Unterschied zwischen Basis und Span/Lineare Hülle?
Hallo liebe User,
ich lerne gerade für Mathe und seit 2 Tagen habe ich Probleme, was lineare Algebra angeht. Hierbei handelt es sich um Basis und Lineare Hülle.
Ich habe auch gegoogelt, aber mir fällt es schwer den Unterschied zu verstehen.
Wenn ich es richtig bestanden habe.: Lineare Hülle sind die Vektoren die unabhängig sind und eine Ebene aufspannen.
Basis: Menge aller Unabhängigen Vektoren die Linear nicht kombinierbar sind.
Habe ich das richtig verstanden?
Ich raff den unterschied zwischen den Zwei Begriffen nicht.
2 Antworten
Eine Basis ist z.B. drei Vektoren die den R^3 aufspannen. Sie sind l.u. und mit ihnen lassen sich alle Vektoren des R^3 darstellen. Ein Span spannt einen bestimmten Raum auf. z.B Eine Ebene oder eine Gerade usw.
Oh nein. Die Determinante ist Null wenn die Vektoren linear abhängig sind. Du schreibst Det = 15 und darunter einen Beweis das sie abhängig sind! Da muss ein Fehler sein. Die Determinante von den drei Vekoren ist 0.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=det%28{{1%2C2%2C3}%2C{0%2C1%2C1}%2C{2%2C5%2C7}}%29
Du hast dich wahrscheinlich verrechnet. Die Vektoren (1,2,3) , (0,1,1) spannen eine Ebene auf, aber sie sind keine Basis des R^3, sondern nur zu der Ebene.
Das hier ist ein Script, welches ich in der Uni verwendet habe. Ist ein bisschen sehr Formal, aber vlt hilft es dir weiter:
https://www.dropbox.com/s/8d7ovtc8f5odwcc/LADS%20Script%20.pdf
Ja, sorry hab mich mit dem Vorzeichen vertan. Ich dachte wenn die Vektoren unabhängig sind, bilden sie eine Basi...
Och man ich check das einfach nicht! :(
Obwohls so trivial ist!
Linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis des Raumes. Drei müssen es im R^3 sein und 4 im R^4 usw. Der span ist eine Menge von l.u. aber möglicherweisen auch linear abhängiger Vektoren die eine Ebene oder Gerade auspannen.
Nimm eine Teilmenge M von Vektoren eines Vektorraums. Die lineare Hülle oder der Span dieser Teilmenge M ist die Menge aller Vektoren, die man als Linearkombination von Vektoren aus M bilden kann.
Wenn z. B. M nur einen Vektor (nicht der Nullvektor) v enthält, dann ist die lineare Hülle (oder Span genannt) von M die Gerade, auf der dieser Vektor liegt - also a * v, wobei a durch ganz R (oder den Körper, den ihr betrachtet) läuft.
Die lineare Hülle (oder Span) ist also das, was von M erzeugt wird.
M nennt man deswegen auch ein Erzeugendensystem dieser linearen Hülle.
Jetzt betrachtet man nicht mehr die Hülle, sondern M selber. Wenn die Vektoren in M linear unabhängig sind, dann ist M nicht nur ein Erzeugendensystem des Spans, sondern auch eine BASIS des Spans.
Stell es dir mal wie beim Zelten vor (auch wenn das vielleicht zu anschaulich ist, weil Gerade und Ebenen ja nicht abgegrenzt sind, aber ich versuch es mal). Du hast eine Handvoll Stangen - das ist dein M. Darüber spannst du das Zelt - die Zelthaut umschließt jetzt einen gewissen Raum. Alles zusammen - also Zelthaut, umschlossener Raum, Stangen ist die Hülle. Die Stangen aber erzeugen diese Hülle, je nachdem, wie lang sie sind und in welche Richtung du sie aufgestellt hast, bestimmen sie die Form des Zeltes. Jetzt schaust du dir die Stangen in ihrer Aufstellung an. Könntest du einzelne Stangen wegnehmen, ohne das Zelt zu verändern? Solche Stangen wären linear abhängig von den anderen. Sobald du keine Stange mehr wegnehmen kannst, bilden die verbleibenden Stangen eine Basis.
Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem.
Also sagen wir mal es sind die Vektoren gegeben.:
a=(1,2,3)
b=(0,1,1)
c=(2,5,7)
Ich berechne die Determinante. Det = 15. Dann weiss ich das Vektoren unabhängig sind.
Lineare huelle < (1,2,3),(0,1,1),(2,5,7) >
Wobei ich ein Vektor streichen kann, da 2*(1,2,3)+(0,1,1) = (2,5,7) Lineare huelle < (1,2,3) , (0,1,1) >
=> Die Vektoren (1,2,3) , (0,1,1) spannen eine Ebene auf. => Die Vektoren (1,2,3) , (0,1,1) bilden eine Basis, da sie unabhängig sind.
So richtig?