Hey, wie überprüfe ich, ob drei Vektoren linear abhängig sind?
Hey, dies ist die folgende Aufgabe:
Sind die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig?:
Könnte mir dies eventuell jemand anhand von dieser Aufgabe erklären?
Vielen Dank.
3 Antworten
Bilde mit diesen drei Spaltenvektoren die Deterninante und rechne sie aus. Es gilt: Drei Raumvektorensind genau dann linear abhängig, wenn diese Determinante Null ist.
Man kann das Spatprodukt der Vektoren berechnen (also einfach eine 3 × 3 - Determinante aus den drei Vektoren). Genau dann, wenn die Determinante von 0 verschieden ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Nein, Du bist nicht doof. Aber ich bin faul. 😉
Da ziehe ich eher den Standard-Algorithmus, da muss man wenigstens nicht nachdenken. Ich bin Softwareentwickler und muss das auch einem Rechner erklären können.
Im Allgemeinen Fall durch lösen eines Gleichungssystems, hier durch kluges hinschauen.
Man kann das im Kopf auf Dreiecksgestalt bringen, letzte Zeile minus zwei mal die die erste, zweite Zeile minus 7 mal die erste. Ob "a+b=2 und 2a+2b=1 direkt zu einem Widerspruch" führt, wage ich zu bezweifeln. Das zeigt ja nur, dass eine bestimmte Linearkombination nicht zur Null führt. Aber eine Determinante muss man wirklich nicht berechnen.
Aber ich möchte doch a*v1+b*v2=v3 haben. Dann wäre es nicht linear unabhängig, wenn es a und b so gibt.
Wie soll das aber gehen, wenn a+b=2 (erste Zeile) und 2a+2b=1 (letzte Zeile)?
Also gibt es solches a und b nicht und deshalb sind sie linear unabhängig.
Ja, aber wie löse ich diese Gleichung dann, also mit welchem Verfahren?
Okay, ist dieser Vektor dann linear unabhängig, also dies ist bei mir das Ergebnis, stimmt dies?
Das ist doch hier viel zu aufwendig. Die erste und letzte Zeile führen doch über a+b=2 und 2a+2b=1 direkt zu einem Widerspruch, oder bin ich ganz doof gerade?