Naja, der "Durchmesser" einer beliebigen Menge ist, wie da steht, das Supremum (die kleinste obere Schranke) der Abstände aller Punkte. Stell dir das an einem Quadrat vor. Dessen Durchmesser ist seine Diagonallänge, was anschaulich Sinn ergibt, wenn du es gedanklich schnell um seinen Mittelpunkt rotieren lässt. Es wird zu einer Kreisscheibe mit dem Durchmesser einer Diagonallänge.
Beschränkt heißt das Ganze, wenn der Durchmesser endlich ist. Stell dir als Menge die reellen Zahlen vor, egal welche obere Schranke S du dir vorgibst, du findest immer ein Paar von Punkten, die weiter als S entfernt sind. In der Betragsnorm zum Beispiel 0 und S+1. R hat also keinen beschränkten Durchmesser.
Wenn der Durchmesser endlich ist, ergibt es Sinn über dessen Größe zu reden. "Echt kleiner" bedeutet nichts anderes als <. Das ist einfach eine syntaktische Verschärfung, um Gleichheit auszuschließen.
Die Vermutung ist nun, dass man im R^n jede beschränkte Menge (also solche mit endlichem Durchmesser) in n+1 Teile zerlegen kann, die alle einen echt kleineren Durchmesser haben. Das ist schwer, anschaulich zu verstehen, da die Vermutung im R^3 wahr, aber in höheren Dimensionen falsch ist.