Mathe Vektoren- Wie kann ich erkennen ob Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind?

Ich weiß zwar was linear unabhängig und unabhängig in Bezug auf Vektoren bedeutet, jedoch verstehe ich nicht wie man es erkennen kann.

1. Bsp: Vektoren a und b sind gegeben:

a(1/0/2) und b(2/0/4)

oder

2.Bsp:

c(1/0/0) und d(0/5/0)

Wie kann ich es erkennen?

Answer 1

[fab3F]

Zwei Vektoren sind linear abhängig voneinander, wenn du den einen Vektor durch Multiplikation eines andern Vektors bilden kannst (nennt man auch kollinear).

Beispiel a(1/0/2) * 2 = a(1*2/0*2/2*2) = b(2/0/4)
Also wenn du Vektor a * 2 nimmst erhältst du Vektor b.

Für die Vektoren c und d gibt es keinen gemeinsamen Faktor, das heißt sie sind linear unabhängig.

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung

Comments

[KS00001]

Dass heißt, dass wenn ich durch die Multiplikation eines Vektors zum anderen komme, sind sie linear abhängig?

[fab3F]

@KS00001

genau

[KS00001]

@fab3F

Ah Danke. Wie würde es dann bei beispielsweise 3 Vektoren aussehen?

[KS00001]

@KS00001

Bsp: a=(1/0/0) b=(0/1/0) c=(1/1/0)

[fab3F]

@KS00001

Wenn ich das richtig verstehe könnte das zum Beispiel so aussehen:
Vektoren a, b, c
c = 2 * a + 3 * b

[fab3F]

@KS00001

In diesem Fall könntest du den Vektor c bilden, indem du a und b addierst, also:
c = a + b

[KS00001]

@fab3F

Wäre dass dann nicht eine addition? Oder würde es dann bedeuten dass man a und b jeweils mal 1 macht?

[fab3F]

@KS00001

Genau, also in diesem Fall:
-> Bsp: a=(1/0/0) b=(0/1/0) c=(1/1/0)
-> c = 1 * a + 1 * b
In diesem Fall ist der Faktor von a und b genau 1. Wie ich weiter oben aber schon geschrieben habe, könnte es auch ein anderer Faktor sein

[KS00001]

@fab3F

Alles klar, danke dir

[fab3F]

@KS00001

gerne

[Wechselfreund]

@KS00001

Determinante der Matix aus den drei Vektoren müsste 0 sein.

[fab3F]

@Wechselfreund

stimmt

Answer 2

[Dumbledoregurin]

Naja also wenn du 2 Vektoren hast sind die linear abhängig, wenn sie kolinear sind bzw. vielfache voneinander sind. 3 Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen oder auch komplanar genannt. Also wenn du herausfinden willst ob 2 Vekoren linear abhängig sind guckst du ob Vektor a = Vektor B * r ist! Wenn du schauen willst ob 3 Vektoren komplanar sind dann stellst du ein lineares GS auf und löst das. Wenn du es lösen kannst linear abhängig wenn es unendlich viele Lösungen hat unabhängig. Eigentlich ganz einfach.