Unterschied zwischen Basis und Span/Lineare Hülle?

2 Antworten

Eine Basis ist z.B. drei Vektoren die den R^3 aufspannen. Sie sind l.u. und mit ihnen lassen sich alle Vektoren des R^3 darstellen. Ein Span spannt einen bestimmten Raum auf. z.B Eine Ebene oder eine Gerade usw.

Also sagen wir mal es sind die Vektoren gegeben.:

a=(1,2,3)

b=(0,1,1)

c=(2,5,7)

Ich berechne die Determinante. Det = 15. Dann weiss ich das Vektoren unabhängig sind.

Lineare huelle < (1,2,3),(0,1,1),(2,5,7) >

Wobei ich ein Vektor streichen kann, da 2*(1,2,3)+(0,1,1) = (2,5,7) Lineare huelle < (1,2,3) , (0,1,1) >

=> Die Vektoren (1,2,3) , (0,1,1) spannen eine Ebene auf. => Die Vektoren (1,2,3) , (0,1,1) bilden eine Basis, da sie unabhängig sind.

So richtig?

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@persiian

Oh nein. Die Determinante ist Null wenn die Vektoren linear abhängig sind. Du schreibst Det = 15 und darunter einen Beweis das sie abhängig sind! Da muss ein Fehler sein. Die Determinante von den drei Vekoren ist 0.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=det%28{{1%2C2%2C3}%2C{0%2C1%2C1}%2C{2%2C5%2C7}}%29

Du hast dich wahrscheinlich verrechnet. Die Vektoren (1,2,3) , (0,1,1) spannen eine Ebene auf, aber sie sind keine Basis des R^3, sondern nur zu der Ebene.

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@Simon3038

Ja, sorry hab mich mit dem Vorzeichen vertan. Ich dachte wenn die Vektoren unabhängig sind, bilden sie eine Basi...

Och man ich check das einfach nicht! :(

Obwohls so trivial ist!

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@Simon3038

Vielen Dank, ich werd's mir reinziehen! (Y)

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@Simon3038

Linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis des Raumes. Drei müssen es im R^3 sein und 4 im R^4 usw. Der span ist eine Menge von l.u. aber möglicherweisen auch linear abhängiger Vektoren die eine Ebene oder Gerade auspannen.

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Nimm eine Teilmenge M von Vektoren eines Vektorraums. Die lineare Hülle oder der Span dieser Teilmenge M ist die Menge aller Vektoren, die man als Linearkombination von Vektoren aus M bilden kann.

Wenn z. B. M nur einen Vektor (nicht der Nullvektor) v enthält, dann ist die lineare Hülle (oder Span genannt) von M die Gerade, auf der dieser Vektor liegt - also a * v, wobei a durch ganz R (oder den Körper, den ihr betrachtet) läuft.

Die lineare Hülle (oder Span) ist also das, was von M erzeugt wird.

M nennt man deswegen auch ein Erzeugendensystem dieser linearen Hülle.

Jetzt betrachtet man nicht mehr die Hülle, sondern M selber. Wenn die Vektoren in M linear unabhängig sind, dann ist M nicht nur ein Erzeugendensystem des Spans, sondern auch eine BASIS des Spans.

Stell es dir mal wie beim Zelten vor (auch wenn das vielleicht zu anschaulich ist, weil Gerade und Ebenen ja nicht abgegrenzt sind, aber ich versuch es mal). Du hast eine Handvoll Stangen - das ist dein M. Darüber spannst du das Zelt - die Zelthaut umschließt jetzt einen gewissen Raum. Alles zusammen - also Zelthaut, umschlossener Raum, Stangen ist die Hülle. Die Stangen aber erzeugen diese Hülle, je nachdem, wie lang sie sind und in welche Richtung du sie aufgestellt hast, bestimmen sie die Form des Zeltes. Jetzt schaust du dir die Stangen in ihrer Aufstellung an. Könntest du einzelne Stangen wegnehmen, ohne das Zelt zu verändern? Solche Stangen wären linear abhängig von den anderen. Sobald du keine Stange mehr wegnehmen kannst, bilden die verbleibenden Stangen eine Basis.

Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

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