Vektor suchen um die Basis zu erweitern?

1 Antwort

Wenn schon klar ist, dass Deine drei Vektoren des R³ linear unabhängig sind, langt es doch, wenn der vierte Vektor die vierte Dimension abdeckt.
Also: der vierte Vektor ist (0 0 0 1), die anderen drei ergänzt Du nur um eine 0 an der vierten Stelle, damit sie auch vierdimension sind.
Das müsste langen.

Alternativ (evtl. hast Du das so gemacht): bei den drei gegebenen Vektoren an erster Stelle eine 0 ergänzen, v4 wäre dann wie von Dir beschrieben.

Bei diesem Ansatz erübrigt sich fast ein Nachweis.

Oh man, ist ja logisch.. Ich habe da zweimal um die Ecke gedacht und dann noch falsch..

Aber jetzt habe ich da doch eine andere Frage:

Die Dimension ist doch abhängig von der Anzahl der (gegebenen) Vektoren die die Basis bilden, oder abhängig von der "Anzahl der Koordinaten" der Basisvektoren?

Meine 3 Basisvektoren bestehen nämlich aus 4 Koordinaten, aber wenn ich nochmal das ganze durchgehe ist es ja logisch dass diese R^4 abbilden und nicht R^3 (wie von mir anfangs angenommen), oder? 

Weil ich habe irgendwo mal gelesen, dass die Dimension abhängig von der Anzahl der Vektoren (!), die die Basis bilden, ist. Dann ist diese Def. ja falsch?!

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@liu17

Naja, Anzahl der Basisvektoren und Dimension eines Vektorraums geht schon sehr Hand in Hand.

In der Mathematik ist der Begriff Vektorraum viel umfassender definiert, als man es allgemein auffasst. So können z.B. auch Funktionen einen Vektorraum bilden (man kann sie addieren, man kann sie mit (reellen) Zahlen multiplizieren, wobei jeweils bestimmte Rechengesetze gelten).
Wie bringst Du jetzt hier den Begriff "Koordinaten" unter? (Es geht aber bestimmt.)

Insofern halte ich die von Dir zitierte Definition des Begriffs Basis schon für korrekt.

Was man auf jeden Fall sagen kann: wenn ein ("normaler") Vektor 4 Koordinaten/Komponenten hat, ist es auf jeden Fall ein vierdimensionaler Vektor, also ein Vektor des R^4. R^4 bedeutet ja in diesem Zusammenhang gerade, dass man jeweils vier reelle Zahlen zu einem "Teil" zusammenfasst.

Insofern war Deine Angabe mit dem R^3 tatsächlich nicht korrekt. Und dann passt mein Lösungsvorschlag auch nicht mehr. :-(

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@KDWalther

Dann vielleicht so:

Aufgabenstellung:

a) Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension von W = span{v1,v2,v3,v4}

b) Ergänzen Sie die Basis von W zu einer Basis von R^4

Alle 4 Vektoren bestehen aus 4 Komponenten.

Meine Lösung:

a) Da v4 linear abhängig ist von v1,v2 & v3, und v1,v2 & v3 linear unabhängig sind von einander, ist meine Basis von W = {v1,v2,v3}.

Als Dimension für Wspan habe ich R^3 gewählt, da ohne v4 im span die Anzahl der Vektoren 3 ist.

b) "neue" Basis von W = {v1,v2,v3,v4} mit v4 = (0/0/0/1).  Somit besteht die Basis aus 4 linear unabhängigen Vektoren => eine Dimension von R^4.

Mit "alle 4 Vektoren bestehen aus 4 Komponenten" meine ich, dass alle 4 Vektoren beispielhaft wie folgt gegeben sind: v1=(1/2/5/3), v2=(1/0/0/4), v3=(6/2/5/0), v4=(5/3/2/5) (habe hier jetzt einfach irgendwelche Zahlen aus der Luft gegriffen)..

Ist meine Lösung nun falsch oder nicht? Habe ich vll. die Def. von "Dimension von span" falsch interpretiert? Ist diese nicht abhängig von der Anzahl der Vektoren im span wie bei der Basis? Denn wie schon gesagt, einer der 4 Vektoren die im span angegeben sind ist linear abhängig. Alle 4 Vektoren bestehen allerdings aus 4 Komponente. Streicht man jetzt den 4. Vektor aus dem Span hat man eine Anzahl von 3 Vektoren mit je 4 Komponente. Bilden sie trotzdem eine Dimension von R^4? 

Hoffe du kannst mir noch folgen :D

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@liu17

So langsam sehe ich, wo das Missverständnis liegt :-)

zu a) Mit Dimension von W ist die maximale Anzahl der linear unabhängigen Vektoren gemeint (wie viele linear unabhängge Vektoren benötigst Du, um jede Linearkombination der vier Vektoren v1, v2, v3, v4 erzeugen zu können?). Und die ist in diesem Fall 3, nicht R^3 (denn es geht ja um eine Anzahl).
Dass die Elemente v1, ..., v4 dabei aus einem vierdimensionalen Raum stammen, spielt eigentlich keine Rolle.

zu b) Um einen vierdimensionalen Raum vollständig erzeugen zu können, brauchst Du aber stets 4 linear unabhängige Vektoren (des R^4). Also ist die sog. Mächtigkeit einer Basis des R^4 immer 4.

Deine drei Vektoren v1, v2, v3 bzw. ihre Linearkombinationen bilden auf jeden Fall eine Teilmenge des R^4 (der Dimension 3).

Mir scheint, dass Du irgendwie die Menge R^4 (Menge aller Vektoren mit je 4 Elementen) und die Dimension einer Menge (maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren) in einen Topf wirfst.

Ist's nun klarer geworden?

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