Wieso sind 4 Vektoren im 3-dimensionalen Raum IMMER linear abhängig?
Hallo, ich lerne gerade für meine Mathematik-Klausur und stelle mir die Frage, wieso 4 Vektoren im 3-dimensionalen Raum IMMER linear abhängig sind? Wieso ist das so? Vielleicht könnte mir dies jemand anhand von linearer Abhängigkeit und Unabhängigkeit erklären. Vielen Dank! :)
4 Antworten
(n + 1) nicht parallele Vektoren sind im n-dimensionalen Raum immer linear abhängig, denn man kann immer einen davon als Linearkombination der anderen darstellen.
Du kannst z.B. jeden Vektor im 3-dimensionalen Raum als Linearkombination von (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) darstellen. Somit sind diese insgesamt 4 Vektoren linear abhängig. Das klappt aber nicht nur mit (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1), sondern auch mit beliebigen anderen Basisvektoren, solange diese nicht parallel sind. Daher sind die 4 Stück immer linear abhängig.
Eine linear unabhängige Teilmenge eines Vektorraums lässt sich immer zu einer Basis ergänzen ("Basis-Ergänzungssatz").
Gäbe es nun in einem n-dimensionalen Raum eine linear unabhängige Teilmenge aus mehr als n Vektoren, so gäbe es nach dem Basis-Ergänzungssatz auch eine Basis aus mehr als n Vektoren. Je zwei Basen sind aber gleichmächtig (darauf beruht der Dimensionsbegriff!). Daher kann es keine Basis aus n Vekrtoren und zugleich eine Basis aus mehr als n Vektoren geben.
Also hat jede linear unabhängige Teilmenge eines n-dimensionalen Raums höchstens n Elemente.
Weil 3 Vektoren ausreichen, um eine Position im 3-dimensionalen Raum zu beschreiben (x,y,z z.B. "Länge, Breite, Höhe"). Ein 4. Vektor ist darum logischerweise eine Kombination der 3 andren Vektoren.
weil in 3 Dimension nur "Platz" für drei linear unabhängige Vektoren ist. Dies ist ja gerade eine der Eigenschaften bzw. Folgen aus dem Dimensionsbegriff.