Gilt die Klein-Gordon-Gleichung nur für Teilchen mit einem Spin von Null, bedeutet das, dass sie nur das Higgs-Boson beschreibt?
2 Antworten
Hallo USBekKhan,
ich habe auch im Wesentlichen gehört, die KGG beschreibe nur Bosonen oder gar nur spinlose Teilchen. Fermionen, so hieß es, müssen durch die DIRAC- Gleichung (DG) beschrieben werden.
Tatsächlich beschreibt die KGG aber jedes Teilchen, nur nicht besonders spezifisch, weil sie in sämtlichen Komponenten zweiter Ordnung ist.
Wenn man die GD quadriert, kommt gewissermaßen die KGG heraus.
Dies habe ich bei einer Recherche herausgefunden, die ich tatsächlich mal im Rahmen einer beruflichen Tätigkeit gemacht habe. Dabei habe ich mir seinerzeit Walter Greiners Buch 'Relativistische Quantenmechanik' ausgeliehen, da ist das ganz gut beschrieben.
Wie funktioniert das?In der KGG haben wir eine skalarwertige (allerdings komplexwertige) Wellenfunktion ψ von Ort und Zeit, auf die ein Operator angewandt wird, der sich wiederum aus Differentialoperatoren zusammensetzt, die ψ zwei mal nach den Koordinaten (der Zeit und den räumlichen Koordinaten) ableiten.
Um eine Gleichung erster Ordnung zu bilden, die sie quadriert ergibt, brauchen wir Koeffizienten mit folgenden zwei algebraischen Eigenschaften:
- Jeder Koeffizient muss sich zu "Eins" ( Was immer dies bedeutet) quadrieren.
- Unterschiedliche Koeffizienten müssen antivertauschen, d.h., wenn wir einen A und einen B nennen, muss BA = −AB sein, damit Mischterme wegfallen.
Mit Zahlen geht das nicht, die vertauschen ja. Allerdings geht es mit Matrizen, wobei mit "Eins" (s.o.) eine Einheitsmatrix gemeint ist. In 1+3 Dimensionen der Raumzeit funktioniert dies mit 4×4- Matrizen und einer Wellenfunktion, die kein Skalar mehr ist, sondern ein abstrakter 4- komponentiger Vektor.
"Abstrakt" soll hier heißen, dass die Komponenten nichts mit den 1+3 Dimensionen der Raumzeit zu tun haben muss und in der Tat auch nicht hat. Stattdessen erweisen sich die Komponenten 1 und 3 als solche, die "Spin up" beschreiben, 2 und 4 beschreiben "Spin down". Außerdem beschreiben 1 und 2 ein Teilchen und 2 und 4 dessen Antiteilchen. Quadriert man den Gesamt-Operator, erhält man die KGG für jede dieser Komponenten.
So wie ich das verstanden habe, ist das so ähnlich wie schon in der nicht-relativistischen Näherung mit der PAULI- Gleichung, wo es zwei Komponenten gibt und die PAULI- Matrizen speziell die Spin-Ausrichtung aus der Wellenfunktion Ψ "herauskitzeln".
Dabei ist Ψ ein Vektor aus zwei skalarwertigen Wellenfunktionen ψ⁺ und ψ⁻, wobei erstere für die Ausrichtung in positive und letztere für Ausrichtung in negative z-Richtung eines zuvor definierten Koordinatensystems steht.
Natürlich kann der Spin z.B. auch in positive x-Richtung desselben Koordinatensystems ausgerichtet sein; in diesem Fall ist ψ⁻ = −ψ⁺, wenn ich das richtig in Erinnerung habe.
Klein-Gordon beschreibt die Kinematik von Spin 0 Teilchen, wie Higgs und Pionen. Allerdings müssen auch alle anderen freien Teilchen diese Gleichung erfüllen. Sie ist nur die stärkste Beschränkung für Spin 0.
Also, erstmal danke dafür, dass du dir die Zeit genommen hast, diesen ausführlichen Kommentar zu schreiben. Wie genau wird die Wellenfunktion zu einem Vektor überführt? Ich habe mich z.B. etwas mit Quanteninformatik auseinandergesetzt, und dort hat man ja die Qubits, die Linearkombinationen aus zwei Zuständen sind. Sie werden oft auch, müssen oft auch, als zweikomponentige Säulenvektoren dargestellt, wobei die Komponenten die Wahrscheinlichkeitsamplituden darstellen. Wenn ein Operator, z.B. der Spinoperator, auf sie angewendet wurde, wurde der entsprechende Vektor mit einer der Pauli-Matrizen multipliziert, und der resultierende Vektor war dann ein Eigenvektor oder eben nicht, je nachdem, ob der Spin definiert war oder nicht.
Kann ich mir das hier auch so vorstellen? Sind die Komponenten des Vektors Wahrscheinlichkeitsamplituden der Basisfunktionen einer Linearkombination, und wird der d'Alembert-Operator dann irgendwie zu einer Matrix gemacht?