Kommt darauf an, welches Intervall man betrachtet, hier anscheinend [ -Pi, Pi ].
Den Wert von 1 nimmt der Sinus innerhalb dieses Intervalls nur einmal an, bei Pi/2.
Kleinere Werte gehen doppelt, etwa 0.5 bei 30° und 150°, was man ja leicht am Schaubild des Sinus sehen kann.
In der Lösung ist mir das "<=" 1 unklar, denn bei "<" gibt es ja 2 Lösungen, bei "=" nur eine.
Du hast den Zins auf den 4000 vergessen.
Wird hier ausführlich erklärt:
https://blogs.uni-bremen.de/scienceblog/2023/08/03/die-theorie-der-graphen-ein-grosses-raetsel/
( p_(n+1) - (n+1) ) - ( p_n - n ) = p_(n+1) - p_n - 1
Das heisst, ab der zweiten Differenz ist es egal, dass du mit der "Differenz von Indexzahl und Primzahl" gestartet bist.
Ich erwarte von dieser Differenzenbildung keine Erkenntnisse.
Zur (2) vermute ich den Kontext hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel
Da bringt's nur die positive Lösung, die anderen schon ermittelt haben.
Wenn du das Intervall [0,3] in n=6 Teile zerlegen willst, dann haben die jeweils die Länge 1/2, nicht 1/6. Ausserdem solltest du die Stützstellen in die gegebene Funktion einsetzen, also x^3, nicht x^2.
Bei der Mantelfläche ist der Verlauf der Kurve, die den Mantel beschreibt, entscheidend. Nehme als Beispiel das Intervall [0, 2 Pi] und einmal die Funktion f(x) = 1, das ergibt rotiert um die x-Achse einen Zylinder. Das Integral über f(x) liefert 2 Pi. Zum zweiten betrachten wir die Funktion g(x) = 1 + sin(x). Das Integral über g(x) liefert auch 2 Pi, aber die Mantelfläche durch Rotation um die x-Achse ist eine andere als bei f(x). Anschaulich gesprochen entsteht das dadurch, dass bei g(x) der Mantel "gedehnt" ist, im Bereich [0, Pi] ist er im Vergleich zu f(x) nach innen gedrückt, im Bereich [Pi, 2 Pi] nach aussen gedehnt.
In der Formel zur Berechnung der Oberfläche kommt daher ein Faktor Wurzel( 1 + f'(x)^2 ) bzw. Wurzel( 1 + g'(x)^2 ) vor, der für die genannten Funktionen zu einer unterschiedlichen Mantelfläche führt.
Du meinst wohl die (b), hier hilft Pythagoras, die fragliche Strecke ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten der Länge 2x und 6-x.
Die Länge ist daher Wurzel( (2x)^2 + (6-x)^2 ) = Wurzel( 5x^x -12x + 36 )
alpha liegt dann ja auf der Hand, und weil du den Quotienten b/sin(beta) hast, kannst du mit dem Sinussatz alle fehlenden Seiten berechnen.
"Das" rechte Ufer gibt es theoretisch gar nicht, da die gegebene Kurve die x-Achse als Asymptote hat. Praktisch "gesehen" würde ich den Uferbereich rechts des Wendepunkts verorten, der irgendwo zwischen x=7 und x=8 liegen dürfte. Eine Tangente in diesem Punkt sollte in x=17 nicht höher kommen als 1.5, damit der Uferbereich einsehbar ist. (Insofern bin ich einig mit gauss58.)
Bei der harmonischen Reihe erhält man zum Nachweis der Divergenz eine Minorante, wenn man die Reihe in Blöcke zerlegt, die jeweils bei den Indizes 2^n enden, also
1, 1/2, 1/3 + 1/4, 1/5 + ... + 1/8 usw.
Die Blöcke werden immer länger, 1, 1, 2, 4, ... Summanden
Minorante ist dann gegeben durch
1, 1/2, 1/4 + 1/4, 1/8 + ... + 1/8 usw.
Das läuft auf das sogenannte Verdichtungskriterium hinaus. Entscheidend ist, ob die Reihe über 2^n a_(2^n) konvergiert oder nicht.
Bei der ersten hast du Divergenz, weil die Reihe über 2^n / ( 2^n ln(2^n) ) divergiert.
Bei der zweiten hast du Konvergenz, weil die Reihe über 2^n / ( 2^n ln(2^n)^2 ) konvergiert.
Binomialverteilung wäre richtig, wenn nach einem bestimmten Themenbereich gefragt wäre, z.B. die 4. Hier geht es aber um 2 mal die gleiche Zahl in drei Versuchen. Oder das Gegenereignis zu drei verschiedene Zahlen in drei Versuchen. Das ist
1 - 19/20 * 18/20 = 29/200
Sei p der Anteil, der bereits Geld bei der Anlage in Kryptowährung verloren hat.
Dann ist 1700 = 3000 ( 0.65 p + 0.35 (1-p) ), woraus p = 0.72...
Wenn man die Fragen 50:50 verteilt, dann lautet die Gleichung
1700 = 3000 ( 0.5 p + 0.5 (1-p) ), was man nicht nach p auflösen kann,
Nicht mal geschenkt
Soll wohl heissen "quadratische Ergänzung" ...
B(t) = 12 * 3^(-t/5) (in mg, t in Tagen)
Zu klären ist vorab die Existenz von A^(-1).
Wenn eine Nullfolge y_n gegeben ist, dann kann man durch Addition einer beliebigen Konstanten c eine konvergente Folge x_n erhalten, deren Bild unter A gerade y_n ist.
x_n := (y_n + c)/(1+1/n) --> c
A((x_n)) = (x_n - lim x_n + x_n / n) = (x_n (1+1/ n) -c) = (y_n)
Die Folgen (x_n) und (x_n + 1) haben das gleiche Bild.
Da machst du dir am besten selbst eine Skizze. Das 2n-Eck hat den gleichen Umkreisradius r wie das einbeschriebene n-Eck, und dieser ist gleich dem Inkreisradius des Umbeschriebenen n-Ecks.
Die Flächenformel abhängig vom gegebenen Um-/Inkreisradius liefert:
n-Eck aussen: n/2 * r^2 *sin(2 Pi/n)
2n-Eck: n * r^2 * sin(Pi/n)
n-Eck innen: n * r^2 * tan(Pi/n)
Wir multiplizieren
n/2 * r^2 * sin(2 Pi/n) * n * r^2 * tan(Pi/n)
= n^2 /2 * r^4 * sin(2 Pi/n) * sin(Pi/n) * cos(2 Pi/n)
Nutze sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x), dann gibt das
= n^2 * r^4 * sin(Pi/n)^2
Und das war zu zeigen.
Hella gewinnt mit 6, 7, 8 oder 9, Wahrscheinlichkeit 4/9, oder mit 5, wenn Tom höchstens eine 6 zieht, Wahrscheinlichkeit 1/9 × 6/9.
Beides addieren.