Ist der Nullvektor immer linear abhängig?
Laut unserer 2 Definitionen:
Die Vektoren
a1, a2, ..., an
sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung
r1•a1 + r2•a2 + ... + rn•an = Nullvektor (r1, r2,…, rn element R)
genau eine Lösung mit
r1=r2=...=rn=0
besitzt.
Oder: Wenn das Spatprodukt null ist, sind die Vektoren linear abhängig.
Laut den Definitionen müssen doch alle Vektoren linear abhängig vom Nullvektor sein?
Meine Mathelehrerin war sich da nicht so sicher und wollte noch mal nachschauen und ich dachte mir, ich frag euch mal, vielleicht habt ihr eine adequate Antwort. :)
Lieben Gruß Michathenics
2 Antworten
Da lineare Abhängigkeit von n Vektoren |v›ₖ, k=1,…,n bedeutet, dass man den Nullvektor durch eine nichttriviale Linearkombination
0 = ∑ₖaₖ|v›ₖ
erzeugen kann und es hierfür reicht, dass von den Koeffizienten aₖ mindestens einer von 0 verschieden sein muss, ist der Nullvektor selbst sogar allein linear abhängig.
In einem Vektorraum mit Skalarprodukt ist er übrigens der einzige Vektor, der mit einem beliebigen Vektor sowohl linear abhängig als auch orthogonal ist, denn |u› und |v› heißen dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt
‹u|v› = ‹v|u› = 0
ist.
Ich habe Deine a.k als |v›.k und Deine r.k als a.k bezeichnet, nur um Missverständnissen vorzeitig zu begegnen.
oki, vielen Dank für die ausführliche Erklärung. :) Hat zwar anfangs etwas gedauert es zu verstehen da ich ja eher ein Leihe in diesem Bereich bin (bin ja noch in der Schule, 11. Klasse) ;) aber es ist logisch, und relativ einfach und kompakt erklärt, wie ich es mag. xD Vielen Dank Lieben Gruß Michathenics
Ja, der Nullvektor ist sogar alleine Linear abhängig.
Ein echter Junkie unter den Vektoren. Der kommt von seiner Abhängigkeit aber auch überhaupt nicht los.
Ein hoffnungsloser Fall.
Willy (in tiefer Bestürzung)
ja, er hat's ja auch zu nicht viel gebracht