Vektoren auf lineare unabhängigkeit Prüfen?
Guten Tag,
wie genau zeigt man , ob ein vektor linear ab und unabhängig gegenüber anderen vektoren ist?
Ich habe eine Bespielaufgabe als bild zugefügt, die lösung davon + Meinen weg wie ich ihn aus der schule kenne. Kann mir bitte einer sagen , ob mein weg falsch ist oder nicht?
danke im vorraus:)
4 Antworten
Ja das stimmt natürlich auch und ist im Prinzip das selbe wie das LGS aus dem Skriptum.
Wenn du das Gleichungssystem aus dem Skriptum in die Matrixschreibweise überführst und dann über den Gauß Algorithmus berechnest hast du genau deine Methode.
Es gibt aber auch noch anderen Möglichkeiten, das zu zeigen, wenn du deine Matrix hast musst du nicht mal das LGS lösen um zu erkennen ob einer der Vektoren linear abhängig ist.
Bei 3x3 Matrizen könntest du zB über die Regel von Sarrus bestätigen dass die Determinante dieser Matrix 0 ist was bedeutet, dass mindestens einer der Vektoren in der Matrix von einem anderen linear abhängig ist.
Oder du kannst auch die Innprodukte der einzelnen Vektoren zueinander rechnen wenn gilt:
v1*v2 = |v1|*|v2| sind die beiden Vektoren linear abhängig.
Man könnte zum Beweis zwar ein Gleichungssystem aufstellen, aber man sieht sofort, ob es eine Lösung gibt oder nicht.
Beispiel (iv) : der x-Wert des Vektors a1 kann durch eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren nie Null werden.
(i) l.a., denn 2 * a1 - 1 * a2 = 0
(ii) n.l.a., denn es gibt keine Lösung für m * a1 + n * a2 = 0
(iii) l.a., denn 7 * a1 - 70 * a2 - 1 * a3 = 0
(iv) n.l.a., denn es gibt keine Lösung für m * a1 + n * a2 + k * a3 = 0
(v) l.a., denn -2 * a1 + 1 * a2 + 1 * a3 = 0
(vi) l.a., denn Nullvektor ist das immer.
Hallo,
kannst Du so machen.
Einfacher geht es, wenn Du die Determinante der Matrix nach der Sarrusregel bestimmst. Ist die Determinante gleich Null, sind die Vektoren linear abhängig, denn dann liegen sie in einer Ebene.
Das funktioniert aber nur bei drei Vektoren mit der Dimension 3 oder bei zwei Vektoren mit der Dimension 2.
Es geht auch mit höher dimensionierten Vektoren - dann läßt sich aber die Determinante nicht mehr so einfach bestimmen. Da geht es dann über das Gaußverfahren schneller.
Herzliche Grüße,
Willy
Du kannst die Determinate der Matrix bestimmen. Genau dann wenn diese Null ist, sind die Vektoren linear abhängig.
Lustig, daß Du Dich auch bei Determinante vertippst (passiert mir selbst ständig: Determinate). Muß an diesem Wort liegen.