Basis von einem Spann von Vektoren bilden und Basis einer Schnittmenge?
Hallo liebe Community,
ich habe folgende Aufgabe( siehe Bild) . In Aufgabenteil 1 konnte ich bereits herausfinden, dass die Vektoren 2,3 und 4 linear abhängig sind. Nun soll ich in Aufgabenteil 2 eine Basis vom Spann aller 5 Vektoren bilden. Da wir im vierdimensionalen sind kann es ja nur 4 linear unabhängige Vektoren geben. Wie kann ich herausfinden, welchen Vektor ich streichen muss, damit es eine Basis wird?
Die zweite Frage wäre, wie ich in Aufgabenteil 3 vorgehen muss. Die Schnittmenge der beiden wäre ja dann nur noch x3, ist das dann schon die Basis ?
1 Antwort
Unterpunkt ii) Dass x1 und x5 linear unabhängig sind, sieht man sofort. Aber auch, dass < x1 , x2 , x5 > noch linear unabhängig sein müssen. Denn du kannst x2 nicht zusammen setzen aus x1 und x5. Versuchen wir es mit x3
x3 =: a x1 + b x2 + c x5 ( 1 )
In x-y-z-w-Komponenten ausgeschrieben, lautet ( 1 )
a + b = 2 ( 2a )
2 b + c = 3 ( 2b )
a + 3 b = 4 ( 2c )
4 b + c = 5 ( 2d )
Das LGS ( 2a-d ) separiert; ( 2a;c ) führen auf die Lösung a = b = 1 . Dann liefert uns aber ( 2b ) den Wert c = 1 . Dann in ( 2d ) kommt es zum Schwur; ist ( 1 ) wirklich lösbar?
So Stuenten wie ich schätze ich; deutlich lesbares aufgabenblatt. Und dann hast du mir noch zugearbeitet; denn die Info, dass x2 € span ( x1 ; x2 ; x5 ) erleichtert mir ja die Arbeit.
Unterpunkt iii) würde ich so beantworten: x3 wird ja erzeugt von x1;2 so wie x2 von x3;4 . Damit sind x2;3;4 beiden Räumen gemeinsam; und nur < x2, x3 ) sind linear unabhängig, bilden also eine Basis.
Kannst du mir wirklich keine Nachricht zukommen lassen?