar negativ sein (MINKOWSKI lässt grüßen).

Deshalb ist ein Körper in einem Koordinatensystem, das ihn als bewegt beschreibt, in Bewegungsrichtung als kürzer als in seinem Ruhesystem zu interpretieren – was übrigens nicht bedeutet, dass er verkürzt aussieht, im Gegenteil, wenn er auf Dich zukommt.

Viel mehr ist aber meine Frage so zu verstehen, dass die Definition der Maximalen Geschwindigkeit als Lichtgeschwindigkeit nicht etwa nur an der Definition von Geschwindigkeit an sich geschuldet ist?

Ja, denn die Geschwindigkeit eines Körpers in x-Richtung eines Koordinatensystems Σ ist als Δx⁄Δt definiert. Dabei ist Δx eine Strecke und Δt die im Rahmen von Σ ermittelte (d.h. aus Messwerten berechnete) Zeitspanne, auch Σ- Koordinatenzeit genannt. Die Zeitspanne Δτ, die Du selbst direkt misst, heißt Deine Eigenzeit. Und in der Tat gibt es für die Größe Δx⁄Δτ, die im Englischen proper velocity genannt wird und übrigens auch Deinem spezifischen Impuls entspricht, keine Obergrenze.

An Bord des Raumschiffs würde aufgrund der Längenkontraktion die Strecke zu Proxima Centauri hingegen nahe 0 werden.

Bei sehr extremen Geschwindigkeiten ja. Bei 0,96c*) aber wäre die Strecke "nur" als um den Faktor

1⁄γ := √{1 − β²}  mit β := v⁄c,

hier 7⁄25 = 0,28, kürzer zu interpretieren.

Aber Achtung: Diese Verkürzung ergibt sich in Deinem Ruhesystem, d.h. einem Koordinatensystem, in dem nicht Du Dich bewegst, sondern α Centauri auf Dich zukommt. Die Aussage "aufgrund der LK muss ich statt 4 Lj nur 1,12 Lj fliegen" ist falsch! Die 1,12 Lj sind vielmehr die berechnete aktuelle Entfernung α Centauris zu Dir.

Die Entfernung, in der Du α Centauri beim Vorbeiflug an der Erde siehst, ist nicht kleiner, sondern größer als 4 Lj, und zwar um den Faktor

(1) K = √{(1 + β)/(1 − β)}, hier 7

länger, d.h. 28 Lj.

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*) Ich verwende gern Zahlenbeispiele, in dem man beim Wurzelziehen nicht irgendwas Irrationales bekommt; 0,96 ist gleich 24⁄25, und 7, 24 und 25 bilden ein Primitives Pythagoreisches Tripel, d.h. 7² + 24² = 25².

Hallo 0Meeri7,

ein Bordlicht würde keinerlei Effekte zeigen, denn Fortbewegung ist relativ. Von zwei relativ zueinander geradlinig- gleichförmig bewegten Körpern B und B' kannst du

• entweder B als ruhend und B' als mit konstanter 1D-Geschwindigkeit v bewegt
• oder B' sls ruhend und B als mit konstanter 1D-Geschwindigkeit −v bewegt

ansehen. GALILEIs (!) Relativitätsprinzip (RP) sagt hier vor allem aus, die grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen (nichts anderes sind Naturgesetze) unabhängig davon sind, ob wir B oder B' als ruhend ansehen.

Nehmen wir mal an, wir sind in einem Raumschiff, das mit halber Lichtgeschwindigkeit fliegt.

Wegen des RP müssen wir dann dazu sagen, relativ zu was es sich mit 0,5c bewegt (c ist das Ausbreitungstempo elektromagnetischer Wellen im materiefreien Raum, etwas ungenau "Lichtgeschwindigkeit" genannt).

Zum Beispiel relativ zu einem weiteren Raumfahrzeug mit abgeschaltetem Antieb, das wir mit B identifizieren; "Dein" Raumfahrzeug identifizieren wir natürlich mit B'.

Wird das Licht dann einfach gestaucht und wir haben durch den Dopplereffekt einfach eine blaue Beleuchtung in unserem Schiff?

Die Bordlampe von B' bewegt sich natürlich mit derselben Geschwindigkeit (einschließlich der Richtung) wie B' selbst, d.h., relativ zu B' bewegt sie sich nicht Das bedeutet, dass keinerlei DOPPLER-Effekt auftritt.

Nur das Licht von Lichtquellen, auf die Du Dich zu bewegst bzw. die sich auf Dich zu bewegen – was wegen des RP physikalisch keinen Unterschied macht – ist blauverschoben (was übrigens nicht zwangsläufig bedeutet, dass ihr Licht bläulich aussieht; jedes elektromagnetische Signal solcher Quellen wird in seiner Wellenlänge um denselben Faktor gestaucht, z.B. auch vom Infraroten ins Rote).

Aber diese Lichtgeschwindigkeit ist ja absolut, das bedeutet, das die Photonen trotz der zusätzlichen Bewegung durch das Raumschiff keine 1,5-fache Lichtgeschwindigkeit drauf haben.

Dass das Licht der Bordlampe von B' relativ zu B nicht mit 1,5c, sondern nur mit c unterwegs ist, sagt zunächst einmal nur aus, dass sein Tempo nicht von der Bewegung der Quelle abhängt.

Dies war freilich auch die Annahme der klassischen Äthertheorie, die von der Existenz einer Supersubstanz namens Äther als Ausbreitungsmedium des Lichts ausging und die natürlich im Widerspruch zum RP steht. Ihr zufolge sollte sich das Licht relativ zu B' selbst mit einem Tempo zwischen c − v = 0,5c (in Bewegungsrichtung) und c + v = 1,5c (gegen die Bewegungsrichtung) ausbreiten, falls B relativ zum Äther ruht.

-- Baustelle --

Hallo BlackyD961,

dass eigentlich der Boden ständig nach oben beschleunigt wird, ist einfach eine alternative Beschreibung der älteren Idee, dass die Erde uns nach unten ziehe und ihr Boden mit gleich großer, aber entgegengesetzter Kraft dagegen halte.

Letzteres ist NEWTONs Beschreibung der Gravitation, und sie ähnelt der Beschreibung elektrostatischer Anziehung nach COULOMB.

Die Besonderheit der Gravitation liegt darin, dass die "Gravitationsladung" (aka Schwere Masse) mit der Trägen Masse übereinstimmt, was NEWTON wusste, aber nicht erklären konnte. Tatsächlich musste schon GALILEI, dass alle Körper in der Nähe der Erdoberfläche prinzipiell gleich stark beschleunigt werden. Diese Eigenschaft hat die Gravitation und nur die Gravitation mit Trägheitskräften gemein. Das ist es, warum sich die Gravitation überhaupt als Krümmung der Raumzeit beschreiben lässt.

Raum und Zeit sind keine separaten Dinge, sie bilden eine Einheit. Das heißt nicht, dass die Raumzeit einfach eine weitere Raumdinension wäre. Allerdings haben zwei relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Körper B und B' gewissermaßen unterschiedliche Zeitrichtungen, ihre Weltlinien (WLn), die zugleich die Zeitachsen zweier von ihnen aud definierter Koordinatensysteme Σ und Σ' sind, sind gegeneinander geneigt. Die WL eines relativ zu B ruhenden Körpers A verläuft zu der von B parallel.

Die WL eines Körpers, der beschleunigt wird, ist gekrümmt, auch wenn er in gerader Linie beschleunigt wird, im Unterschied zur geraden WL eines Körpers, auf den keine Kräfte wirken.

Eine Fläche im 3D- Raum muss natürlich keine Ebene sein, sondern sie kann eine äußere Krümmung haben, wie z.B. eine Zylindermantelfläche. Hier kann man nur längs der Achse wirklich eine Gersde ziehen, aber es gibt weitere Linien, die gewissermaßen so gerade wie in diese Richtung möglich sind, etwa Schraubenlinien und Kreise, die um die Zylindermantelfläche herum führen; sie werden geodätisch genannt.

Auf der Zylindermantelfläche verlaufen zwei Geodätische, die an einer Stelle parallel sind, überall parallel. Genau das zeichnet Flächen aus, die geometrisch flach sind, deren innere Krümmung also 0 ist. Die Mantelfläche könnte man längs aufschneiden und ohne Verzerrung auf einer Ebene ausrollen.

Mit einer Sattelfläche oder einer Kugeloberfläche könnte man dies nicht machen, wovon jeder Kartograph ein Liedchen singen kann.

-- Baustelle --

Hallo Hala1666,

das MICHELSON- MORLEY- Experiment (MMX) sollte die Bewegung der Erde relativ zu einer hypothetischen, allgegenwärtigen Supersubstanz namens Äther mit einem Interferometer nachweisen. Die Strahlen wandern die Armehin und zurück und überlagern sich, was Streifen gibt.

Relativ zum Äther breitet sich das Licht laut MAXWELLs Vorstellungen stets mit c aus.

a) Erkläre, wie man auf diese Werte kommt...

Die Idee ist, dass das Licht relativ zum Interferometer in Bewegungsrichtung mit c − v =: c(1 − β) und entgegen dieser Richtung mit c(1 + β) unterwegs sei und daher insgesamt

(1.1) tₚ = d/c(1 − β) + d/c(1 + β)

brauche. Um zu addieren, müssen wir den ersten Summanden mit 1 + β und den zweiten mit 1 − β erweitern; mit der 3. Binomischen Formel ergibt sich

(1.2) tₚ = 2d/c(1 − β²).

Bei der Bewegung des Lichtsignals quer zur Bewegungsrichtung muss man sich klar sein, dass sich das Lichtsignal relativ zum hypothetischen Äther schräg ausbreitet und seine Geschwindigkeit in Bewegungsrichtung eine Komponente der Größe cβ hat. Für die Komponente quer zur Bewegungsrichtung bleibt daher noch c√{1 − β²} übrig, sodass das Signal hin und zurück

(2) tₙ = 2d/c√{1 − β²}

braucht, also etwas weniger Zeit (der Nenner ist etwas größer, es steht ja immer etwas da, was kleiner als 1 ist).

Die Differenz ist

(3.1) tₚ − tₙ = 2d⁄c(1⁄(1−β²) − 1⁄√{1−β²}),

wobei wir mit √{1 − β²} erweitern müssen:

(3.2) tₚ − tₙ = 2d(1 − √{1−β²}) /c(1−β²)

Eigentlich lässt sich das nicht mehr vereinfachen. Für β << 1 ist aber erst recht β² << 1, und so können wir die Näherung

(N1) √{1 − β²} ≈ 1 − ½β²

und die Näherung

(N2) 1⁄(1 − β²) ≈ 1 + β²

auf (3.2) anwenden und erhalten

(3.3) tₚ − tₙ ≈ d(β² + β⁴)⁄c ≈ dβ²⁄c.

...und woran man diesen Unterschied in der Laufzeit im Experiment hätte erkennen sollen!

Wenn man das Interferometer dreht, wechseln seine Arme die Rollen: Die zuvor längere Laufzeit wird kürzer, die kürzere länger. Dadurch sollten sich die Interferenzstreifen verschieben.

b) Ein Punkt auf der Erdoberfläche bewegt sich aufgrund der Erdrotation bereits mit hoher Geschwindigkeit. Gleichzeitig bewegt sich die Erde um die Sonne und das gesamte Sonnensystem kreist um das Zentrum der Milchstraße. Die aus Messungen abgeleitete Summe der verschiedenen Geschwindigkeitskomponenten unseres Sonnensystems beträgt etwa 370 Kilometer pro Sekunde. Wie groß müsste der Laufzeitunterschied bei einem Abstand der Spiegel A und B von der Mitte S von einem Meter sein, wenn man diese Geschwindigkeit für die Erde annimmt?

Du setzt die Zahlen in (3.3) ein. Ganz grob gerechnet ist β etwas weniger als 5⁄4∙10⁻³, also ist β² ≈ 25⁄16∙10⁻⁶ und d/c etwas mehr als 10⁄3∙10⁻⁹ s, sodass in diesem Fall

(4.1) tₚ − tₙ ≈ 250⁄48∙10⁻¹⁵ s,

also etwas mehr als 5×10⁻¹⁵ s herauskommt.

PS: Ich habe es berechnet und bekam 5,07075×10⁻¹⁵ s, stimmt es?

Offensichtlich liegt es zumindest ziemlich nahe dran.

Der Gangunterschied von Lichtwellen ist damit übrigens überraschend groß, nämlich

(4.2) c(tₚ − tₙ) ≈ 750⁄48∙10⁻⁷ m = 25⁄16∙10⁻⁶ m ≈ 1,5×10⁻⁶ m,

deutlich über der Wellenlänge sichtbaren Lichts die bei so etwas wie 3,9×10⁻⁷m bis 7,8×10⁻⁷ m liegt.

Hallo Hala1666,

wenn wir die Distanz im gemeinsamen Ruhesystem von Erde und Saturn*) mit d und dieselbe Distanz im Ruhesystem des Raumfahrzeugs mit d' bezeichnen, ist

(1) d' = d∙√{1 − (v⁄c)²} =: d⁄γ,

wobei γ der LORENTZ-Faktor heißt und in der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) eine wichtige Rolle spielt. Setzt man v⁄c = 0,5, kommt 1⁄γ = √¾ ≈ 0,866 heraus. Ist d = 70 Lmin, kommt d' ≈ 60,6 Lmin heraus.

Wie lang erscheint für ihn die zurückgelegte Strecke?

Das ist tatsächlich eine komplett andere Frage, der LORENTZ-Faktor bzw. sein Kehrwert beschreiben nicht, wie lang die Strecke für den Piloten des Raumfahrzeugs aussähe. Dies ist nämlich durch den BONDI-Faktor

(2) K := √{(1 + v⁄c)/(1 − v⁄c)}

beschrieben, der bei v⁄c = 0,5 den Wert √3 ≈ 1,732 hat.

• Liegt die Strecke vor dem Raumfahrzeug, sieht sie von dort um den Faktor K länger aus.
• Liegt die Strecke hinter dem Raumfahrzeug, sieht sie um den Faktor 1⁄K kürzer aus.

Diese Faktoren sind zugleich die Faktoren für den DOPPLER-Effekt: Frequenzen von Signalen, die von vorn kommen, kommen um den Faktor K höher beim Empfänger an, solche von Signalen, die von hinten kommen, kommen um den Faktor 1⁄K niedriger an.

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*) Natürlich ruhen Erde und Saturn nicht relativ zueinander, aber im Vergleich mit der Lichtgeschwindigkeit bewegen sie sich sehr langsam.

Hallo blumensindcool,

hier gibt es einen Artikel, der "Argumente" gegen das Frauenwahlrecht, aber keine guten. Die Stoßrichtung ist ja autoritär und oft völkisch. Nichts, was es verdiente, ernst genommen zu werden.

Ich könnte mir nur eine halbwegs valide Begründung vorstellen, nämlich, wenn das Wahlrecht an den Wehrdienst gebunden ist, den traditionell nur Männer leisten (müssen, wenn es Wehrpflicht gibt). Wer fürs Vaterland sein Leben riskiert, soll auch über die Zusammensetzung der Regierung oder des Parlament mitentscheiden dürfen, könnte man sagen.

Hallo PW280111,

mit genau der Lichtgeschwindigkeit c kann kein Raumschiff fliegen, aber z.B. mit 0,96c. Dieses Zahlenbeispiel lässt sich im Kopf rechnen, denn 0,96 ist gleich 24⁄25, und der berühmte LORENTZ-Faktor

(1) γ := 1/√{1 − (v⁄c)²}

ist in diesem Fall 25⁄7, d.h., wenn der Pilot in Δτ = 7 min Eigenzeit einen großen Cappuccino trinkt, beträgt die von einer irdischen Uhr U aus für diesen Vorgang ermittelte Zeit, die U- Koordinatenzeit, Δt = 25 min.

Dieser Faktor steht auch für das Verhältnis zwischen der Gesamtenergie (kinetische Energie plus Ruheenergie mc²) des Raumschiffs und der Ruheenergie allein. Daher kann das Raumschiff mit beliebig viel kinetischer Energie c nur beliebig nahe kommen, denn für v→c geht γ gegen Unendlich.

Ermitteln könnte man die Dauer dann, wenn z.B. der Pilot beim ersten und beim letzten Schluck je ein Signal – oder eine Bordkamera je ein Bild. Das bedeutet, wohl bemerkt, nicht, dass die Bilder uns im Abstand von 25 Minuten erreichen. Für diesen Abstand ist ein anderer Faktor zuständig, der BONDI- Faktor

(2) K := √{(1 + v⁄c)/(1 − v⁄c)},

der in unserem Zahlenbeispiel 7 beträgt. Dieser Faktor steht auch für den optischen DOPPLER-Effekt.

• Entfernt sich das Raumschiff von uns, treffen die Bilder im Abstand Δτ∙K = 49 min bei uns ein. Elektromagnetische Wellen, die es sendet, kommen mit 7facher Wellenlänge bei uns an.
• Kommt das Raumschiff direkt auf uns zu, treffen die Bilder in Δτ⁄K = 1 min bei uns ein. Elektromagnetische Wellen, die das Raumschiff sendet, kommen mit 7facher Frequenz bei uns an.

Der LORENTZ- Faktor ergibt sich in beiden Fällen aus dem Unterschied zwischen der Messung und dem, was wir nach der NEWTONschen Mechanik bzw. der Schallausbreitung erwarten würden.