Hallo Dorfjunge2002,

nichts mit innerer zeitlicher Ordnung kann sich schneller als mit c bewegen, weil sog. raumartig getrennte Ereignisse keine verbindliche zeitliche Reihenfolge haben.

Dies sind Ereignisse, für die im Ruhesystem einer Bezugs-Uhr U

(1) Δx² + Δy² + Δz² > c²Δt²

ist, was man umformen kann zur raumartigen Version des MINKOWSKI- Abstandsquadrates,

(2 1) Δx² + Δy² + Δz² − c²Δt² =: Δς² > 0.

Δς ist der räumliche Abstand in demjenigen Koordinatensystem, in dem beide Ereignisse gleichzeitig sind. Überhaupt heißt ein paar von Ereignissen raumartig getrennt, wenn es ein Koordinatensystem gibt, in dem sie gleichzeitig sind.

Das Gegenstück davon sind Ereignisse, die zeitartig getrennt sind, das heißt, dass es ein Koordinatensystem gibt, in dem sie gleichortig sind, also an einem Ort stattfinden. In dem Fall empfiehlt es sich, (2.1) umzudrehen und durch c⁴ zu teilen. Heraus kommt die zeitartige Version des MINKOWSKI- Abstandsquadrates,

(2.2) Δt² − (Δx² + Δy² + Δz²)⁄c² =: Δτ².

Δτ heißt Eigenzeit und ist die Zeit, die eine lokale Uhr direkt messen würden, im Unterschied zur von U aus ermittelten Koordinatenzeit Δt.

Wenn man das 'Wie-schnell' am Verhältnis zwischen zurückgelegter Entfernung und Eigenzeit statt Koordinatenzeit misst, kann man sich beliebig schnell durch den Raum bewegen, nur kann man es nicht vermeiden, umso schneller zeitlich vorwärts katapultiert zu werden.

Beim gleichförmigen Beschleunigen eines Raumfahrzeuges aus dem Stand, so kennen wir es aus der NEWTONschen Mechanik (NM), wächst das Tempo (Betrag der Geschwindigkeit) linear mit der Zeit. Gleichförmige Beschleunigung führt dazu, dass man an Bord immer dieselbe Trägheitsbeschleunigung spürt, die sich als künstliche Schwerkraft nutzen lässt.

Nach der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) gehört die konstante Trägheitsbeschleunigung zu einer gleichförmigen Eigenbeschleunigung zum Anstieg einer anderen Größe, der Rapidität („Schnelligkeit“) linear mit der Eigenzeit.

Beschleunigung ist eine Art linearer Richtungswechsel, denn die Rapidität ist eine Art „Winkel“, dessen Tangens Hyperbolicus v⁄c ist und gegen 1 wächst, wenn die Rapidität immer größer wird, ohne Obergrenze.

Theoretisch könnte man unendlich lange beschleunigen, ohne c jemals zu erreichen - beliebig viel Energie immer vorausgesetzt.

Modellhaft kann man die Rapiditäten in einer Ebene als Orte auf einer unendlich ausgedehnten Ebene vorstellen, wobei der Winkel θ, den die Blickrichtung zu den Füßen eines Anderen mit dem Lot bildet, die Geschwindigkeit symbolisiert. Die unendlich ferne Fluchtlinie sehe ich im Winkel von 90° zum Lot, was c entspricht.

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Hallo CspriSonne1,

mit 'Raumzeit ist variabel' meinst Du vermutlich, dass räumliche und zeitliche Abstände variabel seien. Das ist durchaus korrekt, aber das liegt nicht daran, dass die Raumzeit variabel wäre.

Ein räumliches Modell

Du machst eine Zeichnung auf blankes Papier. Dann legst Du eine karierte durchsichtige Folie auf, auf der ein Koordinatensystem eingezeichnet ist. Dadurch bekommen namentlich zwei Punkte P₁ und P₂, die Endpunkte einer Strecke, möglichst als Mittelstrecke einer gezeichneten Salami mit Durchmesser d, die Koordinaten (z₁ | x₁) und (z₂ | x₂) = (z₁ + Δz | x₁ + Δx) (Abweichend von der Konvention habe ich die Vertikale zuerst genannt). Der Einfachheit halber kannst Du den Ursprung O auf P₁ legen und P₂ einfach P nennen. Damit hat O die Koordinaten (0 | 0) und (Δz | Δx).

Drehst Du das Koordinatensystem um den Winkel θ, ändern sich die Koordinaten von P wie folgt:

(1.1) Δz° = Δz∙cos(θ) + Δx∙sin(θ) = L∙cos(θ)
(1.2) Δx° = Δx∙cos(θ) − Δz∙sin(θ) = L∙sin(θ)

An der Zeichnung selbst ändert sich gar nichts; insbesondere ist der Abstand

(2) L = √{Δz² + Δx²} ≡ √{Δz°² + Δx°²}

unabhängig davon, wie man die Folie dreht und wendet.

Eine x°- Koordinatenlinie (also z° = const.) schneidet die Salami in einer Strecke der Länge d⁄cos(θ).

Abstände in der Raumzeit...

...berücksichtigen den Umstand, dass c absolut ist, d.h., in unterschiedlichen Koordinatensystemen gleich ist.

Was auf dem Blatt die beiden Punkte sind, das sind in der Raumzeit zwei Ereignisse E₁ und E₂, die einen Vorgang zeitlich abgrenzen. Wenn ich z.B. an Bord eines Raumfahrzeuges B einen Kaffee trinke, dessen Ruhesystem wir Σ nennen, ist E₁ der erste und E₂ der letzte Schluck. Die von mir direkt gemessene Eigenzeit Δτ nennen wir Ⲧ. Sie stimmt mit der von einer Borduhr von B aus ermittelten Koordinatenzeit Δt überein, und es ist Δx = Δy = Δz = 0.

Ich stelle mir den Vorgang räumlich durch eine gedachte Kugel nach außen abgrenzt vor. Deren Durchmesser nenne ich hier d, und die Kugel während des Vorgangs insgesamt „Weltwurst“.

Im Ruhesystem Σ' eines Raumfahrzeug B', das mit konstanter Geschwindigkeit (v|0|0) an mir vorbeizieht, als Bezugskörper wählen, also als stationär interpretieren, sind mit

(3.1) β := v⁄c
(3.2) γ := 1⁄√{1 − β²}

die Koordinaten Δy' = Δy = Δz' = Δz = 0, aber

(4.1) Δt' = γ∙Δt − γ∙β∙Δx⁄c = γ∙Ⲧ
(4.2) Δx' = γ∙Δx − γ∙β∙c∙Δt = γ∙β∙c∙Ⲧ

was an der Situation nichts Substantielles ändert und insbesondere den zeitartigen Abstand (=Eigenzeit)

(5) Ⲧ = √{Δt² − (Δx² + Δy² + Δz²)⁄c²} ≡ √{Δt'² − (Δx'² + Δy'² + Δz'²)⁄c²}

invariant lässt. Ein t' = const.- Raum schneidet die Weltwurst in einem Ellipsoid, das in Bewegungsrichtung nur die Ausdehnung d⁄γ hat (Schrägschnitt durch die Weltwurst).

Dies wird gewöhnlich „Längenkontraktion“ genannt, aber da zieht sich nichts zusammen, sondern eine raumartige Strecke, die um diesen Faktor γ kürzer ist, wird in Σ als gleichzeitig interpretiert. Es sieht übrigens keineswegs unbedingt kürzer aus, sondern was auf Dich zu kommt, sieht sogar länger aus.

Lichtartige Strecken (in (5) einfach v=c einsetzen) sind per se gleich 0; allerdings ist es auch theoretisch nicht möglich, die Eigenzeit ganz auf 0 zu drücken, denn dazu müssten Impuls und kinetische Energie unendlich groß werden.

Je schneller Du relativ zu den meisten Objekten des Kosmos und der Hintergrundstrahlung bist, desto stärker und mit höherer Frequenz kommt das Licht von vorn. Wenn Du auf mich zukommst, sehen wir einander im Zeitraffer um den Faktor

(6) 1⁄K := √{(c − v)⁄(c + v)}

Die „Zeitdilatation“ liegt in der Interpretation: Interpretieren wir mich als ruhend, müsste der Zeittakt Deiner Uhr für mich „eigentlich“ um den Faktor (1 − β) kürzer aussehen und ist in dem Sinne um γ „zu lang". Interpretieren wir Dich als ruhend, würde man einen Zeitrafferfaktor von 1⁄(1 + β) erwarten, und somit ist er um γ „zu kurz“.

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Hallo VeNoM001,

Fortbewegung ist relativ. Du kannst den Erdboden als stationär und den Zug als mit einer gewissen Geschwindigkeit (v|0|0) bewegt auffassen. Ebensogut kannst Du aber auch den Erdboden als mit (−v|0|0) bewegt auffassen, d.h., der Zug rollt auf der Stelle, ähnlich einem Läufer auf einem riesigen Laufband.

Würde man auf den Zug stehen und hoch springen, würde man vermutlich weiter hinten landen, weil einen die Luft abbremst - was sich aber physikalisch nicht von einer Beschleunigung durch Wind unterscheidbar ist. Fahrtwind eben. Und der hat beim typischen Tempo eines Zuges natürlich Orkanstärke.

Springt man vom Zug, ist vor allem die Geschwindigkeit des im Allgemeinen unebenen Bodens das Problem.

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Hallo Deniz4514,

die Sache ist etwas komplizierter: Es gibt keine universelle und zugleich absolute Gegenwart. Gegenwart ist ein Spezialfall der Gleichzeitigkeit.

Schon von GALILEI stammt das Prinzip der Relativität der Fortbewegung, kurz auch Relativitätsprinzip (RP) genannt. Dessen Anwendung auf MAXWELLs Elektrodynamik führt zur Grundannahme der Speziellen Relativitätstheorie (SRT), nämlich dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Koordinatensystemen denselben Betrag c hat.

Wenn Du in einem Raumfahrzeug B durch den interstellaren Raum dümpelst, in einer Linie mit zwei je im Abstand d von Dir positionierten Raumfahrzeugen A und C, und ich komme in einem Raumfahrzeug B' mit konstanter Geschwindigkeit (v|0|0) an allen Stationen vorbei, lässt sich dies ebensogut dahingehend interpretieren, dass A, B (also Du) und C als Konvoi mit (-v|0|0) an mir vorbei ziehen.

Dies bedingt schon nach der NEWTONschen Mechanik (NM) eine Relativität der Gleichortigkeit zeitlich aufeinander folgender Ereignisse. Das können der erste und der letzte Schluck von einem Kaffee sein, den ich im Bordbistro von B' trinke.

Sehen wir A, B und C als ruhend an, schreiben wir den Ereignissen einen räumlichen Abstand Δx = v∙Δt zu, wobei Δt die von B aus ermittelte Zeitspanne ist, die B- Koordinatenzeit.

Sehen wir B' als ruhend an, haben wir beide Ereignisse als gleichortig zu interpretieren. Die B'- Koordinatenzeit Δt' stimmt dabei mit der von meiner eigenen Uhr direkt gemessenen Eigenzeit Δτ überein.

Relativität der Gleichzeitigkeit

Nehmen wir an, ich komme relativ dicht an A, B und C vorbei. In dem Moment - wir wollen ihn t = t' = 0 nennen - in dem ich Dich passiere, erhalten wir von A und C je ein Funksignal.

Wenn wir Dich, A und B als stationär interpretieren, „datieren" wir beide Ereignisse natürlich auf t(A) = t(C) = −d⁄c.

Für mich sieht übrigens in diesem Moment C um das Quadrat des sog. BONDI- Faktors

(1) K² = (c + v)⁄(c − v) = (1 + β)⁄(1 − β)

weiter entfernt aus als A, was in Deinem Ruhesystem Σ als Aberration zu interpretieren ist: Meine Geschwindigkeit verzerrt das Bild.

In meinem Ruhesystem Σ' seid ihr aber der Konvoi, und derselbe visuelle Eindruck ist damit als Retardierungseffekt zu interpretieren: Ich sehe A und C in der Entfernung, in der sie bei Emission des jeweiligen Signals waren. Daher datieren wir in Σ' das Signal von C um K² früher als das von A, genauer auf t'(A) = −d⁄(c∙K) und t'(C) = d∙K⁄c.

Das NM- Konzept der Gleichzeitigkeit wird daher in der SRT durch die ihm gegenüber abgeschwächte Eigenschaft ersetzt, raumartig getrennt zu sein, mit dem MINKOWSKI- Abstand

(2.1) Δς = √{Δx² + Δy² + Δz² − c²Δt²} ≡ √{Δx'² + Δy'² + Δz'² − c²Δt'²},

den man als Gleichzeitigkeitsabstand bezeichnen kann. Ereignisse wie die Schlücke Kaffee oben heißen zeitartig getrennt, und ihr MINKOWSKI- Abstand ist nichts anderes als die Eigenzeit

(2.2) Δτ = √{Δt² − (Δx² + Δy² + Δz²)⁄c²} ≡ √{Δt'² − (Δx'² + Δy'² + Δz'²)⁄c²}.

Der Grenzfall sind lichtartig getrennte Ereignisse. Nun ist der MINKOWSKI- Abstand samt Kategorie absolut, und schon deshalb ist Überlichtgeschwindigkeit unmöglich.

Raumartig getrennte Ereignisse haben keine feste zeitliche Reihenfolge.

Deshalb gäbe es ein Koordinatensystem, in dem die Ankunft der Information zeitlich vor der Absendung läge. Das wäre allein noch kein Problem, aber wenn man das in entgegengesetzter Richtung wiederholte, könnte man „über Bande“ auch Nachrichten in die eigene Vergangenheit schicken.

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Hallo Forty024,

das Wort 'Physik' heißt zu Deutsch 'Natur(wissenschaft)'. So gesehen ist die Chemie ebenfalls Teil der Physik, auch wenn sie administrativ als ganz eigene Wissenschaft behandelt wird.

Kein Chemiker kommt ohne physikalische Begriffe aus, vor allem nicht ohne den universalphysikalischen Begriff der Energie.

Die Gebiete der Physik, mit denen die Chemie am engsten verflochten ist, sind die Statistische Physik/Thermodynamik (Größen wie Temperatur, Entropie & Co. spielen eine enorm wichtige Rolle in der Chemie) und die Atomphysik (nicht zu verwechseln mit der Kern- und Teilchenphysik; in der Chemie geht es primär um die Hülle des Atoms) als Teilbereich der Quantik.

Elektronen sind keine kleinen Kügelchen, die den Atomkern umrunden wie Planeten einen Stern, sondern elementare Anregungen eines Quantenfeldes (nämlich des Elektronenfeldes); sie haben einen Wellencharakter und können in einem Atom nur Zustände annehmen, in denen sie stehende Wellen bilden, die durch Energie und "Bahn"drehimpuls gekennzeichnet sind und Orbitale heißen.

Außerdem haben sie noch eine Eigenschaft, die sich einem (Eigen)drehimpuls ähnlich verhält, aber letztlich eine rein quantische Eigenschaft ist. Im Falle von Materieteilchen einschließlich des Elektrons ist der Spin ½∙ħ, wobei ħ ≈ 1,054×10⁻³⁴Nms eine universelle Konstante ist, das Reduzierte PLANCKsche Wirkungsquantum.

Gleichartige Teilchen mit dieser Eigenschaft können nicht am selben Ort im selben Zustand sein (PAULI- Prinzip), und auch das ist eminent wichtig für die Chemie, denn nur deshalb "passen" nur 2 Elektronen mit jeweils entgegengesetztem Spin in ein Orbital, und nur deshalb sind die chemischen Elemente so vielfältig.

Andernfalls würde Materie viel eher in sich zusammenfallen, und so etwas wie Weiße Zwerge und Neutronensterne gäbe es ohne das PAULI- Prinzip wahrscheinlich auch nicht, nur Schwarze Löcher.

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Hallo Infinitum8,

Singularitäten sind generell schwer mathematisch zu behandeln, weshalb Mathematikern und theoretischen Physikern davor graut.

Koordinatensingularität

Manche Singularitäten sind allerdings Artefakte des Koordinatensystems. In SCHWARZSCHILD- Koordinaten etwa wird der SCHWARZSCHILD- Faktor

(1) q := √{1 − 2GM⁄rc²}

am Ereignishorizont eines nichtrotierenden Schwarzen Lochs (r = 2GM⁄c², wobei r eine Kugelschale der Fläche 4πr² bezeichnet, G die Gravitationskonstante und M die Masse des Schwarzen Lochs bzw. der erzeugenden Punkt- oder Ringmasse ist) verschwindet und dadurch die SCHWARZSCHILD- Metrik

(2) dτ² = dt²q² − (dr²⁄q² + r²dΩ²)⁄c²

„zum ersten Mal“ (nämlich, wenn man r immer kleiner werden lässt) singulär wird. Die Singularität lässt sich allerdings durch die Verwendung anderer Koordinatensysteme (EDDINGTON- FINKELSTEIN, GULLSTRAND, KRUSKAL- SZEGERES) wegtransformieren.

Das (mutmaßlich) singuläre „Herz"

Für r → 0 geht dies allerdings nicht mehr, da q² dann selbst gegen −∞ geht. Die Raumzeit hat an dieser Stelle sozusagen „eine Spitze“ bzw. „einen Knick“.

Man „tröstet“ sich damit, dass dieses „Monstrum“ namens Singularität für keinen Beobachter jemals Gegenwart ist, da hinter den Ereignishorizont r zeitartig wird.

Wenn Schwarze Löcher jedoch extrem schnell rotieren (KERR- Metrik), droht der Ereignishorizont zu verschwinden und die mutmaßliche Singularität zur sog. nackten Singularität würde.

Ausdehnungskoeffizient

Ein thermischer Ausdehnungskoeffizient ist für eine Singularität nicht definiert. Es mag sein, dass an Stelle einer echten mathematischen Singularität eine Art ultradichter Quantenschaum ist, in dem es keine Zeit gibt, aber auch der hätte dann wohl das kleinste überhaupt mögliche Volumen und würde sich nicht thermisch ausdehnen.

Genau genommen dehnt sich selbst bestimmte reguläre Materie nicht thermisch aus, nämlich sogenannte FERMI- entartete Materie, wie es sie in Weißen Zwergen und Neutronensternen gibt. Der Druck in dieser Materie hängt nämlich nur von der Dichte und nicht von der Temperatur ab.

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Hallo Mumumumumu412,

die Quantenfluktuationen sind keine direkte Wechselwirkung, und Gravitation ist sehr schwach. In jedem Fall sind sie kein Anlass, der einen Eigenwert produzieren würde.

Zur Erklärung: Quantik als lineare Algebra

Die Wellenfunktion ist ein abstrakter Vektor, der den Zustand des Teilchens beschreibt. Üblicherweise normiert man seine „Länge“ auf 1.

Eine physikalische Größe wird durch einen Operator beschrieben, die Verallgemeinerung einer Matrix. Matrizen sind Darstellungen linearer Abbildungen von einem Vektor auf einen anderen, Drehungen zum Beispiel.

Sie besitzen Eigenvektoren, die ihre Richtung beibehalten, also zum Ausgangsvektor proportional sind. Der Proportionalitätsfaktor heißt Eigenwert der Matrix. Bei Drehungen sind zum Beispiel Vektoren parallel oder antiparallel zur Drehachse Eigenvektoren zum Eigenwert 1.

Der quantenmechanische Zustandsvektor lässt sich in Eigenzuständen des fraglichen Operators entwickeln, und die Betragsquadrate der Koeffizienten stellen die Wahrscheinlichkeiten dar, den entsprechenden Eigenwert zu messen.

Oft ist diese Entwicklung ein Integral, denn manche Operatoren haben ein ganzes Kontinuum von Eigenzuständen, z.B. der Orts- oder auch der Impulsoperator. Die Entwicklung einer Ortswellenfunktion in Impulseigenzustände oder umgekehrt ist nichts anderes als eine FOURIER- Transformation.

Ein Video, das dies erklärt, findet sich hier:

https://youtu.be/ctXDXABJRtg

Die „Wahrscheinlichkeitswelle"…

...ist übrigens keinesfalls ein unbestimmter Zustand oder etwas, das lediglich „Aufenthaltswahrscheinlichkeiten“ für das „eigentliche Teilchen“ festlegt, sondern selbst, etwa als Elektronen- Orbital, ein durchaus bestimmter Zustand, nur nicht hinsichtlich des Ortes, sondern der Energie und des Drehimpulses hinsichtlich einer bestimmten räumlichen Achse. Und das ist in einem elektrischen Feld, also durchaus mit Wechselwirkung.

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Hallo Mumumumumu412,

das Konzept des Holosterns ist wie das des Gravasterns eine kugelsymmetrische Lösung der EINSTEINschen Feldgleichung und konkurriert mit dem Konzept des nichtrotierenden Schwarzen Lochs.

Im Außenraum entspricht die Metrik der Raumzeit der SCHWARZSCHILD- Metrik. Metrik heißt Definition der raumzeitlichen Entfernung zwischen zwei Ereignissen , ähnlich der Entfernung zwischen zwei Punkten im Raum. Sie wird üblicherweise in quadratischer Form angegeben werden, weil sich der Satz des PYTHAGORAS auf Quadrate bezieht. Auf ihm beruht die EUKLIDische Metrik

(1.1) Δs² = Δx² + Δy² + Δz²,

wobei Δx, Δy und Δz die Seiten eines Quaders mit der Diagonalen Δs sind. Um diesen Abstand in sphärischen Koordinaten auszudrücken, müssen wir Δs sehr klein wählen, damit die Krummlinigkeit der Koordinatenlinien keinen Ärger macht. Statt (1.1) schreibt man dann

(1.2) ds² = dx² + dy² + dz² = dr² + r²dθ² + r²sin²(θ)dφ² =: dr² + r²dΩ²,

d.h., r∙dΩ ist gleichsam der Abstand zweier Punkte auf einer r-Kugelfläche.

In der Raumzeit haben zwei sog. raumartig getrennte (c∙Δt > Δs) Ereignisse das Abstandsquadrat

(2.1) Δς² = Δs² − c²∙Δt²,

wobei sich Δς = Δs für Δt = 0 ergibt, mit anderen Worten die Entfernung in einem Koordinatensystem, in dem sie gleichzeitig sind (Gleichzeitigkeitsabstand). Für sog. zeitartig getrennte Ereignisse (c∙Δt < Δs) ist Δς imaginär; um einen reellen Abstand zu erhalten, muss (2.1) zu

(2.2) Δτ² = Δt² − Δs²⁄c²

umgedreht werden, wobei sich Δτ = Δt für Δs = 0 ergibt, mit anderen Worten die Zeit in einem Koordinatensystem, in dem sie gleichortig sind (Eigenzeit).

Für sphärische Koordinaten gilt dasselbe wie oben, also

(3.1) dς² = dr² + r²dΩ² − c²dt²
(3.2) dτ² = dt² − (dr² + r²dΩ²)⁄c².

Dies ist aber nur dann so, wenn im Ursprung r = 0 keine Masse sitzt, oder allenfalls eine sehr kleine, aber ausgedehnte Masse.

Bei einem kugelsymmetrischen Himmelskörper der Masse M und des Radius R werden (3.2−2) für r > R zu

(4.1) dς² = dr²⁄q² + r²dΩ² − c²dt²∙q²
(4.2) dτ² = dt²∙q² − (dr²⁄q² + r²dΩ²)⁄c²,

mit dem SCHWARZSCHILD- Faktor

(5) q := √{1 − 2𝑚}

mit dem Gravitationsradius

(6) 𝑚 := G∙M/c²

ist, und 2𝑚 heißt SCHWARZSCHILD- Radius. Dabei ist G ≈ ⅔×10⁻¹⁰m³/(kg∙s²) die Gravitationskonstante. Der Faktor q verlängert den Zeittakt einer Uhr bei r gegenüber einer fernen Uhr, und das 1/q im radialen Term sorgt dafür, dass die radiale Entfernung zwischen zwei Kugelschalen größer ist.

Ein nichtrotierendes Schwarzes Loch liegt vor, wenn R < 2𝑚 wird, wobei dann auch R → 0 geht, denn ein solcher Himmelkörper kollabiert bis zum Gehtnichtmehr. Bei r = 2𝑚 ist ein Ereignishorizont. So etwas gibt es auch als Artefakt, wenn ein Raumfahrzeug stetig beschleunigt.

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Hallo Mumumumumu412,

eine Besonderheit der Gravitation eines Körpers der Masse M liegt darin, dass die Fallbeschleunigung, die ein Körper der Masse m<<M erfährt, mit der durch M hervorgerufenen Gravitationsfeldstärke identisch und damit von m unabhängig ist.

Dies kennen wir sonst nur aus Nichtinertialsystemen, in denen Trägheitskräfte auftreten. In einem von einem beschleunigten, z.B. rotierenden Körper aus definierten Koordinatensystem wird alles, was diese Beschleunigung nicht mitmacht, als in Richtung der Trägheitskräfte beschleunigt beschrieben. Dies gilt zwangsläufig auch für Photonen.

Diese Ähnlichkeit von Gravitations- und Trägheitskräften führt zu EINSTEINs Äquivalenzprinzip. Wenn wir in einem Labor an Bord eines Raumfahrzeuges Schwerelosigkeit erfahren, können wir rein physikalisch nicht unterscheiden, ob wir im freien Weltraum herumdümpeln oder uns im freien Fall oder einem Orbit befinden.

Spüren wir gleichbleibende Beschleunigung in eine Richtung, könnte dies die Wirkung eines mehr oder minder homogenen Gravitationsfeldes oder einer gleichförmigen Beschleunigung unsererseits in Gegenrichtung sein. Selbst wenn man im Weltraum bei Antritt einer Reise permanent beschleunigt, kann man dies dahingehend deuten, es gebe ein universelles homogenes Gravitationsfeld, in dem fast alles frei fällt und man selbst sich quasi als Einziger diesem widersetzt. Alles Licht, das von hinten kommt, wird dabei rotverschoben, und zwar umso stärker, je später oder von je größerer Entfernung es gestartet ist. Es gibt sogar ein Lichtsignal, das uns niemals einholen könnte, solange wir die Beschleunigung fortsetzen. Es stellt einen Ereignishorizont.

Allerdings ist Masse nichts anderes als „kondensierte“ Energie. Jede Energie koppelt an Gravitation, auch kinetische und sogar potentielle Energie. Als die Masse eines Körpers bezeichnet man nur diejenige Energie, die der Körper auch in seinem Ruhesystem hat, wenn man zudem die potentielle Energie unberücksichtigt lässt, die Ruheenergie bis auf den konstanten Faktor c² - die Photonen nicht haben. Sie bestehen gleichsam nur aus kinetischer Energie, sie sind nicht bewegte Objekte, sondern sie sind ihre eigene Bewegung.

Allerdings haben sie, bedingt durch ihre kinetische Energie, auf einem Gravitationspotential Φ auch die potentielle Energie h∙f∙Φ⁄c². Die Gesamtenergie

h∙f∙(1 + Φ⁄c²)

bleibt beim „Auf-“ oder „Abstieg“ konstant (⇒ Rot- bzw. Blauverschiebung).

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Unveränderlich

Hallo Mumumumumu412,

das Wort 'Gesetze' ist irreführend. Es sind nicht irgendwelche Bestimmungen, die jemand mal erlassen hat und die gelegentlich novelliert würden - oder die man etwa auch brechen könnte.

Naturgesetze sind nichts anderes als fundamentale Beziehungen zwischen physikalischen Größen.

Sie sind absolut, d.h., ihre Form ist unabhängig von der Wahl des Bezugssystems. Dies ist ein von einer Uhr als Bezugskörper aus konstruieres Koordinatensystem, zu dem auch die von der Uhr aus ermittelte Zeit gehört, die Koordinatenzeit heißt. Es ist also ein raumzeitliches Koordinatensystem.

Dies gilt auch für Koordinatensysteme, deren Anker, zwei Uhren U und U', sich relativ zueinander bewegen. Dies ist GALILEIs Relativitätsprinzip (RP).

Zu den Naturgesetzen wiederum gehören auch die MAXWELL- Gleichungen und damit auch die elektromagnetische Wellengleichung, welche die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen beschreibt. Die Anwendung des RP auf die elektromagnetische Wellengleichung führt schnurstracks zur Speziellen Relativitätstheorie (SRT).

Das Bestreben, Naturgesetze gänzlich koordinatenunabhängig zu formulieren, führt zur Allgemeinen Relativitätstheorie (ART).

Koordinatenunabhängigkeit bedeutet freilich auch Unabhängigkeit von Ort und Zeit. Sollte sich etwas, das wir bislang eine Konstante nennen, als veränderlich entpuppen, müsste man diese Veränderlichkeit in diev Gleichung, als die das Naturgesetz formuliert ist, einbauen, und damit hätte man das Gesetz wieder zeitunabhängig formuliert.

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Hallo Dontknow0815,

die Protonenzahl im Kern eines Atoms ist fix und macht aus, um welches Element es sich handelt, denn sie bestimmt, wie viele Elektronen jedes Atom enthalten muss, um elektrisch neutral zu sein. Die Elektronen wiederum ordnen sich in Orbitalen („Doppelzimmern“) in verschiedenen Schalen („Etagen“) an.

Nun streben alle Atome die sog. Edelgaskonfiguration an, bei der die Schalen voll sind.

  • Atomen wie Sauerstoff fehlen wenige Elektronen dazu, deshalb neigen sie dazu, Elektronen aufzunehmen, und sie bilden Moleküle.
  • Atome wie Lithium oder Natrium haben wenige Elektronen zu viel, deshalb neigen sie dazu, diese abzuwerfen und als positiv geladene Atomrümpfe übrigzubleiben. Deshalb haben Metalle freie Elektronen, deshalb glänzen sie und leiten Wärme und elektrischen Strom.
...fließen die Elektronen des Kupfers ja vom hohen zum niedrigen Potential.

Eigentlich umgekehrt, weil die Ladung der Elektronen als negativ bezeichnet wird. Wo Elektronenüberschuss herrscht, ist Überschuss an negativer Ladung, und die erzeugt ein negatives elektrisches Potential. Wir können das hier aber ignorieren.

Einen Gleichstromkreis kann man sich wie einen Wasserlauf vorstellen, der an einer Stelle durch eine Wand mit einer Pumpe unterbrochen ist. Sie steht für die Spannungsquelle und pumpt Wasser von einer Seite auf die andere. Um ihn auszugleichen, muss das höher stehende Wasser durch den gesamten Wasserlauf fließen und könnte bei dieser Gelegenheit z.B. eine Wassermühle antreiben. So ähnlich funktioniert das auch bei einem Gleichstromkreis.

Und wie berechne ich dir Anzahl der Elektronen, welche pro Sekunde fließen?

Wie Johannes818429 das geschrieben hat. Wenn 1A fließt, heißt dies, durch den Querschnitt des Leiters fließt jede Sekunde 1C ≈ 6,25×10¹⁸e, wobei 'e' die Elementarladung bezeichnet. Dazu braucht man den atomaren Aufbau des Kupfers nicht zu kennen, nicht einmal den Querschnitt des Kabels. Anders ist das, wenn man wissen will, wie schnell die Elektronen fließen.

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Hallo Fraser174,

es ist schwierig, gekrümmte Raumzeit ohne jeden Bezug auf höhere Dimensionen darzustellen. Gekrümmte 3D-Räume lässt z.B. der Autor dieses Videos darstellen, auch hier:

https://youtu.be/jj5lDmaQTuo

Das wohl bekannteste Modell ist das Gummituch-Modell. Dieses ist aber nicht gut, da es im Grunde Gravitation verwendet, um Gravitation zu erklären.

Das lässt sich allerdings beheben, indem man dort nicht Kugeln rollen, sondern aufs Geradeausgehen programmierte Roboter- Ameisen laufen lässt. Die nämlich würden in jedem Fall der Krümmung der Fläche folgen und das Verhalten eines Lichtstrahls nachahmen.

Um jede Idee auszuschließen, sie werde deshalb nach innen abgelenkt, weil dies „nach unten“ gehe, könnte man die Mulden durch Hügel ersetzen.

Dies stellt freilich nur die Krümmung des Raumes bei sehr starker Gravitation dar. Um ein Modell für die Krümmung der Raumzeit auch bei viel schwächer Gravitation zu sein, müsste irgendwie auch die Zeit rein.

Klar, ganz ohne Krümmung einer Fläche in einem Einbettungsraum kommt dieses Modell auch nicht aus, und es stellt auch nicht die Abhängigkeit der Stärke der Gravitation vom Ort dar. Außerdem ist Zeit nicht zirkulär. Instruktiv ist das Modell trotzdem: Wenn Du eine Flugreise zwischen zwei Orten auf demselben Breitengrad unternimmst, läuft diese immer über höhere Breiten. Was auf einer üblichen MERCATOR- Weltkarte wie ein Umweg aussieht, ist tatsächlich der direkte Weg.

Diese Reise steht modellhaft für einen senkrechten Sprung. Der Breitengrad stellt die Weltlinie des Bodens dar, die des Großkreisbogens die des Springers während des Sprungs. Geodätische Weltlinien sind solche von Körpern, die keine Kräfte spüren, etwa ein Flugzeug im Parabelflug oder die ISS im Orbit.

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Hallo HoneycreamLP,

die Frage, was passieren würde, wenn diesundjenes passierte, zielt auf eine Antwort aus der realen Physik ab, weil sich ohne sog. Naturgesetze (= fundamentale Beziehungen zwischen physikalischen Größen) ohnehin keine Voraussagen treffen lassen. Die Voraussetzung sollte also nicht komplett physikalisch unmöglich sein.

Ein Körper von 10⁶km kann kein Asteroid sein und nicht einmal mehr ein Planet. Entweder ist es eine lose Gas- und Staubwolke, oder es ist ein ganzer Stern. Die Sonne hat ca. 1,4×10⁶km Durchmesser.

Was immer es ist: Relativ zu sich selbst bewegt sich ein Körper definitionsgemäß überhaupt nicht, schon gar nicht mit c. Das müsste er aber, wenn er sich relativ zu irgendeinem Körper mit genau c bewegen sollte, weil c eine vom Bezugsrahmen unabhängige Größe ist.

Wenn wir z.B. aufeinander zu kommen und einander Lichtsignale schicken und alle möglichen Größen wie Ausbreitungstempo, Frequenz, Wellenlänge etc. messen, werden wir kein anderes Ausbreitungstempo, sondern eine um den Faktor

(1) K = √{(c + v)⁄(c − v)}

höhere - Frequenz und Intensität messen. Haben wir Sichtkontakt, sehen wir einander auch im Zeitraffer, was auch für die Bewegung gilt. Was sich tatsächlich mit v = c∙β nähert, scheint sich mit c∙β⁄(1 − β) zu nähern.

Entfernen wir uns voneinander, sind die gemessenen Frequenzen um den Faktor 1⁄K niedriger und die Intensität des Signals kleiner, und wir sehen einander, falls wir Sichtkontakt haben, in Zeitlupe. Was sich tatsächlich mit c∙β entfernt, scheint sich mit c∙β⁄(1 + β) zu entfernen.

Ein großer Körper, der sich und mit fast c näherte und auf uns träfe, sähe aus unserer Perspektive fast gar nicht aus, weil er schon da wäre, wenn wir ihn in einiger Entfernung sähen. Aus der Perspektive eines fernen Planeten sähe man vermutlich einen grellen Lichtblitz, so etwas sie eine Supernova aus heiterem Himmel, gefolgt von der Zerstörung des Sonnensystems, weil beim unelastischen Stoß zwischen dem fremden Körper und der Erde ein Großteil ihrer gesamten Ruheenergie frei würde.

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Hallo Gwushdkwkndbeh,

jeder Vektor lässt sich als Linearkombination von Basisvektoren darstellen. Das Wort impliziert, dass diese linear unabhängig sein müssen, d.h., dass sich keiner von ihnen als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Insbesondere ist das bei orthogonalen Basisvektoren der Fall, also solchen, die einen rechten Winkel bilden.

Es ist üblich, die Basisvektoren zu normieren, d.h., sie so zu wählen, dass ihr Betrag gleich 1 ist. Nicht 1m oder 1m/s, sondern einfach 1. Es geht allein um die Richtung. Maßeinheiten (um die sich Mathematiker notorisch nicht drum kümmern) stecken dann in den Vorfaktoren. So muss man nicht den Raum der Orte, den Raum der Geschwindigkeiten, den Raum der Impulse oder den Raum der Kräfte separat behandeln.

Die Basisvektoren sind in 2D also 1x› = (1|0) und 1y› = (0|1), wobei '|' hier für den Zeilenwechsel steht. Sonst müsste da

⎛1⎞ bzw. ⎛0⎞
⎝0⎠          ⎝1⎠

stehen (besser bekomme ich es nicht hin). In diesem Koordinatensystem steht (1|0) für Richtung Osten, (0|1) für Richtung Norden. Ein Minuszeichen steht für die entgegengesetzte Richtung, d.h., (−1|0) steht für Richtung Westen und (0|−1) für Richtung Süden.

Dieses a ist eine positive Zahl mal der Maßeinheit, sei es Knoten, km⁄h oder m⁄s.

Wenn eine Fahrt nach Nordwest durch u› = (−a|a) beschrieben wird, muss eine Fahrt nach Nordost mit gleichem Tempo v› = (a|a) beschrieben werden. Das Tempo ist übrigens

√{‹u,u›} = √{(−a, a)(−a|a)} = √{(−a)² + a²} = √{2}a,

nach dem Satz des PYTHAGORAS. Dabei meine ich mit ‹u,u› das Skalarprodukt von u› mit sich selbst. Das von u mit v ist

‹u,v› = (−a, a)(a|a) = −a∙a + a∙a = 0,

was die mathematische Definition der Orthogonalität ist.

Natürlich lässt sich das Prinzip auf mehrdimemsionale Vektorräume verallgemeinern, z.B. auf 3D:

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Hallo Infinitum8,

ein Atom liegt in seinem Radius in der Größenordnung von 10⁻¹⁰m, wobei die aus den Elektronen bestehenden Hülle den größten Teil des Volumens ausmacht.

Die Elektronen bilden stehende Wellen um den Atomkern, sog. Orbitale.

Ein Beispiel für ein Elektronenorbital

Den größten Teil der Masse im Atom macht hingegen der Kern aus, dessen Radius in der Größenordnung von 10⁻¹⁵m liegt, also etwa einhunderttausend mal kleiner ist als das ganze Atom.

Ein Atom ist so verdammt winzig...

... aber bei Reaktionen, egal ob Hülle (chemisch) oder Kern (nuklear) sind sehr viele Atome beteiligt. Ein Gramm Wasserstoff enthält ca. 3×10²³ Moleküle mit je 2 Atomen.

...obwohl es so verdammt winzig ist, kann es, sofern man es spaltet, eine brachiale Energie auslösen..

Nicht obwohl, sondern weil. Die in zentralsymmetrischen elektrischen Feldern enthaltene Energie ist antiproportional zu typischen Abständen und allein schon deshalb setzt eine nukleare Reaktion Hunderttausende von Malen mehr Energie frei als eine chemische mit einer vergleichbaren Menge an Material.

Hinzu kommt noch, dass die Starke Wechselwirkung eine extrem kurze Reichweite von bis ca. 10⁻¹⁵m hat, die stärker ist als die elektrische Kraft.

Dass nach der Formel E=mc² auch die Gesamtmassen kleiner werden (Massendefekt), ist interessant zu wissen, spielt jedoch hier eine untergeordnete Rolle. Der einzige Vorgang, bei dem die gesamte Ruheenergie von Teilchen als Strahlung freigesetzt wird, ist die Paarvernichtung. Die zwischen dem Elektron und seinem Antiteilchen, dem Positron, setzt zwei Photonen (Licht-Teilchen) von je 511 Kiloelektronenvolt frei, was um die 250000 mal die eines Photons aus sichtbarem Licht ausmacht.

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Hallo Mila1sweet,

addieren kannst Du Komplexe Zahlen einfach, indem Du die Terme ohne und die mit i zusammenfasst:

(1) z₁ + z₂ = (x₁ + y₁∙i) + (x₂ + y₂∙i) = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)∙i

Hier musst Du potenzieren, wobei ich die Basis eher als z = (−√{3} + 3∙i) geschrieben hätte. Dies kannst Du z.B. zwei mal quadrieren (Binomische Formel):

(2.1) z² = (−√{3} + 3∙i)² = 3 − 9 − 2∙3∙√{3}∙i = −6 − 6√{3}i

(2.2) z⁴ = (−6 − 6√{3}∙i)² = 36 − 108 + 2∙6∙6∙√{3}∙i = −72 + 72√{3}∙i

Der Betrag |z⁴| muss 144 sein, weil |z| = √{12} und somit |z²| = |z|² = 12 ist.

Die kartesische Form z = x + y∙i ist additions- aber nicht multiplikations- oder potenzierungsfreundlich. Besser ist es, y⁄x als Tangens einer Phase φ auszudrücken, sodass

(3.1) x = |z|∙cos(φ)
(3.2) y = |z|∙sin(φ)

und mit der EULERschen Formel

(4) ei∙φ = cos(φ) + i∙sin(φ)

auch

(5) z = |z|∙ei∙φ

ist. Nach den Potenzgesetzen nämlich ist ein Produkt zweier Komplexer Zahlen

(6) z₁·z₂ = |z₁|·|z₂|∙ei∙(φ₁ +  φ₂) 

und die α. Potenz einer Komplexen Zahl

(7) zα = |z|α∙ei∙α∙φ,

übrigens unabhängig davon, was α für eine Zahl ist.

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Ja es ist möglich weil

Hallo dripmaster361,

tatsächlich kannst Du nicht nicht in der Zeit reisen, nämlich in die Zukunft, mit mindestens 1 (Sekunden pro Sekunde). Wobei ich mit „Du“ Dein „Hier und Jetzt“ meine.

Zeitreisen in die Zukunft

Wenn Du nach Deiner eigenen Uhr Ω in der Eigenzeit Δτ = 6min = 360s einen Kaffee trinkst, findest Du Dich beim letzten Schluck in einer mindestens Δt = 6min = 360s späteren Koordinatenzeit (von einer Uhr U als Bezugskörper aus ermittelte Zeit) wieder. Vorausgesetzt, Du bewegst Dich relativ zu U nicht.

Bewegt sich eine andere Uhr U' mit konstanter Geschwindigkeit (−v|0|0), so hat diese gleichsam eine andere Zeitrichtung, Du und U bewegen sich relativ zu ihr mit (v|0|0), legst also die räumliche Strecke Δx' = v∙Δt' zurück. Dabei ist Δt' die von U' aus ermittelte Koordinatenzeit, sozusagen die Projektion von Δτ auf die Weltlinie von U', ihren Weg durch die Raumzeit.

Die Eigenzeit ist der absolute Abstand zwischen den zwei Ereignissen (erster und letzter Schluck), und ihre Beziehung zu den Koordinatenzeiten und Strecken ist

(1) Δτ = √{Δt² − Δx²⁄c²} ≡ √{Δt'² − Δx'²⁄c²}.

Da Du relativ zu U stationär bist, ist Δx = 0 und damit Δτ = Δt, und da Δx' = v∙Δt' war, ist

(2.1) Δτ = Δt'∙√{1 − (v⁄c)²},

und damit ist die zurückgelegte Koordinatenzeit

(2.2) Δt' = Δτ⁄√{1 − (v⁄c)²} =: γ∙Δτ.

Du kannst Dich also relativ zu U' theoretisch in beliebig kurzer Eigenzeit beliebig weit bewegen, aber weil Du Dich dabei unweigerlich mit Δt'⁄Δτ = γ in die Zukunft bewegst (schneller als räumlich), ist wegen (1) das Verhältnis Δx'⁄Δt' = v < c.

Zeitreisen in die Vergangenheit

zu Zeitreisen in die Vergangenheit respektive den Bedingungen, die erfüllt sein müssten, um eine Zeitreise in die Vergangenheit widerspruchsfrei zu machen, habe ich mir bereits Gedanken gemacht:

Das sog. Großvater-Paradoxon ist nur eines der logisch-physikalischen Probleme, die mit einer Zeitreise in die Vergangenheit verbunden wären.

Ein anderes ist die Verletzung der Kontinuitätsgleichung, d.h. der Erhaltungssätze. Darauf komme ich weiter unten zu sprechen.

Das Großvater-Paradoxon und wann es nicht greift

Würde ein Zeitreisender (ZR) seinen Großvater daran hindern, die spätere Großmutter des ZR zu schwängern, so ergäbe das eine Antinomie, da der ZR die Reise wegen seiner Nichtexistenz nicht hätte antreten können.

Dieses Paradoxon ist freilich ohne Weiteres auflösbar, wenn man eine von zwei Möglichkeiten akzeptiert:

  1. Eine Vielzahl von Weltgeschichten, wie sie als eine Möglichkeit der Deutung der Quantentheorie und ihrer Dilemmata auftritt, und
  2. »Wesentlicher« (unterschieden vom kausalen) Determinismus wie in der griechischen Tragödie, falls es nur eine Realität geben sollte.

Im ersten Fall wäre es nicht nur vorstellbar, in die Vergangenheit zu reisen, sondern auch in andere Gegenwarten (auf der Grundlage anderer Vergangenheiten), und jedenfalls gibt es dann auch eine Geschichte, in der der Erste Weltkrieg mit allen seinen Folgen ausgeblieben wäre.

Die zweite Möglichkeit impliziert, dass es einen Typen gegeben hat, den man schon vor der Abreise des ZR in alten Aufzeichnungen hätte ausmachen und finden können und der den untauglichen Versuch gemacht hat, dem Großvater des ZR dessen spätere Großmutter auszuspannen oder deren Date zu verhindern, aber genau dadurch bewirkt hat, dass sie zusammenkamen.

Erst bei näherem Hinsehen würde eine gewisse Ähnlichkeit mit dem ZR auffallen. Wie bei Ödipus, dessen Versuch, der Erfüllung seines durch das Orakel vorhergesagten Schicksals zu entgehen, diese Erfüllung herbeiführt. Die Zeitreise wäre also nicht nur möglich, sondern zwangsläufig und hätte überhaupt erst zur beobachteten Vergangenheit und Gegenwart geführt.

Verletzung bzw. »Rettung« der Kontinuitätsgleichung

Konventionelle Vorstellungen von Zeitreisen in die Vergangenheit verletzen die Kontinuitätsgleichung. Der Zeitreisende (ZR) verschwindet mitsamt der Maschine einfach ins Nirgendwo und taucht in der Vergangenheit wieder auf, wodurch es ihn u. U. doppelt gibt. Ganz unten habe ich eine Idee aufgeführt, wie auch dieses Dilemma lösbar würde. 

Jedenfalls endet ein Weltstrang nach dieser Vorstellung einfach am Ereignis der Abreise, und dafür beginnt einer am Ereignis der Ankunft. Das kann eigentlich nicht sein.

Eine Möglichkeit, wie die Natur das Problem mit der Kontinuitätsgleichung umgehen könnte, wäre, wenn man sich Schwarze Löcher als Tunnel in die Vergangenheit vorstellen könnte, genauer gesagt bis zum Urknall.

Springt der ZR dort hinein, erhöht sich die Masse des SL, ohne dass man seinen Weltstrang von dem des Schwarzen Lochs unterscheiden kann. Da er zur Masse des Kosmos zählt, würde sein »Wiederauftauchen« mit dem Urknall keine Irritationen verursachen - sollte er denn er heil ankommen, was natürlich unwahrscheinlich ist.

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Hallo KjellFilosofem,

ein Part A eines verschränkten Teilchenpaares (A,B) macht entweder das, was mit dem, was sein Verschränkungspartner B macht, kompatibel ist.

Haben z.B. beide einen gemeinsamen Spin 0, wird A bei einer Spin-Messung in derselben Richtung stets das Gegenteil von dem tun, was sein Partnerteilchen B tut. Spinmäßig jedenfalls.

Es sei denn, A wäre z.B. in Europa und B in Australien, dann wäre die z-Achse, die mutmaßliche Messachse, genau anders herum orientiert. In diesem Fall würde A im Falle einer Messung zur hiesigen z-Achse dieselbe Spinorientierung zeigen wie B zur dortigen.

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Hallo Help1996,

zu Zeitreisen in die Vergangenheit respektive den Bedingungen, die erfüllt sein müssten, um eine Zeitreise in die Vergangenheit widerspruchsfrei zu machen, habe ich mir bereits Gedanken gemacht:

Das sog. Großvater-Paradoxon ist nur eines der logisch-physikalischen Probleme, die mit einer Zeitreise in die Vergangenheit verbunden wären.

Ein anderes ist die Verletzung der Kontinuitätsgleichung, d.h. der Erhaltungssätze. Darauf komme ich weiter unten zu sprechen.

Das Großvater-Paradoxon und wann es nicht greift

Würde ein Zeitreisender (ZR) seinen Großvater daran hindern, die spätere Großmutter des ZR zu schwängern, so ergäbe das eine Antinomie, da der ZR die Reise wegen seiner Nichtexistenz nicht hätte antreten können.

Dieses Paradoxon ist freilich ohne Weiteres auflösbar, wenn man eine von zwei Möglichkeiten akzeptiert:

  1. Eine Vielzahl von Weltgeschichten, wie sie als eine Möglichkeit der Deutung der Quantentheorie und ihrer Dilemmata auftritt, und»Wesentlicher« (unterschieden vom kausalen) Determinismus wie in der griechischen Tragödie, falls es nur eine Realität geben sollte.

Im ersten Fall wäre es nicht nur vorstellbar, in die Vergangenheit zu reisen, sondern auch in andere Gegenwarten (auf der Grundlage anderer Vergangenheiten), und jedenfalls gibt es dann auch eine Geschichte, in der der Erste Weltkrieg mit allen seinen Folgen ausgeblieben wäre.

Die zweite Möglichkeit impliziert, dass es einen Typen gegeben hat, den man schon vor der Abreise des ZR in alten Aufzeichnungen hätte ausmachen und finden können und der den untauglichen Versuch gemacht hat, dem Großvater des ZR dessen spätere Großmutter auszuspannen oder deren Date zu verhindern, aber genau dadurch bewirkt hat, dass sie zusammenkamen.

Erst bei näherem Hinsehen würde eine gewisse Ähnlichkeit mit dem ZR auffallen. Wie bei Ödipus, dessen Versuch, der Erfüllung seines durch das Orakel vorhergesagten Schicksals zu entgehen, diese Erfüllung herbeiführt. Die Zeitreise wäre also nicht nur möglich, sondern zwangsläufig und hätte überhaupt erst zur beobachteten Vergangenheit und Gegenwart geführt.

Verletzung bzw. »Rettung« der Kontinuitätsgleichung

Konventionelle Vorstellungen von Zeitreisen in die Vergangenheit verletzen die Kontinuitätsgleichung. Der Zeitreisende (ZR) verschwindet mitsamt der Maschine einfach ins Nirgendwo und taucht in der Vergangenheit wieder auf, wodurch es ihn u. U. doppelt gibt. Ganz unten habe ich eine Idee aufgeführt, wie auch dieses Dilemma lösbar würde. 

Jedenfalls endet ein Weltstrang nach dieser Vorstellung einfach am Ereignis der Abreise, und dafür beginnt einer am Ereignis der Ankunft. Das kann eigentlich nicht sein.

Eine Möglichkeit, wie die Natur das Problem mit der Kontinuitätsgleichung umgehen könnte, wäre, wenn man sich Schwarze Löcher als Tunnel in die Vergangenheit vorstellen könnte, genauer gesagt bis zum Urknall.

Springt der ZR dort hinein, erhöht sich die Masse des SL, ohne dass man seinen Weltstrang von dem des Schwarzen Lochs unterscheiden kann. Da er zur Masse des Kosmos zählt, würde sein »Wiederauftauchen« mit dem Urknall keine Irritationen verursachen - sollte er denn er heil ankommen, was natürlich unwahrscheinlich ist.

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Hallo Manuellsen1,

stell Dir einen Wasserlauf vor, welcher sich teilt und dann wieder zusammenfließt; eine ähnliche Situation hast Du in Aufgabe 4. Daher muss dort I₁ + I₂ = I₃ sein, weil I₃ den Gesamtstrom darstellt.

Unten ist die Situation ganz ähnlich, mit dem Unterschied, dass dort sowohl I₁ als auch I₅ jeweils den gesamten Strom darstellen. Es muss ja genauso viel Strom in die Verzweigung hinein wie hinaus fließen. In der Verzweigung selbst teilt sich der Strom auf. Im oberen Zweig fließt I₂ = I₄, im unteren I₃, die sich wieder zum Gesamtstrom addieren müssen.

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Hallo bestfragen,

alle drei Fragen laufen auf dasselbe hinaus.

-wozu braucht man das

Zur Analyse von Wellen, z.B. in der Quantik. Es gibt ja die Kreiswellenzahl k=2π/λ, gleichsam die räumliche Entsprechung der Kreisfrequenz ω=2πf=2π/T.

Das ist jedoch nur der Betrag des Wellenvektors k›, welcher auch angibt, in welche Richtung sich eine Welle an einer bestimmten Stelle ausbreitet. In der Quantik ist diese Größe dem Impuls eines Teilchens proportional, dessen Orts-Wellenfunktion diesen Wellenvektor hat.

Abb.: Ortswellenfunktion eines Elektrons im 4d₁- Zustand

-was ist der unterschied zur normalen diskreten Fourier Transformation

Sie ist halt mehrdimensional (und im Regelfall kontinuierlich).

-was kann ich damit machen was man nicht mit einer normalen Fourier Transformation machen kann

Wellen analysieren, die sich im Raum irgendwie ausbreiten. Die 1D-FT kann nur ein eindimensionales Signal analysieren.

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Hallo bestfragen,

die EULER - Formel stellt den Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion

(1) e^{x} = 1 + x + ½∙x² + 1⁄6∙x³ + 1⁄24∙x⁴ + … + (1⁄n!)xⁿ + …

und den trigonometrischen Funktionen

(2.1) cos(x) = 1 − ½∙x² + 1⁄24∙x⁴ + … − …
(2.2) sin(x) = x − 1⁄6∙x³ + 1⁄120∙x⁵ − … + …

her. Der Trick besteht darin, dass Vorzeichen nur alle 4 mal umkehren zu lassen, und zwar mit Hilfe der imaginären Einheit i, einer Komplexen Zahl mit der Eigenschaft i² = −1:

(3) e^{ix} = 1 + ix − ½∙x² − i⁄6∙x³ + 1⁄24∙x⁴ + i⁄120∙x⁵ − …
                 = cos(x) + i∙sin(x)

Eine Funktion, deren Realteil zugleich ihr gerader (f(−x) = f(x)) und deren Imaginärteil zugleich ihr ungerader (f(−x) = −f(x)) Teil ist. Vielleicht hilft Dir dies weiter.

Es gibt die FOURIER- Reihen, die eine periodische Funktion als Überlagerung von Cosinus- und Sinusfunktionen zu Frequenzen (bzw. Wellenzahlen, k = 2π/λ mit der Wellenlänge λ) darstellen, die ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind.

Und es gibt die Fourier-Transformation, die eine Funktion, die nicht einmal unbedingt periodisch sein muss, als Überlagerung eines ganzen Kontinuums von Funktionen der Form e^{i∙k∙x} (mit allen Reellen k) dargestellt.

Die Fouriertransformierte f̃(k) von f(x) ist sozusagen die Gesamtheit der komplexen Fourierkoeffizienten in Abhängigkeit von k.

Im Grenzfall extremer Schärfe (z.B. fie Funktion e^{i∙k∙x} selbst) haben wir als FOURIERtransformierte mathematisch- strenggenommen eine Distribution, die aber von Physikern als δ- Funktion bezeichnet wird. Man könnte sie sich als eine extrem schmale und hohe normierte GAUßfunktion vorstellen, die wie Nadeln in unterschiedliche Richtungen von der k- Achse abstehen können.

Das Integral über die gesamte k-Achse des Produktes e^{ikx}∙δ(k − k₀) ergibt e^{ik₀x}, wobei k eine Variable und k₀ ein ganz bestimmter Wert ist.

Das entspricht bei FOURIER- Reihen der Situation der Aufsummierung von Funktionen, wenn genau der Koeffizient zu k₀ 1 ist und alle anderen 0 sind.

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Hallo Luvitech,

der zweite Draht ist ein OHMscher Widerstand, und der erste ist gleichsam eine Reihenschaltung dreier solcher Widerstände. Da addieren sich bekanntlich die Widerstände, weshalb der erste Draht einen drei mal so großen Widerstand wie der erste.

Warum aber addieren sich die Widerstände? Stell Dir zwei schiefe Ebenen oder auch Wasserleitungen mit insgesamt gleicher Höhendifferenz vor, von denen eine horizontal länger ist; sie hat natürlich ein geringeres Gefälle als die kürzere.

Was wir dort herunterrutschen lassen, wird eine geringere Endgeschwindigkeit - als Gleichgewicht zwischen Reibung und Hangabtriebskraft - erreichen, was einem schwächeren Strom entspricht. Die Realität ist übrigens simpler als das Modell, wo die Beziehungen nicht so linear sind.

Hingegen addieren sich bei parallel geschalteten Widerstände die Leitfähigkeiten, also die Kehrwerte der Widerstände, und auch das sollte klar sein: Mehrere Drähte nebeneinander in derselben Spannung leiten denselben Strom gleichsam mehrfach.

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Was haltet ihr von der These über die Zeit?

Ich weiß, es ist wirklich weit hergeholt und wirklich nicht mehr als ein Gedanke. Aber was haltet ihr von diesem Gedanken?

Es geht um Zeit. Was, wenn alle Zeiten gleichzeitig existieren würden. Also parallel zu einander?

Die X Achse ist die Gegenwart und der Rote Punkt ist der Gegenwärtige Zeitpunkt. Die Rote Linie ist die vergangene Zeit. Der Nullpunkt ist der Beginn der Zeit(Spanne).
Die grünen Punkte sind vergangene Zeitpunkte. Aber sie sind nicht auf der roten Linie, sondern parallel zur Gegenwart. Da aber der Unterschied zwischen 0 und 4 größer ist als zwischen 0 und 3 muss der Beginn in X-Richtung verschoben werden.
Ähnlich ist das bei den blauen Punkten. Bloß, dass sie die Zukunft sind und der Beginn somit in die andere Richtung verschoben ist.

Die Zeit schreitet vor. Also bewegen sich die Punkte stetig in X-Richtung. Das heißt dann aber auch, dass es immer mehr vergangene Ereignisse gibt, weswegen die Linie der Parallelen Zeiten auch in Y-Richtung weiter ansteigt.

Das wäre dann die zweite Zeit-Dimension.

Ich weiß, das würde voraussetzen, dass die Zeit absolut und nicht relativ wäre.

Wir haben herausgefunden, dass die Zeit relativ ist, weil sie aus verschiedenen Perspektiven verschieden schnell vergeht. Das wird ja vom Raum beeinflusst.

Das müsste dann heißen, dass dieses Diagramm für alles und jeden unterschiedlich ist.

Was haltet ihr von dieser These? Auch, wenn sie weit hergeholt ist und überhaupt nicht ausgereift. Aber was denkt ihr von diesem Grundgedanke?

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Hallo Startill,

über das Wesen der Zeit aus physikalischer Sicht habe ich mich hier ausgelassen.

Bei Deinem Entwurf verstehe ich einiges nicht. Du sagst, die x-Achse stelle die Gegenwart dar, aber was ist dann die y-Achse? Wenn die etwas mit der Zeit zu tun haben soll, verstehe ich nicht, warum das Ganze von links nach rechts strömt.

Ich stelle mir eher die Raumzeit als eine Art Landschaft vor, wo Landmarken für Ereignisse stehen und Straßen bzw. deren Mittellinien für die Weltlinien von Körpern. Statt Straßen kann man dich auch Salami-Abschnitte vorstellen (s. Bild).

Die Geschwindigkeit bzw. zweier Körper B und B' relativ zueinander wird dargestellt durch die Neigung, den Tangens des Winkels zwischen den Straßen.

Wie die meisten Vergleiche hinkt auch dieser, nicht nur wegen der höheren Dimension der Raumzeit (1+3 statt bloß 2), sondern vor allem aus folgendem Grund: Die Entfernung zwischen zwei Orten in der als z-x-Ebene dargestellten Landschaft ist nach PYTHAGORAS durch

(1) Δs = √{Δz² + Δx²} ≡ √{Δz°² + Δx°²}

gegeben, wobei die z°- Achse eine gegen die z- Achse um einen Winkel θ gedrehte Gerade ist. Die Entfernung zwischen zwei Ereignissen ist nach MINKOWSKI

(2.1) Δτ = √{Δt² − (Δx² + Δy² + Δz²)⁄c²} ≡ √{Δt'² − (Δx'² + Δy'² + Δz'²)⁄c²}

für zeitartig getrennte, d.h. potentiell gleichortige Ereignisse und

(2.2) Δς = √{Δx² + Δy² + Δz² − c²∙Δt²} ≡ √{Δx'² + Δy'² + Δz'² − c²∙Δt'²}

für raumartig getrennte, d.h. potentiell gleichzeitige Ereignisse. Diese (uneigentliche) Metrik stellt sicher, dass die Lichtgeschwindigkeit relativ zu B wie relativ zu B' gleichermaßen den Betrag c hat.

Den Grenzfall mit cΔt = √{Δx² + Δy² + Δz²} stellen die lichtartig getrennten Ereignisse dar.

Gleichzeitigkeit ist damit freilich relativ. Wenn vor und hinter B noch zwei Raumfahrzeuge A und C im gleichen Abstand d sind und B in dem Moment ein Funksignal erhält, in dem B' an ihm vorbei kommt, erhält auch B' beide Signale gleichzeitig. Wobei die vor B' liegende Station durch Aberration/den Retardierungseffekt (je nach Interpretation) weiter entfernt aussieht (d∙K) als die hinter B' liegende (d⁄K), mit dem BONDI-Faktor

(3) K = √{(c + v)⁄(c − v)}.

  • Interpretieren wir A, B und C als stationär, so müssen beide Signale dasselbe Alter d/c haben.
  • Interpretieren wir A, B und C als Konvoi und B' als stationär, so muss das von vorn kommende Signal ein höheres Alter d∙K⁄c haben muss als das von hinten kommende mit d⁄(c∙K).

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Hallo reversehim,

welcher Stand die Entfernungsangaben sind, weiß ich nicht, ohne nachzusehen. Ich habe gerade die Seite entdeckt, wo man solche Daten in Echtzeit verfolgen kann. Die Angaben scheinen vom vergangenen Wochenende zu stammen.

Und warum ist auf dem Mars ein Rover und nicht auf dem Venus, ist der nicht betrettbar?

Es ist leichter, hinreichend Wärme und Druck im einem vergleichsweise kleinen System zu halten als große Hitze (ca. 450°C) und enormen Druck (ca. 9MPa, 90 mal mehr als hier) dauerhaft auszusperren, beides noch gepaart mit Säure, die auf Venus reichlich vorhanden ist. Sie ist der vermutlich übersäuertste Planet überhaupt, mit einer Atmosphäre aus Kohlenstoffdioxid und Wolken aus Schwefelsäure.

Und wie viele Lichtjahre sind z.B 4.416,840Mio Km bzw.

In einer Stunde legt Licht knapp 1080 Millionen km zurück, deshalb sind das etwas über 4 Lichtstunden. Das ist etwa 1⁄2190 Lichtjahr.

Wie viel Jahre würde es dauern?

Was? Eine Reise dahin? Kommt auf's Tempo an, mit dem man reist. Wenn es darum geht, wie lange Licht braucht, dies sind ca. 4 Stunden.

Im Internet stehen immer verschiedene Angaben von Zeiten manchmal Lichtjahre, manchmal Mio Km und dann Bilionen.. das verwirrt mich etwas

Wir reden über einige zig Millionen bis Milliarden km, wenn wir über unser Sonnensystem reden. Das sind einige Lichtminuten bis zu einigen Lichtstunden.

Daneben gibt es auch die Astronomische Einheit, etwa 150 Millionen km oder 8 Lichtminuten. Diese Maßeinheit ist auf das Sonnensystem zugeschnitten.

Wir reden über zig Billionen km, wenn wir über die Entfernungen der Sterne zueinander sprechen (zumindest in der galaktischen Region, in der wir leben), und das sind Lichtjahre. Bei Galaxien reden wir schon hinsichtlich der Ausdehnung um Hunderttausende Lichtjahre, die Entfernungen zwischen ihnen werden in Millionen Lichtjahren angegeben, das sind zig bzw. hunderte Trillionen km.

Manche Maßeinheiten sind praktischer als andere, weil nicht allzu große oder kleine Zahlen verwendet werden müssen.

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Hallo hdmnf,

im Wesentlichen liegst Du richtig, aber es ist etwas unpräzise ausgedrückt.

Masse vs. Gewicht

So ist die Redewendung "wiegt viel" salopp für "hat viel Masse", denn Masse ist die eigentliche Eigenschaft eines Objekts*), während ihr Gewicht nur die Kraft ist, die sich aus Masse und Gravitationsfeldstärke ergibt.

Raumzeit

Raum und Zeit als separate Phänomene sind erst in Bezug auf einen Körper (oder Beobachter) B definiert, der die Raumzeit gleichsam in ein "Vorwärts" (Zeit) und ein "Seitwärts" (Raum) zerlegt.

Die Position eines Körpers relativ zu B als Funktion der von B aus ermittelten Zeit, der Koordinatenzeit, heißt seine Weltlinie (WL).

GALILEIs Relativitätsprinzip (RP)

Allerdings kann man mit demselben Recht auch einen relativ zu B bewegten Körper B' als Bezugskörper wählen (und damit als stationär beschreiben, denn relativ zu sich bewegt sich ein Körper natürlich nicht).

Durch diese Uminterpretation ändern sich die Werte vieler physikalischer Größen, nicht aber die fundamentalen Beziehungen zwischen ihnen (=Naturgesetze).

Es ist wie bei zueinander schräg verlaufenden Straßen S und S° in einer Landschaft: Jede davon können wir als "genau vorwärts" deklarieren.

GALILEI meets MAXWELL

Wir haben die Naturgesetze erwähnt. Zu Ihnen gehören auch die MAXWELL- Gleichungen, die Grundgesetze der Elektrodynamik. Daraus leitet sich auch die elektromagnetische Wellengleichung (EMWG) her, die den Betrag c der Lichtgeschwindigkeit als Konstante enthält.

Wenn das RP tatsächlich gilt**), muss die EMWG sowohl mit B als auch mit B' als Bezugskörper gelten. Was sich relativ zu B mit c bewegt, muss sich auch relativ zu B' mit c bewegen und umgekehrt.

Daraus ergibt sich eine bestimmte Art, wie in der Raumzeit Abstände zwischen Ereignissen (Eigenzeit, Gleichzeitigkeitsabstand) definiert sind und alles Weitere in der SRT, insbesondere die Relativität der Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse.

Äquivalenzprinzip und ART

Wie kam EINSTEIN auf die Idee, Gravitation als Krümmung der Raumzeit zu beschreiben? Der Witz an der Sache ist, dass sich Stillstand in einem homogenen Gravitationsfeld anfühlt wie gleichförmige Beschleunigung, und der freie Fall genauso wie der schwerelose Zustand im freien Weltraum.

Genau diese Abwesenheit von Trägheitskräften ist im Freien Weltraum das Kriterium dafür, dass die WL eine Gerade ist. Mit Gravitationsfeldern sind WL offensichtlich gekrümmt. Die Idee ist nun, dass solche WL Geodätische Linien sind, die Verallgemeinerung von Geraden. Ein Beispiel dafür sind Großkreise auf einer Kugeloberfläche. Wie solche Linien immer die Tendenz haben, zusammenzulaufen, laufen dank Gravitation auch geodätische WL zusammen.

Übrigens sind Geodätische WL-Abschnitte zwischen zwei Ereignissen nicht kürzeste, sondern längste WL. Nicht-geodätische WL sind kürzer.

Ereignishorizonte

Wenn man gleichförmig (konstante Stärke der Trägheitskräfte) beschleunigt, sieht die WL in der NEWTONschen Näherung eine Parabel, die sich aber als Hyperbelast entpuppt. Deren Asymptote ist aus der Sicht des Beschleunigenden ein Ereignishorizont; Licht, das zu spät oder von zu weit hinten kommt, erreicht den Beobachter nicht mehr. Licht, das von etwas weniger weit hinten kommt oder früher gestart ist, ist stark rotverschoben.

Etwas unrealistisch. Echte Ereignishorizonte machen Schwarze Löcher zu Schwarzen Löchern. Am Ereignishorizont ist das Gravitationspotential −c²; Licht, das von dort startet, verliert beim Versuch, nach außen zu gelangen, seine gesamte Energie.

Auch hier, zum Film Interstellar, habe ich mich ausgelassen.

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*) Aus der SRT folgt, dass diese gleichsam kondensierte Energie ist, die Ruheenergie des Körpers: E₀ = m∙c².

**) und nicht nur näherungsweise für kleine Tempos v<<c relativ zur hypothetischen Supersubstanz "Weltäther", die man im 19. Jahrhundert annahm

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Hallo reversehim,

es gibt zwar Bilder, die die Voyager- Sonden (nicht Satelliten) auf ihrem Weg zeigen, aber das sind künstlerische Darstellungen. Schließlich gibt es keine mitfliegenden Sonden, die Fotos von den Voyagers selbst hätten machen können.

Sie von der Erde aus zu filmen, dafür sind sie zu weit entfernt (knapp 150 AE, etwa 22,4 Milliarden km, rund 207 Lichtstunden) und zu klein, um gesehen zu werden, und sie fliegen durch Regionen, in denen kaum noch Licht ankommt. Könnte man sie sehen, sähe man sie nicht wirklich "live", sondern mit einer Verzögerung von fast 9 Tagen.

Immerhin steht die NASA noch in Funkkontakt mit ihr und wird das auch noch bis zu 10 Jahre bleiben.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Voyager_1

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Hallo Fraser174,

je größer die Dimension*) einer Mannigfaltigkeit (Verallgemeinerung einer Fläche) ist, desto mehr Möglichkeiten für Krümmungen gibt es.

Eine Kurve als in eine Fläche eingebettete Linie kann lokal in einem Punkt P gekrümmt sein, aber nicht in sich, sondern in Bezug auf einen Normalenvektor n› in P. Diese Krümmung kann in (positiv) oder gegen (negativ) die Richtung von n› sein.

Bei einer in einen 3D-Raum eingebetteten Fläche lassen sich an einem gegebenen Punkt P zwei ebene Kurven in der Fläche finden, von denen eine am stärksten und eine am schwächsten gebogen ist und die einen gemeinsamen Normalenvektor n›.

Deren Krümmungen heißen Hauptkrümmungen, und ihr Produkt ist die Krümmung der Fläche. Ein Beispiel für eine positive Krümmung ist eine Kugeloberfläche, eines für negative eine Sattelfläche oder die Fläche einer Tuba. Überraschenderweise ist die eines Zylindermantels gleich Null.

Mit der Krümmung sind allerdings auch Eigenschaften verknüpft, die gänzlich unabhängig von der Einbettung in den Raum sind.

Intrinsische Krümmung

Tatsächlich lässt sich überhaupt die innere Krümmung einer Fläche völlig ohne jeden Bezug auf einen Einbettungsraum beschreiben. Das fand im frühen 19. Jahrhundert GAUSS heraus und nannte diese Erkenntnis stolz "Theorema Egregium" - zu deutsch "herausragender mathematischer Satz".

Diese Eigenschaften setzen ein Konzept voraus, dass das der Geraden verallgemeinert: Die Geodätische. Du kannst dir vorstellen, dass Du auf eine gekrümmte Fläche eine Roboter Ameise setzt, die Du darauf programmiert hast, möglichst geradeaus zu laufen. Die wird beispielsweise auf einer Kugel selbstverständlich immer auf Großkreisen laufen.

Geodätische, die an einer Stelle parallel sind, bleiben in einer flachen Mannigfaltigkeit überall parallel. In einer negativ gekrümmten Mannigfaltigkeit neigen sie aber dazu, auseinander zu laufen. Wenn einer positiv gekrümmten Mannigfaltigkeit neigen sie dazu, zusammen zu laufen, wie es z.B. die Meridiane an den Polen der Erde tun.

Verallgemeinerung

GAUSS Student RIEMANN verfasste die umfangreichste Verallgemeinerung des Konzepts der intrinsischen Krümmung von Mannigfaltigkeiten. Danach können auch Mannigfaltigkeit beliebiger Dimension intrinsisch gekrümmt sein, und zwar auch noch in verschiedene Richtungen in unterschiedlicher Weise.

Krümmung der Raumzeit

Auf dieses Konzept trifft schließlich auch EINSTEIN zurück, als er im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) die Gravitation als Krümmung der Raumzeit beschrieb. Auch hier geht es um intrinsische Krümmung, das heißt, eine Einbettung der Raumzeit in irgendetwas Höherdimensionales spielt keine Rolle.

Es geht hier um Weltlinien (WL), das sind Linien, die die Position eines Körpers als Funktion der Zeit beschreiben. Die WL eines Körpers, der im Freien Weltall eine konstante Geschwindigkeit hat, ist eine Gerade. Wird der Körper durch irgendein Antrieb ist seine WL gekrümmt. Die Beschleunigung ist allerdings anhand von Trägheitskräften messbar. Wird er allerdings durch Gravitation beschleunigt, treten keine auf, also müsste seine Weltlinien physikalisch gesehen eigentlich gerade sein. Sie ist es aber offensichtlich nicht immer. Springe ich senkrecht hoch und falle wieder herunter, ist meine WL annähernd ein Parabelstück, sie entfernt sich von der des Erdmittelpunkts und nähert sich wieder. Da ich während des Sprungs schwerelos bin, muss meine WL aber Eigenschaften einer Geraden haben. Sie ist geodätisch.

Ein Modell dafür (das nicht überstrapaziert werden sollte), ist eine Flugreise zwischen zwei Orten auf demselben nördlichen Breitengrad. Der direkte Weg ist ein (aufgrund von Verzerrungen auf Weltkarten) scheinbarer Umweg, der in höhere nördliche Breiten führt.

Das Modell zeigt natürlich eine auch extrinsisch gekrümmte, in 3D- Raum eingebettete Fläche, ist aber weniger irreführend als das beliebte Gummituch- Modell, wo man im Übrigen die Zeit nicht geometrisiert und den "Raum" (im Modell das Gummituch) als nach "unten" - was immer das heißt - ausgebeult darstellt.

Eine Murmel auf so einem Tuch folgt gerade nicht dessen Krümmung, sondern dem Streben nach "unten", im Zweifelsfall der Gravitation der Erde unter dem Tuch.

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*) In der Umgangssprache bezeichnet man als Dimension eine Richtung, die man als Hauptrichtung auswählen kann. Auf einer Fläche z.B. kann man jede Richtung aus 2 Hauptrichtungen zusammensetzen, die vorzugsweise senkrecht aufeinander stehen (sofern das definiert ist).

In der Mathematik spricht man jedoch eher von der Dimension der Mannigfaltigkeit als Anzahl der Hauptrichtungen in ihr. Eine Fläche hat die Dimension 2.

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Hallo Gumbaleon19,

der Wert der Konstanten c, des Betrages der Lichtgeschwindigkeit, ist eigentlich ein Artefakt des verwendeten Maßsystems. Im Prinzip könnte man Längen und Zeitspannen in derselben Maßeinheit angeben, aus praktischen Gründen ggf. skaliert als Mikrosekunden (1µs ≈ 300m) oder Nanosekunden (1ns ≈ 30cm). Und dann ist c einfach gleich 1.

Was ist mit der Bemerkung sagen will: Vermutlich würde man es nicht einmal merken, weil alle Vorgänge entsprechend verlangsamt wären, denn nicht die vom Menschen definierten Maßeinheiten selbst, sondern physikalische Vorgänge definieren, was Phase ist, auch die biologischen.

Gemäß der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART)…

…wird von einem höheren Gravitationspotential aus betrachtet auf einem tieferem tatsächlich selbst das Licht langsamer laufen, insbesondere - merklich - in der Umgebung Schwarzer Löcher. Allerdings läuft dort alles langsamer ab, man würde es daher nicht merken. Allerdings müsste man sich für 10km/h, also einer Verlangsamung um das 10⁸-fache, schon extrem dicht am Ereignishorizont befinden (wo man allerdings mehr Platz hat als aus der Ferne betrachtet).

Was wäre, wenn die Alltagswelt sonst gleich wäre?

Du musst unterscheiden zwischen der Eigenzeit Δτ, die Deine Uhr Ω für Vorgänge in Deiner Umgebung misst, und der Koordinatenzeit Δt, die man von einer gegebenen Bezugs-Uhr U aus ermitteln - messen und berechnen, unter Berücksichtigung sich verändernder Verzögerungen - würde.

Δτ ist quasi eine Weglänge in der Raumzeit, entlang einer Weltlinie, Δt hingegen ist quasi der zur Weltlinie von U parallele Anteil, gleichsam als Hypotenuse und Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, nur dass im Gegensatz zu einem räumlichen rechtwinkligen Dreieck hier die Hypotenuse die kürzeste Seite ist.

Heißt man würde gefühlt mit 30 Km/h rennen oder mit 100 Km/h Autofahren, durch die Zeitirgendwas ist man für andere aber langsamer als 10 Km/h.

Essatte. Angenommen, Du willst die Strecke Δs zurücklegen, dann kannst Du dies mit entsprechendem Energieaufwand in beliebig kurzer Eigenzeit Δτ, d.h.., deinem „Eigentempo“

(1) Δs/Δτ = v·γ = v/√{1 – (v/c)²

ist keine physikalische Obergrenze gesetzt.

Allerdings würde dabei auch der LORENTZ- Faktor

(2) Δt/Δτ = γ = 1/√{1 – (v/c)²

so stark ansteigen, dass Dein Tempo

(3) (Δs/Δτ)/(Δt/Δτ) = Δs/Δt = v

immer unter c bleibt. Würdest du mit 8km/h laufen, läge Dein „Eigentempo“ bereits etwa 13⅓km/h.

Der LORENTZ-Faktor wird gern auch als „Zeitdilatations-Faktor“ bezeichnet, was ich aber nicht gern verwende, ebenso wie das Wort „Längenkontraktion“, denn es liegt hier kein wüstes Gezerre und Gequetsche vor, sondern eine ganz sanfte Uminterpretation. Der eigentliche „Relativistische Effekt“ ist die Relativität der Gleichzeitigkeit.

Die „Zeitdilatation“ ist eigentlich ein Projektioneffekt, die „Längenkontraktion“ nenne ich gern „Schrägschnitt durch die Weltwurst“.

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Hallo babylon12345,

die Geschwindigkeiten addieren sich, weil sie kollinear und klein im Vergleich zu c sind, dem Betrag der Lichtgeschwindigkeit. Wenn Du die Geschwindigkeit des Zuges relativ zum Erdboden bzw. einer fest installierten Uhr U mit v› = (0 | 0 | 0) und Deine relativ zum Zug bzw. einer Borduhr U' als u'› = (u' | 0 | 0) bezeichnest, ist Deine Geschwindigkeit relativ zu U

(1) u› = (u | 0 | 0) ≈ v› + u'› = (v+u' | 0 | 0).

Wobei mich die Aussage …

Ich laufe jetzt vom hinteren zum vorderen Wagen mit 2 km/h in Fahrtrichtung.

… zum schmunzeln bringt. 2km/h ist eher ein gemütliches Schlendern.

Geschwindigkeit als Neigung

Die Position r› = (x | y | z) eines Körpers relativ zur Bezugs-Uhr U als Funktion der von U aus ermittelten Zeit t ist seine sogenannte Weltlinie, sozusagen ihren Weg durch die Raumzeit. Wenn sich eine andere Uhr U' mit (v|0|0) relativ zu U bewegt, ist v=∆x∕∆t sozusagen die Neigung der Weltlinie von U' relativ zu der von U.

Modellhaft lässt sich die Raumzeit bzw. die t-x-Ebene durch eine Landschaft darstellen, durch den Straßen verlaufen - oder durch einen Tisch, auf dem Salamis liegen.

Die Entsprechungen von U und U' nennen wir S und S°, deren Vorwärtsrichtung wir als z- bzw- z°-Richtung nennen. Die Neigung von S und S° lässt sich durch ∆x∕∆z beschreiben, aber auch durch den Neigungswinkel θ, dessen Tangens ∆x∕∆z ist. Eine ähnliche Größe gibt es auch in der Raumzeit, die Rapidität ζ.

Eine dritte Uhr, die sich ebenfalls in x-Richtung bewegt, könnte man U'' und ihre Besprechung S°° nennen. Die Neigung ∆x°∕∆z° von S°° gegen S° entspricht der Geschwindigkeit von U'' relativ zu U'. Im Modell addieren sich nicht die Neigungen, sondern die Neigungswinkel. Nur für extrem kleine Neigungen macht dies keinen Unterschied.

Bei kollinearen Geschwindigkeiten ist es ähnlich: Eigentlich addieren sich nicht die Geschwindigkeiten selbst, sondern die Rapiditäten. Bei im Vergleich zu c kleinen Geschwindigkeiten macht das keinen Unterschied.

In Deinem Beispiel ist das natürlich so.

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Hallo tonik55,

weil in unserem Lebensraum, nahe der Erdoberfläche, das Gravitationsfeld der Erde allgegenwärtig ist und der Betrag g ihrer Feldstärke nicht stark vom Mittelwert von 9,81m/s² abweicht.

Immerhin hat man für das Gewicht von 1kg Masse auf der Erdoberfläche früher das Kilopond (1kp≈9,81N).

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Hallo  LiberPrimus,

der 4D-Raum könnte gar nicht identisch sein mit der Zeit, sondern allenfalls mit der Raumzeit. Was er freilich nicht ist.

In einem richtigen 4D-Raum ließe sich nicht „die 4.Dimension“ identifizieren, da die Hauptrichtungen, also Ausrichtungen von Geraden in einem Achsenkreuz (das meint man meist, wenn man von Dimension*) spricht) nicht nur austauschbar, man kann sie durch Drehung sogar kontinuierlich ineinander überführen, wie das im 3D-Raum auch schon geht. Dabei würden Winkel zwischen Geraden, aber auch das EUKLIDische Abstandsquadrat

(1) Δs² = Δx² + Δy² + Δz² + Δß²

gleich bleiben.

In der Raumzeit gibt es eine klare Unterscheidung zwischen zeitartigen („vorwärts“) und raumartigen („seitwärts“) Richtungen, d.h. zwei Ereignisse können zeitartig oder raumartig getrennt sein. Eine zeitartige Linie, etwa die Position einer Uhr Ω als Funktion der Zeit, wird Weltlinie genannt. Die Zeitachse ist die Weltlinie einer speziellen Bezugs-Uhr U, die nicht beschleunigt wird und somit ein Inertialsystem definiert. Der von U aus ermittelte Zeitabstand zweier Ereignisse heißt Koordinatenzeit und wird mit Δt bezeichnet, der von U aus ermittelte räumliche Abstand mit Δs.

Als zeitartig getrennt bezeichnet man Ereignisse, die sich als gleichortig interpretieren lassen. Das ist besonders dann der Fall, wenn sie einen Vorgang zeitlich begrenzen, wie den Genuss eines Glases Bier oder einer Tasse Kaffee (die Ereignisse sind der erste und der letzte Schluck). Die von der lokalen Uhr Ω gemessene Zeit wird Eigenzeit genannt; man kann sie mit Δτ bezeichnen.

Als raumartig getrennt bezeichnet man Ereignisse, die sich als gleichzeitig interpretieren lassen. Das ist besonders dann der Fall, wenn sie die Umgebung von Ω räumlich abgrenzen. Die von Ω aus ermittelte räumliche Distanz nenne ich gern den Gleichzeitigkeitsabstand und bezeichne ihn mit Δς.

NM und SRT

Interessanterweise gilt alles, was ich bis hierher gesagt habe, bereits für die NEWTONsche Mechanik (NM). Ihr zufolge sind zwei Ereignisse entweder gleichzeitig (dann ist einfach Δς=Δs) oder nicht (dann ist einfach Δτ=Δt). Der Wechsel zwischen zwei relativ zueinander bewegten Bezugs-Uhren heißt GALILEI-Transformation und ist geometrisch eine Scherung in der Raumzeit.

In der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) ist das anders, denn sie basiert darauf, dass die Lichtgeschwindigkeit immer denselben Betrag c≈3×10⁸m/s haben muss, da dieser ein Naturgesetz ist **) und also solches GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) unterliegt. Ihr zufolge sind alle Ereignisse raumartig getrennt, für die Δs>cΔt ist. Δτ und Δς sind zwei Seiten derselben Medaille, des MINKOWSKI***)- Abstandes mit dem Quadrat

(2.1) Δτ = Δt² – Δs²/c² = Δt² – (Δx² + Δy² + Δz²)/c²
(2.2) Δς = Δs – c²Δt² = Δx² + Δy² + Δz² – c²Δt².

Erst in der SRT gibt es auch einen Grenzfall zwischen zeit- und raumartigen Abständen, lichtartig getrennte Ereignisse (Δs² = c²Δt²).

Bemerkung zur ART

Und wenn von Raumkrümmung die Rede ist, wird der Raum dann in die vierte Raumdimension gekrümmt oder in die Zeit?

Das dachte ich früher auch mal, aber das ist nicht so. Es ist auch nicht in erster Linie der Raum, sondern die Raumzeit selbst gekrümmt, und dies hat auch nichts mit höheren Dimensionen zu tun, sondern mit geometrischen Eigenschaften, in diesem Fall chronogeometrischen.

Die mehrdimensionale Verallgemeinerung einer Fläche, die gekrümmt sein kann, wird als Mannigfaltigkeit bezeichnet, und die geradestmögliche Linie in einer Mannigfaltigkeit wird Geodät(isch)e genannt. Ist eine Fläche etwa so wie eine Kugeloberfläche positiv gekrümmt, neigen Geodäten, die an einer Stelle parallel sind, dazu, zusammenzulaufen. Ein Beispiel sind Großkreise auf einer Kugeloberfläche.

Geodätische Weltlinien sind Weltlinien von Körpern, die keiner Beschleunigung unterliegen. Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) beschreibt Gravitation als geodätische Weltlinien, die zusammenlaufen, wofür das Bild von der Kugeloberfläche ein Modell ist.

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*) In der Mathematik spricht man freilich eher von der Dimension eines (Vektor-)Raumes, wobei in diesem Fall die Anzahl der Hauptrichtungen gemeint ist.

**) c ist in MAXWELLs Grundgleichungen der Elektrodynamik enthalten.

***) MINKOWSKI war ein Mathematikprofessor von EINSTEIN.

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Masse kann nicht so schnell sein wie Licht im Vakuum

Hallo LiberPrimus,

ich habe die Option "nicht so schnell" gewählt, weil ich mich der modernen Definition von Masse anschließe: die Masse m eines Körpers ist im Grunde dasselbe wie Ruheenergie mc², wobei c der Betrag der Lichtgeschwindigkeit ist.

Das ist die Energie, die ein Körper in einem Koordinatensystem hat, in dem er sich nicht bewegt.

Bewegung ist ja relativ, d.h., nur mit einem Bezugskörper B bzw. einem von dort aus definierten Bezugsrahmen hat das Konzept von Geschwindigkeit oder Ort überhaupt einen Sinn. Am besten sollte der Bezugsrahmen ein Inertialsystem sein, d.h., der Bezugskörper sollte keiner Beschleunigung unterliegen. Gilt dasselbe für einen anderen Körper B', so ist dessen Geschwindigkeit relativ zu B konstant. Ihren Betrag können wir v nennen.

Da B' auch inertial ist, kann man ihn auch zum Bezugskörper machen und damit als ruhend definieren. In dieser Interpretation bewegt sich eben B mit v, natürlich in entgegengesetzte Richtung.

Da Geschwindigkeit Interpretationssache ist, gilt das auch für Größen wie Impuls und kinetische Energie, die mit der Ruheenergie zusammen die Gesamtenergie

(1) E = √{c²p² + m²c⁴}

bildet (potentielle Energie habe ich jetzt nicht berücksichtigt).

Was sich relativ zu einem Körper mit c bewegt, das bewegt sich relativ zu jedem Körper mit c. Deshalb kann sich z.B. B' nicht relativ zu B mit c bewegen, weil er sich dann auch relativ zu sich selbst mit c bewegen müsste, was natürlich Unfug ist.

Licht selbst besitzt keine Ruheenergie - tatsächlich nicht einmal ein Ruhesystem. Als ruhender "Körper" existiert es nicht. Würde man versuchen, mit einem Lichtstrahl mitzuhalten, würde er nicht langsam, sondern langwelliger und schwächer, bis er sich nicht mehr detektieren ließe. Es besteht gleichsam nur a seiner eigenen kinetischen Energie. Es ist nicht etwas, das sich bewegt, es ist quasi seine eigene Bewegung selbst.

Es gibt eine Größe Namens Rapidität ζ, die einem Winkel entspricht und additiv ist. Bei v→c geht ζ→∞, und p und E erst recht (genauer p/m und E/m).

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Hallo Sally372,

in 'Momo' stellt sich Zeit durch die Stunden-Blumen dar, die neu entstehen, nach besagter Stunde wieder verblühen und somit unwiederbringlich verloren sind.

Diese Unwiederbringlichkeit spiegelt sich auch in HAWKINGs Erklärung des thermodynamischen Zeitpfeils wieder: Das Wachstum von Entropie ("Unordnung") in einem geschlossenen System respektive im Universum als Ganzem ist unumkehrbar.

Allerdings ist in 'Momo' Zeit etwas zum einen höchst Individuelles und zweitens etwas Lebendiges, das auch getötet werden kann- dies ist genau das, was die Zeitdiebe tun, wenn sie aus gestohlenen Stunden-Blumen ihre Zigarren herstellen und rauchen.

Dass der Erzähler ein auktorialer ist, ein sog. allwissender Erzähler, ergibt sich daraus, dass er nicht etwa alles aus der Perspektive einer Person wie z.B. Momo erzählt, sondern verschiedene gleichzeitige Erzählstränge aus verschiedenen Perspektiven erzählt, z.B. mal von Fusi, dem Friseur, mal von Gigi und mal von Beppo Straßenkehrer.

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Hallo Einstei3,

jede gescheite Formelsammlung für Physik sollte das leisten, aber man findet natürlich auch im Internet eine Menge dazu, wie etwa hier.

Um die SRT und ART zu verstehen, finde ich 'General Relativity' von John Legat Martin ganz gut. Es ist nicht einmal ein dickes Buch. Allerdings ist es auf Englisch und hauptsächlich in Unibibliotheken zum Ausleihen erhältlich.

Vor allem sollte man sich von populären Wörtern wie 'Zeitdilatation', Längenkontraktion' und ebenso populären Bildern wie einer zusammengequetschten Rakete oder aber auch dem beliebten Gummituch verabschieden, denn sie sind alle irreführend.

Was die SRT anbelangt, ist der einzige wirkliche Effekt die Relativität der Gleichzeitigkeit. Alles andere sind Nebeneffekte, und sie haben übrigens auch nicht unbedingt etwas damit zu tun, was wir sehen.

Wenn wir uns mit Raumschiffen aufeinander zu bewegen würden, sähe jeder das des Anderen nicht etwa in Zeitlupe und verkürzt, sondern im Zeitraffer und langgestreckt - allerdings nicht um den Faktor

(1.1) 1 + v⁄c =: 1 + β,

wie wir es nach der alten Äthertheorie erwarten würden, falls der jeweils Andere Äther-stationär wäre und wir uns bewegen würden, oder um

(1.2) 1/(1 − β)

wie wir es im umgekehrten Fall erwarten würden, sondern um den BONDI- Faktor

(2) K = √{(1 + β)/(1 − β)}
           = √{(1 + β)²/(1 − β²)} = γ(1 + β)
           = √{(1 − β²)/(1 − β)²} = 1/(γ(1 − β)),

wobei ich die 3. Binomische Formel

(1 + β)(1 − β) = 1 − β²

angewandt habe und γ als LORENTZ- Faktor bekannt ist. Um diesen Faktor musst Du ein Signal, das Du von mir bekommst, entweder älter oder jünger als sie aussieht, je nachdem, wen von uns Du als stationär ansiehst.

Was die ART anbelangt, ist das Gummituch- Bild, besonders die Tatsache, dass es nach unten gewölbt dargestellt wird, an der Essenz des Begriffes DE Krümmung der Raumzeit vorbei. Instruktiver ist der Vergleich eines Sprungs mit einem Flug zwischen zwei Orten auf denselben Breitengrad.

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Hallo jameshennen007,

um Dir klarzumachen, welcher DOPPLER- Effekt zu welchem Tempo |v| gehört, stell Dir vor, Du (mit der Uhr A) mich (mit der Uhr C) mit |v| auf Dich zukommen siehst, mir ein Signal entgegenschickst und dessen Echo auffängst.

1. Du bist stationär, ich bewege mich

Trifft ein Wellenberg auf mich, ist der nächste noch eine Wellenlänge λ=cT entfernt. Die von A aus ermittelte Zeit, bis der zweite Wellenberg mich erreicht, ist

(1.1) λ/(c + |v|) = T/(1 + |β|).

Demnach wäre zu erwarten, dass ich das Signal mit

(1.2) λ⁽¹ᵃ⁾ = λ/(1 + |β|)

erhalte; um mein Tempo zu ermitteln, müsstest Du einfach nach |β| auflösen:

(1.3) |β| = λ/λ⁽¹ᵃ⁾ − 1.

Für λ/λ⁽¹ᵃ⁾ = 620⁄540 = 31⁄27 kommen 4⁄27 ≈ 0,148c ≈ 0,15c heraus, das ist das, was Du geschrieben hast. Dieses Ergebnis hat nur einen Schönheitsfehler: Es ist falsch.

Nach GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) muss man ebensogut mich als stationär und Dich als den bewegten Beobachter ansehen können. Dann bewegt sich das Signal mit c auf mich zu und von mir weg.

2. Ich bin stationär, Du bewegst Dich

Weil der zweite Wellenberg von einem um |v|∙λ⁄c näheren Ort startet als der erste, wäre zu erwarten, dass das Signal Dich schon mit der gestauchten Wellenlänge

(2.1) λ⁽¹ᶜ⁾ = λ∙(1 − |β|)

verlassen und so bei mir ankommen müsste. Nach |β| aufgelöst ergibt sich daraus

(2.2) |β| = 1 − λ⁽¹ᶜ⁾⁄λ,

was in diesem Fall 4⁄31 ≈ 0,129 ergibt. Dieses Ergebnis ist wiederum zu klein.

Das reflektierte Signal

In der ersten Interpretation bewege ich mich in der Zeit T/(1 + |β|) um v∙T/(1 + |β|) in Deine Richtung. Dadurch ist der zweite Wellenberg, der dort reflektiert wird, nur mehr

(3.1) λ⁽²⁾ = λ∙(c − |v|)/(c + |v|) = λ∙(1 − |β|)/(1 + |β|) =: K⁻²

hinter dem ersten und kommt mit dieser Wellenlänge auch bei Dir an. Überraschenderweise führt die zweite Interpretation zum selben Ergebnis, denn wenn der erste Wellenberg Dich erreicht, ist der andere noch eine Wellenlänge λ∙(1 − |β|) entfernt, aber Du kommst ihm mit |v| entgegen, sodass such der Abstand mit der Differenzgeschwindigkeit bzw. dem Differenztempo c + |v| verringert.

Symmetrischer DOPPLER-Effekt

Die Anwendung des RP auf die Elektrodynamik und damit die Lichtausbreitung führt zur Speziellen Relativitätstheorie (SRT), der zufolge alles, was sich v relativ zu Dir mit c bewegt, auch relativ zu mir mit c bewegen muss und umgekehrt. Der optische DOPPLER-Effekt muss symmetrisch sein, und das bedeutet

(3.2) λ⁽¹⁾ = λ∙√{(1 − β)/(1 + β)} = λ⁄K,

wobei K der BONDI-Faktor heißt. Dies ist übrigens das geometrische Mittel zwischen (1.2) und (2.1) und führt zu

(4) |β| = (K − K⁻¹)/(K + K⁻¹) = (K² − 1)/(K² + 1),

was hier 232⁄1690 ≈ 0,137  ist.

Bei sehr kleinen |β| wird der Unterschied zwischen K, 1 + β und 1⁄(1 − β) bedeutungslos, das ist der NEWTON-Limes.

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Hallo ClassicDreamer,

im Alltag sind wir gewohnt, Masse als Gewicht zu bezeichnen und dennoch „Kilogramm“ zu sagen. Natürlich ist das falsch. Masse ist ein Maß dafür, wie viel Materie in einem Körper enthalten ist, eine Eigenschaft des Körpers.

Gewicht hingegen ist eine Kraft, nämlich Masse mal Gravitationsfeldstärke, wie die elektrische Kraft elektrische Ladung mal elektrische Feldstärke ist. Genau genommen ist das, was wir Gewicht nennen, bloß der Betrag der Gewichtskraft. Dass die Ermittlung der Masse über das Gewicht (Beispiel C) nur funktioniert, weil auf der Erdoberfläche eine annähernd gleiche Gravitationsfeldstärke herrscht, liegt auf der Hand.

Masse ist aber nicht nur schwer, d.h., die Ladung der Gravitation, sondern sie ist auch träge, d.h., um sie zu beschleunigen, d.h., ihre Geschwindigkeit zu ändern, ist eine zur Masse proportionale Kraft erforderlich,*) und es gilt der Impulserhaltungssatz.

Dieser Sachverhalt ist unabhängig von der Gravitationsfeldstärke. Deshalb lässt sich über den Vergleich zwischen den Geschwindigkeiten zwischen Kanone und Kanonenkugel (Beispiel D) auch das Verhältnis der Massen ermitteln, vorausgesetzt, die Kanone ist nicht fest gemacht, sondern kann durch den Rückstoß möglichst reibungsarm wegrollen.

Auch für den Vergleich zwischen zwei Massen (Beispiel B) kommt es auf die Gravitationsfeldstärke selbst nicht an, sie muss nur auf beiden Seiten gleich sein.

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*) Deshalb erfahren prinzipiell alle Massen durch dasselbe Gravitationsfeld dieselbe Fallbeschleunigung; dies fiel schon GALILEI auf, ist aber zugleich die Grundlage für die Möglichkeit, Gravitation als Krümmung der Raumzeit zu beschreiben, wie es dann EINSTEIN getan hat.

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Hallo antoniaxxly,

eigentlich sind die Aufgaben ziemlich easy; Du musst überhaupt nichts rechnen, was in Physik nicht selbstverständlich ist.

Nimm an, da stünde z.B.: „Beschreibe das Verhalten fester Körper, wenn die Temperatur zunimmt. Formuliere mit "Je...desto"!“

Daraufhin müsstest Du also schreiben: „Je wärmer es ist, desto größer wird das Volumen.“

Körper bestehen aus kleinsten Teilchen (Atomen, Molekülen oder Ionen), die sich ungeordnet gegeneinander bewegen. Temperatur ist ein Maß für deren mittlere kinetische Energie, d.h., bei höheren Temperaturen wobbeln die mehr und brauchen dementsprechend mehr Platz. Deshalb nehmen Körper mit wachsender Temperatur an Volumen zu, besonders Gase.

Beim Idealen Gas, einem Modell, das nur bei relativ dünnen Gasen greift, ist der Zusammenhang

pV = NkT,

wobei p der Druck, V das Volumen, N die Anzahl der Atome oder Moleküle, k die BOLTZMANN- Konstante und T die absolute Temperatur in Kelvin (K) ist (von der Schrittweite her ist 1K=1°C, aber die Skala beginnt am absoluten Nullpunkt. Die 27°C an einem nicht allzu heißen Sommertag entsprechen 300K, die ca. -3°C, die an einem kalten, aber nicht extremen Wintertag herrschen, sind 270K, also 90% davon.

In Festkörpern Schwingen die Teilchen eher gegeneinander, was aber auch zur Ausdehnung führt. Was dies für Auswirkungen hat (s. Aufgaben), soll man sich logisch erschließen.

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Hallo TrueLuki,

die Beschreibung von Zeit als etwas, das „vergeht“, steht dem Verständnis der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) im Weg.

Was wir beobachten können, sind ja Ereignisse und Vorgänge, die bereits in der Vergangenheit liegen. Zum „Raum, wie er jetzt ist“ haben wir keinen Zugang. Erst im Rückblick lässt sich ausrechnen, wann ein Ereignis stattgefunden haben muss. 

Die SRT geht hier noch einen Schritt weiter: Was alles „jetzt“ ist, ist für räumlich getrennte Ereignisse nicht einmal verbindlich definiert. Übrigens gilt dasselbe für das „Hier“ bei zeitlich getrennten Ereignissen, und zwar schon in der NEWTONschen Mechanik (NM).

Das Relativitätsprinzip von GALILEI

GALILEI war im 17. Jhd. einer der Ersten, die glaubten, dass sich die Erde täglich einmal um die eigene Achse und jährlich einmal um die Sonne dreht. Damit eckte er nicht nur bei der Kirche an, sondern auch bei seinen Kollegen: Wie kann man sich so schnell bewegen und nichts davon merken?

GALILEIs Antwort ist das Relativitätsprinzip (RP) Wenn wir uns relativ zueinander bewegen und jeder sich selbst als den stationären Beobachter ansieht, wirst Du für einige physikalische Größen andere Werte herausbekommen als ich, aber die grundlegenden Beziehungen zwischen diesen Größen (= Naturgesetze) sind gleich.

Was man spüren könnte, sind Änderungen der Geschwindigkeit; bei der Erde treten sie auf, sind aber zu gering, um sich auf kleinem Raum in kurzen Zeiten bemerkbar zu machen.

Das RP relativiert die Gleichortigkeit zweier Ereignisse, etwa den ersten und den letzten Schluck aus einer Tasse Kaffee. Nehmen wir an, ich trinke den Kaffee in 6min aus. Natürlich bleibe ich dabei gemütlich sitzen. Die Erde allerdings transportiert mich mit etwa 1000km⁄h ostwärts. Wenn Du mit einem Flugzeug so schnell in westlicher Richtung fliegst, dass Du die Sonne stundenlang immer an derselben Stelle stehen siehst, könntest Du sagen, dass Du stationär bist, die Erde sich unter Dir weg dreht. So gesehen trinke ich meinen Kaffee 100km weiter östlich aus als ich ihn angetrunken habe.

MAXWELLs Wellengleichung und EINSTEINs Postulat 

Zu den Naturgesetzen gehören auch die Gesetze der Elektrodynamik, die erst im 19. Jhd. entdeckt wurden. Direkt aus ihnen folgt die elektromagnetische Wellengleichung (EMW), der auch das Licht „gehorcht“. Sie ist also auch ein Naturgesetz.

Das Besondere an der EMW ist, dass sie im materiefreien Raum gilt (bei der Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schallwellen stellt sich die Frage „relativ zu was“ nicht, da das klar ist: relativ zu dem Körper, in dem sich der Schall ausbreitet).

Wenden wir aber das RP konsequent auf die EMW an, ergibt sich daraus automatisch EINSTEINs Postulat: Jeder Beobachter muss für die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts relativ zu sich denselben Betrag c messen.

Ein Gedankenexperiment mit Raumstationen

Stell Dir vor, Du befindest Dich auf einer Raumstation A irgendwo weit weg von Sternen und Planeten (das ist die ideale Umgebung, um SRT zu betreiben).

In einer gewissen Entfernung von Dir befindet sich eine weitere Raumstation B, die sich relativ zu Dir nicht bewegt. Eine dritte Raumstation C mit mir an Bord kommt aus dieser Richtung (mit leichtem Versatz) auf Dich zu, mit dem Tempo v = c·β.

Du schickst zur Zeit t₁ ein Lichtsignal richtung B und bekommst das Echo zur Zeit t₃ zurück. Unter der Annahme, dass Deine Station ruht, muss die Entfernung

(1.1)  d = ½·c·(t₃ − t₁)

sein. Für den Zeitpunkt der Reflexion kommst Du auf das arithmetische Mittel

(1.2)  t₂ = ½·(t₃ + t₁).

Zu dieser Zeit komme ich gerade mit C an B vorbei und bekomme das Signal ebenfalls - zusammen mit dem Echo eines Signals, das ich zu einer Zeit t₀ abgeschickt habe, und wir werden uns zur Zeit t = t₂ + d⁄v an Dir vorbeikommen. Dies sind die Zeiten nach Deiner Uhr, der Borduhr von A. Die Zeiten nach meiner Uhr, der Borduhr von C, nenne ich t'₀, t'₁, t'₂ und t'₃.

Wenn wir nun den Zeitnullpunkt t = t' = 0 auf unsere Begegnung festlegen, ist also

(2.1)  t₂ = −d⁄v = d⁄(c·β)

(2.2)  t₁ = −(d⁄v + d⁄c) = −(d⁄v)∙(1 + β) = t₂·(1 + β)

(2.3)  t₃ = −(d⁄v − d⁄c) = −(d⁄v)∙(1 − β) = t₂·(1 − β).

Das RP verlangt Symmetrie zwischen uns, d.h., t'₂ muss wie t₂ zwischen t₁ und t₃ liegen, aber nicht im Sinne des arithmetischen, sondern des geometrischen Mittels zwischen den Beträgen bzw. der Dauer bis zur Begegnung, d.h.

(3.1) |t'₂|⁄|t₃| = |t₁|⁄|t'₂| = √{(1 + β)/(1 − β)} =: K,

was übrigens auch der Faktor ist, um den Frequenzen größer ankommen als sie abgesendet werden. Anders ausgedrückt ist

(3.2)  |t'₂| = √{|t₁|·|t₃|} = |t₂|√{(1 + β)(1 − β)} = |t₂|√{1 − β²}.

Dieses Ergebnis wird oft irreführend „Zeitdilatation“ genannt. Zugleich folgt daraus, dass man unter der Annahme, dass ich ruhe, für den Abstand zwischen A und B nur

(4)  d' = d∙√{1 − β²}

herausbekommt, was irreführenderweise „Längenkontraktion" genannt wird. Schließlich handelt es sich nicht um eine und dieselbe Strecke, die mal kürzer und mal länger wäre, sondern um zwei verschiedene raumzeitliche Verbindungslinien, die einfach unterschiedlich lang sind.

In Anlehnung an ein Bild mit 2 Salamis nenne ich die „Längenkontraktion“ lieber einen Schrägschnitt durch die Weltwurst.

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Hallo Mustermann09999,

die SRT wird oft als eine Art Revolution betrachtet, welche die Klassische Mechanik (KM) sozusagen gestürzt habe.

Tatsächlich verändert die SRT die Formeln der KM, ihren Geist hingegen, ihre Grundprinzipien wendet sie konsequent auf die grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen (nichts anderes sind Naturgesetze) an.

Voraussetzungen

Noch bevor wir auf die SRT kommen, sollten wir uns mit dem Konzept der Raumzeit beschäftigen. Das ist nichts Mysteriöses; gehen wir zunächst von einer Bezugs-Uhr U aus, so ist „Zeit“ eben die von U aus ermittelte Zeit t und „Raum“ die Menge aller Positionen r› = (x|y|z) (stell Dir jeweils einen Pfeil von U aus vor, und zwar als Diagonale eins Quaders mit den Seitenlängen x, y und z) relativ zu U. Die Raumzeit ist dann einfach die Zusammenfassung von beidem.

Die Zeit kann man als ein Vorwärts und den Raum als ein Seitwärts in der Raumzeit auffassen. Eine Uhr U', die sich mit konstanter Geschwindigkeit v› relativ zu U bewegt, hat einen gleichsam „schrägen" Weg durch die Raumzeit.

Die SRT beruht auf 2 Voraussetzungen:

  • GALILEIs Relativitätsprinzip (RP): Die Naturgesetze hängen nicht davon ab, ob man U oder U' als Bezugs-Uhr auswählt. Es gibt also gar nicht die ruhende und die bewegte Uhr. Dieses Prinzip ist ein wesentliches Prinzip der KM.
  • MAXWELLs Wellengleichung, die auch die Ausbreitung von Licht beschreibt, folgt direkt aus Naturgesetzen (den MAXWELL- Gleichungen nämlich) und ist daher selbst eines.

Eigentlich gibt es den Raum schon in der KM gar nicht als separates Phänomen, denn der räumliche Abstand zweier Ereignisse ist abhängig davon, welche Uhr wir als Bezugs-Uhr auswählen. Deshalb müsste man korrekterweise eigentlich sagen: in Bezug auf U lässt sich die Raumzeit in Raum und Zeit zerlegen.

An die Stelle der Gleichortigkeit zweier Ereignisse tritt die abgeschwächte Eigenschaft, zeitartig getrennt zu sein.

Annahme

EINSTEINs Annahme ist einfach die logische Konsequenz aus obigen Voraussetzungen:

Die MAXWELLsche Wellengleichung muss dem RP unterliegen, also in Bezug auf U wie auf U' gelten. Die Geschwindigkeit eines und desselben Licht- oder Funksignals muss in Bezug auf U und U' gleichermaßen den Betrag c haben. Mehr noch: Alles, was sich relativ zu U mit c bewegt, das bewegt sich auch relativ zu U' mit c und umgekehrt.

Phänomene

Relativität der Gleichzeitigkeit

Zwei Ereignisse, die in Bezug auf U zur gleichen Zeit passieren, passieren in Bezug auf U' zeitlich nacheinander. An die Stelle einer absoluten Gleichzeitigkeit zweier räumlich getrennter Ereignisse tritt die abgeschwächte Eigenschaft, raumartig getrennt zu sein.

Zwei solche Ereignisse wie die Absendung und der Empfang eines und derselben Lichtsignals stellt den Grenzfall lichtartig getrennter Ereignisse dar.

„Zeitdilatation“

Für einen Vorgang, der sich in einem umgrenzten Volumen (die Grenze muss nicht unbedingt eine Wand sein, kann aber) ereignet und für den eine lokale Uhr Ω eine bestimmte Zeit Δτ misst, kommt man von einer Bezugs-Uhr, relativ zu der sich Ω mit einem Tempo v bewegt, auf eine längere Dauer

Δt = Δτ⁄√{1 − (v⁄c)²} =: Δτ∙γ.

Das Wort 'Dilatation' (Dehnung) ist freilich irreführend. Man würde ja auch von einer Salami, die in eine eigentlich etwas zu kurze Kiste passt, weil man sie schräg legt, auch nicht sagen, sie habe sich zusammengezogen.

„Längenkontraktion"

Das umgrenzte Volumen ist zudem, von U aus gemessen, und berechnet um den Faktor 1⁄γ kürzer als von Ω aus gemessen. Das liegt aber daran, dass man den Abstand zweier Ereignisse misst, die in Bezug auf U gleichzeitig sind, in Bezug auf Ω jedoch einen Zeitabstand haben. Man würde von einer Salami, die man quer schneidet, um breitere Scheiben zu bekommen, nicht sagen, sie habe sich in der Breite gedehnt.

„Schrägschnitt durch die Weltwurst“ wäre der paasendere Ausdruck.

Experimentelle Hinweise auf Gültigkeit der SRT

Eigentlich ist schon der Versuch von MICHELSON und MORLEY 1887 ein erster Hinweis, denn die hätte nach der damals für gültig gehaltenen Äthertheorie die Bewegung der Erde nachgeweisen müssen.

Auch die LORENTZ-Kraft ist ein indirektes Indiz, in diesem Falle für die „Längenkontraktion“, denn die Bewegung eines geladenen Körpers entlang eines insgesamt neutralen Leiters kann man wegtransformieren, die Kraft aber nicht wegdiskutieren.

Außerdem wurden durch HAEFELE und KEATING in den frühen 1970er Jahren Versuche mit Atomuhren durchgeführt, die „Zeitdilatation“ ergeben haben.

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Hallo Hellboy03,

vorab, der Physiklehrer hat offenbar eine Wissenslücke, nämlich die Spezielle Relativitätstheorie (SRT), welche die Struktur der Raumzeit beschreibt, die ich in einer anderen Antwort dargelegt habe.

Die SRT beruht im Wesentlichen auf GALILEIs (!) Relativitätsprinzip (RP), das aussagt, dass Du das Raumschiff, das sich z.B. mit (v;0;0) relativ zum Staubkorn bewegt, auch als ruhendes „Target“ und das Staubkorn als einen mit der Geschwindigkeit (−v;0;0) bewegten „Impaktor“ beschreiben kannst.

Es hat nun eine Gesamtenergie

(1) γ∙m∙c² = mc²⁄√{1 − (v⁄c)²},

mit der Ruheenergie m∙c² und der kinetischen Energie

(2) Eₖ = (γ − 1)∙m∙c²,

die bei einem unelastischen Stoß vollständig frei würde (bei einem glatten Durchschlag wäre das freilich nicht der Fall, es würde nur ein Teil der Energie frei).

Bei einem Staubkorn von 1μg und 0,87c ist γ=2, d.h., die bei einem unelastischen Stoß freigesetzte Energie wäre so groß wie die Ruheenergie, nämlich 9×10¹⁰J = 25 MWh ≈ 21kg TNT-Äquivalent. Ein so schnelles Raumschiff muss also eine Kollision selbst mit einem Staubkorn vermeiden, z.B. durch magnetisches Ablenken. Jedenfalls sollte die Energie nicht da freigesetzt werden, wo sie Schaden anrichtet.

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Hallo Davidzocker10,

die Lichtgeschwindigkeit c ist eigentlich ein Tempo, der Betrag einer Geschwindigkeit, einer Größe mit Richtung.

Allerdings ist c kein gewöhnliches Tempo wie jedes andere auch, abgesehen davon, dass es sehr groß ist. Es ist das absolute Tempo.

Geschwindigkeit ist relativ; um sinnvoll davon zu reden, braucht man eine Bezugs-Uhr U. Eine andere Uhr U', die sich z.B. mit (u; 0; 0) relativ zu ihr bewegt, kann auch als Bezugs-Uhr verwendet werden; relativ zu ihr bewegt sich U mit (−u; 0; 0).

Was sich allerdings mit c relativ zu U bewegt, das bewegt sich auch mit c relativ zu U' und umgekehrt, deshalb „absolutes Tempo“.

Und schon deshalb kann sich z.B. U' nicht relativ zu U mit exakt c bewegen, denn dazu müsste sie sich auch relativ zu sich selbst mit c bewegen, und das ist absurd, denn relativ zu sich selbst bewegt sie sich gar nicht, schon gar nicht mit c.

Abstände in der Raumzeit

Die Raumzeit ist nichts Mysteriöses, sondern einfach der Raum (in einem abstakteren Sinn) aller möglichen Ereignisse. Sinnbildlich kann man sie sich als Landschaft vorstellen, in der Ereignisse Landmarken und Körper (wie unsere Uhren) Straßen S bzw. S° entsprechen; deren jeweilige Längsrichtung entspricht der (von der jeweiligen Uhr gemessene) Zeit und die Querrichtung dem Raum.

Der Abstand zwischen zwei Landmarken in der Landschaft ist nach PYTHAGORAS

(1) Δs = √{Δz² + Δx²} = √{Δz°² + Δx°²},

wobei Δz bzw. Δz° der Längs- und Δx bzw. Δx° der Quer-Anteil ist. Zwischen der Zeit und einer Raumdimension, ist eine solche Beziehung nicht zu erwarten. Die in der NEWTONschen Physik verwendete Umrechnungsmethode, die GALILEI-Transformation, ist geometrisch betrachtet eine Scherung.

Das absolute Tempo c führte EINSTEINs früheren Mathematikprofessor MINKOWSKI auf die (1) formal ganz ähnliche Beziehung

(2.1) Δτ = √{Δt² − Δx²/c²} = √{Δt'² − Δx'²/c²}
(2.2) Δς = √{Δx² − c²Δt²} = √{Δx'² − c²Δt'²}

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Hallo Marvin1806,

im Alltag addieren sich Geschwindigkeiten vektoriell. Geschwindigkeit ist nämlich eine Verschiebung

Δs› = (Δx; Δy; Δz)

relativ zu einem Bezugskörper, geteilt durch die dafür benötigte Zeit.

Wenn sich relativ zu einem Bezugs-Körper B ein anderer Körper B' mit konstanter Geschwindigkeit

v›' = (v'x|v'y|v'z)

und relativ zu B' ein dritter Körper B" mit konstanter Geschwindigkeit

v›" = (v"x|v"y|v"z),

so bewegt sich B" relativ zu B mit

v›'+v›" = (v'x+v"x|v'y+v"y|v'z+v"z);

dies ist aber eine Spezialität des NEWTON-Limes, in dem Geschwindigkeiten von Körpern relativ zueinander klein im Vergleich zum Betrag c der Lichtgeschwindigkeit sind.

Innerhalb dieses Limes ist die Umrechnung von einem raumzeitlichen Koordinatensystem Σ, in dem B stationär ist, in Σ', in dem B' stationär ist, geometrisch betrachtet eine Scherung in der Raumzeit (GALILEI-Transformation). Im Allgemeinen ist die Umrechnung allerdings eine Art Drehung - genauer gesagt, eine „hyperbolische Drehung“, bei der das MINKOWSKI-Abstandsquadrat

(1) Δτ² = Δt² − Δx²/c² = Δt'² − Δs'²/c² = Δt"² − Δs"²/c²

je zweier Ereignisse erhalten bleibt. Für Ereignisse, die durch eine Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit verbunden sein können, ist Δτ=0, und dies ist in Σ, Σ' und Σ" gleichermaßen der Fall. Somit ist der Betrag c der Lichtgeschwindigkeit invariant unter der LORENTZ-Transformation.

Das Bild vergleicht eine Drehung in einer räumlichen Ebene mit der Situation in der NEWTONschen Raumzeit (Mitte) und in der EINSTEINschen Raumzeit (rechts).

Sind sie Geschwindigkeiten kollinear (liegen in einer Linie), so addieren sich die sogenannten Rapiditäten, eine Art Winkel.

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Hallo TheAstronom,

die Aussage, dass etwas ,,schrumpfe", ist irteführend, aber akzeptieren wir sie erst einmal. Ich komme später darauf zurück.

Wenn man dann beide auf v>0,6c beschleunigt würde...

Geschwindigkeit ist relativ. Um eine sinnvolle Aussage zu machen, sollte man das auf eine Uhr U beziehen, die nicht mitbeschleunigt wird.

...ja aus der Sicht des Stabes die Wand, also auch das Loch, schrumpfen.

Nein, ,,aus der Sicht" des

Die Ausdrücke ,,Zeitdilatation" und ,,Längenkontraktion" sind irreführend. Die so bezeichneten Effekte sind (wie schon Reggid schreibt) Nebeneffekte der Relativität der Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse - wie schon die NEWTONsche Mechanik die Relativität der Gleichortigkeit zeitlich nacheinander stattfindender Ereignisse kennt.¹)

Gleichortigkeit kann man als Raumzeit - Äquivalent von „längs“ (eines länglichen Objekts wie einer Straße - oder einer Salami), Gleichzeitigkeit als das von „quer“. Im Salami- Bild steht eine Scheibe für einen Referenz- Körper (der eine Uhr zumindest beinhaltet) zu einer bestimmten Zeit.

So würde ich statt von Zeitdilatation eher von einer in speziellem Sinne orthogonalen (nämlich gleichzeitigen) Projektion zweier Ereignisse auf die Weltlinie (respektive Weltwurst) einer Uhr und statt von Längenkontraktion von einem Schrägschnitt durch diese Weltwurst eines Körpers sprechen.

________

¹) Trinkst Du auf einem bestimmten Platz einen Kaffee erst an und 5min später aus, ist das gleichortig - relativ zum Café. Erstens steht dieses aber sowieso nicht still, da sich die Erde bewegt, und zweitens kannst Du auch den Erdboden, auf dem das Café steht, als riesiges Laufband ansehen, auf dem etwa ein vorbei fahrender Zug auf der Stelle rollt.

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Hallo stellaha931,

eine Lichtsekunde sind

299 792 458 m ≈ 3×10⁸ m

(der erste Wert ist seit 1983 exakt). Wenn wir zum Lichtjahr kommen und dies ein genaues Maß sein soll, müssen wir uns klar machen, was wir darunter verstehen.

Ein Tag hat (gegenwärtig; die Erdrotation wird im Laufe der Erdgeschichte durch den Mond abgebremst)

60∙60∙24 = 86 400 Sekunden.

Für das Jahr gibt es mehrere Definitionen:

  • Ein siderisches Jahr von 365,256 360 42 Tagen ist die Zeit eines Umlaufs der Erde um die Sonne.
  • Ein tropisches Jahr von 365,242 375 Tagen ist der um ca. 20min kürzere Zeitraum zwischen zwei Frühlings-(Herbst-) Tagundnachtgleichen bzw. Winter- (Sommer-) sonnenwenden.
  • Ein gregorianisches Jahr von 365,2425 Tagen ist eine durch eine Schaltregel von 1582 angepasste Näherung an das tropische Jahr.
  • Ein julianisches Jahr von 365,25 Tagen ist eine noch etwas gröbere Näherung an das tropische Jahr.

Auf Letzteres bezieht sich auch das Lichtjahr. Somit sind 12 Lichtjahre 4383 Lichttage und damit

4383 × 86 400 × 299 792 458 m ≈ 1,1353×10¹⁷ m

(gerundet, obwohl die genaue Zahl zweifellos eine ganze ist).

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Hallo amelie41,

mit Stößen ist in so einem Zusammenhang eine nahe Begegnung zwischen ganz bestimmten Atomen / Molekülen (z.B. H₂O) gemeint.

Wenn sich dabei chemisch etwas verändert, also Atome umgruppiert, Elektronen oder auch Protonen ausgetauscht werden, handelt es sich um reaktive Stöße (z.B. die Reaktion zu einem H₃O⁺ - und einem OH⁻ - Ion, die Autoprotolyse).

Die Wahrscheinlichkeit einer solchen Reaktion ist proportional zur relativen Häufigkeit reaktiver Stöße (die Autoprotolyse ist z.B. sehr unwahrscheinlich im Vergleich zur umgekehrten Reaktion).

Die absolute Häufigkeit einer Reaktion hängt aber natürlich auch von der Gesamtzahl der Stöße ab und die wieder von der Konzentration der daran beteiligten Atome / Moleküle.

Die wahrscheinlichere Reaktion sorgt dafür, dass die Konzentration ihrer Edukte (Ausgangsstoffe) ab- und die ihrer Produkte zunimmt, und zwar gerade so lange, bis die absolute Häufigkeit der reaktiven Stöße für die genannte Reaktion und die Gegenreaktion (hier tauchen E- und Produkte die Rollen) gleich ist (im Beispiel der Autoprotolyse ist dies bei einer Konzentration von je 10⁻⁷mol/l H₃O⁺ und OH⁻ der Fall - genau das ist mit ,,pH-Wert 7" gemeint.

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Hallo LineareAIgebruh,

ich würde an Deiner Stelle angucken, was die Abbildung mit den Elementen des Vektorraumes macht.

Sei v ∈ V ein Vektor. Dass P∘P = P ist, heißt konkret, dass P(P(v)) = P(v) ist. Dies musst Du Voraussetzen und zeigen, dass damit

(1) (Id − P)((Id − P)(v)) = (Id − P)(v)

ist. Und Id(v) ist einfach v ∀(v ∈ V); somit ist

(2) (Id − P)(v) = v − P(v) = v + (−P(v)),

zumindest, wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe. Noch einmal (Id − P) darauf angewandt kommen wir auf

(3) v − P(v) − P(v − P(v)) = v − P(v) − P(v) + P(v) = v − P(v),

wobei ich die Linearität von P genutzt habe, also

(4) P(u + v) = P(u) + P(v).

Mit (3) haben wir die Behauptung aber schpn bewiesen.

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Hallo fantastic863,

die - leider populäre - Bezeichnung 'kmh' ist falsch, denn nach den Konventionen der Mathematik müsste dies km•h bedeuten. Es muss 'km/h' heißen.

Dabei ist

(1) 3,6 km/h = 1 m/s,

die eigentliche SI- Maßeinheit für Geschwindigkeit bzw. Tempo (Betrag der Geschwindigkeit).

Es gibt natürlich keine einheitliche Geschwindigkeit in der Trommel: Die Mitte dreht sich nur um die eigene Achse, die Trommel dreht sich mit

(2) v = ω∙r,

wobei ω die Winkelgeschwindigkeit und r der Radius der Trommel ist. Der ist bei mir zuhause nach ungefährer Messung ca. 44 cm/2 = 22 cm (ich habe einen Privileg Toplader).

Die Winkelgeschwindigkeit ist die Zahl der Umdrehungen pro Minute geteilt durch 60s/min, mal 2π ≈ 6,3, z.B. bei meinen maximal 1200/min = 20/s ist

(3) ω ≈ 126/s.

Mit (1) ergibt dies mit meinen Zahlen

(4) v ≈ 126/s∙0,22m ≈ 27,72m/s ≈ 100km/h

Außentempo.

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Hallo Algedi,

der einzige Denkfehler, den Du machst, besteht darin, das Szenario für möglich zu halten.

Jeder Stab aus einem irgend bekannten Material würde durch die auftretenden Fliehkräfte, genauer gesagt Gezeitenkräfte auseinandergerissen, noch bevor der Punkt B - geschweige denn A - den NEWTON - Limes verlässt.

Fliehkraft ist eine Trägheitskraft, die Reactio zur Zentripetalkraft, mit der die Umgebung von B durch den Stab daran gehindert wird, davonzufliegen. Nun wirkt eine Trägheitskraft wie Gravitation, und dieses Pseudo-Gravitationsfeld ist stark inhomogen, was zu den Gezeitenkräften und der auch im Zusammenhang mit Schwarzen Löchern gefürchteten Spaghettisierung führt.

So ein Pseudo- Gravitationsfeld hat auch so etwas wie ein Pseudo- Gravitationspotential. Licht, das von B ausgehend zur Mitte geht, verliert an Frequenz. Im Inertialsystem (einem nicht mitrotierenden Koordinatensystem) betrachtet ist dies der transversale DOPPLER-Effekt, im mitrotierenden läufst sich das als eine Art Gravitations- Rotverschiebung auffassen. Das Pseudo- Gravitationspotential von B vertieft sich mit wachsender Bahngeschwindigkeit v und würde im Extremfall v → c gegen −c² gehen, das Gravitationspotential eines Ereignishorizontes, eines ebenfalls ein von Schwarzen Löchern bekanntes Phänomens.

Spätestens jetzt könnte kein theoretisch erdenkliches Material, und sei es Phantasisches Selen, die Umgebung von B mehr halten. Dabei ist A noch nicht annähernd so schnell.

Wichtig ist dir Anmerkung, dass es nach Erkenntnis aus der SRT auch theoretisch keinen idealen starren Körper geben könnte. Der SRT-,,Nachfolger" eines Starren Körpers der NEWTONschen Mechanik wäre einer, in dem die Schallgeschwindigkeit c betrüge.

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Hallo Kazuhe,

man sagt zu halblogarithmischem Papier auch „einfach logarithmisches Papier“. Es ist dadurch gekennzeichnet, dass die Skala einer der beiden Achsen logarithmisch ist.

Ist dabei - wie bei Dir - die Abszisse (horizontale Achse, Variable) linear und die Ordinate (vertikale Achse) logarithmisch, dient die Skalierung dazu, Funktionen mit großem Wertebereich abbilden zu können. Dank ihrer fallen weder große Werte aus dem Bild noch verschwinden kleine auf der Abszisse und werden ununterscheidbar.

Linear vs. Logarithmisch

  • Auf einer linearen Skala erscheinen Werte gleich weit voneinander entfernt, die zueinander die gleiche Differenz haben, beispielsweise 1,2,3,4
  • Auf einer logarithmischen Skala erscheinen Werte gleich weit voneinander entfernt, die zueinander das gleiche Verhältnis haben, beispielsweise 1,2,4,8.

Zu Deinen Fragen

Das heißt natürlich auch, dass die Abstände zwischen Werten mit gleicher Differenz auf einer logarithmischen Skala nach oben hin kleiner und nach unten hin größer erscheinen - wenn sie überhaupt darauf passen. Alles, was extrem nah an 0 ist, fällt ebenso aus dem Bild wie dessen Kehrwert. Damit sind wohl Deine Fragen 1) und 2) beantwortet.

Zu Frage 3): Eine Zahl mit 3 Nachkommastellen lässt sich auch in einem linearen Maßstab nicht gut darstellen, wenn man die Skala nicht gerade passend legt. Runden musst Du also ohnehin. Der von Dir gezeichnete „Punkt“ muss auch, um überhaupt sichtbar zu sein, eine gewisse Dicke haben, die eventuelle Rundungsfehler überschreitet.

Wenn die Skala unbeschriftet ist, kannst Du an die Stelle, wo das enge Gitter wieder in ein weites übergeht, an sich jede beliebige Zahl setzen. Die ganz dicken Linien sind dann das 2- fache, 3- fache, ... 9-fache davon, und der nächsthöhere Übergang zu einem weiten Gitter ist das 10-fache, denn die Skalierung auf so einem Papier ist auf die Basis 10 zugeschnitten.

Die halbdicken Linien, die es nur im unteren Teil eines solchen Abschnitts gibt, stellen halbzahlige Schritte dar. Deshalb kann die 2 nur dann an der markierten Stelle sein, wenn ganz unten ⁴/₃ ≈ 1,33 steht. Beim nächsten dicken Strich muss dann ⁸/₃ ≈ 2,67 stehen usw.

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Hallo Pelikan7,

gleichförmige und konstante Beschleunigung sind dasselbe. Das ist ja gerade dieses a. Wäre a nicht konstant, sondern eine Funktion a(t), müsste man integrieren, d.h. infinitesimale Änderungen a(t)·dt zu v(0) aufaddieren.

Das gilt übrigens für jede der drei Hauptrichtungen, in die man eine räumliche Beschleunigung a› zerlegen kann, einzeln.

Die Formeln treffen beide auf gleichförmige Beschleunigung aus dem Stand zu, d.h., es muss v(t=0)=0 sein. Die allgemeine Formel lautet für eine Komponente xᵢ

xᵢ = xᵢ₀ + vᵢ₀·t + ½·aᵢ·t².

Meine Frage ist, ob bei der gleichmäßigen Beschleunigung der Ortsfaktor g=9,81m/s2 eine Rolle spielt...

Wenn ein Körper fällt oder geworfen wird, ja. In dem Falle ist normalerweise a₃=-g, falls nicht noch eine vertikale Beschleunigung hinzukommt.

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Hallo KrayZen,

grundsätzlich ist Geschwindigkeit relativ, d.h., um sinnvoll von ihr zu sprechen, brauchst Du einen Bezugskörper, vorzugsweise eine Uhr U. Da etwas relativ zu sich selbst natürlich in Ruhe ist, heißt das, dass der Bezugskörper definitionsgemäß als ruhend angesehen wird.

Mehr noch: Nach GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) hängen die grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen (nichts anderes sind Naturgesetze) nicht von der Wahl des Bezugskörpers ab.

Du kannst also auch Dein Fahrzeug als ruhend und eine eventuelle Fahrbahn als riesiges Laufband ansehen. Du spürst rasche Änderungen seiner Geschwindigkeit, aber nicht die Geschwindigkeit selbst. Du merkst ja auch nicht, mit welchem Affenzahn sich das Leben Sonnensystem relativ zum kosmischen Hintergrund bewegt (immerhin 1,2×10⁻³c).

Die Lichtgeschwindigkeit c...

... ist allerdings nicht irgendein Tempo (Betrag einer Geschwindigkeit, die selbst eine Größe mit Richtung ist) wie jedes andere auch, sonden sie lässt sich direkt aus Naturgesetzen (den MAXWELL- Gleichungen) herleiten und ist daher selbst eines. Dementsprechendend unterliegt sie dem RP, d.h., was sich relativ zu einer Uhr als Bezugs-Uhr mit c bewegt, das bewegt sich relativ zu jeder Uhr als Bezugs-Uhr mit c.

Nun kann man sich schlecht relativ zu sich selbst bewegen, schon gar nicht mit c, weshalb auch Dein Fahrzeug c nicht erreichen kann. Es kann sich relativ zu einer externen Uhr U nur mit (1-δ)c bewegen, wobei δ beliebig klein, aber nicht 0 sein kann.

Licht, das sich in dieselbe Richtung bewegt, wäre dabei für Dich um den Faktor

K = √{(1 + v/c)/(1 – v/c)} = √{(2 – δ)/(δ)}

(wellenlängenmäßig) bzw.

K⁻¹ = √{δ/(2 – δ)}

(frequenzmäßig) rotverschoben, ohne etwa langsamer zu werden. Nichtsdestoweniger wird Dir nichts Ungewöhnliches auffallen.

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Hallo GalactoseDd,

dass eine solche Abbildung bijektiv sein soll, heißt nicht, dass sie linear sein müsste.

Insofern findet sich auch für b=∞ (mehr als) eine Bijektion von ]0,1[ auf ]a,∞[, z.B. für a=0, nämlich die rechte Seite des Bildes. Die linke Seite zeigt die Abbildung von ]-1,0[ auf ]-∞,0[.

Dabei ist 'tan⁻¹' als 'arctan' zu verstehen.

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Hallo SatanOnTheMoon,

historisch gesehen wurde die Zeit ein paar Jahre vor Erscheinung von EINSTEIN s Arbeit 'Elektrodynanik bewegter Körper' (1905) und damit der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) als 'vierte Dimension' bezeichnet - in der Literatur. Es war H.G.Wells in 'Die Zeitmaschine'. In die Physik gelangte es eigentlich erst durch EINSTEINs früheren Mathematikprofessor MINKOWSKI (1907)

Tatsächlich setzt ja das Konzept der Raumzeit keineswegs die SRT voraus. Umgekehrt wird ein Schuh draus. Selbst wenn es eine absolute Zeit gäbe, könnte man die mit dem Raum zur Raumzeit zusammenfassen. Ein Ereignis ist ja auch erst durch das ,,Wann" und das ,,Wo" festgelegt. Die NEWTONsche Sicht auf die Zeit und die von EINSTEIN und MINKOWSKI unterscheiden sich darin, wie jeweils absolute Abstände definiert sind.

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Hallo Cookie6661,

vielleicht sagt Dir der Begriff der (reellen) Funktion schon etwas. Einer Größe x wird eine andere Größe y zugeordnet, es ist

(1) y = f(x).

Die Variable x lässt sich auf der horizontalen Achse und y auf der vertikalen Achse darstellen. f heißt

  • monoton wachsend, wenn x₂>x₁ ⇒ f(x₂)≥f(x₁),
  • streng monoton wachsend, wenn x₂>x₁ ⇒ f(x₂)>f(x₁),
  • monoton fallend, wenn x₂>x₁ ⇒ f(x₂)≤f(x₁) und
  • streng monoton fallend, wenn x₂>x₁ ⇒ f(x₂)<f(x₁).

Die Funktion

(2) f₁(x) = eˣ

ist ein Musterbeispiel für eine überall (auf ihrem ganzen Definitionsbereich) streng monoton wachsende Funktion, während

(3) f₂(x) = cos(x)

nur in hinreichend kleinen Intervallen streng monoton ist, die auch richtig sitzen müssen, etwa [-½π, 0], wo f₂ streng monoton wächst.

Eine Treppenfunktion, wie es etwa

(4) f₃(x) = eⁿ für n∈ℤ ∧ x∈[n, n+1[

darstellt, ist nur monoton steigend.

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Hallo AirDrop2003,

eine Rangliste zu erstellen ist schwierig. Grundsätzlich wäre für mich dasjenige Regime, unter dem ich inhaftiert und gefoltert werde (oder Angehörie von mir), ein heißer Kandidat den Titel ,,schlimmstes Regime aller Zeiten", aber das täte allem Opfern anderer Regime wahrscheinlich Unrecht.

Die schlimmsten Regime (Plural!) sind die, deren Mittel und deren Ziele menschenverachtend sind, also solche, die ein Herrenmenschentum propagieren und umsetzen.

Manche Menschen wollen denen noch zugute halten, dass sie tun, was sie sagen, aber dem kann ich mich nicht anschließen. Bei einem Terrorregime, dessen Protagonisten sich als Menschenfreunde darstellen, kann man sozusagen den Finger in die Wunde legen und den Widerspruch zwischen Reden und Handeln aufzeigen, aber wie will man einem SS- oder IS-Schergen seine Grausamkeit vorwerfen, wenn er genau darauf auch noch stolz ist?

Natürlich ist das NS-Regime ein heißer Kandidat, das schlimmste Regime gewesen zu sein, wobei die UdSSR und Maos China mit ihren hemmungslosen Gewaltorgien kaum nachstehen.

Man darf allerdings religiöse Regime der Vergangenheit und Gegenwart nicht vergessen. Meiner Ansicht nach übertrumpft jedes einzelne von ihnen die säkularen Terrorregime noch, denn so ein NS-Staat etwa will auslöschen, was ihm nicht passt, ein religiöses Regime hingegen lässt nach eigener Vorstellung jemanden, den es tötet, gleichsam ewig weiterfoltern. Böser kann man nicht sein.

Nicht nur deshalb, sondern auch wegen seiner biastokratischen Frauenverachtung stellen m.E. Regime wie die Taliban oder der IS selbst das Dritte Reich und das Stalin-Regime in den Schatten.

Namentlich das Dritte Reich hat auch den Vorzug, im flammenden Inferno des selbst entfesselten Krieges verreckt zu sein.

Sollen sich doch die großen und kleinen Tyrannen der Welt um Platz 1 der Schreckensregime kloppen, solange sie nur einander maximale Verletzungen zufügen!

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Geht so

Hallo buffalo23,

ob 17,5°C angenehm sind oder nicht, hängt sowohl von weiteren äußeren Faktoren (v.a. Luftfeuchtigkeit) als auch der eigenen Konstitution ab:

  • Stehe ich gerade auf, oder komme ich von draußen rein, wo es 7°C hat?
  • Bin ich ausgeschlafen oder übermüdet?
  • Habe ich etwas Hochkalorisches und vorzugsweise Warmes gegessen?
  • Bin ich dick oder muskulös, oder bin ich eher zierlich?
  • Bin ich körperlich aktiv oder sitze ich im Sessel?
  • Bin ich noch relativ jung oder schon im ,,Club 80" (mit nachlassender Durchblutung und Stoffwechseltätigkeit)?

und, und, und. Man empfindet nicht wirklich Temperaturen, sondern den Wärmeverlust bzw. Wärmeabgabe, weshalb es auch eigentlich nicht sinnig ist, sog. gefühlte Temperaturen in °C anzugeben.

Mein Körper muss Abwärme loswerden, die er ständig produziert; gelingt das nicht allein durch Abstrahlung, komme ich ins Schwitzen, und wie viel das nützt, hängt stark von der Luftfeuchtigkeit ab.

Gelingt es nicht mehr, ist das ungesund, im schlimmsten Falle letal (bei Feuerwehrleuten im Einsatz z.B. besteht Überhitzungsgefahr, und in der Höhle von Naica darf man sich als Forscher auch mit Schutzkleidung maximal ½h aufhalten).

Gebe ich mehr Wärme ab, als ich produziere, droht mein Körper abzukühlen und fängt an zu zittern, um mehr Energie zu verheizen. In feuchter Luft oder gar im Wasser geschieht das schneller, weil die Wärmeleitfähigkeit höher ist.

Auch die Durchblutung der äußeren Körperpartien wird gedrosselt, was oft als unangenehm empfunden wird und übrigens auch anfälliger für Infektionen macht. Deshalb trage ich vor allem im Bett nicht nur im Winter einen Schal, und zu dieser Jahreszeit auch, wenn ich draußen unterwegs bin. Dabei ist der Aufenthalt in warmen, überfüllten Bussen allerdings die eigentliche Infektionsquelle. Kinder, dreht euch nicht herum, denn der Virus, der geht um.

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Hallo slnh0,

grundsätzlich ist Deine Herangehensweise richtig, aber die Strecke ist falsch, weil der Abstand zwischen den Platten zwar d=4cm beträgt, die Beschleunigungsstrecke für das Proton aber laut Aufgabenstellung nur ½d=2cm.

Auf dieser Strecke beträgt die Spannung nur U·½d=10³V=1kV, und so ist die kinetische Energie

(1) U·½d·q = U·½d·e = 1keV
___________≈ 10³V·1,6×10⁻¹⁹C = 1,6×10⁻¹⁶J.

In atomaren und subatomaren Zusammenhängen rechnet der Physiker gern in Elektronenvolt (eV).

Die in (1) betechnete Energie ist sehr viel weniger als die Ruheenergie

(2) m_{p}·c² ≈ (1/6)×10⁻²⁶kg·9×10¹⁶(m/s)² = 1,5×10⁻¹⁰J ≈ 9,375×10⁸eV

des Protons, weshalb Du die NEWTONsche Näherung

(3.1) U·½d·e = E_{kin} ≈ ½·m_{p}·v²

für die kinetische Energie noch anwenden kannst, ohne einen nennenswerten Fehler zu machen. Nun musst Du nur (3.1) nach v² umstellen,

(3.2) v² = U·d·e/m_{p} ≈ 1,6×10⁻¹⁶J/1,67×10⁻²⁷kg ≈ 9,6×10¹⁰(m/s)²,

und daraus die Quadratwurzel ziehen.Dabei komme ich auf etwa 3,1×10⁵m/s

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Hallo Swagerdi,

es ist die Crux der deutschen Umgangssprache, dass die Masse oft fälschlich als Gewicht bezeichnet wird. Kein Mensch sagt ,,meine Masse beträgt 70kg", aber das wäre eigentlich richtig, denn das Kilogramm ist eine Masseneinheit - im Unterschied zum - veralteten - Kilopond

Die Masse ist ein Maß dafür, wie viel Materie in einem Körper (z.B. Deinem) enthalten ist. Es ist übrigens auch bis auf einen konstanten Faktor ein Maß für die Ruheenergie des Körpers, in Deinem Fall knapp 6,3 EJ (Exajoule).

Mein Gewicht ist ja G= Masse Mal Erdanziehungskraft,...

Ja - wobei ,,Erdanziehungskraft" nicht ganz richtig ist. Zum einen zieht nicht nur die Erde irgendwelche Körper an, und zum anderen ist die Gravitationsfeldstärke allein noch keine Kraft.

Die Masse ist gleichsam die Gravitations-Ladung, und wie bei der Elektrik ist Ladung mal Feldstärke gleich Kraft.

Da die Masse zugleich träge ist, ist die Gravitationsfeldstärke mit der Fallbeschleunigung identisch.*)

Ist meine Masse dann also 70/9.81?

Die Zahlen ohne Maßeinheiten ergeben keinen physikalischen Sinn.

,,Was ist 70? Kilogramm, Gramm, Unzen, Pounds?" könnte man jetzt fragen, und für die ,,Erdbeschleunigung" - die mittlere Gravitationsfeldstärke der Erde in der Nähe ihrer Oberfläche.

Es ist anders herum: Dein Gewicht ist in der Nähe der Erdoberfläche im Mittel

(1) F›_g = m·g› = 70kg·9,81m/s² = 686,7N,

oder, mit der veralteten Maßeinheit, eben 70kp.

________

*) Diese Besonderheit hat die Gravitation mit den Trägheitskräften gemein, weshalb sich auch die Gravitation besonders dafür eignet, ,,geometrisiert" zu werden. Im Rahmen von EINSTEINs Allgemeiner Relativitätstheorie (ART) wird sie als innere Krümmung der Raumzeit beschrieben.

Das hat nichts mit einer Krümmung in eine zusätzliche Dimension zu tun. In einer ,,flachen" Fläche werden geradestmögliche Linien, so genannte Geodätische, die an einer Stelle parallel verlaufen, es auch bleiben. In einer positiv gekrümmten Fläche laufen sie zusammen. Ähnliches gilt für Mannigfaltigkeiten, die Verallgemeinerung von Flächen. In diesem Fall geht es um Weltlinien, Wegen durch die Raumzeit. Das Bild soll eine solche Situation in etwa abbilden, sich wenn das nicht 1:1 umsetzen lässt.

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Hallo Drent257,

das α-Teilchen hat keine Elektronen bei sich, es ist der ,,nackte" ⁴ He-Atomkern und somit auch doppelt positiv geladen. Er stammt aus anderen, größeren Atomkernen und wird durch Materie stark abgebremst.

Gerade dann, wenn er langsamer wird, reißt er Elektronen an sich, die frei oder schwächer an andere Atome oder Moleküle gebunden sind als das α-Teilchen zieht. Deshalb ist ein α-Strahler im Körper auch so gefährlich.

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Hallo Drent257,

genau das haben sich die Physiker ebenfalls gefragt, als RUTHERFORD sein Atommodell entwickelt hatte, das an ein Planetensystem im Miniaturformat erinnert.

Dort gleichen ja Anziehung durch die Gravitation und Drehimpuls-Barriere einander aus und sorgen für eine stabile Bahn. Fast stabil. Das System emittiert nämlich Gravitationswellen, deren Leistung aber unmessbar schwach ist.

Beim Atom nach RUTHERFORD (1911) wäre das anders, denn so ein System wäre ein HERTZscher Dipol und würde im Zweifelsfall elektromagnetische Wellen mit hoher und zunehmender Energie emittieren und das Elektron abstürzen lassen. Dies führte BOHR (1913) dazu, ad hoc anzunehmen, dass bestimmte Bahnen aus einem unbekannten Grund stabil sind.

Nun hatte PLANCK (1900) schon postuliert, dass elektromagnetische Wellen aus Energieportionen besteht, was EINSTEIN später (1905) aufgriff und zur Erklärung des Photoelektrischen Effekts heranzog.

Wellen bestehen also aus ,,Teilchen" (heute Photonen genannt), und so kam DE BROGLIE auf die Idee (1924), dass Materieteilchen auch Wellen sein könnten, was übrigens später von DAVISSON und GERMER experimentell bestätigt wurde. Eine Wellengleichung dafür stellte SCHRÖDINGER auf, und PAULI modifizierte sie (1926).

Daraus entwickelte sich das Orbitalmodell,in dem stabile bzw. metastabile Zustände dadurch gekennzeichnet sind, dass Elektronen im Atom stehende Wellen bilden.

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Hallo Lukas2812,

die Frage...

Ist es nun tatsächlich so das die Gesetze für Potenzen mit negativen Exponenten einfach postuliert wurden?

...würde ich negativ beantworten, wenn damit gemeint ist, dass dies bloß eine willkürliche Festsetzung sei.

Für Natürliche Exponenten ist klar, dass

(1.1) an+1 = an·a ⇔ an = an+1/a

ist. Was rechts vom '⇔' steht, kann man durch „umtaufen“ zu

(1.2) an–1 = an/a,

und für n=1 bedeutet dies

(2.1) a0 = a1/a = a/a = 1

und weiter

(2.2) a–1 = a0/a = 1/a.

Das lässt sich beliebig nach unten fortsetzen.

Man kann (1.1) noch verallgemeinern zu

(3.1) an+m = an·am 

und (1.2) zu

(3.2) an–m = an/am.

Das erst sind allgemeine Potenzgesetze. Ein weiteres ist übrigens

(4) an·m = (an)m.

Sowohl daraus als auch schon aus (1.1) lässt sich auch schließen, dass z.B.

(5) a½ := √{a}

ist:

(6.1) a½+½ = a½·a½ = a

und

(6.2) a½·2 = (a½)2 = a.

Damit haben wir nur dank von Potenzgesetzen, die für Natürliche Exponenten schon gezeigt werden konnten, den Begriff der Potenz auf negative und sogar gebrochene Exponenten ausgeweitet.

…zwei Brüche a/b und c/b mit b ungleich 0 addiert man indem man ihre Zähler addiert . Doch wie kann man das beweisen?

Durch das Distributivgesetz

(7.1) a·(b ± c) = (a·b ± a·c)

(7.2) (a ± b)·c = a·c ± b·c,

mit c=1/n, wobei n ≠ 0 eine Ganze Zahl sein soll („Dein b“).

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Hallo Antonia430,

die Funktion F selbst muss überhaupt keine Nullstelle haben. Beispielsweise ist für

(1) F'(x) = f(x) = –λ·e–λ·x

die Stammfunktion

(2) F(x) = e–λ·x.

Wenn wir jetzt eine Stelle x=a als ,,untere" Integrationsgrenze haben (die ,,obere" Grenze x=b kann auch kleiner sein, allerdings dreht die Vertauschung der Grenzen das Vorzeichen des Integrals um), hat allerdings die Funktion

(3.1) F(x) – F(a),

in unserem Beispiel

(3.2) Fa(x) = eλ·x – eλ·a,

automatisch eine Nullstelle bei x=a, denn die Subtraktion der Konstanten eλ·a verschiebt den Graphen so weit nach unten, dass Fa(a) gleich 0 ist.

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Hallo Zocker82618,

Uran ist ohnehin ein Schwermetall und wäre wohl auch so schon ziemlich ungesund. Allerdings hat Uran keine stabilen Isotope.

Das langlebigste Uranisotop ist 238U mit etwa 4½ Jahrmilliarden. Deshalb besteht natürliches Uran auch hauptsächlich daraus.

Der Zerfall des Urans und seiner Tochternuklide*) in der Erdkruste ist übrigens die Quelle des irdischen Heliums, denn 238U ist ein α-Strahler, und α-Teilchen sind nichts anderes als 4He-Atomkerne. Die reißen Elektronen an sich und werden zu Heliumgas.

Geschieht das im menschlichen Körper - wozu man einen α-Strahler allerdings mit der Nahrung oder der Atemluft aufnehmen muss - richtet er besonders viel Schaden an. Eines der Tochternuklide ist 222Rn (Radon), das einzige Edelgas ohne stabile Isotope. Das kann man einatmen, und dann ballert es einem die Lungen kaputt.

1g 238U ist {1/238}mol, etwas mehr als {1/250}mol=4mmol. Daraus kann man die Aktivität ausrechnen.

______

*) 'Nuklid' heißt so viel wie Atomkern-Sorte, bestimmt durch die Anzahl der Protonen und Neutronen. Nuklide mit gleicher Protonenzahl gehören zum selben Element und heißen daher Isotope (griech.: ,,selber Ort", nämlich im Periodensystem der Elemente).

Mit 'Tochternuklid' ist das Nuklid gemeint, was aus einem anderen Nuklid (das als Mutternuklid bezeichnet wird) hervorgeht. Im Falle von 238U ist das Tochternuklid 234Th (Thorium).

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Hallo Sebopeng,

die Eingabe '[sin⁻¹]' ist Taschenrechner-Sprech für die Funktion 'Arcussinus', die Umkehrfunktion des Sinus. Sie ordnet einem Streckenverhältnis y/r einen Winkel α zu (oft auch 'φ'). Die angegebene Zahl hängt von der Rechner-Einstellung ('DEG', ''RAD' oder 'GRA') ab.

Für den Winkel gibt es 3 gebräuchliche Maße:

  • Das babylonische Grad ('°'), das den Vollwinkel d.h. ein mal ganz rum, in 360 und damit den Rechten Winkel in 90 Einheiten einteilt,
  • das neue Gon ('gon'), früher ,,Neugrad", das den Vollwinkel in 400 und den Rechten Winkel somit in 100 Einheiten einteilt, und
  • Bogenmaß, auch Radian ('rad') genannt, das Verhältnis zwischen Kreisbogen und Radius, die am wenigsten willkürliche Einheit für den Winkel.

Vorsicht: Bei TR - Einstellungen bedeutet 'GRA' nicht ,,Grad", sondern ,,Gon". Die für ,,Grad" lautet 'DEG' wie engl. 'degree'.

Da α und π-α denselben y-Wert liefern, sind beide Lösungen einer Solchen Gleichung. Außerdem ist schnurz, wie oft man im Kreis dreht, deshalb haben auch α und α+2nπ mit irgendeiner Ganzen Zahl n alle denselben Sinus (und denselben Cosinus und Tangens).

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Hallo SkyTry2002,

wenn Du die Funktion

(1) f(x) = a/(x + 1) = a·(x + 1)⁻¹

ableitest, kommt nach Potenz- und Kettenregel

(2.1) f'(x) = a·(-1)·(x + 1)⁻²·1 = –a/(x + 1)²

heraus, während

(2.2) (f(x))² = a²/(x + 1)²

ist. Damit

(3) f'(x) = (f(x))²

ist, muss

(4.1) a² = –a

sein, was man nur durch a kürzen muss, um

(4.2) a = –1

zu erhalten.

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Hallo Camponotus14,

wichtig für den Test ist es, zu verstehen, was man da warum rechnet. Deshalb werde ich eine Menge erklären, viel mehr als ich vorrechne.

Die Aufgabe zielt darauf ab, zu beurteilen, wie effektiv Sonnenenergie überhaupt sein kann, also:

Welche Energie P₂·Δt brauche ich in einer bestimmten Zeitspanne Δt, welche Energie P₁·Δt kann ich der Sonnenstrahlung entnehmen? Dabei ist P₁ die Leistung der Sonnenstrahlung und P₂ der Leistungsbedarf - den braucht man, um eine Frage wie b) beantworten zu können.

Man kann sich vorstellen, dass der Aufgabensteller darauf hinaus will, dass selbst unter optimalen Bedingungen P₁<P₂ und Sonnenenergie mithin ungeeignet ist, den Energiebedarf der Menschen zu decken.

Bei Aufgabenstellung a) ist einfach zu beantworten, wenn man cH₂O kennt, die spezifische Wärmekapazität des Wassers:

(1) ΔQ = cH₂O·m·ΔT
_______≈ 4,2kJ/{kg·K}·0,85kg·1,8K
_______= (21/5)·(17/20)·(9/5)J ≈ 32/5 = 6,4J.

Aufgabenteil b) kommt zu früh und ist falsch gestellt. Die Menschen benötigen nicht eine bestimmte Energiemenge insgesamt, sondern eine bestimmte Energiemenge für einen bestimmten Zeitraum. Man sollte besser nach der benötigten Fläche fragen.

Aufgabenteil c) ist wieder recht einfach zu lösen. Die Energie ΔQ haben wir, die Zeit Δt und die Fläche A sind gegeben:

(2) E = P/A = ΔQ/{Δt·A}
______≈ 6,4kJ/{720s·9,5×10⁻³m²}
______= (8/900)·(2/19)·10³kW/m²
______= (160/171)kW/m²
______≈ 0,94kW/m²

Dies liegt deutlich unter der sog. Solarkonstante mit dem mittleren Literaturwert von 1,367kW/m², was an der Absorption durch die Atmosphäre liegt.

Nun müssen wir den Querschnitt (nicht die Oberfläche!) der Erde kennen, um auf der Grundlage von (2) Aufgabenteil b) zu lösen:

(3) Qearth = E·π·(Rearth
__________≈ 0,94kW/m²·π·4×10¹³m²
__________≈ 1,173×10¹⁴ kW

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Hallo BigDoller,

das BOHRsche Atommodell (1913) beruht im Wesentlichen auf dem RUTHERFORDschen (1911), das im Proton-Elektron-System eine Art Planetensystem im Kleinformat sah, mit dem Proton als ,,Sonne", also dominierender Masse (deshalb mehr oder minder stationär) und dem darum kreisenden Elektron als ,,Planeten", wobei die Kraft durch die elektrische Anziehung nach dem COULOMB-Gesetz

(1.1) F› = 1r›·κ·Q₁·Q₂/r²

wobei 1r› der Vektor vom Proton weg, r der Abstand der Ladungsschwerpunkte und

κ = c²μ₀/4π ≈ 9×10⁹V·m/A·s

die COULOMB-Konstante ist (d.h., zwei mit je 1C geladene Kugeln würden noch auf 1km Entfernung eine Kraft von 9kN aufeinander ausüben!). Im konkreten Fall ist das

(1.2) F› = –1r›·κ·e²/r²,

wobei e≈1,6×10⁻¹⁶C ist und das Minuszeichen für Anziehung steht.

Speziell im Aufgabenteil b) geht es um die Gleichsetzung dieser Kraft mit der Zentripetalkraft

(2) F›_z = –1r›·m·v²/r,

die erforderlich ist, um einen mit dem Tempo (Betrag der Geschwindigkeit) v bewegten Körper der Masse m auf einer Kreisbahn mit Radius r zu halten. Sie ergibt

(3) κ·e²/r = m·v²,

was übrigens, wenn Du noch beide Seiten durch 2 teilst, auch aussagt, dass die kinetische Energie (im NEWTON-Limes) auf einer Kreisbahn gleich dem halben Betrag der potentiellen Energie ist. Das wäre ein weiterer möglicher Ansatz gewesen.

Die Größenordnung liegt bei 2,2×10⁻¹⁸J≈13,5eV. Die Ruheenergie des Elektrons liegt bei 511keV. Kein Problem also, den NEWTON - Limes zu benutzen.

So kannst Du leicht nach v² auflösen und die Wurzel ziehen:

(4) v = √{κ·e²/m·r}.

Das liegt, grob überschlagen, in einer Größenordnung von 2,2×10⁶m/s.

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Hallo BaToJu,

das Problem ist wohl, dass Du Dich mit ziemlich viel Neuem auf einmal konfrontiert siehst und schnell eine Lösung für eine Aufgabe finden sollst.

Deshalb verwendest Du die Formeln quasi wie Kochrezepte, die fix und fertig im Kochbuch stehen, und hoffst darauf, für das Gericht, das Du zubereiten sollst, das richtige Rezept gefunden zu haben, was anscheinend oft nicht funktioniert.

Du wirst nicht darum herumkommen, Dir die Zeit zu nehmen, bei jeder Formel darüber nachzudenken, was sie genau bedeutet und in welchem Zusammenhang sie einsetzbar ist. Manch einfachere Formel wirst Du Dir ggf. sogar herleiten können. Nehmen wir z.B.

(1) s = ½·a·t².

Das ist eine spezielle Formel für eine lineare Beschleunigung aus dem Stand, wobei t=0 gesetzt wird, wenn der Körper gerade in Ruhe ist. Ich ziehe es allerdings vor, statt 's' lieber 'x' zu schreiben. Mit s wird üblicherweise die Länge eines Weges ungeachtet seiner Form und Richtung bezeichnet.Wenn man ein Koordinatensystem so definiert, dass sie Beschleunigung in x-Richtung wirkt, ist x=s.

In einem t-v-Diagramm kannst Du Dir klar machen, warum (1) gilt:

In einem solchen Diagramm ist s die Fläche eines Dreiecks, Grundseite mal Höhe durch 2. Die Grundseite ist t bzw. ein konkreter Zeitpunkt t₁ die Höhe v(t₁), die bei Beschleunigung aus dem Stand a·t₁ ist. Daraus ergibt sich

(2) x(t₁) = ½·t₁·a·t₁ = ½·a·t₁² .

Das kannst Du auch zeitlich umkehren und eine Abbremsung in den Stand beschreiben. Dabei kommst Du darauf, dass bei jeweils gleicher Bremsbeschleunigung (unter,,Beschleunigung" wird in der Physik jede Änderung der Geschwindigkeit verstanden) a<0 der Bremsweg quadratisch mit der Anfangsgeschwindigkeit wächst.

Wenn Du eine Anfangsgeschwindigkeit v(0) hast, gilt (1) natürlich nicht, denn Du hast kein Dreieck, sondern ein Trapez, das Du in ein Rechteck und ein Dreieck zerlegen kannst.

Zudem kann auch v(0)<0 sein; das bedeutet, dass sich der Körper in -x-Richtung bewegt.

Wenn es ums Fallen geht, wirkt die Beschleunigung nach unten und wird mit g bezeichnet. Die Richtung nach oben wird manchmal y-Richtung, manchmal auch z-Richtung genannt.

Beim Wurf aus einer Höhe y=h musst Du mindestens zwei zueinander senkrechte Richtungen berücksichtigen, die Du z.B. x- und y-Richtung nennen kannst. Solange die Geschwindigkeiten nicht so groß werden, dass Luftwiderstand wichtig wird, sind die horizontale und die vertikale Bewegung voneinander unabhängig. Erstere bleibt konstant, Letztere wächst nach unten. Man kann sie als

(3.1) v›(t) = (v_x | v_y(t)) = (v_x | v_y(0) – g·t)

und die Position als

(3.2) s›(t) = (v_x·t | h + v_y(0)·t – ½·g·t²)

schreiben, was eine Parabel ergibt. Der Winkel α ergibt sich aus

(4.1) v_x(0) = v(0)·cos(α)
(4.2) v_y(0) = v(0)·sin(α).

Nenn mir doch mal ein paar Beispiele für falsche Formeln.

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Hallo LuisaPaulina,

der Zusammenhang zwischen den von Dir genannten Größen sollen in Form einer Gleichung gebracht werden.

Daraus haben wir dann die Federkonstante und die Kraft ausgerechnet.

Ich nehme an, es ist umgekehrt. Die Kraft, um die es geht, ist nichts anderes als das Gewicht des verwendeten Massestücks der Masse mⁱ (i kann für verschiedene Natürliche Zahlen stehen) mit dem Betrag

(1) Fⁱ = mⁱ·g,

wobei die lokale Gravitationsfeldstärke g hier als Konstante betrachtest werden kann; meist wird ihr Betrag mit 9,81m/s² angesetzt.

Für die Federkonstante braucht ihr eigentlich die Gleichung, die Du hier aufstellen sollst. Wenn wir als Beispiel drei Massen m₁, m₂ und m₃ nehmen und die Dehnungen s₁, s₂ und s₃ messen und ins F-s-Diagramm eintragen, fällt uns auf, dass eine Gerade entsteht, also eine Linie mit konstanter Steigung

(2.1) (s₃ – s₂)/g(m₃ – m₂) = (s₂ – s₁)/g(m₂ – m₁),

die wir deshalb als

(2.2) ∆s/g∆m = ∆s/∆F

abkürzen können. Diese Steigung hat etwas mit der Federkonstanten zu tun. Da man die allerdings so definiert, dass sie für härtere Federn größer ist, nimmt man den Kehrwert

(2 3) D := ΔF/Δs,

den Du z.B. nach ΔF umstellen kannst:

(2.4) ΔF = D·Δs.

Allerdings bin ich mir nicht sicher ob der Graph (Gerade, die im Koordinatenursprung entspringt) richtig ist und somit auch das Ergebnis.

Ja, weil s als Dehnung relativ zur Gleichgewichtslänge ohne Massestücke definiert ist. Deshalb kannst Du auch

(2.5) F = D·s

schreiben. Dabei entsteht übrigens eine neue Gleichgewichtslänge, bedingt durch das Kräftegleichgewicht zwischen dem Gewicht des Massestücks und der Kraft der Feder, die das Massestück gleich stark in entgegengesetzte Richtungen ziehen.

Statt von der Länge und Dehnung der Feder kann man vielleicht besser von der vertikalen Position y sprechen. Es ist sinnvoll, sie für die Gleichgewichtslage y=0 zu setzen.

Warum Federschwinger?

Ziehst Du jetzt mit zusätzlicher Kraft ΔF an der Feder oder hebst umgekehrt das Massestück an, wird die Kraft der Feder stärker oder schwächer, und das Kräftegleichgewicht hört in dem Moment auf zu bestehen, in dem Du loslässt, denn das Gewicht bleibt wie es ist. Das Massestück erfährt so eine Beschleunigung

(3) a = ΔF/m,

die bis zum Erreichen der Gleichgewichtslage schwächer wird und sich jenseits davon umkehrt, wodurch das Massestück gebremst wird und sich wieder zurückbewegt u.s.w.; dadurch entsteht eine Harmonische Schwingung. Dabei ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie erhalten. Theoretisch zumindest. Praktisch gibt es Reibungskräfte, die die Schwingung dämpfen.

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Hallo lenamel,

dies geht aus dem Text hervor: Der Ausdruck P(a|g(a)) bedeutet, dass a die x-Position von P und g(a) die y-Position von P ist. Entsprechendes gilt für Q. Der Unterschied ist der, dass die Position von P fest und die von Q variabel ist.

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Hallo AndreasMeiborg,

ein Schwarzes Loch (SL) ist im Grunde der ,,ART-Nachfolger" (ART Allgemeine Relativitätstheorie) des altklassischen ,,Massenpunkts", wobei der markanteste Unterschied ein Ereignishorizont (EH) ist, den die NEWTONsche Mechanik nicht kennt.

Das SL ist dabei der innere Teil des Gravitationsfeldes dessen, was vom zusammengestürzten Körper übrig ist, dem klassischen ART - Modell zufolge eine Singularität (die bei den meisten SL aufgrund ihres Drehimpulses aber kein Punkt, sondern ein Ring sein soll) sein soll.

Allerdings ist die zugrunde liegende Metrik, die KERR - Metrik, viel komplizierter als die SCHWARZSCHILD - Metrik

(1.1) dτ = √{dt²·q² – dr²/(cq)² – r²dΩ²/c²}
(1.2) dς = √{–c²dt²·q² + dr²/q² + r²dΩ²},

wobei dΩ² für dθ²+sin²(θ)dφ² steht und das Quadrat kleiner Verschiebungen entlang einer Kugeloberfläche darstellt und

(2) q := √{1 – r_S/r} = √{1 – 2GM/c²r}

mit der Gravitationskonstante G und der Masse M des SL der SCHWARZSCHILD-Faktor ist. Wegen dieses Faktors markiert r zwar noch eine „Umkugel“ der Fläche 4πr² um das Zentrum, aber nicht mehr den Abstand zu diesem, und für r<r_S ist q² negativ, was t dort raumartig und r zeitartig macht.

Sollte jemand in ein SL fallen, sähe er sich also genau genommen nicht durch eine überwältigend starke Kraft in eine bestimmte räumliche Richtung gezogen, sondern fände sich, sobald er den EH überschritten hat, in einem kollabierenden Raum wieder, in dem alles in die Länge gezogen wird.

Die Kugelfläche r=(3/2)r_S markiert den (instabilen) Photon - Orbit, aber schon bei r=3r_S gibt es einen stabilen Orbit (wobei ich mir noch nicht hergeleitet habe, warum es für (3/2)r_S < r < 3r_S keinen gibt), und weiter draußen verhindert der Bahndrehimpuls eines Himmelskörpers einen Absturz, wie bei anderen Himmelskörperb auch.

Wenn Sterne Sagittarius A* richtig nahe kommen, liegt das an anderen Sternen, die ihnen beim Vorbeiflug Drehimpuls entziehen; Eine Annäherung durch Energie- und Drehimpulsverlust durch Gravitationswellen kommt zwar auch in Frage, spielt aber erst bei großer Nähe eine Rolle.

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Hallo xDarklight,

bei einer nicht kreisförmigen Bahn ist das Wort ,,umkreisen" nicht ganz passend, ich würde eher ,,umrunden" sagen, Insofern, als dass eine Ellipse generell mehr oder weniger rund ist.

Deine Voraussetzung ist aber falsch, nur an speziellen Punkten der Bahn, dem Aphel und dem Perihel ist die Geschwindigkeit rein tangential. Ansonsten gibt es einen - nicht sehr großen - radialen Anteil, der am größten ist, wenn Merkur die mittlere Entfernung hat - diejenige, die er bei gleichem Bahndrehimpuls bei einer Kreisbahn hätte.

Der ist eine Erhaltungsgröße und erzeugt sozusagen, rein radial betrachtet, ein abstoßendes Potential, das zusammen mit dem Gravitationspotential ein Effektivpotential, das eine Art Mulde oder unter Berücksichtigung der Ebene Rille bildet. Bei einer Kreisbahn würde ein Himmelskörper genau in der Mulde liegen, bei einer Parabelbahn wäre seine Gesamtenergie 0 (das Niveau des umgebenen Weltraums) und bei einer Hyperbelbahn noch größer. So eine Bahn hatte z B. Omuamua (allerdings mit einem anderen Bahndrehimpuls).

Bei einem Planeten wie Merkur liegt die Energie über der Mindestenergie, aber deutlich unter 0.

Auch hier findet sich einiges Erhellende zu dem Thema.

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Hallo sabba16,

bei der Bewegung eines Himmelskörpers (z.B. eines Planeten) b (von engl.: body) der Masse m um einen anderen (z.B. einen Zentralstern) B der Masse M>>m kann man Gravitations- und Zentripetalkraft deshalb gleichsetzen, weil sie in diesem Fall identisch sind.

An sich ziehen sich beide Körper gegenseitig an, was darin resultiert, dass beide Körper den gemeinsamen Schwerpunkt umrunden. Der liegt bei m<<M praktisch komplett beim bzw. in B. Damit bildet B das Zentrum, zu dem die Gravitation b hinstreben lässt (lat.: petere, anstreben).

Warnung vor Missverständnis I

Das Gravitationsfeld von b ist um den Faktor m/M schwächer als das von B. Man könnte also meinen, B ziehe und b werde gezogen, und deshalb bewege sich B praktisch gar nicht. Nichts falscher als das.

Generell (im juristischen Sinne, d.h. ausnahmslos) gilt NEWTONs Wechselwirkungsprinzip, in diesem Falle

(1) F›_{b←B} = –F›_{B←b}.

Wären beide Massen so klein, dass man die Gravitation vernachlässigen könnte und hätten dafür beide Körper entgegengesetzte elektrische Ladungen q und Q, könnte z.B. q=–Q oder gar |q|>|Q| sein, sodass das elektrische Feld von b stärker wäre als das von B; dennoch wäre es b, der sich bewegt, weil B mit der viel größeren Masse M auch eine viel größere Trägheit hat.

Warnung vor Missverständnis II

Ein Körper, auf den keine Kraft wirkt, bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit u› (Vektorgröße!). Dass z.B. ein Auto trotzdem ständig angetrieben werden muss, liegt an der Reibungskraft F›_{r}, die u› entgegen wirkt und den Wagen ohne die Antriebskraft

(2) F›_{a} = –F›_{r}

als Gegenkraft zur Reibung abbremsen würde. Dieses Kraft-Gegenkraft-Paar wirkt auf ein und denselben Körper und darf nicht mit (1) verwechselt werden.

Die Zentrifugalkraft als Trägheitskraft

In einem Inertialsystem (Koordinatensystem, das keiner Beschleunigung unterliegt) betrachtet hat die Zentripetalkraft keine Gegenkraft im Sinne von (2).

Sie ändert ständig die Richtung der Geschwindigkeit v›=ω›×r› von b relativ zu B und ggf. auch ihren Betrag (wenn die Bahn keine Kreisbahn ist). Ohne sie würde sich b tangential von B entfernen.

Die Idee der Zentrifugalkraft kommt ins Spiel, wenn man ein mitrotierendes Koordinatensystem verwendet, also gleichsam so tut, als bewege sich b relativ zu B entweder gar nicht oder nur etwas hin und her, zwischen Apozentrum und Perizentrum.

In dem Fall ,,braucht" die Zentripetalkraft eine Gegenkraft im Sinne von (2), und die nennt man dann Zentrifugalkraft. Bei Entfernung oder Annäherung an das Zentrum tritt noch zusätzlich die CORIOLIS - Kraft auf. Solche ,,Kräfte" - meist werden sie als Scheinkräfte bezeichnet - heißen Trägheitskräfte.

Dennoch hat die Zentrifugalkraft sogar eine Art Potential, die zusammen mit dem Gravitationspotential das sog. Effektivpotential bildet, wiederum eine Art ,,Mulde" bildet, in der b ,,liegt".

Ausblick

Die Gravitationskraft ist als einzige proportional zur Masse. Dies hat sie mit den Trägheitskräften gemein. Dies führte EINSTEIN zur Idee des Äquivalenzprinzips, das besagt, dass Du in einem Labor nicht unterscheiden kannst, ob das Labor

  • konstant beschleunigt wird oder in einem Gravitationsfeld steht, bzw.
  • frei fällt / orbitiert oder im freien Weltraum umher dümpelt.

Das brachte ihn auf die Idee, die Gravitationskraft im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) als Trägheitskraft in einer gekrümmten Raumzeit zu beschreiben.

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Andere Meinung (Antwort)

Hallo QM1234,

ich würde nicht von Toleranz als Wert sprechen, das ist nämlich eigentlich eine Herrschertugend, ähnlich wie Milde.

Worum es wirklich geht, ist Freiheit. Und die kann ihrem Wesen nach nie vollkommen sein, denn weil wir nicht allein sind, sondern miteinander leben müssen, schlägt Freiheit leicht in Macht um, was Unfreiheit eines oder mehrerer Anderer bedeutet.

Deshalb bin ich auch gegen falsch verstandenen Liberalismus: Totale Freiheit gab es z.B. im Stalinismus - für Stalin. Das kann es ja nicht wirklich sein, was man im Namen der Freiheit anstrebt.

Wir sollten als liberale Gesellschaft nicht nur jedem die Zusage geben, dass er Menschenrechte genießt, sondern diese mit Menschenpflichten verbunden sind. Du hast ein Recht auf Leben - morde nicht! Du hast ein Recht auf sexuelle Selbstbestimmung - vergewaltige nicht!

Womit wir beim Thema Sexualität sind. Eine Sexualmoral, die ethisch sein will, hat in erster Linie sexueller Gewalt eine Absage zu erteilen und nicht etwa ,,nichttraditionellen" Formen sexueller Zuwendung.

Ethik ist die Frage, warum man etwas gut heißen sollte, da spielen Traditionen eine untergeordnete Rolle. Das gilt auch für persönliche Beziehungen wie Sexualität. Es ist ein viel zu intimes Thema, um hier Traditionen herein regieren zu lassen.

Die Goldene Regel ist ein gutes ethisches Kriterium für das, was richtig und was falsch ist, jenseits persönlichen Geschmacks. Wenn sich diese - und eine 'leben- und lebenlassen' allgemeiner durchsetzen und Ideologien eine nur mehr untergeordnete Rolle spielen, endet die Vorgeschichte der Menschheit.

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Hallo TheSaarland1,

der sogenannte Sputnik-Schock veranlasste die USA zu einem umfangreichen Raumfahrtprogramm, das nach Vorgabe Kennedys noch vor Ende des Jahrzehnts (man kann sich streiten, ob man dafür noch bis Ende 1970 Zeit gehabt hätte) einen Amerikaner auf den Mond und sicher wieder zur Erde zu bringen.

Um diese Vorgabe zu erfüllen, hätte eine Landung gereicht, es gab aber 6 weitere Versuche, von denen 5 erfolgreich waren und eine (Apollo 13) zu einer Rettungsmission wurde. Die alle zu fälschen, wäre ein unnötiges Risiko gewesen, denn mit jedem Fake wäre die Gefahr, vom großen Gegner als Betrüger entlarvt zu werden, größer geworden. Und der, die UdSSR, hätte sich das nicht entgehen lassen.

Von der unzähligen Argumenten für ein Fake hält keines einer näheren Betrachtung stand. Gerade ihre Vielzahl, die die These beweisen soll, lässt den Verdacht auf eine Zuscheißstrategie aufkommen, nach dem Motto ,,wenn 153 Argumente in sich zusammen fallen, gibt es immer noch en 154.; sie können nicht alle widerlegen".

Als Beispiele seien die mit den fehlenden Sternen und den Schatten erwähnt. Jeder weiß, dass Kameras nicht gleichzeitig hell Angestrahltes und sehr schwache Lichter aufnehmen können.

Ebenfalls weiß jeder, Schatten auf einer unebenen Oberfläche wie des Mondes nicht eben als parallel zu erwarten sind.

Übrigens gibt es eine Hinterlassenschaft einer der Apollo-Missionen gibt: Einen Reflektor, der einen starken Laserstrahl reflektiert und an dessen Laufzeit man die Entfernung des Mondes von der Erdoberfläche ziemlich genau messen kann - genau genug, um festzustellen, dass er sich um 3 bis 4 cm pro Jahr entfernt.

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Hallo Dexy97,

der Ausdruck ,,verstrahlt" ist unphysikalisch und auf Atome schon mal gar nicht anwendbar. Atome absorbieren Strahlungsenergie und geben sie wieder ab. Sie bestehen aus einem sehr kleinen Kern, der fast seine ganze Masse enthält und einer Hülle, die fast sein ganzes Volumen ausmacht. Letztere besteht aus den negativ geladenen Elektronen und ist für die chemischen Reaktionen, aber auch Lichtabsorption oder umgekehrt Leuchten zuständig.

Der Kern besteht aus positiv geladenen Protonen - sie machen aus, zu welchem Element ein Atom gehört und bestimmen die Zahl der Elektronen in der Hülle - und den etwas schwereren Neutronen quasi als Kitt, bis auf normalen Wasserstoff ¹H mit nur einem Proton. Der Obergegriff für beide ist Nukleon (,,Kernteilchen") oder Baryon (,,schweres Teilchen").

Die Anzahl der Protonen und der Neutronen bestimmt, zu welchem Nuklid (,,Atomkern-Sorte") ein Atomkern gehört. Verschiedene Nuklide, die zum selben Element gehören, werden Isotope (gr.: ,,selber Ort") genannt, weil sie im Periodensystem der Elemente an derselben Stelle stehen.

Radioaktivität und Kernreaktionen

Die meisten Nuklide sind instabil, sie neigen dazu, sich in andere umzuwandeln und Materieteilchen aus sich herauszukatapultieren. Oft wird dabei auch noch überschüssige Energie als eine Form von Licht frei, die γ-Strahlung genannt wird. Ihre Photonen sind hunderttausende Male energiereicher als die, aus denen sichtbares Licht besteht. Sie hilft bei der Identifizierung von Radionukliden.

Da kleinere Nuklide entstehen, wird die Umwandlung als Zerfall bezeichnet.

Das Phänomen heißt Radioaktivität und wurde erstmals durch die CURIEs umfassend beschrieben (Marie C. als eine der damals wenigen Frauen in der Naturwissenschaft hat als erster Mensch 2 Nobelpreise dafür erhalten).

Ist das Tochternuklid nicht stabil, geht der Zerfall weiter, bis ein stabiles Nuklid herauskommt. Dann sprechen wir von einer Zerfallsreihe.

Wenn von radioaktiv belastetem Material die Rede ist, etwa Wasser, ist meist nicht dieses selbst radioaktiv, sondern es enthält radioaktive Mineralien.

Materialien lassen sich radioaktiv machen, zum Beispiel durch Neutronen, die von Atomkernen aufgenommen werden, es ist aber grundsätzlich gerade dadurch auch möglich, bereits radioaktive Stoffe zu entschärfen, indem man sie so aktiv macht, dass ihre Halbwertszeit entsprechend kurz ist.

Verschiedene Arten der Kernumwandlung

Ein freies Neutron ist bereits instabil, es wandelt sich mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino um. Wichtig ist dabei das Elektron, es verlässt den Ort seiner Entstehung mit hoher Energie und heißt dann β⁻-Teilchen. Dies ist bereits ein Beispiel für Radioaktivität. Auch Atomkerne mit ,,zu vielen" Neutronen β⁻-zerfallen, etwa ¹⁴C→¹⁴N (Kohlenstoff zu Stickstoff).

Atomkerne mit ,,zu wenigen" Neutronen machen stattdessen den β⁺-Zerfall, bei dem Positronen entstehen, die nach kurzer Wegstrecke auf Elektronen treffen und Paarvernichtung machen. Dabei werden zwei Photonen erzeugt, deren Energie jeweils mindestens der Ruheenergie des Elektrons (ca. 511keV) entspricht bzw. sie übersteigt (zum Vergleich: für Photonen sichtbaren Lichts sind 2eV typisch, also weniger als ein Zweihunderttausendstel davon). Wegen ihres Ursprungs wird sie Vernichtungsstrahlung genannt.

Sehr große Atomkerne neigen zum α-Zerfall, bei dem gleich ein ganzer Atomkern frei wird, nämlich ein ⁴He-Atomkern. In Materie kommt der nur millimeterweit, reißt dann aber zwei Elektronen an sich und wird zum ⁴He-Atom.

Was macht die Teilchen/Strahlung potentiell gefährlich?

Sowohl die genannten Materieteilchen als auch die hochenergetischen Photonen fallen unter die Kategorie 'Ionisierende Strahlung', d.h., sie können Elektronen aus Atomen und Molekülen herausschlagen und Moleküle dabei zerstören. Bei Lebewesen kann das zum massiven Verlust von Körperzellen (Strahlenkrankheit) oder Genmutationen (Krebs, Missbildungen beim Nachwuchs).

Die Gefährlichkeit der meist nebenbei entstehenden γ-Strahlung ergibt sich daraus, dass sie eine große Reichweite und Durchdringung hat. β-Strahler sind nur bei direktem Kontakt oder Inkorporation gefährlich, α-Strahler nur bei Inkorporation, dann allerdings in besonders hohem Maße, und zwar am meisten da, wo sie zum Stillstand kommen.

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Hallo erenmirac55,

die Lichtgeschwindigkeit c (im materiefreien Raum) ist eine Konstante, weil sie sich direkt aus Naturgesetzen herleiten lässt, nämlich MAXWELLs Gleichungen der Elektrodynamik. Manche sagen auch, ,,nein, c ist fundamentaler und die MAXWELL-Gleichungen richten sich danach", aber das ist eigentlich Jacke wie Hose. In jedem Fall spielt c in der Geometrie der Raumzeit eine wichtige Rolle.

Damit ist die Ausbreitung elektromagnetischer Strahlung mit c nicht nur konstant, sondern ein Naturgesetz, eine fundamentale Beziehung zwischen physikalischen Größen.

Als solche unterliegt sie GALILEIs Relativitätsprinzip (RP), das aussagt, dass Naturgesetze unabhängig davon sind, welche von zwei relativ zueinander bewegten Uhren U und U' man als die ruhende interpretiert.*)

Das heißt, ein relativ zu U ruhender und ein relativ zu U' ruhender Beobachter würden bei einer Messung der Geschwindigkeit desselben Lichtsignals denselben Betrag c herausbekommen. Nur die Richtung und die Frequenzen (durch den DOPPLER - Effekt) werden sich unterscheiden.

Das ist keine Eigenschaft speziell des Lichts, sondern von c selbst. Und es verwirrt die meisten Leute, da wir aus dem Alltag gewohnt sind, Geschwindigkeiten einfach addieren zu können. Dies gilt aber eben nur näherungsweise.

Solange diese Näherung greift, kann man die GALILEI - Transformation, also eine Scherung in der Raumzeit, verwenden, um zwischen den Transformationen ,,U als ruhende Uhr" und ,,U' als ruhende Uhr" umzurechnen.

Im Allgemeinen ist jedoch die LORENTZ - Transformation angesagt, die so eine Art Drehung darstellt. Zu einer räumlichen Drehung gibt es allerdings Unterschiede:

Eine räumliche Drehung lässt die Distanz

(1) Δs = √{Δx² + Δy² + Δz²}

zwischen zwei Punkten invariant, die LORENTZ-Transformation den sog. MINKOWSKI-Abstand zwischen zwei Ereignissen, von dem es eine zeitartige Version

(2.1) Δτ = √{Δt² – Δs²/c²} ≡ √{Δt'² – Δs'²/c²},

die Eigenzeit, und eine raumartige Version

(2.2) Δς = √{Δs² – Δt²·c²} ≡ √{Δs'² – Δt'²·c²}

gibt, die man als Gleichzeitigkeitsabstand bezeichnen könnte. Ereignispaare mit Δs=cΔt bilden die Grenze zwischen diesen Domänen und heißen lichtartig getrennt.

--------

*) Ist z.B. U eine Bahnhofsuhr und U' die Borduhr eines immer geradeaus fahrenden Zuges, können wir den Erdboden als ruhend, aber mit demselben Recht auch als riesiges Laufband interpretieren, auf dem der Zug in entgegengesetzter Richtung und insgesamt auf der Stelle rollt.

Das ist überhaupt der Grund, warum sich das geozentrische Weltbild so lange halten konnte: Man spürt (hinreichend schnelle) Änderungen der Geschwindigkeit nach Betrag oder Richtung, aber Geschwindigkeit selbst nicht.

Bzw. nur relativ. Natürlich spürt man Fahrtwind, wenn man sich durch die Luft bewegt, aber dasselbe spürt man auch, wenn man einfach da steht und sich ,,echten" Wind ins Gesicht wehen lässt.

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Hallo Ally793,

ich rate dazu, Formelzeichen zu verwenden, um eine allgemein verwendbare Lösung zu finden.

a) Überholzeit und -strecke

Wie @Tannabi schon schreibt, können wir ausnutzen, dass Geschwindigkeit relativ ist. Du kannst dir also die Straße als eine mit

(1) –v₂ = –54km/h

bewegtes riesiges Laufband vorstellen; nach dieser Interpretation rollt der langsamere LKW nur dagegen an, also auf der Stelle, der andere bewegt sich mit

(2) v₁' = v₁ – v₂ = 6km/h

schneller als das „Laufband“. Bezeichne ich die Längen der LKW mit L₁ und L₂=L₁=L, legt der schnellere relativ zum langsameren die Strecke

(3) ∆s' = a + L₁ + L₂ + a = 2(a + L) = 60m = 0,06km

relativ zum langsameren LKW wieder ein; teilst Du dies durch v₁', kommt die Zeit in Stunden heraus:

(4) ∆t = ∆s'/v₁' = 0,06km/(6km/h) = (6/600)h = 36s

Um die gesamte Überholstrecke ∆s zu errechnen, muss diese Zeit mit der Geschwindigkeit relativ zur Straße multiplizieren:

(5) ∆s = v₁·∆t = (60km/h)·(1/100)h = 0,6km = 600m.

b) erforderliche Sichtweite

Die Geschwindigkeit des Gegenverkehrs ist

(6) v₃ = –108km/h = –108000m/3600s = –30m/s.

Nun sollen wir das Ganze vom Ende des Überholvorgangs her aufrollen: Nennen wir die Position der Schnauze des LKW₁ am Anfang s=0, ist sie am Ende s=∆s. Unklar ist jetzt noch, welchen Sicherheitsabstand man ansetzen sollte; immerhin ist es Gegenverkehr. Ich entscheide mich für 2a.

Jetzt wird es wieder einfach, denn man muss zeitlich zurückrechnen:

(7) S = ∆s + 2a – v₃·∆t = 640m + 1080m = 1720m.

Mindestens. Wenn man ca. 2km weit gucken kann und da alles frei ist, ist alles paletti.

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Hallo Alexanderxon,

die Relativitätstheorie hat Wurzeln, die tief in die Anfänge der Klassischen Physik zurückreichen. Für die meisten Zeitgenossen „war klar“, dass die Erde im Zentrum des Kosmos ruhe und Bewegung durch Kraft aufrecht erhalten werden müsse. Zudem war man „sicher“, dass „schwere“ Körper schneller fielen als „leichte“.

GALILEI stellte hingegen als Erster das Trägheitsprinzip (TP) auf, das besagt, dass ein Körper, auf den keine Kraft wirkt (oder bei dem die auf ihn wirkenden Kräfte einander aufheben) eine nach Betrag und Richtung konstante Geschwindigkeit hat.

Das TP ist Voraussetzung für sein Relativitätsprinzip (RP), das u.a. erklärt, wie es der Menschheit überhaupt möglich war, die Erde so lange für unbewegt zu halten: Nur Änderungen der Geschwindigkeit machen sich physikalisch bemerkbar, und zwar umso weniger, je langsamer sie erfolgt.

Zudem stellte GALILEI auch fest, dass die Fallbeschleunigung g›, die ein Körper in der Nähe der Erdoberfläche erfährt, an sich unabhängig von dessen Masse ist; nur der Luftwiderstand macht einen Unterschied aus. Die dann von NEWTON erstmals als allgemeine gegenseitige beschriebene Massenanziehung hat somit etwas mit Trägheitskräften gemein. Dies wurde später zur Grundlage für EINSTEINs Äquivalenzprinzip (ÄP): In einem geschlossenen Labor kann man,

  • wenn man Schwerelosigkeit erfährt, nicht physikalisch unterscheiden, ob das Labor im freien Weltraum weitab von schweren Massen umherdümpelt oder sich im freien Fall/Orit befindet, bzw.,
  • wenn man innerhalb des Labors eine Fallbeschleunigung g› spürt, nicht unterscheiden, ob das Labor auf der Oberfläche eines Himmelskörpers steht oder ob das eine Trägheitskraft aufgrund einer Beschleunigung mit –g› ist.

Hierzu aber später. Zunächst möchte ich auf einige wichtigen Begriffe eingehen:

Die Raumzeit

Wenn Du z.B. ein Date hast (ein Ereignis), müsst ihr Ort und Zeit verabreden. Dafür braucht ihr eine gemeinsame Bezugs-Uhr U, sodass t die von U aus ermittelte Zeit und der Ort s›=(x;y;z) die Position relativ zu U ist, in einem räumlichen Koordinatensystem S ausgedrückt, das zusammen mit t das raumzeitliche Koordinatensystem Σ ergibt. Du kannst Dir s› als Pfeil mit der Länge

(0.1) s = √{x² + y² + z²}

vorstellen bzw. allgemeiner einen Verschiebungsvektor Δs› als Pfeil mit der Länge

(0.2) Δs = √{Δx² + Δy² + Δz²}.

Der Ort eines Körpers (bzw. seines Schwerpunktes) als Funktion der Zeit ist seine Weltlinie (WL). So ist etwa die WL einer relativ zu U mit (u;0;0) bewegten Uhr U' gleichsam geneigt gegen die von U, die in diesem Falle die Zeitachse von Σ darstellt. Die WL von U' ist die Zeitachse eines Koordinatensystems Σ'.

So ist Gleichortigkeit zeitlich getrennter Ereignisse von U' aus anders zu beurteilen als von U aus.

Ich habe Σ und Σ' gleich ausgerichtet definiert, also so, dass die t'-x'-Ebene mit der t-x-Ebene übereinstimmen. Daher ist es vernünftig, anzunehmen, dass eine Koordinatendifferenz Δx' eine lineare Funktion von Δx und Δt und Δx eine lineare Funktion von Δx' und Δt' ist, also

(1.1) Δx' = γ·(Δx – u·Δt)
(1.2) Δx = γ·(Δx' + u·Δt')

Die Frage, was γ ist, hängt eng mit der Frage nach dem Verhältnis zwischen Δt und Δt' zusammen. Mit γ≡1 geht Δt'≡Δt einher, und dann sind (1.1-2) die GALILEI-Transformationen - geometrisch eine Scherung.

Die Lichtgeschwindigkeit als Invariante

Laut RP kann Σ' ebensogut zum Bezugssystem gekürt werden wie Σ, weil zwar etliche physikalische Größen in Σ' andere Werte haben als in Σ, aber die grundlegenden Beziehungen zwischen ihnen, die Naturgesetze, dieselben sind.

Zu diesen gehören aber auch die Gesetze der Elektrodynamik, die MAXWELL-Gleichungen und damit auch die schon direkt aus ihnen folgende elektromagnetische Wellengleichung - und damit die Lichtgeschwindigkeit c, die eigentlich ein Tempo ist, der Betrag einer Geschwindigkeit.

Diese unterliegt daher ebenfalls dem RP, d.h., was sich relativ zu U mit c bewegt, bewegt sich also auch relativ zu U' mit c und umgekehrt.

So entpuppt sich γ=1 als Näherung für

(2) γ = 1/√{1 – u²/c²}

und Δt'=Δt als Näherung für

(3.1) Δt' = γ·(Δt – u·Δx/c²)
(3.2) Δt = γ·(Δt' + u·Δx'/c²).

Zusammen mit (1.1-2) unter der Definition (2) für γ sind dies die LORENTZ-Transformationen (hin und zurück).

Die kann man als hyperbolische Drehung bezeichnen könnte, da sie den MINKOWSKI-Abstand

(4.1) Δτ = √{Δt² – Δs²/c²} für Δs ≤ cΔt
(4.2) Δς = √{Δs² – Δt²·c²} für Δs ≥ cΔt

unverändert lassen, d.h., mit Δt' und Δs' anstelle von Δt und Δs kommt dasselbe Δτ bzw. Δς heraus.

Die „Weltwurst“

Man kann als Bild für einen Körper während eines Zeitabschnitts eine Salami nehmen, wobei eine dünne Scheibe für den Körper zu einer bestimmten Zeit darstellt. Je nachdem, ob dies im Ruhesystem des Körpers oder in einem Koordinatensystem, in dem er sich bewegt, definiert ist, ist das ein Quer- oder ein Schrägschnitt. Somit ist die sogenannte „Längenkontraktion“ eines Körpers in Bewegungsrichtung eigentlich gar keine Kontraktion, sondern bloß ein Schrägschnitt durch die Weltwurst.

Zeit ist nicht einfach eine vierte Raumdimension

Das Minuszeichen in (4.1-2) teilt die Abstände zwischen Ereignissen in zeitartige und raumartige Abstände ein. Zeit ist nicht Raum. Einen Grenzfall bilden die sogenannten lichtartig getrennten Ereignisse wie etwa die Absendung und der Empfang ein und desselben Funksignals.

Beschleunigung

Die WL von Körpern, die eine Beschleunigung, also Geschwindigkeitsänderung erfahren, sind krummlinig. Nun kann aber das, was die Beschleunigung verursacht, die Gravitation sein, und dann merkt man das innerhalb eines beschleunigten Labors (z.B. ISS) nicht einmal, ein an diesem Labor orientiertes Koordinatensystem ist zumindest lokal ein Inertialsystem.

Dem trägt die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) Rechnung, indem sie die Raumzeit als gekrümmte Mannigfaltigkeit (Verallgemeinerung einer Fläche) beschreibt, in der es keine echten Geraden, sondern nur geradestmögliche Linien gibt, sogenannte Geodätische.

Die WL eines Labors, in dessen Inneren Schwerelosigkeit herrscht und keine Trägheitskräfte auftreten, ist eine solche Geodätische.

Krümmung der Raumzeit

Krümmung in diesem Sinne hat nichts mit einer Einbettung der Raumzeit in etwas Höherdimensionales zu tun. Schon GAUß konnte zeigen, dass sich die innere Krümmung einer Fläche unabhängig von ihrer Einbettung in den 3D-Raum beschreiben lässt; eine Zylindermantelfläche beispielsweise ist im GAUßschen Sinne überraschenderweise flach.

,,Flach" bedeutet EUKLIDisch: Das Verhältnis zwischen Umfang U und Radius R eines Kreises ist U=2πR, die Winkelsumme im Dreieck ist π bzw. 180° und es gilt der Satz des PYTHAGORAS. Außerdem sind Geodätische, die an einer Stelle parallel verlaufen, überall parallel.

Ein einfaches Beispiel für eine gekrümmte Fläche ist eine Kugeloberfläche; geodätische Linien dort sind Großkreise, und die schneiden sich immer. Zugleich gibt es immer eine Stelle, wo sie parallel verlaufen. Meridiane zum Beispiel sind am Äquator parallel und schneiden sich in den Polen.

Auch wenn man sich ab einer Stelle eines höheren Breitenkreises (Kleinkreis) plötzlich nur noch „geradeaus“ bewegt, also entlang eines Großkreises, wird man diesen Breitenkreis sofort verlassen und auf einen Breitenkreis geringerer Breite zusteuern und ihn schneiden; letztlich würde man auch den Äquator kreuzen.

Ähnliches passiert, wenn Du etwa ein Sprungbrett verlässt. Für einen Moment bist Du relativ zur Erde in Ruhe (von der Rotation mit der Erdoberfläche abgesehen), aber im weiteren Verlauf biegt sich Deine WL immer stärker in Richtung der des Erdschwerpunktes, hört dabei aber nicht auf, geodätisch zu sein. Da die Wasseroberfläche, deren WL keine Geodätische ist, eine Gegenkraft ausübt, fällst Du nicht bis zum Erdschwerpunkt.

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Hallo Kunfilum,

im Prinzip besteht Deine Frage aus zweien.

Auf Deine Titelfrage...

...gibt es mehr als eine Antwort, welche die richtige ist, hängt vom Aggregatzustand des Materials ab, dessen Atome das sind.

In einem Gas gibt es viel Raum dazwischen, der natürlich nicht komplett leer ist, sondern von Strahlung, Feldern etc. erfüllt. In einem Plasma sind auch noch Elektronen dabei. Zudem hören Atome auch nicht irgendwo abrupt auf.

In einer Flüssigkeit oder einem Festkörper ist zwischen den Atomen hingehen kaum Platz, speziell in Gitterstrukturen. Bewegung von Atomen findet dort hauptsächlich in Form von Gitterschwingungen statt, deren Energie ähnlich wie bei elektromagnetischen Wellen in Portionen vorliegt, den sogenannten Phononen (Schallquanten).

Die Frage im Text...

...wird wohl unterschiedlich beantwortet werden; einig wird man sich darüber sein, dass es dort elektromagnetische Felder gibt - sie binden die Elektronen an den Atomkern.

Aus der Quantenphysik weiß man, dass ein Elementarteilchen durch die sog. Wellenfunktion ψ beschrieben wird.

Manche halten ψ für eine Art bloßer Rechnenhilfe und das ,,eigentliche" Elektron für einen geladenen Punkt, und |ψ|² gebe die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür an, wo es sei.

Das Gros der Anhänger der sog. Kopenhagener Deutung würde eher von |ψ|² als der Wahrscheinlichkeitsdichte sprechen, das Elektron an einer bestimmten Stelle zu lokalisieren. Das ist nicht das Gleiche, denn es macht keine unüberprüfbare Aussagen darüber, wo das Teilchen ,,wirklich gewesen sei".

Es kann ebensogut tatsächlich überall gewesen sein, weil es gar kein Pünktchen, sondern eine elementare Anregung eines Feldes ist, das sich tatsächlich wie eine Welle verhält; da es jedoch elementar ist, kann es nur als Ganzes registriert werden.

Trifft es also auf ein Detektor - Array mit etlichen Einzeldetektoren von je100% Efficiency, wird genau einer davon ansprechen; welcher das sein würde, war vorher nicht nur unbekannt, sondern auch unbestimmt, allerdings mit durch |ψ|² ungleich verteilten Chancen.

Das halte ich für wesentlich plausibler als die ,,Pünktchen"-Vorstellung. Reine mathematische Hilfsmittel steuern nicht reales Verhalten.

So gesehen bildet jedes Elektron Ende stehende Welle im Atom und ist dort quasi überall mit Ausnahme der Knotenflächen.

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Hallo heeeyhow,

elektromagnetische Wellen kollidieren nicht, sie überlagern sich ungestört, wie es andere Wellen oft auch tun. Eine Ausnahme sibd extrem hochfrequente (s.u.).

Nun bestehen solche Wellen aus Energieportionen, die man Photonen nennt und deren Energie proportional zur Frequenz der Wellen ist, zu der sie gehören. Photonen sind Bosonen, was bedeutet, dass sie am selben Ort im selben Zustand sein können. Deshalb können sie einander auch einfach so durchdringen, und sie können absorbiert und emittiert werden.

Zudem sind sie ungeladen und masselos, d.h., sie haben keine Ruheenergie und sind eigentlich reine Bewegung ohne ein Etwas, das sich bewegt. Deshalb können sie sich mit dem absoluten Tempo bewegen, der Lichtgeschwindigkeit c.

Im Gegensatz dazu sind z.B. Elektronen Fermionen, die nicht am selben Ort im selben Zustand sein können; sie haben zudem Masse und elektrische Ladung. Nicht zuletzt deshalb wechselwirken sie intensiv miteinander und anderen Materieteilchen und können miteinander kollidieren.

Außerdem gibt es so etwas wie eine erhaltene Teilchenzahl. Sie können nur durch Paarerzeugung zusammen mit ihren Antiteilchen, den Positronen, neu entstehen und durch Paarvernichtung verschwinden.

A propos Paarerzeugung: Photonen sehr großer Energie (harte γ-Strahlung) können ggf. mit elektromagnetischen Feldern und Teilen- Antiteilchen- Paare erzeugen, die dann in Paarvernichtungsprozesse verwickelt werden. Hier könnte man in der Tat von ,,Photonen-Kollisionen" reden.

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Hallo Hannah151,

natürlich ist das stabiler, denn die Baumwoll-Fasern stabilisieren das Eis wie Beton den Stahl oder eine Folie das Glas einer Windschutzscheibe. Es ist ein Verbundstoff.

Es gibt allerdings noch etwas, das noch viel näher an Deinen Verbundstoff ist: Pykrete.

Geoffrey Pyke hatte vorgeschlagen, britische Kriegsschiffe zumindest für die kalten Gewässer zu bauen, die dann auch nahezu unsinkbar gewesen wären.

Auch die Mythbusters haben Pykrete hergestellt und später noch abgewandelt. Aus einem Verbundstoff aus Eis mit Zeitungspapier bauten sie ein Boot, das auch fuhr - irgendwann schmolz es dann allerdings doch.

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Hallo gnGNU,

natürlich waren sie - auch - böse, sie waren ja Menschen, und zwar solche, deren Beruf die Gewalt war.

Die Frage ist, ob sie böser waren als all die anderen Räuber, Vergewaltiger und Mörder ihrer jeweiligen Zeit, die im Namen eines Königs und oft auch im Namen Gottes (sei es nun Christentum oder Islam) handelten, und da wird das Bild sehr schnell komplexer.

Die Wikinger sind für ihre Raubzüge und den Sklavenhandel berüchtigt, aber auch für die Entdeckungsreisen berühmt, die sie vorübergehend bis nach Nordamerika und dauerhaft bis nach Island gebracht haben.

Die Bukaniere (,,Fleischräucherer", wie viele der Piraten des 17. Jahrhunderts nach ihren Kochgewohnheiten genannt wurden) der Karibik etwa hatten so etwas wie eine Vorstufe zu den Sozialsystemen, die wir heute als selbstverständlich betrachten, die jedoch im ach so christlichen Europa der damaligen Zeit unbekannt war.

Die Staaten wurden von absoluten Herrschern regiert, die sich um das Wohl ihrer Untertanen oft wenig bis gar nicht kümmerten (was denn auch später die Französische Revolution ausgelöst hat), kannten grausame Strafen und führten ebenso grausame Kriege gegeneinander, von denen etliche zum Dreißigjährigen Krieg zusammengefasst werden. Oft betrieben sie auch Sklavenhandel.

Viele der Piraten des 17. Jahrhunderts waren entnommene Sklaven, die hier erstmals Wertschätzung als vollwertige Mitglieder einer Gemeinschaft genossen. Auch Frauen hatten hier oft wesentlich mehr zu sagen als in den etablierten Gesellschaften Europas oder des Orients.

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Hallo KnorkeBen,

wirfst Du B' genau vertikal hoch (und er wird dabei nicht vom Winde verweht oder dergleichen), hat nicht seine räumliche Bahn Parabelform, sondern seine Weltlinie (zumindest annähernd; bei länger andauernder Beschleunigung entpuppt sie sich als Hyperbel).

In der geometrischen Darstellung der Raumzeit tritt Geschwindigkeit eines Körpers B' relativ zu einem Bezugskörper B als Neigung der Weltlinie von B' gegen die von B in Erscheinung, und wenn man den Körper in dieselbe Richtung, aber mit größerer Geschwindigkeit losschickt, nimmt er durch die Raumzeit einen anderen Weg: Die Parabel wird steiler und höher und damit auch breiter.

Während übrigens ein kurzes Linienstück in einer räumlichen Ebene, (dx;dy), das Längenquartat

(1) ds² = dx² + dy²

hat, ist in der Raumzeit daa Längenquadrat entlang einer Weltlinie

(2) dτ² = dt² – ds²/c².

Deshalb handelt essich bei dieser Weltlinie nicht um den kürzesten, sondern den längsten Weg zwischen zwei begrenzenden Ereignissen.

Die Weltlinie von B' ist - zwischen Wurf und Landung - eine Geodätische, was auf die von B übrigens nicht zutrifft, ähnlich einem Breitenkreis. Die Weltlinie von B' ähnelt einem Großkreis.

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Hallo Zimmersuchend,

so etwas wie eine Vorstufe der geschlechtlichen Fortpflanzung kann man in der Konjugation von Bakterien sehen. Die tauschen dabei Gene aus, was uns heute stark zu schaffen macht (Stichwort Antibiotika-Resistenz). Bakterien gibt es wohl seit ca. 3,5 Milliarden = 3500 Millionen Jahren.

Von richtiger geschlechtlichen Fortpflanzung kann man allerdings erst bei mehrzelligen Eukaryonten (deren Zellen bestimmte Features wie einen richtigen Zellkern, Mitochondrien und andere Organellen besitzen, wie Tiere und Pflanzen) sprechen, wenn sich einige ihrer Zellen komplett auf die Fortpflanzung spezialisiert haben und sich zwei sehr unterschiedliche Typen von Keimzellen herausgebildet haben, einerseits relativ große, andererseits kleine bewegliche, die in großer Zahl auftreten.

Carl SAGAN schätzte, dass es die eigentliche geschlechtliche Fortpflanzung seit etwa 2 Milliarden = 2000 Millionen Jahren gibt.

Viele Lebewesen nutzen diese Methode, viele davon aber als äußere Befruchtung. Richtigen Sex mit innerer Befruchtung gibt es wohl seit 350 Millionen Jahren, dem frühen Karbon, spätestens aber müssen Tiere wie Hylonomus sich so fortgepflanzt haben, das als eines der ersten Reptilien gilt.

Das gilt auch für alle Tiere, die von ihnen abstammen, wie echte Reptilien (und mit ihnen auch Dinosaurier, von denen nur die Vögel das Ende der Kreidezeit vor 65 Millionen Jahren überlebt haben) und Synapsiden (und damit Säuger, die als einzige das Ende der Trias vor knapp 200 Millionen Jahren überlebt haben).

Einige Reptilien pflanzen sich wieder ungeschlechtlich fort; bei ihnen gibt es nur Weibchen. Allerdings hat sich dies aus der geschlechtlichen Fortpflanzung entwickelt, und die Eizellen brauchen zur Reifung eine Pseudo-Paarung als Trigger.

Alle Vögel und Säuger nutzen Sex als Fortpflanzungsmethode; bei einigen von ihnen ist er allerdings darüber hinaus zu einem wichtigen Bestandteil des Sozialverhaltens geworden. Ein besonders eindrucksvolles Beispiel sind die Bonobos, die zu unseren nächsten heute noch lebenden Verwandten zählen.

Noch nähere Verwandte bzw. ausschließliche Vorfahren des Menschen (die also nicht gleichzeitig auch Vorfahren anderer Menschenaffen sind) gibt es seit vielleicht etwa 7, die Gattung Homo seit vielleicht 2,5 und den Homo Sapiens seit vielleicht 0,2 Millionen Jahren.

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Hallo tillfrlch,

sorry, aber ich konnte nicht finden, wie bei dem unter dem Link vorfindlichen Integral



diese Zahl 1,1898…·i herauskommt, denn z.B. Grenzen waren nicht angegeben.

Allerdings ist 1,1898…·i einfach 1,1898…·i. Die Imaginären Zahlen sind einfach die reell-zahligen Vielfachen der imaginären Einheit i.

Die Reellen Zahlen kannst Du als Gerade darstellen, und die Imaginären Zahlen als Gerade im Rechten Winkel zur ersten Gerade. Die Komplexen Zahlen insgesamt lassen sich als Ebene darstellen, die GAUßsche Zahlenebene.

Statt als Positionen auf einer Ebene lassen sich Zahlen als Dreh-Streckungen (bzw. Stauchungen) in einer Ebene darstellen: Die positiven Reellen Zahlen entsprechen reinen Streckungen, wenn sie >1 sind bzw. Stauchungen, wenn sie <1 sind, rein Imaginäre Zahlen stellen Drehungen um 90° mit Streckungen oder Stauchungen dar.

Die von Dir genannte Zahl entspricht demnach einer Drehung um 90° gegenden Uhrzeigersinn (gemäß Konvention) und einer Streckung um den Faktor 1,1898….

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Hallo Schlumpf041904,

die Titelfrage stimmt nicht mit der eigentlichen Frage überein.

Radioaktivität ist natürlich keine Krankheit, sondern die Eigenschaft mancher Nuklide (Arten von Atomkernen), instabil zu sein.

Arten der Radioaktivität

Je nach Art der Instabilität („zu viele“ Neutronen, „zu wenige“ Neutronen, insgesamt „zu viele“ Nukleonen) neigen sie zu gewissen Umwandlungen wie dem β⁻-Zerfall, dem β⁺-Zerfall, dem α-Zerfall oder der spontanen Kernspaltung. Unter α-Teilchen versteht man ⁴He-Kerne, β⁻-Teilchen sind Elektronen, β⁺-Teilchen Positronen. Manchmal werden auch Neutronen frei.

Die Teilchen werden mit hohen Energien aus dem Atomkern herausgeschleudert und wirken ionisierend, auch wenn sie schnell abgestoppt werden.

Oft wird auch überschüssige Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung (γ-Strahlung) frei. Wenn dies als Krankheit bezeichnet wird, ist das im sehr übertragenen Sinne.

Wirkung der Strahlung

Ionisierende Strahlung ist für Lebewesen gefährlich, wenn sie die Zellen des Gewebes erreicht. Dabei hat γ-Strahlung (und Neutronen) als einzige die Möglichkeit, von außen ins Gewebe einzudringen, aber wenn man α- oder β-Strahler aufnimmt, durch Essen, Trinken, Einatmen, kann deren ionisierende Wirkung im Körper entfaltet werden.

Dabei kann das Erbgut der Zellen geschädigt werden; entweder werden die Zellen dabei verändert (→Krebs, Mutationen) oder zerstört, was bei großem Umfang zur Strahlenkrankheit führt. Dies ist eher eine Verletzung als eine Krankheit, wie man ja auch eine Verbrennung, Verätzung oder Ähnliches auch nicht als Krankheit bezeichnet wird.

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Hallo EmiliaH1,

vielleicht ist es hilfreich, sich die Geometrie zur Hilfe zu nehmen, und zwar in einem t-v-Diagramm, das die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit, v(t), darstellt. So stellt sich die Beschleunigung a(t) bzw. a=const. als Steigung bzw. als Gefälle von v(t) dar.

Vorzeichen und Richtung

Sowohl v als auch a sind eigentlich gerichtete Größen. Im Eindimensionalen wie hier (es kommt ja nur die Vertikale, oft z-Richtung genannt, vor) ist damit gemeint, dass v und a beide Vorzeichen haben können und ein negatives Vorzeichen die der „positiven“ Richtung entgegengesetzte Richtung bezeichnet.

Vielleicht hast Du schon mal gehört, dass Abbremsung negative Beschleunigung sei. Dies stimmt nur dann, wenn man die aktuelle Geschwindigkeit als positiv deklariert. In Wahrheit wirkt eine Beschleunigung dann abbremsend, wenn ihr Vorzeichen dem von v entgegengesetzt ist.

Wegstrecke und Position

Die vom Ausgangspunkt aus zurückgelegte Wegstrecke entspricht der Fläche zwischen Funktionsgraph und t-Achse; die erreichte Position relativ zum Ausgangspunkt ist ebenfalls die Fläche zwischen Funktionsgraph und t-Achse, aber die unter dieser liegende Fläche müssen subtrahiert werden.

Dies ist besonders einfach auszurechnen, wenn a=const. ist.

Der senkrechte Wurf

Beim senkrechten Wurf ist a=const, und zwar, wenn wir die positive z-Richtung nach oben definieren, a=–g=–9,81m/s².

Für den senkrechten Wurf setze ich z=0 für die Höhe, die die Hand hat, wenn der hochgeworfene Körper die Hand verlässt, und ich setze auch t=0 für dieses Ereignis. Der Körper startet also mit einer Geschwindigkeit v₀=v(t=0).

Mit v(t) geht es von Anfang an abwärts, im Prinzip auch über v=0 hinaus, denn im Moment, wo der Körper z=h erreicht hat, beginnt er wieder zu fallen, bis er bei z=–2m (zum Beispiel) auf dem Boden aufschlägt.

In unserem Beispiel verfolgen wir die Sache nur bis zum Umkehrpunkt bei z=h, sodass die Geschwindigkeit positiv bleibt. Dadurch wird das zu einem (inversen) Bremsweg-Problem, ähnlich wie bei einem Zug, bei dem man wissen will, wie schnell er bei Beginn der Bremsung sein darf, wenn der Bremsweg ein bestimmtes Maß nicht überschreiten soll.

Wir haben ein Dreieck, dessen Steigung festliegt (nämlich –g) und dessen Grundseite t_w (oder kurz T) oder Fläche z(T)=h gegeben ist; gesucht wird die Höhe v₀.

Falls T gegeben ist, ist die Sache einfach:

(1.1) Höhe (des Dreiecks) = Gefälle × Grundseite

(1.2) v₀ = –a·T = g·T

Falls h gegeben ist, muss man erst einmal umstellen:

(2.1) Fläche = Grundseite × Höhe (des Dreiecks)/2

(2.2) h = T·v₀/2 = T·g·T/2 = ½·g·T² |·g

(2.3) h·g = ½·g²·T² = ½·v₀²

(2.4) 2·h·g = v₀²

(2.5) v₀ = √{2·h·g}

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Hallo PeterFischer99,

die Formel

(1) v(t) = v₀ + a·t

selbst liefert ohne weitere Information erst einmal keine Anhaltspunkte für eine Eliminierung von t, sondern stellt v als Funktion von t dar, deshalb auch 'v(t)'. Sollte ein Wert für v(t) gegeben sein, kann man (1) nach t auflösen:

(2) t = (v(t) – v₀)/a

Übrigens sind sowohl die Geschwindigkeit v als auch die Beschleunigung a gerichtete Größen, was in einer geradlinigen Situation wie in (1) beschrieben bedeutet, das sowohl v als auch a beide Vorzeichen haben können. Ein Minuszeichen heißt einfach entgegengesetzte Richtung.

Die Eliminierung von t wäre z.B. möglich, wenn eine Wegstrecke s(t) oder eine Position x(t) gegeben wäre. In einem t-v-Diagramm erscheint sie als Fläche. Wenn es um die Position geht, müssen Flächen unter der t-Achse abgezogen werden.

Man will z.B. t eliminieren, wenn man wissen will, wie groß a sein muss, um eine bestimmte Strecke zurückzulegen, oder um z.B. auf der Grundlage der Anfangsgeschwindigkeit v₀ mit einer ebenfalls bekannten Bremsbeschleunigung einen Bremsweg auszurechnen oder zu ermitteln, wie groß v₀ bei gegebenem Bremsweg höchstens sein darf.

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Hallo Romanzev33,

ja, es wäre denkbar, dass ein Raumschiff eines Tages relativ zur Erde Überlichtgeschwindigkeit erreicht, was allerdings fatal und sehr düster wäre. Unten gehe ich darauf ein. Über eine Art „Hintertürchen“ und seine Tücken (den Warp Drive) hat sich Ute schon ausführlich geäußert.

Ich möchte hier vor allem darauf eingehen, warum man laut SRT relativ zu einem gegebenen Bezugskörper, etwa einer Uhr U, selbst durch Dauerbeschleunigung niemals c würde erreichen können; es liegt an der Metrik der Raumzeit.

GALILEI und MAXWELL

Ehe ich darauf eingehe, komme ich auf die Grundlage der SRT zu sprechen. Dazu denken wir uns zwei mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegte Uhren U und U'.

  • GALILEIs Relativitätsprinzip (RP) sagt aus, dass die physikalischen Gesetze (=grundlegende Beziehungen zwischen physikalischen Größen) unabhängig davon sind, welche der beiden Uhren man als „ruhend“ ansieht.
  • MAXWELL formulierte die Grundgesetze der Elektrodynamik und leitete daraus die elektromagnetische Wellengleichung her.

Die Wellengleichung muss in beiden Interpretationen gelten, im Ruhesystem von U wie im Ruhesystem U'.

Abstände in der Raumzeit

Die Geschwindigkeit eines Körpers, etwa einer Uhr Ω, relativ zu U ist die räumliche Verschiebung Δs› geteilt durch die von U aus ermittelte Zeitspanne Δt, die der Körper dafür braucht.

Für Geschwindigkeiten relativ zu U' gilt Entsprechendes. Nun kann man sich eine Zeitspanne mit Anfang und Ende als Ereignisse herausgreifen. EINSTEINs früherer Mathematikprofessor MINKOWSKI kam als erster darauf, dass

(1.1) Δτ² = Δt² – Δs²/c² = Δt'² – Δs'²/c²

das Quadrat des absoluten Abstands zwischen diesen Ereignissen ist, was an den Satz des PYTHAGORAS erinnert. Dabei ist Δτ die (geradlinige) Eigenzeit, die Ω anzeigt, falls deren Geschwindigkeit konstant ist. Allgemeiner ist Eigenzeit eine Art Weglänge in der Raumzeit. Das Minuszeichen weist allerdings auch auch auf den Unterschied zwischen Zeit und Raum hin und teilt Paare von Ereignissen in 3 Kategorien ein:

  1. zeitartig getrennte Ereignisse (Δτ²>0)
  2. lichtartig getrennte Ereignisse (Δτ²=0)
  3. raumartig getrennte Ereignisse (Δτ²<0).

Erstere sind potentiell gleichortig, letztere potentiell gleichzeitig bzw. es gibt eine Uhr, in Bezug auf die sie gleichzeitig sind; die raumartige Version des absoluten Abstandes, dessen Quadrat

(1.2) Δς² = Δs² – c²Δt² = Δs'² – c²Δt'²

ist, ist die räumliche Entfernung zwischen beiden Ereignissen relativ zu einer solchen Uhr und könnte „Gleichzeitigkeitsabstand“ genannt werden.

Ein Körper ruht relativ zu sich selbst immer, d.h., zwei Ereignisse auf seiner Weltlinie (Weg durch die Raumzeit) müssen sich als gleichortig und zeitlich nacheinander beschreiben lassen. Schon deshalb kann man sich unmöglich mit c oder schneller bewegen.

Unerreichbarkeit von c

Wenn wir relativ zu U einen Körper beschleunigen, erhöhen wir seinen Impuls. Der kann prinzipiell beliebig groß werden. Dabei wächst aber auch die Energie, denn zur Ruheenergie kommt kinetische Energie hinzu. Energie ist aber gleichsam „Impuls in Zeitrichtung“, d.h., das eigene „Jetzt“ bewegt sich dann, wenn man sich relativ zu U durch den Raum bewegt, auch schneller in Zeitrichtung von U als mit der üblichen 1, und zwar so schnell, dass der Quotient unter 1 bzw. c bleibt.

Man kann die Situation mit einem Stehen auf einer unendlichen Ebene verstehen, wobei die Entfernung für eine Größe namens Rapidität und der Winkel zum Lot, unter dem man die Füße des Anderen sieht, nebst Richtung für die Geschwindigkeit steht, und 90° steht dabei für c. Das ist die Fluchtlinie, die unendlich weit von Betrachter entfernt ist.

Into darkness

Sollte es jemals möglich werden, dauerhaft mit einer bestimmten Eigenbeschleunigung zu beschleunigen, vorzugsweise α=g=9,81m/s², würde man niemals relativ zu einem Körper in seiner Umgebung c erreichen, aber grundsätzlich wäre es innerhalb eines Menschenalters Eigenzeit möglich, sich so weit zu entfernen, dass man hinter den kosmischen Horizont gerät, was dann allerdings eine Rückkehr unmöglich machen würde.

Was dann allerdings auch keinen Unterschied mehr machen würde, denn man würde sich dabei viele Jahrmilliarden in die Zukunft katapultieren, sodass sich eine Rückkehr auch gar nicht lohnen würde, denn die Sonne würde erloschen sein. Wahrscheinlich würde man eine zeitlang die kosmische Hintergrundstrahlung vor sich leuchten sehen, aber auch die kühlt weiter ab. Man würde sich letztlich in einem bis auf das eigene Raumschiff leeren Kosmos wiederfinden.

https://www.youtube.com/watch?v=b_TkFhj9mgk

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Permanenter verkrümmter Raum/Zeit?

Lieber Leser,

dies hier wird eine These und keine Frage sein. Falls sie sich die Zeit nehmen, und diese These durchlesen, wäre ich sehr über einen Kommentar erfreut. Es kann sein, dass ich mich vielleicht falsch oder unbeabsichtigt oder auch einfach unpräzise ausdrücke. Ich bitte in jenem Fall um Verzeihung und Nachsicht.

Meine These ist schlicht: Raum und Zeit sind permanent verkrümmt.

Als Grundlage dieser Theorie nehme ich die Relativitätstheorie. Diese erklärt/besagt/beweist dass ein Raum/Zeit gekrümmt wird.

Ein Beispiel ist der fahrende Zug. In diesem haben wir zwei Beobachter. Der eine befindet sich innerhalb des Zuges, der andere außerhalb. Im Zug wird Licht von dem hinterem Ende des Zuges auf eine Wand gestrahlt und dabei wird die Geschwindigkeit des Lichts gemessen. Beide Beobachter werden die gleiche Geschwindigkeit messen. Wenn der Zug jedoch nach vorne fährt und man erneut Licht strahlen würde, müsste das Licht langsamer sein und länger brauchen, da sich die Strecke erweitert. Wir haben allerdings gelernt, dass Licht genau 299 792 458 m/s, schnell ist; nicht mehr und auch nicht weniger. Beide Beobachter würden 299 792 458 m/s messen. Für sie ist alles normal. Ist das Licht etwa schneller geworden?

Diese Option können wir ausschließen, da Licht genau 299 792 458 m/s braucht. Das heißt, der Raum oder die Zeit müssten sich krümmen. Für einen kurzen Augenblick, hat sich die Strecke also verkürzt oder die Zeit verlangsamt. Und zwar genau solange, dass das Licht 299 792 458 Meter in einer Sekunde schafft.

Nehmen wir jetzt zum Beispiel ein größeres Beispiel, die Erde. Unsere Lichtquelle ist die Sonne. Der Beobachter außerhalb vielleicht ein Astronaut, ein Satellit oder auch niemand. Unser Sonnensystem ist jetzt der Zug, der sich mit 220 km/s bewegt. Das Licht, der Sonne, das auf die Erde trifft, braucht genau 299 792 458 m/s. Die dafür nötige Krümmung ist also schon um ein vielfaches stärker. Demnach ist, da die Sonne permanent (noch) strahlt, (unser) Raum und Zeit ebenfalls permanent gekrümmt.

Ich danke Ihnen für das Lesen meiner These.

Xydru

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Hallo Xydru,

Du bist nicht der Erste, der diesen Gedanken hat, aber er ist falsch. Dass die Lichtgeschwindigkeit relativ zu jeder von zwei relativ zueinander bewegten Uhren U und U' (d.h. wenn wir sie als Bezugsobjekt auswählen, also als unbewegt absehen) denselben Betrag c hat, beruht nicht auf Krümmung, sondern der von EINSTEINs früherem Mathematikprofessor MINKOWSKI gefundenen Metrik der Raumzeit, die sich als

(1.1) Δτ ² = Δt² – Δs²/c² ≡ Δt'² – Δs'²/c²

oder als

(1.2) Δς² = Δs² – c²Δt² ≡ Δs'² – c²Δt'²

schreiben lässt. Dabei ist Δt der zeitliche und

(2.1) Δs² = Δx² + Δy² + Δz²

der räumliche Abstand zweier Ereignisse in Σ, dem Ruhesystem von U, während Δt' der zeitliche und

(2.2) Δs'² = Δx'² + Δy'² + Δz'²

derselben Ereignisse in Σ' ist, dem Ruhesystem von U'. Der Unterschied zwischen der räumlichen und der raumzeitlichen Metrik ist das Minuszeichen in (1.1-2), das Paare von Ereignissen in drei Kategorien einteilt:

  • Zeitartig getrennte Ereignisse (Δs<cΔt) sind potentiell gleichortig, und Δτ ist die Eigenzeit, die Zeitspanne zwischen ihnen in einem Koordinatensystem, in dem sie es sind. Es ist die Länge des Weltlinien-Abschnitts eines Körpers; angesichts der Ausdehnung des Körpers wäre vielleicht ,,Weltwurst"-Abschnitt eher angebracht.
  • Lichtartig getrennte Ereignisse (Δs<cΔt) sind z.B. die Emission und Absorption desselben Funksignals.
  • Raumartig getrennte Ereignisse (Δs>cΔt) sind potentiell gleichzeitig, und Δς ist der räumliche Abstand zwischen ihnen in den Koordinatensystem, in dem sie es sind.

Da der Abstand (1.1-2) in jedem Koordinatensystem gleich ist, gilt das auch für die Kategorie, zu der er gehört.

Die Raumzeit mit der Metrik (1.1-2) ist dennoch ,,flach": Zwei geodätische (möglichst geradlinig verlaufende) Weltlinien, die an einer Stelle parallel verlaufen (von zwei Körpern, die relativ zueinander ruhen), bleiben auch parallel.

Krümmung

In einer (positiv) gekrümmten Raumzeit-Umgebung (gravitative Anziehung) ist das nicht der Fall: Ähnlich wie die Meridiane am Äquator parallel verlaufen, sich an den Polen jedoch schneiden, laufen die Weltlinien z.B. zweier hinreichend massiver Raumschiffe, die anfangs relativ zueinander ruhen, allmählich zusammen. Dabei bleiben sie aber geodätisch, was sich physikalisch durch Schwerelosigkeit an Bord äußert.

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Hallo xXMNMXx,

man kann gar nicht nicht in die Zukunft reisen - wobei „man“ hier für das jeweils eigene „Jetzt“ des mit „man“ bezeichneten Beobachters steht.

Wobei Zeit gar kein separates Phänomen darstellt, es ist eigentlich die Raumzeit, in der die Zeit als Vorwärtsrichtung und der Raum als die 3 Seitwärtsrichtungen beschrieben werden, durch die sich das „Jetzt“ eines Körpers entlang seiner Weltlinie bewegt. Bei einem ausgedehnten Körper neige ich eher dazu, von einem „Weltstrang“ oder einer „Weltwurst“ zu sprechen. Das Bild ist das einer Salami als Sinnbild für einen Körper während einer gewissen Zeitspanne und eine dünne Scheibe als Sinnbild für diesen Körper in einem Moment.

Man könnte auch von einer „Weltstraße“ sprechen. Das Wort spielt auf eine Landschaft als Sinnbild für die Raumzeit an. Straßen, die durch die Landschaft führen, stehen dabei für Körper, ihre Breite für ihre Ausdehnung. Orte und feste Objekte in der Landschaft stehen für Ereignisse.

Der wichtigste Unterschied liegt in der Metrik, also in der Art, wie Abstände zwischen Orten in der Landschaft/Ereignissen definiert sind:

Die Metrik der (flachen) Raumzeit

Das Quadrat der Entfernung zwischen zwei Punkten in der Landschaft ist

(1) Δs² = Δz² + Δx² ≡ Δz°² + Δx°²

(PYTHAGORAS lässt grüßen), wobei Δz und Δz° für den Abstand längs zweier Straßen St und St° und Δx und Δx° für die Abstände quer zu den Straßen stehen.

Für den absoluten Abstand zwischen zwei Ereignissen mit Zeitabstand fand EINSTEINs früherer Mathematikprofessor MINKOWSKI ein Abstandsquadrat her, das in zeitartiger Form als

(2.1) Δτ² = Δt² – Δs²/c² ≡ Δt'² – Δs'²/c² für cΔt>Δs

oder in raumartiger Form als

(2.2) Δς² = Δs² – c²Δt² ≡ Δs'² – c²Δt'² für cΔt<Δs

vorliegen kann. Dabei sind Δt und Δt' die von zwei Uhren U und U' aus ermittelten Zeitabstände und Δs und Δs' die entsprechenden Entfernungen. Der Grenzfall cΔt=Δs heißt aus begreiflichen Gründen lichtartig.

Je schneller sich Dein „Jetzt“ relativ zu einer Uhr - etwa U - räumlich bewegt, desto schneller (nicht langsamer!) bewegt es sich auch entlang der Zeitrichtung von U, nämlich mit γ≥1. Umgekehrt geht Deine Uhr von U aus betrachtet langsamer.

Polarkoordinaten

Der MINKOWSKI-Abstand zwischen zwei sehr eng benachbarten Ereignissen läst sich in einem geeigneten Koordinatensystem als

(3.1) dτ² = dt² – ds²/c² = c²dt² – (dx² + dy² + dz²)c²

schreiben; dies lässt sich in sphärische Polarkoordinaten übertragen:

(3.2) dτ² = dt² – (dr/c)² – (r/c)²(dθ² + sin²(θ)dφ²).

Diese Form ist in der Nähe von Himmelskörpern günstiger. Die Koordinate r steht in für eine Kugelschale der Fläche 4πr² und in einer flachen Raumzeit auch für den Abstand vom sogenannten Ursprung r=0.

Gravitation und die SCHWARZSCHILD-Metrik

Wenn der Ursprung ein Massenzentrum darstellt, verzerrt die Masse M die Raumzeit geometrisch; genau das ist das Gravitationsfeld der Masse. Für den einfachsten Fall (keine Ladung, keine Rotation) fand SCHWARZSCHILD (für einen Massenpunkt bzw. den Außenraum einer Masse) die erste exakte Lösung von EINSTEINs Feldgleichungen,

(4) dτ² = dt²(1 – rS/r) – (dr/c)²/(1 – rS/r) – (r/c)²(dθ² + sin²(θ)dφ²),

wobei

(5) rS = 2GM/c²

der SCHWARZSCHILD-Radius heißt. G ist dabei die Gravitationskonstante. r ist in diesem Falle nicht mehr der Abstand vom Ursprung, da

dr/√{1 – rS/r} > dr

ist. Entscheidender für Deine Frage ist jedoch, dass

dt√{1 – rS/r} < dt

ist. Dies bedeutet nämlich, dass eine auf der r-Kugelschale positionierte Uhr schon ohne jede Bewegung (was nicht sehr realistisch ist) um den Faktor √{1–rS/r} langsamer gehen würde. Ihr „Jetzt“ würde sich also um diesen Faktor schneller zeitlich vorwärts bewegen als das einer weit entfernten Uhr.

Ein Schwarzes Loch liegt übrigens dann vor, wenn sich die Massenverteilung nicht über rS hinaus erstreckt. Die Kugelschale r=rS stellt einen Ereignishorizont dar, eine lichtartige Fläche, an der Licht, das nach außen „will“, gleichsam stehen bleibt.

Für r<rS - also im Schwarzen Loch - wird r zeitartig. Um von da aus nach Außen gelangen zu können, müsste man sich gleichsam zeitlich rückwärts bewegen können. Statt einfach einen Absturz zu einem bestimmten Ort hin zu erleben, würde man Zeuge des Kollaps eines Raumbereiches,, in dem man sich befindet

Im Landschaftsbild ausgedrückt könnte man Schwarze Löcher als Sackgassen in der Raumzeit bezeichnen.

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Hallo grenzenfrei0,

genau so ist es - wenn man die Zahl bereits in Polarform

(1.1) z = |z|·e^{i·φ} = r·e^{i·φ}

gegeben hat. Der Betrag r muss natürlich derselbe sein, er wird ja vom Ursprung her erst durch das Konjugierte definiert: Multipliziert man z mit

(1.2) z* = r·e^{–i·φ},

kommt nämlich r² heraus, wie Du Dir leicht mit Hilfe des Potenzgesetzes

(2) e^{i·φ}·e^{i·ψ} = e^{i·(φ + ψ)} ⇒ e^{-iφ}·e^{i·φ} = 1

klar machen kannst. Ursprünglich wird das Komplex Konjugierte aber auf der Basis der Cartesischen Form

(3.1) z = x + i·y

als

(3.2) z* = x – i·y

eingeführt; das Produkt ergibt

(3.3) z·z* = (x+i·y)(x–i·y) = x² – i²y² = x² + y²,

und das ist positiv und reell und kann als Quadrat eines Betrages r interpretiert werden. Der Polarwinkel ist da noch gar nicht drin; er lässt sich über

(EULER) e^{iφ} = cos(φ) + i·sin(φ)

einführen. Es ist leichter, von der Polarform via

(4.1) x = r·cos(φ)
(4.2) y = r·sin(φ)

zur Cartesischen Form überzugehen als umgekehrt, denn die Definition

(5) φ = arctan(y/x)

liefert nicht alle Werte, was zu Fallunterscheidungen führt.

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Hallo Ben,

über die „flache“ Raumzeit, in der die MINKOWSKI-Geometrie herrscht, habe ich mich zuletzt hier ausführlich ausgelassen.

Dort spreche ich u.a. von geraden Weltlinien. Die Verallgemeinerung davon ist eine geodätische Weltlinie, und dass das eigene Labor eine solche Weltlinie hat, erkennt man ganz einfach daran, dass dort Schwerelosigkeit herrscht. Die ISS ist so ein Beispiel. Dies, obwohl die WL der ISS ganz offensichtlich nicht gerade ist, sondern eine Schraubenlinie.

In einer Fläche oder ihrer Verallgemeinerung, einer Mannigfaltigkeit, die keine innere Krümmung aufweist (übrigens gehören dazu auch Zylinderflächen oder eben eine Raumzeit mit einem einzigen, homogenen Gravitationsfeld) sind parallele geodätische Linien überall parallel.

Schon die Erdoberfläche zeigt, wie sich hier positive Krümmung auswirkt: Die Meridiane, am Äquator parallel, laufen an den Polen zusammen.

Das geschieht auch bei Körpern, die anfänglich relativ zueinander ruhen. An dieser Stelle sind ihre Weltlinien noch parallel - aber sie bleiben es nicht, sondern laufen mit der Zeit zusammen. Allerdings „spürt“ keiner der Asteroiden dabei Beschleunigungskräfte, die Weltlinien sind also geodätisch.

Eine sichtbare Krümmung des Raumes stellt sich erst bei größeren Massenansammlungen wie der Sonne ein und machen sich durch Ablenkung des Lichtes nach innen bemerkbar, und wenn man Strecken misst, bekommt man einen etwas größeren Wert als man eigentlich sollte.

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Hallo wabbel037274,

zu einer anderen Frage von Dir habe ich mich bereits recht ausführlich zur Struktur der Raumzeit ausgelassen. Diese Struktur bedingt, dass sich Geschwindigkeiten nicht addieren.

Es gibt jedoch eine Größe, die sich addiert und die ich da nicht erwähnt hatte: Die sog. Rapidität; ich bezeichne sie gern mit ζ (zeta), weil das ein relativ selten verwendeter Buchstabe ist. Wenn man so will, ist das eine Art „Winkel“, dessen Tangens Hyperbolicus v/c ist. Egal wie groß ζ ist, der Tangens Hyperbolicus bleibt immer unter 1.

Der Tangens Hyperbolicus verhält sich ganz ähnlich wie der Arcustangens. Die Situation ist daher ähnlich, wie es die auf einer unendlichen Ebene wäre, wobei hier allerdings die Entfernung, in der jemand von Dir steht, der Rapidität entspricht. Der Winkel θ, unter dem Du dessen Füße siehst, steht in diesem Bild für die Geschwindigkeit.

Wenn man in einem Fahrzeug wäre, das mit Lichtgeschwindigkeit fliegen würde,…

Der Lichtgeschwindigkeit entspricht in diesem Bild ein rechter Winkel zum Lot, und das ist der vermeintliche Horizont, in Wirklichkeit die Fluchtlinie. Sie steht für eine unendlich weite Entfernung. Auch die Rapidität ist bei c unendlich.

Möglich ist es - theoretisch - relativ zu einer Bezugs-Uhr U beliebig nahe an c heranzukommen.

…und man sich dann in dem Fahrzeug nach vorne bewegt.

Dann kommt man zwar noch etwas näher an c heran, erreicht c aber nicht. Erstens dauert das Vorwärtsgehen entlang der Zeitrichtung von U entsprechend länger, außerdem ist der Weg quer zur Zeitrichtung von U kürzer.

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Hallo wabbel037274,

das Altern ist ein komplexer Prozess, der nicht nur von der Zeitdauer abhängt. Unter sonst gleichen Bedingungen hängt es aber ausschließlich an der Eigenzeit τ, die eine mitgeführte Uhr Ω anzeigt.

Will man sich allerdings verabreden, braucht man den Ort s› und die Koordinatenzeit (zur Bezeichnung s.u.) t des geplanten Treffens, das ein Beispiel für ein Ereignis ist. Ort ist Position relativ zu einer gemeinsamen Bezugs-Uhr U, und t ist diejenige Eigenzeit von U, mit der das Treffen gleichzeitig ist. Vorzugsweise sollte U inertial sein, d.h., keiner Beschleunigung unterliegen.

GALILEIs Relativitätsprinzip

… egal wie schnell wir uns bewegen.

Fortbewegung ist relativ. Außer U lässt sich auch eine relativ zu U mit konstanter Geschwindigkeit v› bewegte Uhr U' als Bezugs-Uhr festlegen, relativ zu der sich U mit –v› bewegt. Das Entscheidende an GALILEIs Prinzip ist aber, dass beide Uhren und Koordinatensysteme physikalisch gleichwertig sind.

Die Raumzeit

Das Zeit unterschiedlich schnell vergeht, ...

Mit der Vorstellung von Zeit als etwas, das vergeht, kommen wir nicht weiter. Stattdessen sollte man sie lieber als Weltlinie (WL) auffassen, als Weg durch die Raumzeit. Die Länge eines WL-Abschnittes von Ω zwischen zwei auf ihr liegenden Ereignissen ist nichts anderes als die Eigenzeitspanne Δτ. Die Geschwindigkeit eines Körpers relativ zu U stellt sich als Neigung (einschließlich deren Richtung) seiner WL gegen die von U, eine eventuelle Beschleunigung als Krümmung seiner WL dar.

Die WL von U ist (unter der Annahme, dass U inertial ist) eine Gerade. Sie ergänzt als Zeitachse ein räumliches Koordinatensystem S (mit U als„ Anker“) zum raumzeitlichen Koordinatensystem Σ. Daher rührt auch die Bezeichnung „Koordinatenzeit“ für die Zeiten t und t+Δt zweier Ereignisse. Bildlich kann man sich tatsächlich vorstellen, dass sie gleichsam „senkrecht“ auf die WL von U projiziert werden.

Dasselbe kann man natürlich mit U' machen, in Bezug auf die die Ereignisse die Σ'-Koordinatenzeiten t' und t'+Δt' haben. U' hat sozusagen eine andere Zeitrichtung als U, und so sollte es nicht überraschen, wenn sich die beiden Koordinaten-Zeitspannen Δt und Δt' voneinander und von Δτ unterscheiden. Dabei denken wir uns S und S' so ausgerichtet, dass v›=(v;0;0) ist.

Raumzeitliche Abstände

Ob dies so ist, hängt von der Metrik, der Definition von Abständen in der Raumzeit ab. Die Strecke zwischen zwei Orten kann ich als Diagonale eines Quaders Δx×Δy×Δz auffassen, dessen Seiten an den Achsen von S ausgerichtet sind, aber auch eines Quaders Δx°×Δy°×Δz°, dessen Seiten an einem anderen Koordinatensystem S° - ebenfalls mit U als „Anker“ - ausgerichtet sind.

Der Abstand Δs in Bezug auf U hängt natürlich nicht davon ab, welchen Quader wir wählen; sein Quadrat ergibt sich aus dem Satz des PYTHAGORAS:

(1) Δs² = Δx² + Δy² + Δz² = Δx°² + Δy°² + Δz°²

Entsprechendes gilt natürlich für den Abstand Δs' in Bezug auf U'.

Bis hierher haben wir nämlich noch nichts gesagt, das in der NEWTONschen Mechanik (NM) nicht gültig wäre, auch wenn es unüblich ist, dort von der Raumzeit und von WL zu sprechen. Das Raumzeit-Konzept an sich setzt nicht die Spezielle Relativitätstheorie ((S)RT) voraus, auf die ich jetzt zu sprechen kommen will. 

In NEWTONs Modell ist Δτ=Δt=Δt', und bei gleichzeitigen Ereignissen ist auch Δs=Δs'.Eine Umrechnung zwischen der Σ und Σ' ist quasi eine Scherung in der Raumzeit.

In der SRT gibt es zwischen zwei Ereignissen nur einen Abstand, dessen Quadrat nach MINKOWSKI

(2.1) Δτ² = Δt² – Δs²/c² = Δt'² – Δs'²/c²

in Σ und Σ' oder irgendeinem anderen Koordinatensystem identisch ist. Dabei ist Δτ nichts anderes als die „geradlinige“ Eigenzeit - falls Δt>Δ/c ist, und c ist der Betrag der Lichtgeschwindigkeit. Dann spricht man von zeitartig getrennten Ereignissen. 

Allerdings ist Δτ=0 bei Ereignissen, die entweder zusammenfallen oder wo Δs=cΔt ist. Dann ist auch Δs'=cΔt', und solche Ereignispaare werden als lichtartig getrennt bezeichnet. Der Grund für die Bezeichnung liegt auf der Hand: Start und Ankunft eines und desselben Lichtsignals sind ein Beispiel für solche Ereignisse.

Sogar negativ kann Δτ² werden, und dann ist Δτ imaginär. Zwei solche Ereignisse können nicht auf der WL irgendeiner Uhr liegen. Solche Ereignisse heißen raumartig getrennt, und dann bietet es sich an, (2.1) umzudrehen und mit c zu multiplizieren. So kommt man auf den Gleichzeitigkeits-Abstand

(2.2) Δς² = Δs² – Δt²·c² = Δs'² – Δt'²·c².

Raumartig getrennte Ereignisse können auch als potentiell gleichzeitig bezeichnet werden, d.h., es gibt ein Koordinatensystem, in dem beide Ereignisse gleichzeitig sind. In diesem haben sie den räumlichen Abstand Δς.

Dass raumartig getrennte Ereignisse nicht in jedem Koordinatensystem gleichzeitig sind, heißt Relativität der Gleichzeitigkeit und ist genau genommen der Effekt der SRT. Leider haben sich auch die hochgradig irreführenden Ausdrücke „Zeitdilatation“ und „Längenkontraktion“ eingebürgert. Allerdings ist Ersteres eigentlich ein Projektionseffekt, und Letzteres nenne ich gern „Schrägschnitt durch die Weltwurst“, und beides sind Nebeneffekte der Relativität der Gleichzeitigkeit.

Uhr ist Uhr

Aber alle Beispiele von denen ich gelesen hatte, waren mit Lichtuhren.

Ich kenne das aus meiner Schulzeit. Was hier fehlt, ist die explizite Aussage, dass die physikalische Gleichwertigkeit von Σ und Σ' nach GALILEIs Relativitätsprinzip (s.o.) auch MAXWELLS elektromagnetische Wellengleichung einschließt, welche auch die Lichtausbreitung beschreibt.

Wenn nun eine Lichtuhr auf einen Zeittakt T geeicht ist und sich wie U' relativ zu U mit v› bewegt, wobei sie in y-Richtung ausgerichtet ist, bekommt die Geschwindigkeit des Signals in der Uhr eine x-Komponente v. Da der Betrag gleich c bleiben muss, muss die Lichtgeschwindigkeit in Σ (y;√{c²–v²};0) sein, wodurch sich der Zeittakt auf T/√{1–v²/c²} verlängert. 

Das Entscheidende ist jetzt, dass man umgekehrt auch U' als ruhend betrachten können muss und der Zeittakt der Lichtuhr in Σ' von daher T sein muss. Wenn gemessen an der Zeitrichtung von U die Lichtuhr langsamer läuft, muss jede Uhr um denselben Faktor langsamer laufen und das wird

Richtet sich unser Alterungsprozess nun nach dieser Zeit, oder funktioniert unser Körper wie eine unabhängige "Uhr" und altert genau gleich schnell,…

final beantworten. Uhr ist Uhr.

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Hallo astera7,

es gibt keinen bestimmten Vergrößerungsfaktor oder auch eine bestimmte Brennweite von Gravitationslinsen. dazu sind sie zuzusagen nicht richtig „geschliffen“.

Weil die Gravitationsfelder nach außen hin ab bzw. nach innen hin zunehmen. Das Gravitationsfeld eines Schwarzen Lochs sieht als Gravitationslinse etwa so aus, als gucke man durch ein horizontal gehaltenes Weinglas ohne Boden, das auch keine bestimmte Brennweite hat.

Vielleicht gäbe es eine, wenn es größere vollkommen transparente Körper konstanter Dichte gäbe, denn innerhalb einer Kugel konstanter Dichte nimmt die Gravitationsfeldstärke vom Mittelpunkt nach außen linear zu. Typische Himmelskörper sind allerdings weder transparent noch haben sie eine konstante Dichte.

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Hallo  Palle27482,

es ist seit dem 17. Jhd. bekannt, dass Licht überhaupt Zeit braucht. GALILEI vermutete es, konnte es aber nicht beweisen. Das gelang erstmals RØMER anhand scheinbarer Abweichungen des beobachten Weges der Jupitermonde von den theoretischen Werten nach KEPLER und NEWTON. Erstmals gemessen - nicht besonders genau - hat das HUYGENS.

Übrigens ist die Licht„geschwindigkeit“ (engl. speed of light) eigentlich der Betrag einer Geschwindigkeit (engl. velocity), die eine Größe mit Richtung ist. Ein eindeutigeres deutsches Wort für engl. speed ist Tempo.

Dass es überhaupt die (Vakuum-)Lichtgeschwindigkeit gibt, ist seit MAXWELL klar, der Licht als elektromagnetisches Wellenphänomen identifizierte. Das Ausbreitungstempo aller elektromagnetischen Wellen im materiefreien Raum ist

(1) c = 1/√{ε₀μ₀},

setzt sich also aus fundamentalen Naturkonstanten und ist damit automatisch selbst eine.

Besonders im 19. und 20 Jhd. gab es viele Messungen von c, deren letzte 1973 auf einen Wert von 299792457,4±1m/s erfolgte, aufgrund der damals gültigen Meter-Definition über den Urmeter. Die letzte angegebene „Messung“ von 1983 ist keine, sondern eine Neudefinition des Meters, die aus dem Meter eine reproduzierbare Einheit machte.

Bezug zur Relativitätstheorie

Im 17. Jhd. entdeckte GALILEI das Relativitätsprinzip (RP) der Bewegung: Von zwei mit konstanter Geschwindigkeit ±v› bewegten Uhren U und U' kann jede mit gleichem Recht als Bezugs-Uhr ausgewählt und damit als stationär angesehen werden, denn sie sind physikalisch gleichwertig. So konnte GALILEI auch erklären, wie man von der Bewegung der Erde so lange nichts gemerkt hat.

Da MAXWELLs Wellengleichung direkt aus seinen Grundgleichungen folgt, ist sie wie diese ein Naturgesetz und sollte dem RP unterliegen. Also müsste sie unter der Bedingung, dass U die Bezugs-Uhr ist, ebenso gültig sein wie unter der Bedingung, dass U' die Bezugs-Uhr ist.

Die Lichtgeschwindigkeit ist also nicht nur konstant - (das wäre auch im Rahmen einer Äthertheorie so) sondern auch invariant.

Daraus lässt sich herleiten, dass es einen absoluten Abstand zwischen zwei Ereignissen gibt, der sich aus dem zeitlichen Abstand Δt (gemessen von U aus) bzw. Δt' (von U' aus gemessen) und dem räumlichen Abstand Δs bzw. Δs' zusammensetzt, dessen Quadrat

(2.1) Δτ² = Δt² – Δs²/c² = Δt'² – Δs'²/c² (Δs < cΔt)
(2.2) Δς² = Δs² – c²·Δt² = Δs'² – c²·Δt'² (Δs > cΔt)

ist, den sog. MINKOWSKI-Abstand in der Raumzeit, der etwas an den Satz des PYTHAGORAS erinnert.

Gegner der Relativitätstheorie halten die Neudefinition des Meters für einen Zirkelschluss, was allerdings Unfug ist. Man hat nicht die Lichtgeschwindigkeit rechnerisch konstant gemacht, sondern hat den Meter auf der Grundlage der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit neu definiert, die lange als gesichert galt, bevor sie überhaupt so genau gemessen werden konnte.

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Hallo Traavis,

ich werde es versuchen. Dabei heißt aber einfach nicht unbedingt kurz. Das ist sogar ein Zielkonflikt, denn je weniger Begriffe aus dem „Fachchinesischen“ ich verwenden kann, ohne sie zu erklären, desto ausführlicher und länger wird's natürlich.

Ich habe versucht jemandem zu erklären dass relativ gesehen auf der Erde viel mehr Zeit vergeht…

Die Vorstellung von Zeit als etwas, das vergeht und von Raum als etwas zu einem bestimmten Zeitpunkt Gegebenen ist eine gedankliche Sackgasse, die wir im Rückwärtsgang verlassen müssen, um irgendetwas zu verstehen.

Es gibt zunächst einmal nur die Raumzeit, in der sich Ereignisse als Punkte beschreiben lassen. Erst mit Hilfe einer Bezugs-Uhr U lässt sich die Raumzeit in ein „Vorwärts“ (Zeit) und ein „Seitwärts“ (Raum) zerlegen.

Insbesondere das „Vorwärts“ verschiedener Uhren U und U', die sich mit der Geschwindigkeit v› relativ zu U bewegt, offensichtlich nicht identisch: Die die Gleichortigkeit zeitlich nacheinander stattfindender Ereignisse hängt von der Wahl der Bezugs-Uhr ab.

Dasselbe aber - und das ist das Neue in der SRT - gilt für die Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse.

Warum? Weil nach GALILEIs (!) Relativitätsprinzip (RP) U und U' physikalisch gleichwertig sind, d.h., unabhängig davon, auf welche Uhr wir die physikalischen Größen beziehen, haben die grundlegenden Beziehungen zwischen ihnen - nichts anderes sind Naturgesetze - dieselbe Form.

Zu diesen gehören auch die MAXWELL-Gleichungen und die daraus hergeleitete MAXWELLsche Wellengleichung.

Das heißt aber: Was sich relativ zu U mit c bewegt, das bewegt sich auch relativ zu U' mit c und umgekehrt.

Nimm nun an, Du bewegst Dich von einer Blitzlampe weg und auf eine andere zu. In dem Moment, wo Du genau in der Mitte bist, bekommst Du von beiden ein Signal. Da die Lampen gleich weit entfernt sind, müssen sie auch gleichzeitig aufgeleuchtet sein.

Nun kannst Du aber auch Dich selbst als ruhend ansehen, was aber heißt, die Lampen bewegen sich; eine nähert sich, muss also weiter entfernt gewesen sein und daher früher aufgeleuchtet haben, die andere entfernt sich, war also näher und muss erst später aufgeleuchtet sein.

Abstände

Je nachdem, welche Uhr wir als ruhend ansehen, kommt zwischen zwei Ereignissen ein anderer räumlicher Abstand

(1)  Δs' = √{Δx'² + Δy'² + Δz'²} ≠ Δs = √{Δx² + Δy² + Δz²}

heraus, und auch ein anderer zeitlicher Abstand Δt'≠Δt, aber es gibt tatsächlich einen absoluten Abstand, der beide zusammenfasst und sich als

(2.1)  Δτ = √{Δt² – Δs²/c²} ≡ √{Δt'² – Δs'²/c²}

oder als

(2.2)  Δς = √{Δs² – c²Δt²} ≡ √{Δs'² – c²Δt'²}

schreiben lässt und MINKOWSKI-Abstand heißt. Dieser Abstand ist entweder 0, oder einer der beiden Ausdrücke ist imaginär, d.h., sein Quadrat ist negativ.

Wenn Δτ reell ist, heißen die Ereignisse zeitartig getrennt, und Δτ ist die Eigenzeit, der Zeitabstand, die eine Uhr messen würde, relativ zu der sie gleichortig sind.

Wenn Δτ imaginär ist, heißen die Ereignisse raumartig getrennt, und Δς ist ihr räumlicher Abstand von einer Uhr aus gemessen, relativ zu der sie gleichzeitig sind.

Den Grenzfall Δτ=0 stellen lichtartig getrennte Ereignisse dar.

Warum „bewegte Uhren langsamer“ gehen

…als in einem Raumschiff dass sich etwa mit Lichtgeschwindigkeit bewegt.

Genau c ist unerreichbar. Schließlich müsste man sich dann auch relativ zu sich selbst mit c bewegen, was natürlich unmöglich ist. Es gibt übrigens kein „relativ zum Licht“. Würde man versuchen, mit einem Lichtstrahl aufzuschließen, nähme mit wachsender Geschwindigkeit dessen Frequenz immer mehr ab, bis es im Endeffekt regelrecht verschwände.

Aus (2.1) kannst Du ablesen, dass eine Uhr, die sich relativ zur Bezugs-Uhr U mit v in eine bestimmte Richtung bewegt, um den Faktor

(3)  Δτ/Δt = √{1 – v²/c²}

langsamer gehen muss als U, aber eben nicht an sich, sondern in Bezug auf die Vorwärtsrichtung von U.

Analogien

Stell Dir als Bild zwei Autofahrer vor, die mit gleichem Tempo u in einem Winkel θ auseinanderfahren. Jeder Fahrer hat also die Geschwindigkeit (u·cos(θ); ±u·sin(θ)) relativ zum anderen, wobei die erste Komponente vorwärts und die zweite seitwärts ist. Wer von beiden nun „zurückfällt“, ist Interpretationssache, es hängt davon ab, wessen Fahrtrichtung wir als „genau vorwärts“ ansehen.

Zur Unerreichbarkeit der Lichtgeschwindigkeit habe ich auch eine Analogir, nämlich eine unendliche Ebene, bei der Dein eigener Standpunkt die Geschwindigkeit 0 und der die Fluchtlinie alle Geschwindigkeiten mit dem Betrag c symbolsiert. Würdest Du auf einen Fluchtpunkt zugehen, kämest ihm dabei aber überhaupt nicht näher, außer für einen Beobachter, der von Deinem ursprünglichen Standort aus zuschaut.

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